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C 4

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PROPRIETES DE LA TURBULENCE
Production d'une gamme d'échelles
caractère universel
Cascade de Richardson
U
L
Re>>1
Temps nécessaire pour "se casser" en
tourbillons plus petits : L/U = (L2/)/Re
L, U
Temps nécessaire pour dissiper son
énergie par diffusion moléculaire : L2/
Dissipation visqueuse
Puissance injectée dans l'écoulement est entièrement déterminée par
les premières étapes qui sont indépendantes de la viscosité
La puissance moyenne injectée par la grande échelle dans la
cascade par unité de masse:
Pour une turbulence statistiquement stationnaire en énergie :
La puissance dissipée par unité de masse <> ne dépend pas
de la viscosité.
Dépendance avec la viscosité
Couple adimensionné (U et )
Base de la théorie de A. Kolmogorov
ISOTROPIE : il existe une échelle <L à partir de laquelle, les mouvements ont oublié le contexte
inhomogène et anisotrope par lequel la turbulence a été produite.
à cette échelle , le nombre de Reynolds est 1,  est l'échelle de dissipation visqueuse
H1
H2
Interprétation à la Richardson
=LRe-3/4
Profondeur de la gamme d'échelles : L/
Contenu spectral de l'énergie cinétique en
échelles spatiales
Succès de la théorie
Pour tout Re, l'échelle
de dissipation est bien
donnée par 
Profondeur de la gamme d'échelles : L/
=LRe-3/4
Problématiques de la turbulence
• Coût du calcul pour la résolution numérique des
équations de NS.
Profondeur de la gamme d'échelles : L/ ~Re3/4
Nombre de points de maillage :
Nombre de pas de temps :
Voiture, train, avion, turbulence atmosphérique : Re>>106
D'où l'idée de modéliser la cascade sans avoir à résoudre
toutes les échelles...
Décomposition en :
• un champ moyen caractéristique du forçage
• un champ fluctuant caractéristique de la cascade
Décomposition de Reynolds
Idée : moyennage des équations de Navier Stokes
Moyenne d'ensemble :
On répète N fois la même expérience, et on moyenne les N
réalisations qui ont été obtenues au bout du temps t.
Moyenne temporelle :
Ergodicité si les deux moyennes coïncident.
Exemple de moyenne d'ensemble et temporelle :
Sillage d’un cylindre en oscillation
forçée par l’écoulement
Visualisation
U
Exemple de moyenne d'ensemble et temporelle :
Sillage d’un cylindre en oscillation
forçée par l’écoulement
Champ de vitesse + Vorticité
U
Exemple de moyenne d'ensemble et temporelle :
Sillage d’un cylindre en oscillation
forçée par l’écoulement
Champ de vitesse + Vorticité
U
 
 
Moyenne temporelle : u ( x , t )  U ( x )
Exemple de moyenne d'ensemble et temporelle :
Sillage d’un cylindre en oscillation
forçée par l’écoulement
U
 
 
Moyenne d'ensemble : u ( x , t1 )  U ( x , t1 )
Axiomes (importants pour pratiquer le moyennage des équations de NS)
Pour toutes prises de moyennes (ensemble ou temporelle) :
Equations de Reynolds
Décomposition (moyenne temporelle) :
Equations de Reynolds : moyennage des équations de Navier-Stokes
Equations de Reynolds : moyennage des équations de Navier-Stokes
Equations de Reynolds : moyennage des équations de Navier-Stokes
Pour le champ moyen :
accélération
contrainte
isotrope de
pression
moyenne
contrainte
visqueuse
moyenne
contrainte
turbulente
moyenne
Contraintes
de Reynolds
Les contraintes de Reynolds sont des contraintes de
l'objet : "écoulement moyen"
Pour l'écoulement instantanné, les seules contraintes
sont celles liées à la pression et à la viscosité (NavierStokes)
Bilan d'énergie cinétique
L'énergie cinétique par unité de volume :
En intégrant sur tout l'écoulement
Equation de l'écoulement fluctuant
Bilan d'énergie cinétique fluctuante
L'énergie cinétique fluctuante par unité de volume :
Redistribue
Production Chaleur
Turbulence stationnaire en énergie, et isotrope :
"Boîte de l'ingénieur"
Ecoulement
moyen
modèle pour les contraintes de Reynolds
Modèle de viscosité turbulente
pour des écoulements
autosimilaires
"Boîte du Physicien"
Cascade
turbulente
Formation des petites structures à partir de
Navier Stokes et densité spectrale d'énergie.
Bilan d'énergie cinétique
L'énergie cinétique par unité de volume :
En turbulence la viscosité n'est plus une grandeur pertinente pour l'écoulement
moyen (Premières étapes de la cascade de Richardson).
En intégrant sur tout l'écoulement
Puissance transférée à l'agitation turbulente
= Puissance dissipée pour l'écoulement
moyen
Propriétés des deux champs liées à l'incompressibilité
Le champ moyen est incompressible
Propriétés des deux champs liées à l'incompressibilité
puisque :
Le champ fluctuant est aussi incompressible
La composante i de l'équation de Navier Stokes :
avec
Equation de l'écoulement moyen
Faisons apparaitre les contraintes de l'écoulement moyen
Rappel pour les contraintes visqueuses ' d'un écoulement Newtonien :
Pour l'écoulement moyen, elles sont :
Force visqueuse moyenne :
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