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1Flou

IntégréTéléchargement
Présentation du cours

Théorie


Bases de la théorie des sous-ensembles flous
Pratique


Utiliser la théorie (exercices)
Applications FisPro
1
Maria Rifqi-Berger
Bibliographie




« La logique floue », B. Bouchon-Meunier, Quesais-je? PUF, N° 2702.
« Logique floue – exercices corrigés et exemples
d'applications », B. Bouchon-Meunier, L. Foulloy
et M. Ramdani, Cépaduès éd., 1998.
« La logique floue et ses applications », B.
Bouchon-Meunier, Addison Wesley éd., 1995
« Fuzzy sets, uncertainty and information », G.
Klir and T. Folger, Prentice Hall ed., 1988.
2
Maria Rifqi-Berger
Plan du cours



Introduction
Présentation du cours
Définitions de base




Sous-ensemble flou (sef)
Caractéristiques de sef
Opérations sur les sefs
Quelques applications commerciales de la
logique floue
3
Maria Rifqi-Berger
Introduction

L'imprécision du monde réel




Théorie des sous-ensembles flous



Le flou est partout
Le flou est humain
Le flou est plus souple
« mesurer une gradation dans l'appartenance à un
ensemble »
Une théorie mathématique formelle pour la prise en
compte de l'imprécision et des incertitudes
Article fondateur: « Fuzzy Sets », L. A. Zadeh, in
Information and Control, 1965.
4
Maria Rifqi-Berger
Gestion des imprécisions Approche conventionnelle

Dissoudre le flou puis traiter des
données précises

informations floues  informations précises
 part importante d'arbitraire



analyse de la sensibilité indispensable
plusieurs jeux de données traités un par
un
comparaison des résultats
5
Maria Rifqi-Berger
Gestion des imprécisions Approche floue

Traiter des données floues puis
dissoudre le flou



Garder le flou comme une information
Reporter la dissolution du flou le plus tard
possible et sur la décision uniquement
Accroissement de la fiabilité et de la
stabilité du système
6
Maria Rifqi-Berger
Gestion des imprécisions



Théorie des ensembles flous introduite par Lotfi
Zadeh en 1965.
Modèle mathématique pour représenter
l'imprécision et l'incertitude.
Idée des ensembles flous facile à comprendre :
Freine dans 32m50
ou
Freine bientôt


La précision n'est pas toujours utile.
Capable d'interpréter des informations
imprécises et d'agir.
Maria Rifqi-Berger
7
Ensembles classiques / Ensembles
flous

ensemble classique = ensemble des objets satisfaisant
des propriétés précises


ensemble flou = ensemble des objets satisfaisant des
propriétés imprécises


Exemple : ensemble des nombres compris entre 6 et 8
fonction caractéristique : m : R  {0, 1}
m(x) = 1 si 6  x  8
0 sinon.
Exemple : ensemble des nombres proches de 7
fonction d'appartenance : : X  [0, 1]
(x) pas unique.
différence majeure : unicité fonction caractéristique /
infinité fonction d'appartenance
8
Maria Rifqi-Berger
Théorie des sous-ensembles flous
X ensemble de référence
A sous-ensemble flou de X défini par une fonction
d'appartenance 
X  [0, 1]
Caractéristiques
 Noyau : éléments appartenant de façon absolue
Noy(A) = {x X / (x) = 1}
 Support : éléments appartenant au moins un peu
Supp(A) = {x X / (x)  0}
9
Maria Rifqi-Berger
Théorie des sous-ensembles flous

Infinité de fonctions d'appartenance possibles
flexibilité, ajustement maximal pour une situation
donnée

Ensemble flou = toujours et seulement des fonctions


Toute fonction X  [0, 1] est un ensemble flou dans
le sens mathématique. D'un point de vue sémantique,
il faut qu'une telle fonction soit interprétable à l'aide de
propriétés imprécises décrivant les éléments de X.
10
Maria Rifqi-Berger
Probabilité / Flou
ensembles flous = déguisement pour les
statistiques ?
NON
A

B
p(B) = 0.9
Quelle bouteille boirez-vous ?
11
Maria Rifqi-Berger
Probabilité / Flou


A contient par exemple de l'eau vaseuse, pas de l'acide
chlorydrique.
A est proche d'un liquide tout à fait potable.

Sur 100 bouteilles B, 90 sont potables, 10 sont
dégoûtantes voire fatales.

