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Chaos - Université du Sud - Toulon

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Le Chaos en quelques mots…
JEAN-MARC GINOUX
Maître de Conférences en Mathématiques Appliquées
ginoux@univ-tln.fr
http://ginoux.univ-tln.fr
Laboratoire P.R.O.T.E.E.,
I.U.T. de Toulon, Université du Sud,
B.P. 20132, 83957, LA GARDE Cedex, France
Le Chaos en quelques mots…
Chaos originel Théorie du ChaosNon-linéarité
Déterminisme
Systèmes
Rétroaction
Sensibilité aux Conditions Initiales (S.C.I.)
Chaos Déterministe ?
Attracteur Etrange
Dimension Fractale
Effet Papillon
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Le Chaos en quelques mots…
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Le Chaos en quelques mots
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Chaos :
du grec (χάος) khaos :
« état de confusion des éléments ayant
précédé l'organisation du monde »
« toute sorte de confusion, de désordre »
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Le Chaos en quelques mots…
Système Dynamique :
Représentation mathématique d’un phénomène
observé en terme d’équations différentielles
décrivant son évolution temporelle.
Système Conservatif :
Conservation de l’énergie (pendule non-amorti)
Système Dissipatif :
Non-conservation de l’énergie (pendule amorti)
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Système Conservatif :
Le pendule non-amorti
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Système Dissipatif :
Le pendule amorti
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Système Dynamique Intégrable :
 Solution
analytique
Système Dynamique Intégrable :
 Pas
de solution analytique
 Solution numérique (ordinateur)
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Equation Algébrique :
représentation analytique de l’équation d’une courbe
Résoudre une équation algébrique c’est chercher le
ou les points d’intersection de cette courbe avec
l’axe horizontal dans un repère cartésien.
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Résoudre : x – 1 = 0
y
4
2
0
x
2
4
4
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2
0
2
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4
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Le Chaos en quelques mots…
Résoudre : x2 + x – 1 = 0
y
2
1
0
x
1
2
2
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1
0
1
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Le Chaos en quelques mots…
Résoudre : x5 - 5x3 + 4x = 0
y
4
2
0
x
2
4
3
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2
1
0
1
2
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Le Chaos en quelques mots…
A toute courbe correspond-il une équation analytique ?
A toute équation analytique correspond-il une courbe ?
Non, comme le démontra Poincaré en 1881 il existe
des « courbes définies une équation différentielle »
Ainsi, les solutions, i.e., les intégrales
de systèmes dynamiques sont des courbes.
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Système dynamique intégrable :
La solution est une courbe
dont on peut expliciter l’équation analytique.
Système dynamique non-intégrable :
La solution est toujours une courbe
MAIS dont on NE peut PLUS
expliciter l’équation analytique.
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Le pendule non-amorti
Vitesse
2
vitesse
1
angle
angle
Angle
0
1
2
2
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1
0
1
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Le modèle de Vito Volterra
thons
6
C
5
(AB) : S  et T 
4
(BC) : T  et S 
3
(CA) : S  et T 
2
(AC) : T  et T 
…….
B
1
A
0
0
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1
2
3
4
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5
6
sardines
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Intégrable ou non Intégrable ?
La présence d’un terme non-linéaire est une
condition nécessaire (mais pas suffisante) de
non-intégrabilité d’un système dynamique
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Déterminisme :
Capacité à « prédire » le futur d’un phénomène
à partir d’un évènement passé ou présent
Déterminisme et intégrabilité
Tout système dynamique intégrable est déterministe.
Un système dynamique non-intégrable
peut être ou ne pas être déterministe.
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Tout système dynamique
déterministe est- il intégrable ?
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Poincaré et le problème des trois corps :

Tout système déterministe n’est pas intégrable.

