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Arithmétique 3èmes M & Sc.Inf

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Fiche d’animation
Arithmétique
Enseignants concernés:
Professeurs des 3èmes Math et Sc. Informatiques
H. Abderrahim
L.P GABES
1
L’arithmétique
La mathématique est la reine des
sciences
et l’arithmétique est la reine des
mathématiques.
Karl Friedrich Gauss
H. Abderrahim
L.P GABES
2
Programme officiel
(3ème Math)
1) Contenu disciplinaire (p 15/79):




Principe de récurrence
Division euclidienne dans IN - PGCD – PPCM –
Nombres premiers entre eux – Lemme de Gauss.
Nombres premiers – Théorème d’Euclide – Le petit
théorème de Fermat.
Théorème fondamental de l’arithmétique.
H. Abderrahim
L.P GABES
3
Programme officiel
(3ème Math) (Suite)
2) Aptitudes à développer:

Démontrer une propriété sur les entiers naturels en
utilisant le principe de récurrence.

Exploiter les propriétés de la divisibilité dans IN.


Calculer le quotient et le reste de la division
euclidienne d’un entier naturel par un entier naturel
non nul
Calculer le PGCD et le PPCM de deux entiers naturels
non nuls.
H. Abderrahim
L.P GABES
4
Programme officiel(3ème Math) (Suite)

Reconnaître que deux entiers naturels sont premiers entre eux.

Exploiter le lemme de Gauss.

Reconnaître qu’un entier est premier.

Exploiter le théorème d’Euclide.

Exploiter le théorème fondamental de l’arithmétique.

Exploiter le petit théorème de Fermat.
H. Abderrahim
L.P GABES
5
Programme officiel
(3ème Sc. Info)
1) Continu disciplinaire (p 33/79)

Raisonnement par récurrence

Division euclidienne dans IN.

PGCD – Nombres premiers entre eux – Lemme de Gauss – PPCM.

Nombres premiers – Théorème d’Euclide – Crible d’Ératosthène.
2) Aptitudes à développer:

Démontrer une propriété sur les entiers naturels en utilisant
par récurrence.
H. Abderrahim
L.P GABES
6
Programme officiel


(3ème Sc. Info) ( Suite)
Déterminer l’ensemble des diviseurs et l’ensemble
des multiples d’un entier naturel
Déterminer le quotient et le reste de la division
euclidienne d’un entier naturel par un entier naturel
non nul.

Calculer le PGCD et le PPCM de deux entiers naturels
non nuls.

Reconnaître qu’un entier naturel donné est premier
ou non.
H. Abderrahim
L.P GABES
7
Programme officiel (3ème Sc. Info) ( Suite)
Les élèves résolvent des problèmes…..
En particulier:

-
-
Ils développent leurs aptitudes aux raisonnements
mathématiques.
Ils résolvent des problèmes faisant appel au
divisibilité et / ou nombres premiers.
H. Abderrahim
L.P GABES
8
Pré requis
7ème de base

La division euclidienne

Critères de divisibilité par: 2, 3, 5 et 9.

Décomposition en produit des facteurs premiers Nombres premiers

Les diviseurs et les multiples d'un entier naturel PPCM et PGCD de deux entiers - Nombres premiers
entre eux.
H. Abderrahim
L.P GABES
9
Pré requis
(Suite)
1ère A Secondaire (Programme officiel p 9)

Décomposition en produit de facteurs premiers.

PPCM et PGCD.

Nombres premiers, nombres premiers entre eux.
Les élèves mobilisent une technique, un algorithme ou une procédure de
calcul pour:


Calculer le PPCM et le PGCD de deux entiers et reconnaître si deux
entiers sont premiers entre eux.
Donner la forme irréductible d'une fraction rationnelle
H. Abderrahim
L.P GABES
10
Pré requis
2ème Sc
(Suite)
(Programme officiel p 20)
1) Contenu disciplinaire

critères de divisibilité.
2) Aptitudes à développer:

-
Les élèves mobilisent une technique, un algorithme ou une
procédure de calcul pour:
déterminer le reste de la division euclidienne d'un entier par:
2, 3, 4, 5, 8, 9, 11 et 25.
- décider de la divisibilité d'un entier par: 2, 3, 4, 5, 8, 9, 11 et 25.
H. Abderrahim
L.P GABES
11
Propriétés dans IN

L’axiome du bon ordre:
Toute partie non vide de IN possède un plus petit élément.