Il vaut mieux boire de l'eau vaseuse que de prendre le
risque de mourir.
2 philosophies différentes
12
Maria Rifqi-Berger
La théorie des sous-ensembles flous


Une extension de la théorie des ensembles classiques
Une théorie plus générale qui englobe la théorie des
ensembles classiques




La logique floue: application de la théorie des sousensembles flous pour la modélisation du raisonnement


La theorie des ensembles classiques et un cas particulier
Des choix sont à faire pour conserver certaines des propriétés
existantes dans la théorie des ensembles classiques
Toutes les propriétés ne peuvent pas être conservées en même
temps
Extension de la logique classique
La commande floue: utilisation de la logique floue pour le
contrôle de systèmes automatiques

Cas particulier de la logique floue
Maria Rifqi-Berger
13
Exemples de sous-ensembles flous

X={moto,auto,train} (moyens de transport)



A: sous-ensemble de X des moyens de transport rapides
A= 0.7 / moto + 0,5 / auto + 1.0 / train
X=[0, 130] (ensemble des âges)

A: sous-ensemble de X des âges jeunes
Jeune
1
0
15
20
30
35
X
14
Maria Rifqi-Berger
Caractéristiques d'un sef


Soit X un univers, et A un sous-ensemble flou de
fonction d'appartenance fA.
Noyau de A :


Support de A :


Supp(A) = {x  X | fA(x)>0}
Hauteur de A :


Noy(A) = {x  X | fA(x)=1}
h(A) = supx  X fA(x)
Cardinalité de A:

|A| = x  X fA(x)
15
Maria Rifqi-Berger
Opérations sur les sefs (1)



Extension des opérations de la théorie des
ensembles classiques: =, , , , complément
Soient A et B deux sefs de X, de f.d'a. fA et fB.
Égalité de sefs:


Inclusion de sefs:


A  B ssi x  X, fA (x) < fB(x)
Intersection de sefs: A  B:


A = B ssi x  X, fA (x) = fB(x)
x  X, fA∩ B (x) = min(fA (x), fB(x))
Union de sefs: A  B:

x  X, fA  B (x) = max(fA (x), fB(x))
16
Maria Rifqi-Berger
Opérations sur les sefs (2)



Certaines propriétés de la théorie des
ensembles classiques sont vérifiées (à faire en
exercice):
A U∅ = A, A ∩ ∅ = ∅, A U X = X, A ∩ X = A
Associativité de ∩ et de U :


Commutativité de ∩ et de U :


(A U B) U C = A U(B U C)
A∩B = B∩A
Distributivité de ∩ par rapport à U :


A∩(B U C) = (A∩B) U(A∩C)
A U(B∩C) = (A U B)∩(A U C)
17
Maria Rifqi-Berger
Opérations sur les sefs (3)

Complément Ac d'un sous-ensemble flou


Certaines propriétés de la théorie des ensembles
classiques sont vérifiées (à faire en exercice):




x  X, fAc (x) = 1 – fA(x)
(Ac)c = A
(A∩B)c = Ac U Bc
(A U B)c = Ac ∩ Bc
D'autres propriétés ne le sont pas (généralement):


Ac ∩A ≠∅ (contradiction)
Ac U A ≠ X (tiers exclu).
18
Maria Rifqi-Berger
Opérations sur les sefs (4)




Autres extensions des opérations de la théorie
des ensembles classiques: ∩ et U
Ces opérations sont en fait des fonctions
mathématiques F:[0,1]×[0,1]  [0,1] telle que
x, y, F(x,y)  [0,1].
L'intersection peut être réalisée en prenant
comme opérateur une t-norme (opérateur ET)
L'union peut être réalisée en prenant comme
opérateur une t-conorme (opérateur OU)
19
Maria Rifqi-Berger
Opérations sur les sefs (5)

Justification des choix des opérateurs


Les opérateurs min et max sont les seuls
opérateurs qui soient commutatifs, associatifs,
mutuellement distributifs, continus et doublement
non décroissants
D'autres opérateurs sont possibles :

conjonction normes triangulaires (t-normes)

disjonction conormes triangulaires (t-conormes)

Propriétés communes : associativité,
commutativité, monotonie, élément neutre.
Maria Rifqi-Berger
20
Normes triangulaires (t-normes)

Soit une fonction ⊤:[0,1]×[0,1]  [0,1] telle que
x, y, z  [0,1]:





Exemples de telles fonctions :



