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Analyse Spectrale de Fourier

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Analyse Spectrale de Fourier
- définition de la densité spectrale de puissance
- erreurs aléatoires : propriétés des estimateurs
- effet de biais
- effet des fenêtres fuites
- les Unités
analyse spectrale
1
Analyse Spectrale de Fourier
densité spectrale de puissance : définition
• x(n) ‘ signal ’ aléatoire, stationnaire (ergodique)
• n: [-,+]
• T=1
• 2 formulations équivalentes :
• transformée de Fourier de la Fonction d ’autocorrélation

S ( f )   r (l )e
xx
l  
xx
 2  jfl
;
r ( l )  E x(n  l)x(n)  fct d' autocorrél ation
xx
• moyenne (d ’ensemble) du module carré de la T de Fourier
S ( f )  lim
xx
 1
E
 x (n )e
2
N

1

N /2
N 
n N / 2
 2  jnf



analyse spectrale
2
Analyse Spectrale de Fourier
densité spectrale de puissance : estimateur
• x(n) ‘ signal ’ aléatoire, stationnaire (ergodique)
• n: [-1,N], nombre de points fini
• T=1
• 2 estimateurs
(équivalents quand N>>>)
:
• corrélogramme
N
Sˆ ( k )   rˆ ( l ) e
xx
k 1
 2  jkl / N
xx
;
rˆ ( l ) 
xx
1
N
 x(n  l).x(n)
N -k

1
• périodogramme
Sˆ
 1
(k )  
 x (n )e
N
N
xx / per
n 1
2
 2  jnk / N

  X (k )

2
analyse spectrale
3
Analyse Spectrale de Fourier
estimateur du périodogramme
• On utilise l ’estimateur du périodogramme : calcul avec la FFT.
• Propriétés de l ’estimateur :
• biais : =E [Sxx/per(k)] = Sxx(k) quand N>>
» sans biais asymtotiquement
• variance : = E[Sxx/per(k)- ]²  S²xx/per(m)
» la variance est très importante !!
analyse spectrale
4
Analyse Spectrale de Fourier
estimateur du périodogramme
Bruit blanc filtré passe-bas
superposition de [20 FFT]² calculées
sur des tranches de 256 points
running psd
2
10
0
10
-2
10
-4
10
-6
10
-8
10
hit any key to continue
0
20
40
60
80
analyse spectrale
100
120
140
5
Analyse Spectrale de Fourier
périodogramme Moyenné: contrôle de la variance(1)
• D ’où l ’idée de moyenner l ’estimateur du périodogramme sur
plusieurs ‘ tranches ’ du signal. (Moyenne d ’ensemble) -WELCHSˆ
xx / per / moy
(k ) 
1
1
M
M
 Sˆ
m
xx / per
(k )
N points par tranche
m 1
2
S1
M
m
S2
SM
Sm
( Sm)/M
S
analyse spectrale
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Analyse Spectrale de Fourier
périodogramme : effet du moyennage
Bruit blanc filtré passe-bas
moyenne de [2 FFT]² calculées
average &
5
true ps d
10
0
10
-5
10
-10
10
-15
10
-20
10
hit
0
any
k ey to c ontinue
20
40
60
80
100
120
140
Moyennage de 20 [FFT]²
average &
5
true ps d
10
0
10
-5
10
-10
10
-15
10
-20
10
hit
0
any
k ey to c ontinue
20
40
60
80
analyse spectrale
100
120
140
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Analyse Spectrale de Fourier
propriétés du périodogramme moyenné
• Le moyennage permet de diminuer la variance. Le biais ne change
pas puisqu ’il ne dépend que de N (longueur chaque tranche).
• Propriétés de l ’estimateur :
• biais : =E [Sxx/per/moy(k)] = Sxx(k) quand N>>
» sans biais asymtotiquement
• variance : = E[Sxx/per/moy(k)- ]²  S²xx(k)/M
» la variance diminue en 1/M !!
• Écart-type: =S(k)/M
• ps: les résultats sont obtenus en supposant une distribution gaussienne
ainsi qu ’une indépendance des tranches.
analyse spectrale
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Analyse Spectrale de Fourier
Périodogramme Moyenné par recouvrement
• il faut augmenter M pour diminuer la variance
•
le TEMPS d ’ANALYSE Tmax >N.M.T peut être prohibitif
Sˆ
1
xx / per / moy
(k ) 
1
M
M
 Sˆ
m
xx / per
(k )
N points par tranche
m 1
2
m
M
S1
S2
Sm
SM
( Sm)/M
S
analyse spectrale
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Analyse Spectrale de Fourier
périodogramme moyenné :recouvrement(2)
• Une méthode pour diminuer Tmax . On fait recouvrir les tranches .
Mais Les tranches ne sont plus ‘ indépendantes ’:
• la variance décroît moins vite avec N
• les fenêtres contribuent à rendre ‘ indépendantes ’ les tranches
Fenêtre rectangulaire
Fenêtre type Hanning
analyse spectrale
10
Analyse Spectrale de Fourier
périodogramme :contrôle du biais
• Estimateur asymtotiquement non biaisé
– il faut augmenter N (c ’est-à-dire augmenter la résolution
fréquentielle) pour diminuer le biais
• si f =1/NT trop grand :
– sous estimation des maximum (pics)
– sur-estimation des minimum
• en général T fixé par l ’analyse  N
• une régle pratique : pour un ‘ pic ’ de largeur f0 :
– il faut choisir N tel que : f = 1/NT < f0/4
– pour un système à 1ddl avec amortissement visqueux .
» f0=2 fr r
fr f résonance; r amortissement réduit
analyse spectrale
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Analyse Spectrale de Fourier
effet des fenêtres : exemple
• Démo ‘ fuites ’ (voir DFT)
– 1 sinusoïde dont la fréquence correspond à une raie FFT
– 1 sinusoïde dont la fréquence se situe entre 2 raies
• - comparaison des fenêtres de Hanning et rectangulaire
• l ’effet des raies latérales dues à une fenêtre font augmenter la
puissance .
• Ceci est corrigé en divisant par ‘ la puissance équivalente de la
fenêtre ’. Voir tableau chapitre ‘ DFT ’. La correction est faite sur les
analyseurs.
analyse spectrale
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Analyse Spectrale de Fourier
Ajout de zéros : zeros padding
• Objectifs :
• augmenter la taille de la tranche pour avoir N = puissance de 2
• augmenter la résolution ???
• Intérêts : les transitoires, signaux courts
• résultats :
• interpolation entre les points DFT calculés sans l ’ajout de
zéros
• la fonction d ’interpolation est liée à la fenêtre de pondération l
analyse spectrale
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Analyse Spectrale de Fourier
Ajout de zéros : exemple
• démo fouzéros
analyse spectrale
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Analyse Spectrale de Fourier
Unités : signaux continus
• Signaux périodiques