Les axiomes de Péano
( 1858 - 1932 en Italie )
1) IN lui-même admet 0 comme plus petit élément.
2) Tout entier naturel n admet un successeur: n+1= n’.
Si m IN et m>n alors m≥n’ (n est le prédécesseur n’)
3) 0 n’a pas de prédécesseur
4) Si n’ = m’ alors n = m.
H. Abderrahim
L.P GABES
12
Propriétés dans IN
(suite)
5) Soit E un ensemble d’entiers naturels.
Si 0E et si pour tout nE, n’E alors E = IN
Remarque: le 5ème axiome est appelé le principe du raisonnement inductif.
(à démontrer à titre d’exercice)
Pour tout m IN et pour tout n  IN:
1) n +m = 0 alors n = m = 0

2) nm=0 alors n=0 ou m=0
3) nm=1 alors n=1 et m=1
Exercice: démontrer ces propositions
H. Abderrahim
L.P GABES
13
Le raisonnement inductif




1)
2)
3)
Le raisonnement inductif se fait par généralisation, par extrapolation: du
particulier au général, comme le physicien qui observe les faits et en tire une
loi générale.
Récurrence: n.f. retour, répétition
mathématiques)
(Larousse, ce mot est utilisé en musique et en
Le raisonnement par induction est une méthode de démonstration
communément appelée en France « démonstration par récurrence »
Il s’applique aux propositions qui ont des successeurs (comme les propriétés
sur les nombres) et se fait selon le schéma suivant:
La propriété est vérifiée à un rang initial n0
Pour tout entier n ≥ n0, si la propriété est vraie pour n, elle l’est pour n+1
Conclusion: la propriété est vraie pour tout entier n ≥ n0.
H. Abderrahim
L.P GABES
14
La divisibilité dans IN
•
n IN et m IN*, on dit que m divise n s’il existe q  IN tel que n = q.m
•
q est appelé le quotient de n par m
•
m est appelé un diviseur de n par m (on note: m l n
•
n est appelé un multiple de m
•
•
“l” est une relation d’ordre
Pour tout a IN*, tout b  IN et tout c  IN on a:
si alb et si a l c
alors
a l (b.x + c.y)
(x,y IN)
Si alb alors 1≤a ≤b
Application: montrer que si alb et cld alors ac l bd.
En déduire que si alb et
alc alors a² l bc.
H. Abderrahim
L.P GABES
15
Détermination des diviseurs d’un entier

On peut saisir cette occasion pour rappeler les critères de divisibilité
par certains entiers.
Si n = p0n0 x p1n1 x p2n2 x….x pknk est la décomposition dans IN de
l’entier n en produit de facteurs premiers alors n possède:
(n0 + 1)(n1 + 1)(n2 + 1)…(nk + 1) diviseurs.



Il existe des diverses méthodes pour déterminer les diviseurs d’un
entier n dont l’arbre de choix (voir exemple traité avec Excel)
Applications: 1) Montrer que 4 divise 5n + 19
(n IN)
2) Un entier naturel a 5 diviseurs. A quoi n peut - il être égal?
H. Abderrahim
L.P GABES
16
Diviseurs et multiples d’un entier

d divise a = p0n0 x p1n1 x p2n2 x….x pknk ( pi entier premier)

il existe mi, 0 ≤ mi ≤ ni tels que d= p0m0 x p1m1 x p2m2 x….x
pkmk

m est multiple de a = p0n0 x p1n1 x p2n2 x….x pknk

il existe mi, 0 ≤ ni ≤ mi tels que m = p0m0 x p1m1 x p2m2 x….x
pkmk
H. Abderrahim
L.P GABES
17
La division euclidienne dans IN
Lemme d’Archimède
Si a et b sont deux entiers naturels tels que b ≠ 0 alors il existe un entier naturel
non nul a tel que: p.b > a

Théorème de la division euclidienne
Soient a et b deux entiers natures tels que b ≠ 0 alors il existe un couple unique
d’entiers naturels (q , r) tels que a = b.q + r et 0 ≤ r < b.