⊤(x,y) = ⊤(y,x) (commutativité)
⊤(x, ⊤(y,z)) = ⊤( ⊤(x,y),z) (associativité)
⊤(x,y) ⊤(z,t) si x  z et y  t (monotonie)
⊤(x,1) = x (1 est élément neutre)
min(x,y), x⋅y, max(x+y-1,0)
⊤ est une t-norme
Utilisée pour l'intersection ou la conjonction
Maria Rifqi-Berger
21
Normes triangulaires (t-conormes)

Soit une fonction :[0,1]×[0,1]  [0,1] telle que
x, y, z  [0,1]:





Exemples de telle fonction:



(x,y) = (y,x) (commutativité)
(x, (y,z)) = ((x,y), z) (associativité)
(x,y)  (z,t) si x  z et y  t (monotonie)
(x,0) = x (0 est élément neutre)
max(x,y), x+y-x⋅y, min(x+y,1)
 est une t-conorme
Utilisée pour l'union
22
Maria Rifqi-Berger
Dualité t-norme / t-conorme


Le choix d'une t-norme et celui d'une t-conorme est lié
Etant donné un opérateur de complémentation


Déf.: Une t-norme et une t-conorme sont duales si et
seulement si :




1 – ⊤(x,y) = (1-x, 1-y)
1 – (x,y) = ⊤(1-x, 1-y)
En terme de sous-ensembles, la dualité permet de
conserver les lois de De Morgan
Ainsi, par exemple, le min et le max sont duaux :


par exemple: fc = 1-f
on a : 1 – min(x,y) = max(1-x, 1-y) ainsi que 1 – max(x,y) =
min(1-x, 1-y)
On montre que (à faire en exercice)
les opérateurs probabilistes sont duaux

les opérateurs de Lukasiewicz sont duaux
Maria Rifqi-Berger

23
Exemples

X={moto,auto,train} (moyens de transport)



Transport rapide: A= 0.7 / moto + 0,5 / auto + 1.0 /
train
Transport familial: B= 0.1 / moto + 1.0 / auto + 0.6 /
train
X=[0, 130] (ensemble des âges)
Jeune
Salarié
1
0
15
20
30
35
55
70
X
24
Maria Rifqi-Berger
Caractéristiques d'un sef (2): -coupes

Une -coupe (alpha-coupe) d'un sef A est un
sous-ensemble classique A extrait du sef A,
défini en fonction d'un seuil   [0,1] fixé :



soit   [0,1],  x  X, x  A si et seulement si
fA(x) 
A est un sous-ensemble classique de X. (fA
prend ses valeurs dans {0,1}).
On vérifie que (à faire en exercice):



Si  >  ' alors A  A' et si B  A alors B  A
(A ∩ B) = A ∩ B , et (A  B)  = A   B 
 x  X, fA(x) = sup]0,1]  f(x) (i.e. on peut
reconstruire A à partir de ses -coupes).
25
Maria Rifqi-Berger
Relations entre sous-ensembles
flous

Relation: notion fondamentale des
mathématiques classiques


Les relations établissent des liens entre
éléments



Basée sur le produit cartésien d'ensembles
soit d'un même ensemble
soit d'ensembles différents
Elles permettent de construire des applications

une application est une relation particulière
26
Maria Rifqi-Berger
Produit cartésien de sefs



Cas où l'on désire combiner l'information venant
de plusieurs ensembles de référence
Soit X1 et X2, deux univers de référence et X leur
produit cartésien (classique), X=X1×X2, dont les
éléments sont les couples (x1,x2), x1X1 et x2X2
Déf.: Soient A1 et A2 respectivement définis sur
X1 et X2, on définit le produit cartésien A=A1×A2
comme un sef de X, de fonction d'appartenance:

x  X, x=(x1,x2), fA(x)=min( fA1(x1), fA2(x2) )
27
Maria Rifqi-Berger
Produit cartésien
X2
A2
x2
(x2 , x1)
x1
X1
A1
28
Maria Rifqi-Berger
Exemple d'application du produit
cartésien

X1={moto,auto,train} (moyens de transport)


X2={pasCher, cher} (prix)


Transport rapide: A1= 0.7 / moto + 0,5 / auto +
1.0 / train
Prix souhaité: A2= 0.7 / pasCher + 0.4 / cher
Donnez la fonction d'appartenance du
produit cartésien (transport rapide, prix
souhaité)
29
Maria Rifqi-Berger
Relations floues

Une relation floue R entre 2 ensembles de références X
et Y, est un sous-ensemble flou de XxY de fonction
d'appartenance fR



