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MODELE DE VISCOSITE TUBULENTE ET THEORIES
DE SIMILITUDES
Expression empirique des contraintes de Reynolds
Fermeture des équations
Equation de Navier Stokes
4 éq. 4 inconnues
Expression empirique des contraintes de Reynolds
Fermeture des équations
Décomposition de Reynolds
Il manque une équation pour :
Expression empirique des contraintes de Reynolds
Fermeture des équations
à partir de :
On peut obtenir une équation pour
,
mais elle fera intervenir
qui nécessite une autre équation (pb sans fin !)
Il faut fermer le système à un moment donné
Expression empirique des contraintes de Reynolds
Fermeture des équations
A l'ordre le plus bas, il suffit de trouver une expression pour
les contraintes de Reynolds :
Modèle de viscosité turbulente
Une idée (Boussinesq 1890) est "de copier" la contrainte pour un écoulement Newtonien :
partie isotrope :
partie isotrope :
Modèle de viscosité turbulente
L'expérience montre que la viscosité turbulente n'est pas universelle :
Il faut donc faire un modèle pour
et pour k.
Remarque :
En posant :
: une forme semblable à Navier-Stokes
Modèles de viscosité turbulente
Modèle de la longueur de mélange :
Modèle à une équation :
Modèle à 2 équations :
c'est le modèle k-epsilon.
Modèle de viscosité turbulente
Longueur de mélange
Analogie avec les gaz parfaits
• Libre parcours moyen
• Vitesse d'agitation thermique
La viscosité augmente avec la température
Approximation de couche limite
Ecoulements statistiquement 2D, W=0.
Approximation de couche limite
Jet plan et circulaire (axisymétrique)
Couche de mélange
Sillage plan et axisymétrique
Ecoulement de paroi: plaque plane,
tuyau, canal....
Approximation de couche limite
Les termes entre accolades sont négligeables pour la couche limite laminaire (MF 102)
Approximation de couche limite
quand y∞, la pression est p0(x)
et le gradient de pression longitudinal: :
Approximation de couche limite
Le terme qui dépend de la viscosité sera négligé pour les écoulements
turbulents libres (pas de condition d'adhérence)
Il sera gardé pour les écoulements turbulents de parois (principe de
moindre dégénérescence, MF 102), car c'est ce terme qui permet de
réaliser la condition d'adhérence.
Exemple d'écoulement libre : Jet Plan
• Etalement linéaire : (x)  S x,
• Vitesse d'entrainement  Le jet entraine le
fluide initialement au repos autour de lui : son
débit augmente avec x.
Exemple d'écoulement libre : Jet Plan
Largeur à mi-vitesse (i.e. (x))
(résultats expé.)
 approximation de couche limite
Exemple d'écoulement libre : Jet Plan
Equation de l'écoulement moyen
(pas de gradients de pression, pas
d'adhérence)
d'où le flux de quantité de mouvement longitudinal
est conservé :
= constante
Exemple d'écoulement libre : Jet Plan
Hypothèse de similitudes
Conséquence pour le flux :
Exemple d'écoulement libre : Jet Plan
Conséquence sur l'équation de l'écoulement moyen
de la forme :
(les bi sont indép.)
Exemple d'écoulement libre : Jet Plan
Pour avoir la forme du profil des vitesses il faut
modéliser le tenseur de Reynolds :
L'hypothèse de similitude, rend la viscosité
turbulente autosimilaire :
(longueur de mélange)
Exemple d'écoulement libre : Jet Plan
Exemple d'écoulement de paroi: plaque plane
Equation de l'écoulement moyen
Contrainte à la paroi :
y=0
y=0
Exemple d'écoulement de paroi: plaque
approximation couche limite
s'intègre en :
Exemple d'écoulement de paroi: plaque
On définie une vitesse et une taille caractéristiques de la
proche paroi :
Exemple d'écoulement de paroi: plaque
sans gradient de pression
dominé par la turbulence
avec :
Profil log des vitesses :
dominé par la viscosité
Profil linéaire des vitesses :
Exemple d'écoulement de paroi: plaque
Exemple d'écoulement de paroi: plaque
Conséquence de la région Log.
La couche limite turbulente est moins
déficitaire en quantité de mouvement que
la couche limite laminaire
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