( à démontrer )
En pratique, on encadrera a par deux multiples consécutifs de b:
m1≤ a < m2 et on aura q le qutient de m1 par q et r= a - m1


Avec l’outil informatique: certains logiciels peuvent servir à déterminer q
et r. Exemples: Excel, Maple, Turbo Pascal…
H. Abderrahim
L.P GABES
18
La division euclidienne dans IN : Applications
1) Montrer que le carré de tout entier impair est de la forme 4k+1 puis déduire
que 111111 n’est pas un carré.
2) Montrer que si r et s sont les restes respectifs des divisions euclidiennes de a
par n et de b par n alors les restes des divisions euclidiennes de a+b, a-b,
a.b et ak sont respectivement: r + s, r – s, r.s et rk
3) Le jeu Fort Boyard: Dans une épreuve de ce jeu télévisé, un candidat est
opposé au ‘‘maître des jeux’’. Face à un alignement de 23 bâtonnets, chacun
doit à son tour de rôle retirer 1,2 ou 3 bâtonnets au choix. Celui qui retire le
dernier perdra.
Le candidat commence. Quelle stratégie doit-il adopter pour gagner à coup
sûr?
4) Sachant que le 1er Janvier 2007 était un lundi, àquel jour de la semaine
correspondra 1er Janvier 2030?
H. Abderrahim
L.P GABES
19
PGCD de deux entiers non nuls
Soient Da et Db les ensembles des diviseurs respectifs de deux entiers non
nuls a et b.
Da Db est non vide et fini alors il possède un plus grand élément d qu’on
appelle PGCD de a et b et qu’on note: a b.


(d= a b) sig (d divise a, divise b et il est divisible par tout diviseur commun
à a et b)
1) Le PGCD de deux entiers est unique.
2) Si b l a alors b = a b
3) Si a, b et k sont trois entiers non nuls alors ka kb = k(a b)
4) 5) Si a et b sont deux entiers non nuls tels que b ≤ a
alors a b= (a- b)  b

H. Abderrahim
L.P GABES
20
Détermination du PGCD de deux entiers
non nuls
6) Si a et b sont deux entiers non nuls tels que a = bq+r avec 0 ≤ r<b alors
a b= b  r

Le PGCD de deux entiers naturels est le dernier reste non nul de la suite des
divisions euclidiennes dans l’algorithme d’Euclide.

Cet algorithme est performant lorsque a et b n’ont pas une décomposition en
produit de facteurs premiers qui soit immédiate.

Avec l’outil informatique: certains logiciels peuvent servir à déterminer
a b. Exemples: Excel, Maple, Turbo Pascal…

Application: Démontrer les propositions 5) et 6)
H. Abderrahim
L.P GABES
21
Entiers étrangers
(premiers entre eux)

(Deux entiers a et b sont étrangers ou premiers entre eux) sig (a  b= 1)

si
(d= a b) alors (a/d et b/d sont étrangers)

si
(d= a b) alors a = da’ et b = db’ avec a’ et b’ étrangers.

si
(d= a b) alors (il existe deux entiers u et v tels que au + bv = d)

En particulier si a et b sont étrangers alors au + bv = 1: c’est l’égalité de
Bézout.

Application: 1) T.P 2 p301 du manuel scolaire de la 3ème Sc. Info
2) Résoudre dans IN les systèmes:a)2x+13y=75 et x  y= 5
b) xy=1351368 et x  y = 274
H. Abderrahim
L.P GABES
22
PPCM de deux entiers naturels non nuls

m est le PPCM de deux entiers naturels non nuls a et b si a est
multiple à la fois de a et b et pour tout multiple commun
et b on a ml. On note: m = a  b.

a, b et k étant trois entiers non nuls, ka  kb = k(a  b).

(a  b).(a b) = a.b

 de a
Application: Déterminer deux entiers naturels a et b tels que a b= 22
et a  b=1122
H. Abderrahim
L.P GABES
23
Lemme de Gauss

et Conséquences
Soit a,b et c trois entiers non nuls
Si
(a l bc) et si (a b = 1) alors
(al c).