Si X et Y sont finis, R peut être représentée par la matrice M(R)
des valeurs de sa fonction d'appartenance
Exemple: la relation « est préféré à » sur XxX avec X={Train,
Voiture, Moto, Avion}
La composition de 2 relations floues R1 sur XxY et R2
sur YxZ définit une relation floue R=R1˚ R2 sur XxZ de
f.a. définie par:

(x,z) XxZ, fR(x,z)= sup y  Y min(fR1(x,y), fR2(y,z))
30
Maria Rifqi-Berger
Relation floue transitive

Transitivité : propriété très utilisée pour des
relations




si A ressemble à B, et que B ressemble à C, alors
est-ce que A ressemble à C ?
si x < y et que y < z alors x < z
Une relation floue R sur X est dite transitive si
elle vérifie RR  R.
En particulier, si on utilise la composition maxmin, on dira que la relation floue R est max-min
transitive si:

(x,z) XxZ, fR(x,z)  sup y  Y min(fR(x,y),
fR(y,z))
31
Maria Rifqi-Berger
Principe d'extension (1)

Principe d'extension: utilisé pour étendre
une fonction classique aux sefs.
32
Maria Rifqi-Berger
Entrée précise
33
Maria Rifqi-Berger
Entrée floue
34
Maria Rifqi-Berger
Principe d'extension (2)




Idée: possédant une fonction sur un univers
classique X, permettre son utilisation avec des
sefs de X.
Définition: Étant donné un sef A de X, et une
application  de X vers Y, le principe d'extension
permet de définir un sef B de Y associé à A par  :
yY, fB(y)= sup{x  X | y= (x)}fA(x) si -1(y)≠∅
0
sinon
Le sef B est l'image du sef A par la fonction .
35
Maria Rifqi-Berger
Exemple d'application du principe
d'extension (1)



X={camion, caravane, voiture, moto} (moyens de
transport)
Y={Rapide, Lente, Normale} (mesures des vitesses)
On définit la fonction  qui associe une vitesse à un
moyen de transport :



(camion)=L, (caravane)=L, (voiture)=N, (moto)=R
Nouveau véhicule: side-car= 0.5|moto + 0.4|voiture +
0.1|caravane
Mesure de la vitesse d'un side-car?



fB(L)= max(fsc(camion),fsc(caravane))=max(0, 0.1)= 0.1
fB(N)= fsc(voiture)= 0.4
fB(R)= fsc(moto)= 0.5
36
Maria Rifqi-Berger
Exemples d'application du principe
d'extension (2)

Fonction mathématique classique: (x)= x2



A un sef de [0,1] de f. a. fA, le sef B de [0,1[ de f.a.
fB qui correspond à la A2.
y Y, fB(y)= sup{x  X | y=x2} fA(x) si -1(y)≠∅
0
sinon
Mesure de surprise: (p)= -log(p)

A un sef de [0,1] de f. a. fA, le sef B de [0,1[ de f.a.
fB qui correspond à la valeur floue de surprise
causée par A.
37
Maria Rifqi-Berger
Raisonnement flou
Variables
linguistiques et propositions floues
Variables
linguistiques
Proposition floue générale
Implication floue
Raisonnement
Flou
Modus
ponens classique
Modus ponens généralisé
Application
du Modus ponens généralisé
38
Maria Rifqi-Berger
Variable linguistique

Une variable linguistique est représentée par un triplet
(V, XV, TV)
V : nom de la variable (age, taille, température, longueur,...)
XV : univers des valeurs prises par V (ℝ,...)
TV = {A1, A2, ...} : ensemble de sous-ensembles flous de XV,
utilisés pour caractériser V.




Par exemple: (Age-Personne, [0,130], {Très-jeune,
Jeune, Agé})
Très-jeune
Jeune
Agé
1
0
Age
39
Maria Rifqi-Berger
Proposition floue
Proposition floue élémentaire : qualification « V
est A » d'une variable linguistique (V, XV, TV)


Par exemple: « Age-personne est jeune »
Proposition floue générale : composition de
propositions floues élémentaires de variables
linguistiques qui peuvent être distinctes

Soit « V est A » p.f.e. de (V, XV, TV), et « W est B »
p.f.e. de (W, XW, TW),
 Exemples de proposition floue générale :

«
V est A et W est B »
 « V est A ou W est B »
40
Maria Rifqi-Berger
Valeur de vérité d’une proposition
floue
Proposition classique : valeur de vérité  {0, 1} (FAUX ou
VRAI)
 Proposition floue : la valeur de vérité est un sous-ensemble
flou à valeurs dans [0,1]
 Valeur de vérité pA de « V est A » : fA fonction
d'appartenance de A
 Négation: « V n'est pas A » : pAc= fAc = 1-fA
 Valeur de vérité p d'une proposition floue générale :
agrégation des valeurs de vérité pA et pB de chaque
proposition floue élémentaire