x (t )   C e

 2  jt / T
C
n
PUISSANCE
n
moyenne
en Volts
en V² :
1
T
T
0

 x ( t )dt   C
2
2

n
• Signaux non-périodiques

x (t )   X ( f )e
 2  jft
X ( f ) en Volts/Hert z

- ENERGIE


-
-
: E   x²(t)dt   X(f) ²df
(E  V².sec -
- PUISSANCE
: P 
X(f)  V².sec/Hz)
1


X(f) ²
T
-
-
T
 x²(t)dt  
(signal stationnai re ) : (P  V² -

df   S ²(f)df
-
X(f) ²
xx
 V²/Hz)
T
analyse spectrale
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Analyse Spectrale de Fourier
Unités : signaux discrets
• Discret :
–
–
–
–
T
dt
df





N.T
T
 f=1/N T

• l ’ENERGIE totale T= N.T
N
E  P .T   x ²( t ) dt   x ²( n )  T
t
moy
n 1
• V².sec
• or à cause de la division par N dans la DFT inverse, Parseval s ’écrit:
N
1
i 1
N
 x ²( t ) 
P
moy
•
N
N
k 1
k 1
 X ( k ) ²   S ( k ) puissance
 E / NT 
t
1
N²
xx
N
N
k 1
k 1
 X ( f ) ²   S ( f )f
xx
 E 
t
T
N
N
 X( f )²
k 1
d' où la DSP S ( m ) 
xx
T
X (m ) ²
N
rem: on introduit un facteur 2 pour tenir compte des fréquences négatives
analyse spectrale
16
Analyse Spectrale de Fourier
Unités : résumé
• x( ) en Volts
• Puissance
• V²
DS Puissance
V²/Hz
Energie
V².sec
DS Energie
V².sec/Hz=V².sec²
• amplitude
• V
V/Hz
V.  sec
V.sec
analyse spectrale
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Analyse Spectrale de Fourier
Unités : signaux discrets, exemple
-2
Red=V2/Hz Gr=V2 Yel=V/(Hz)0.5 Blue=V2-Sec2
10
-3
10
-4
10
-5
10
-6
10
-7
10
-8
10
0
hit any key to quit
10
20
30
40
50
60
70
Hz
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