Si a et b divisent un entier c et si a et b sont étrangers alors ab divise c

Si un nombre premier p divise le produit ab alors p divise b ou c.

Soit p,a et b sont trois nombres premiers. Si p l ab alors p=a ou p=b

La décomposition en facteurs premiers est unique ( à l’ordre près)

Si p est premier avec certains entiers alors il est premier avec leur
produit
H. Abderrahim
L.P GABES
24
Lemme de Gauss:



Conséquences (Suite)
L’ensemble des diviseurs communs à a et b est L’ensemble des
diviseurs de a b
L’ensemble des multiples communs à a et b est L’ensemble des
multiples de a  b.
Applications:
1) Activités 4, 5 et 6 page 135 du manuel scolaire.
2) Montrer que la somme des carrés de deux entiers impairs n’est jamais
un carré parfait
H. Abderrahim
L.P GABES
25
Nombres premiers

Un entier naturel n >1 est dit premier s’il n’a pas de diviseurs dans IN
autres que 1 et lui-même.

Un entier naturel n >1 est dit composé s’il n’est pas premier

Par définition 1 n’est pas premier.

Théorème d’Euclide: L’ensemble des nombres premiers est infini

Application: Montrer que tous les nombres premiers, sauf 2 et 3 sont
de la forme 6k+1 ou 6k+5 où k est un entier quelconque. Que pensezvous de la réciproque?
H. Abderrahim
L.P GABES
26
Quelques conjectures



Le nombre 2x3x5…xp + 1 (où p est un nombre premier) est premier pour
p=2, 3, 5, 7 et 11 mais n’est pas premier pour p=13, 17 et 19.
Les repunités Rn: R2 = 11, R3 = 111 et R5 = 11111 …Il a été démontré en
1985 que pour n ≤ 10000, seuls les 5 nombres R2, R19, R23, R317 et R1031
sont premiers.
Polynôme d’Euler (Activité 3 p303 du manuel 3ème Sc.Info): f(n) =n² + n + 41. On
montre que f(n) est premier pour n = 0, 1, 2,…39 et 42, mais f(40) et f(41)
sont composés.

Nombres de Mersenne: Mp = 2p - 1 (où p est un nombre premier). Mp est
premier pour une infinité de valeurs de p.

Nombres de Fermat: Voir p6 de la partie Word de cette fiche d’animation.
H. Abderrahim
L.P GABES
27
Théorème fondamental de l’arithmétique

Tout entier naturel n supérieur ou égal à 2 se
décompose en un produit fini de nombres premiers.
Décomposition canonique: Pour tout entier naturel n
supérieur ou égal à 2 on a:
n = p0n0 x p1n1 x p2n2 x….x pknk où les pi sont premiers.

H. Abderrahim
L.P GABES
28
Petit théorème de Fermat


Petit théorème de Fermat: Si p est un nombre premier et a est un entier
naturel non divisible par p alors p divise ap – a.
ِCorollaire: Si p un nombre premier et a un entier naturel
alors


p divise ap – a
( Démonstration: p149 du manuel scolaire de la 3ème M)
S’il existe un entier p tel que p ne divise pas ap – a alors p n’est pas
premier. Faîtes attention à la réciproque: 561 divise 2561-2
Application: Juger la primalité de 391 .
Grand théorème de Fermat ou théorème de Fermat – Wiles: pour n=4
L’équation x4 + y4 =z4 ne possède pas des solutions non triviales en nombres
entiers

H. Abderrahim
L.P GABES
29
Le crible d’Eratosthène
H. Abderrahim
L.P GABES
30
Crible cité par El - Kalasadi

Voir « Attabsira Al-wadhiha » à partir
de la page 59
H. Abderrahim
L.P GABES
31
Le crible de Sundaram
T
C0
C1
C2
L0
9
15
21
L1
15
25
L2
21
L3
ِC
(Indien)
C4
C5
…
…
…
…
…
35
…
…
…
…
35
49
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
L4
…
…
…
…
…
…
…
L5
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
3
H. Abderrahim
L.P GABES
32
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