 Le
type d'agrégation dépend de la composition réalisée (et, ou,...)
Conjonction « V est A et W est B » : pAB= min(pA, pB)
 Disjonction « V est A ou W est B » : pAB= max(pA, pB)

Maria Rifqi-Berger
41
Implication floue
Règle de production : lien particulier (implication) entre 2
propositions floues

V est A  W est B » est lue « si V est A alors W est B »
 « V est A » est la prémisse
 « W est B » est la conclusion
 Par exemple: « si Age-personne est Jeune alors Salaire est Bas »
«
Valeur de vérité de l'implication « V est A  W est B » :
évaluée par une fonction implicative fI : X x Y  [0,1]

x
 X,  y  Y, fI(x, y) = (fA(x), fB(y))

est une fonction [0,1]x[0,1] [0,1] qui est équivalente à
l'implication classique quand les propositions sont classiques.
42
Maria Rifqi-Berger
Principales fonctions d'implication
floue
fI(x, y) = (A(x), B(y))
-
43
Maria Rifqi-Berger
Logique classique vs Logique floue
44
Maria Rifqi-Berger
Mode de raisonnement classique

Modus ponens de la logique classique
Règle:
Observation:
Déduction:
Prémisse
 Conclusion
Prémisse-observée
Conclusion
Modus ponens : règle de déduction pour inférer
de la connaissance

Règle:
Observation:
Déduction:
H est humain  H est mortel
Socrate est humain
Socrate est mortel
45
Maria Rifqi-Berger
Mode de raisonnement flou
Modus ponens généralisé : extension du MP aux
propositions floues
 Soient (V, XV, TV) et (W, XW, TW) deux variables
linguistiques

Règle floue:
V est A
fA
Observation floue: V est A'
fA'
Déduction:

W est B
fB
W est B'
fB'
fA, fB,
et fA' sont connus, on recherche la valeur de fB'(y),
yY
46
Maria Rifqi-Berger
Modus ponens généralisé

Règle floue « V est A  W est B »
 Implication
x  X,  y  Y, fI(x,y)= (fA(x), fB(y))
Le MPG combine la règle floue avec l'observation « V est
A' » pour construire la conclusion B'
 Opérateur de modus ponens généralisé : fonction T de
[0,1]x[0,1] dans [0,1] pour combiner fI et fA'

T
est une t-norme
 T est liée à fI pour que le MPG soit compatible avec le modus
ponens classique.

On a, pour tout y  Y :
fB' = supx  X T(fI(x,y), fA'(x))
47
Maria Rifqi-Berger
Une règle
48
Maria Rifqi-Berger
Plusieurs règles
49
Maria Rifqi-Berger
Exemples d'opérateurs de MPG

Zadeh :  u,v  [0,1], T(u,v) = min(u,v)
Utilisé
avec les implications de Mamdani,
Larsen,...
Lukasiewicz :  u,v  [0,1], T(u,v) =
max(u+v-1,0)

Utilisé
avec les implications de Lukasiewicz,
Reichenbach, Mamdani, Larsen,...
50
Maria Rifqi-Berger
Applications du modus ponens
généralisé
Commande floue : ensemble de règles floues + entrée
numérique + sortie numérique



Contrôle flou de processus
Phase de défuzzification nécessaire
Systèmes experts flous : ensemble de règles floues +
entrée floue + sortie floue



Raisonnement flou, inférence de connaissances
Pas de défuzzification
Raisonnement par analogie : ensemble de règles floues +
entrée floue + sortie floue



B' est à B ce que A' est à A
ressemblance (A,A') doit être la même que ressemblance(B,B')
51
Maria Rifqi-Berger
Imprécisions et incertitudes

Théorie des sous-ensembles flous



Modélisation des connaissances imprécises (« environ 20 ans »)
ou vague (« jeune »)
traitement dans un même cadre des connaissances numériques
et des connaissances symboliques
Ne permet pas de manipuler dans un même formalisme
imprécisions et incertitudes


ce qui est très généralement lié: « je suis sûr que nous sommes en
fin d'après-midi » mais « je ne suis pas certain qu'il soit exactement
17h30 »
De plus, un raisonnement basé sur des connaissances
imprécises engendre souvent des incertitudes

« Mon train est à 9h32, si je pars de chez moi vers 9h quelle est la
certitude que je puisse l'avoir? »
52
Maria Rifqi-Berger
Théorie des possibilités

Introduite en 1978 par L. A. Zadeh (puis popularisée par
Dubois et Prade), en liaison avec la théorie des sousensembles flous :


But: raisonner sur des connaissances imprécises ou vague, en
introduisant un moyen de prendre en compte des incertitudes
sur les connaissances.
Incertitudes non-probabilistes sur des événements :
impossibilité d'évaluer correctement leur probabilité de
réalisation.