La prédiction de l’évolution de la trajectoire
de la Terre à long terme est impossible.
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Conditions d’obtention du chaos :
Un système dynamique
 déterministe
 non-intégrable
 trois variables
 termes non-linéaires
peut être « chaotique ».
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La signature du chaos (H. Poincaré, 1908)
La sensibilité aux conditions initiales
« Une cause très petite, qui nous échappe, détermine un effet
considérable que nous ne pouvons pas ne pas voir,
et alors nous disons que cet effet est dû au hasard. (...).
Il peut arriver que de petites différences dans les
conditions initiales en engendrent de très grandes dans les
phénomènes finaux. Une petite erreur sur les premières
produirait une erreur énorme sur les derniers.
La prédiction devient impossible
et nous avons le phénomène fortuit. ».
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La signature du chaos (E. Poe, 1843)
La sensibilité aux conditions initiales
« ... Car, relativement à la dernière partie de la supposition, on
doit considérer que la plus légère variation dans les
éléments des deux problèmes pourrait engendrer les plus
graves erreurs de calcul, en faisant diverger absolument les
deux courants d’évènements ; à peu prés de la même
manière qu’en arithmétique une erreur qui, prise
individuellement, peut être inappréciable, produit à la
longue, par la force accumulative de la multiplication, un
résultat effroyablement distant de la vérité ... »
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La signature du chaos (H. Poincaré, 1908)
La sensibilité aux conditions initiales
« Pourquoi les météorologistes ont-ils tant de peine à prédire le temps avec quelque
certitude ? Pourquoi les chutes de pluie, les tempêtes elles-mêmes nous
semblent-elles arriver au hasard, de sorte que bien des gens trouvent tout
naturel de prier pour avoir de la pluie ou du beau temps, alors qu'ils jugeraient
ridicule de demander une éclipse par une prière ? Nous voyons que les grandes
perturbations se produisent généralement dans les régions où l'atmosphère est
en équilibre instable. Les météorologistes voient bien que cet équilibre est
instable, qu'un cyclone va naître quelque part ; mais où, ils sont hors d'état de le
dire ; un dixième de degré en plus ou en moins en un point quelconque, le
cyclone éclate ici et non pas là, et il étend ses ravages sur des contrées qu'il
aurait épargnées. Si on avait connu ce dixième de degré, on aurait pu le savoir
d'avance, mais les observations n'étaient ni assez serrées ni assez précises, et
c'est pour cela que tout semble dû à l'intervention du hasard. »
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L’effet papillon (E. Lorenz, 1963)
« Cela implique, que deux états qui ne diffèrent que
par d’infimes quantités peuvent évoluer vers deux
états totalement différents. Partant de là s’il y la
moindre erreur dans l’observation d’un état au
temps présent, et de telles erreurs semblent
inévitables dans n’importe quel système réel, il se
pourrait bien qu’il soit impossible de faire une
prédiction valable de ce que deviendra cet état
dans un futur lointain. »
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The
Butterfly
Effect
L’effet
papillon
Prédictabilité:
Predictability:
Le battement d’ailes d’un papillon au Brésil
Does the Flap of a Butterfly’s Wings
peut-il déclencher une tornade au Texas ?
in Brazil Set off a Tornado in Texas ?
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« Attracteur étrange »

Attracteur : quelle que soit la condition initiale
choisie (dans un certain voisinage) la trajectoire
aboutira inexorablement sur cette surface-papillon.

Etrange : les trajectoires dessinent une surface dont
la dimension n’est pas entière et égale à 2 mais
fractale, c’est-à-dire non-entière.
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Les fractales (B. Mandelbrot, 1975)
Les fractales sont des objets de

Dimension non-entière, fractale, i.e., possédant
une dimension qui se situe par exemple entre
celle d’une surface et celle d’un volume.

Auto-similaire, i.e., dont chacune des parties
représente un motif qui est celui de l’objet lui-même.
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La biscotte fractale
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L’auto-similarité
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Le triangle
de de
Sierpinski
Le flocon
Koch
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Conclusion :

Le terme « Chaos » fut introduit pour la première
fois en 1975 dans un article intitulé : « Period three
implies Chaos ».

Le concept « d’attracteurs étranges » a été défini en
1971 par David Ruelle et Floris Takens.

Le premier exemple d’attracteur chaotique a été
découvert en 1963 par Edward Lorenz.
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