« Serais-je en salle 506 lundi 24 Novembre à 14h ? »
Probabilité: ici, peu réaliste à évaluer
« Il est relativement possible que je sois dans cette salle, et c'est
même assez certain. »
53
Maria Rifqi-Berger
Mesure de possibilité



Soit un ensemble de référence fini X
On souhaite attribuer à chaque sous-ensemble de X (on
parle alors d'événements) un coefficient compris entre 0
et 1 évaluant à quel point cet événement est possible.
Pour définir ce coefficient, on introduit une mesure de
possibilité  définie sur P(X), l'ensemble des parties de
X, à valeur dans [0,1], telle que:


(∅)=0, et (X)=1
(A,B) P(X)2, (A∪B) = max((A), (B))
Un événement est tout à fait possible si la mesure de sa possibilité
est égale à 1.
54
Maria Rifqi-Berger
Mesure de possibilité : propriétés


Une mesure de possibilité vérifie:

(A,B) P(X)2, (A∩B) ≤ min((A), (B))

En particulier, l'occurrence simultanée de 2
événements possibles peut être impossible
Monotonie relativement à l'inclusion des parties
de X



Si A  B alors (A) ≤ (B)
 A  P(X), max((A), (Ac)) = 1
 A  P(X), (A) + (Ac) ≥ 1
55
Maria Rifqi-Berger
Mesure de nécessité

Une mesure de possibilité fournit une information sur
l'occurrence d'un événement mais elle ne suffit pas pour
décrire l'incertitude existante sur cet événement



(A) = 1 et (Ac)=1 peuvent être vérifiés en même temps:
indétermination complète sur la réalisation de A.
On attribue à chaque événement un coefficient évaluant
à quel point la réalisation de cet événement est
certaine.
Pour définir ce coefficient, on introduit une mesure de
nécessité N définie sur P(X), à valeur dans [0,1], telle que :


N(∅)=0, et N(X)=1
∀(A,B)∈ P(X)2, N(A∩B) = min(N(A), N(B))
56
Maria Rifqi-Berger
Mesure de nécessité : propriétés

Une mesure de nécessité vérifie:


Monotonie relativement à l'inclusion des
parties de X



(A,B) P(X)2, N(AB) ≥ max(N(A), N(B))
Si A  B alors N(A) ≤ N(B)
A  P(X), min(N(A), N(Ac)) = 0
A  P(X), N(A) + N(Ac) ≤ 1
57
Maria Rifqi-Berger
Relations possibilité / nécessité

Une mesure de nécessité N peut être obtenue à
partir d'une mesure de possibilité  par :



A  P(X), N(A) = 1 - (Ac)
Plus un événement A est affecté d'une grande
nécessité, moins son complémentaire Ac est
possible.
On a de plus:


 A  P(X), (A) ≥ N(A)
 A  P(X), max((A), 1-N(A))=1
58
Maria Rifqi-Berger
Distribution de possibilité

Une mesure de possibilité est totalement définie



Une distribution de possibilité  est une fonction
définie sur X, à valeur dans [0,1], telle que :


si on attribue un coefficient de possibilité à toute
partie de X.
si on indique un coefficient seulement aux parties
élémentaires de X, une partie quelconque étant
l'union de parties élémentaires.
supxX (x) = 1
A partir d 'une distribution de possibilité , on
construit une mesure de possibilité  :

A  P(X), (A) = supxA (x)
59
Maria Rifqi-Berger
Possibilité de sous-ensemble flou




Possibilité et nécessité ont été introduites pour quantifier la certitude
sur un événement, elles s'appliquent à des sous-ensembles
ordinaires de X
Pour des sous-ensembles flous de X, on peut indiquer dans quelle
mesure ils sont possibles et/ou certains, à partir d'une connaissance
préalable donnée sur X.
Ainsi, étant donnée une référence, i.e. un s.e.f. A de X, un autre s.e.f.
B de X sera d'autant plus acceptable qu'il sera compatible avec A.
On évalue alors la possibilité de B relative à A par :


(B; A)= supxX min (fB(x), fA(x))
(B; A) mesure le degré maximal avec lequel un élément x de X
peut appartenir à la fois à A et à B.
60
Maria Rifqi-Berger
Nécessité de sous-ensemble flou


Étant donnée une référence, i.e. un s.e.f. A de X,
un autre s.e.f. B de X sera d'autant plus
acceptable qu'il sera compatible avec A.
On évalue alors la nécessité de B relative à A
par :


(B; A)= 1- (Bc; A)= infxX max (fB(x), 1-fA(x))
N(B; A) mesure le degré avec lequel B est inclus
dans A.
61
Maria Rifqi-Berger
Exemple



On représente le concept de « vitesse rapide » par un s.e.f. Sur l'espace
des vitesses.
Une moto roule à env. 100km/h.
Questions:
Avec qu'elle certitude peut on dire que la moto roule avec une vitesse rapide?
Avec quel degré env. 100km/h signifie-t-il « vitesse rapide »?


~100 km/h
Rapide
1
0
90 100 110
km/h
62
Maria Rifqi-Berger
Exemple : possibilité et nécessité
(env.100; Rapide)= supxX min (fenv.100(x), fRapide(x)) = 0,6
1
~100 km/h
Rapide
0,6
0
km/h
90 100 110
(env.100; Rapide)= infx  X max (fenv.100(x), 1-fRapide(x))= 0
1
~100 km/h
0
90 100 110
Rapide
km/h
63
Maria Rifqi-Berger
Apprentissage non supervisé




Étant donné un ensemble d'exemples (des
points dans un plan, ...)
On ne connaît pas de classe à associer
aux exemples
Il faut découvrir des classes, faire des
regroupements d'éléments similaires
Clustering = construction de paquets
64
Maria Rifqi-Berger
Méthodes de C-moyennes




Une des plus anciennes méthodes de clustering
existantes (1967). Algorithme des C-means.
Partition d'une population
Affectation sans équivoque ( ou ) de chaque exemple
à une classe
L'algorithme:
1.
2.
3.
4.
Sélection de c points (au hasard) : centroïdes.
Affectation de chaque exemple au centroïde le plus proche
(distance). Constitution de clusters.
Calcul de nouveaux centroïdes: on prend la moyenne,
composante par composante, pour tous les exemples d'un cluster.
Retour à l'étape 2 jusqu'à stabilisation des frontières entre les
clusters.
65
Maria Rifqi-Berger
C-moyennes: étape 1
X
X
X
X
X
X
X
O
X
X
X
X
X
X
O
X
O
X
X
X
X
X
X
X
66
Maria Rifqi-Berger
C-moyennes: étape finale
X
X
X
X
X
X
O
X
X
X
O
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
O
X
X
X
67
Maria Rifqi-Berger
Méthodes des C-moyennes:
Inconvénients

Problèmes de prise en compte des variables
non-numériques (nécessité de posséder une
mesure de distance)




Traduction en valeurs numériques
Construction de matrices de distances
Problème du choix du nombre de centroïdes c
Problème du choix de la normalisation dans le
calcul de la distance (même poids pour chaque
composante)

Pondération, normalisation, agrégation
68
Maria Rifqi-Berger
Méthode des C-moyennes floues

Généralisation de l'algorithme des C-moyennes



Partition floue des données
Fonctions d'appartenance aux clusters
Problématique : trouver une pseudo-partition
floue et les centres des clusters associés qui
représente le mieux la structure des exemples.

Utilisation d'un critère permettant de mesurer les
associations fortes à l'intérieur d'un cluster, faibles à
l'extérieur

Index de performance
69
Maria Rifqi-Berger
Rappels

Pseudo-partition floue

Ensemble de sous-ensembles flous non vides {A1,
A2,..,An} de X tel que:
n
xX,  Ai ( x )  1
i 1

C-partition floue

Une c-partition floue (c>0) de X est une famille P ={A1,
A2,..,Ac} de c sous-ensembles flous tels que :
c
 x  X ,  Ai ( x k )  1 et  i   c , 0 
i 1
c
 A (x
i
k
)n
k 1
70
Maria Rifqi-Berger
C-moyennes floues
Soit X={x1, x2, ..., xn} un ensemble de données où chaque xk peut être
un vecteur: xk=(xk1, xk2,...,xkp)
Étant donné une c-partition floue P= {A1, A2,..,Ac}, les c centres v1,
v2,..., vc associés à chaque cluster flou sont calculés par :
 A ( x
n
i
 i   c , vi 
)
k
m
x
k
i 1
n
 A ( x )
m
i
k
i 1
Avec mℝ, m > 1, influence des degrés d'appartenance.

vi: centre du cluster flou Ai


Moyenne pondérée des données de Ai
Le poids d'une donnée xk est la puissance mième de son degré
d'appartenance à Ai.
71
Maria Rifqi-Berger
Index de performance d'une
partition floue

Soit la c-partition floue P= {A1, A2,..,Ac}, son indice
de performance est défini par:
  A ( x
n
J m (P) 
c
i
k
)
m
x
k
 vi
2
k 1 i 1


Avec ||.||: norme sur ℝp qui permet de mesurer la
distance entre xk et vi
Plus Jm(P) est faible, meilleure est P
72
Maria Rifqi-Berger
Algorithme de Bezdek (1981)


Algorithme d'optimisation d'une partition
floue: algorithme des c-moyennes floues
(Fuzzy c-means).
Hypothèses:




C connu,
On possède une distance (mesure),
Un réel m  ]1,+∞[ est donné,
Un nombre positif ℇ petit est donné (critère d'arrêt).
73
Maria Rifqi-Berger
Algorithme de Bezdek



Etape 1: Soit t=0, sélectionner une partition floue initiale P(0).
Etape 2: Calculer les c centres v1(t), v2(t),...,vc(t) pour P(t) grâce à (1)
Etape 3: Mise à jour de P(t) pour construire P(t+1):  xk  X,


Si
x k  vi
si x k  v i
(t )
(t )
 0 , i   c
Ai
( xk ) 

j 1
 0 pour quelque iI ℕc , alors on définit A ( t  1 ) ( x )
i
k
pour iI par tout nombre réel >0 tel que:
et on définit
( t 1)
alors
c

(t )
  x k  v i

(t )
 x k  v j


A
( t 1)
i
( t 1)
Ai

n

1
 

 
 


1
2
2
1
( xk )  0
pour tout iℕc-I
( xk )  1
i I

Etape 4: Comparer P(t) et P(t+1)

Si |P(t) - P(t+1)| ≤ ℇ alors on s'arrête, sinon on incrémente t et on retourne à l'étape 2.
On a :
(t )
( t 1)
( t 1)
(t )
P
(distance entre les partitions)
Maria Rifqi-Berger
P
 max
i  c , k   c
Ai
( x k )  Ai ( x k )
74
Construction de clusters flous –
Exemple
75
Maria Rifqi-Berger
Construction de clusters flous –
Résultat final
76
Maria Rifqi-Berger
Arithmétique floue - Intervalles et
nombres flous

Un sef F est convexe si
(x, y)RxR, z  [x,y], fF(z)min(fF(x), fF(y))
Propriété équivalente au fait que toute –coupe de F est une partie convexe
de R.



Quantité floue : sef normalisé de R.
Intervalle flou : quantité floue convexe
Nombre flou : intervalle flou de fonction d’appartenance semi-continue
supérieurement et de support compact.
1
0
a
m
b
R
77
Maria Rifqi-Berger
Arithmétique floue – Intervalles flous
de type L-R (1)

Quantité floue I dont la fonction d’appartenance
dépend de 4 paramètres (m,m’,a,b) et de 2
fonctions L er R telles que :




L(0)=R(0)=1
L(1)=0 ou L(x)>0 x avec limx L(x)=0
R(1)=0 ou R(x)>0 x avec limx R(x)=0
I=(m,m’,a,b)LR
Maria Rifqi-Berger
 mx
 si x  m
L
a 
 
f I ( x )  1
si m  x  m '

 x  m'
R
 si x  m '
  b 
78
Arithmétique floue – Intervalles flous
de type L-R (2)


Cas particulier : nombre flou I=(m,a,b) LR
avec m=m’.
Fonctions L et R particulières :
L(x)=R(x)=max(0,1-x) pour des intervalles
flous trapézoïdaux ou des nombres flous
triangulaires.
79
Maria Rifqi-Berger
Arithmétique floue – Opérations sur les
L-R
I=(m,m’,a,b)LR J=(n,n’,c,d)LR alors :
 -I=(-m’,-m,b,a)RL
 I  J = (m+n, m’+n’, a+c, b+d)LR
 I  J = (m-n’, m’-n, a+d, b+c)LR si L=R
80
Maria Rifqi-Berger
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