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C 6

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STRUCTURES TOURBILLONNAIRES ET
DISSIPATION D'ENERGIE
Structures en turbulence / Expérience (t>1990)
3
 -m o d e
2
1
 p (t)
0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
0
10
20
30
t/T
Pression locale
 Pics de basse pression
40
•
Visualisation des régions de basse
pression
•
Re = 500 000
Structures en turbulence / Simulations (t>1990)
Structures en turbulence
Quelles grandeurs pour décrire les
structures ?
Comment se forment elles ?
Tenseur des Gradients de Vitesse
gradients de vitesse
Rappel
taux de déformation
Puissance dissipée en
chaleur par unité de masse
taux de rotation
Vorticité ou tourbillon
Champ de déformation
Local
Soit eij donné. Quel est l'écoulement correspondant ?
C'est un tenseur symétrique et réel: il admet une base
orthonormée de vecteurs propres :
correspondant au valeurs propres :
Incompressibilité


La somme des valeurs propres est nulle
Champ de déformation
Local
Soit eij donné. Quel est l'écoulement correspondant ?
s'intègre localement en :
à une constante près
(constante =0)
Champ de rotation
Local
Soit w donné. Quel est l'écoulement correspondant ?
Prenons :
Champ de rotation
Local
Soit w donné. Quel est l'écoulement correspondant ?
s'intègre localement en :
à une constante près
(constante =0)
Les deux contributions
Local

2



1
Ecoulement de déformation pure
(direction propres et v.p.)
+
Rotation pure
(Rotationnel)

3
Un cas 2D simple
Local
Si autant de déformation
pure que de rotation pure
Allée de Karman
(autre cas 2D)
Equation de la pression
En prenant la divergence de Navier Stokes:
Terme source pour
la pression
Est utilisée comme critère de détection de
structures dans la turbulence
Structures de vorticité modèles
Relations Vorticité - Champ de vitesse
Théorème d'Ampère
Biot & Savart
à une constante près
Structures de vorticité modèles
Tube de vorticité - vortex de Rankine
Structures de vorticité modèles
Tube de vorticité - vortex de Rankine
Application du théorème d'ampère
Structures de vorticité modèles
Tube de vorticité - vortex de Rankine
Coeur en rotation solide
Manchon de dissipation
Structures de vorticité modèles
Filament vortex (tube fin)
Tube de vorticité avec r00
...c'est le point vortex.
Structures de vorticité modèles
Nappe de vorticité - nappe de Rankine
Structures de vorticité modèles
Nappe de vorticité - nappe de Rankine
Application du théorème d'ampère
Structures de vorticité modèles
Nappe de vorticité - nappe de Rankine
Nappe = cisaillement simple, 2=S2
pression constante
Structures de vorticité modèles
Nappe de vorticité infiniment fine
Discontinuité des
vitesses
Structures de vorticité - récapitulatif
nappe
tube
Nappes et tubes ne sont pas des solutions
stationnaires : dynamique de ces structures ?
Dynamique de la vorticité
En prenant le rotationnel de Navier Stokes:
Equation du transport de la vorticité :
terme convectif
terme diffusif
terme
d'amplification,
n'existe qu'à 3D
résulte de l'interaction avec le champ de déformation
Dynamique de la vorticité
Dynamique inviscide 2D (dans le plan x,y)
(cartésien)
(polaire)
Pour toute distribution axisymétrique [(r)], la dynamique est stationnaire :
valable pour le tube mais pas pour la nappe
Dynamique de la vorticité
Dynamique inviscide 2D (dans le plan x,y)
Méthode particulaire

paire de tourbillons contra-rotatifs
Méthode particulaire
Dynamique de la vorticité
Dynamique inviscide 2D (dans le plan x,y)
Allée de Karman
Dynamique de la vorticité
Dynamique inviscide 2D (dans le plan x,y)



à t=0 :
et après ? Dynamique inviscide 2D
Dynamique de la vorticité
Dynamique 2D avec viscosité (dans le plan x,y)
Etalement en racine carré du temps
Dynamique de la vorticité
Dynamique 2D en tubulence
Appariement de tourbillons
produisant de gros vortex
+ cisaillements fins
Dynamique de la vorticité
Dynamique inviscide 3D
ou encore :

Dynamique de la vorticité
Dynamique inviscide 3D
Augmentation exponentielle dans les directions d'étirement
(>0)
La circulation est conservée et (t)2(t)= constante,
la taille  de la structure décroît exponentiellement.
Dynamique de la vorticité
Dynamique inviscide 3D
2

surface libre
direction propre positive
Tourbillon de vidange
1. avec faible rotation solide initiale
2. avec rotation solide initiale
P    S
2
2
Dynamique de la vorticité
Dynamique 3D visqueuse : échelle de Burgers
La circulation est conservée
et (t)2(t)= constante,
(t) 0 ? Non : coupure visqueuse, soit  =i>0 :
temps caractéristiques
équilibre :

Production des petites échelles en turbulence 3D



D t   e    
Etirement  amplification  formation de petites
échelles par conservation de la circulation
  r0 
   r0  C
2

Orientation moyenne de  en turbulence
homogène par rapport à la base propre de e ?

2



1  0
<
2  0
<
3  0

1
3
La vorticité est alignée avec la direction propre intermédiaire
A quels types de structures cette configuration
moyenne locale peut elle correspondre ?

2



3
Nappe étirée

2

1



3
Vortex étiré

1
Visualisation des structures de vorticité en turbulence numérique
  S
2
2
tubes
 /2
2
  S
2
2
S /2
nappes
2
Formation des petites échelles en turbulence 3D
• Visualisation des
régions de basse
pression
• Re = 500 000
Les structures les plus
intenses sont des vortex
(ou tubes) étirés.
Conclusion
•Les petites échelles se forment à partir d'instabilités 2D et 3D des
grandes échelles.
•Dans les champs de déformation elles s'amincissent et atteignent une
échelle limitée par la viscosité.
•Ces petites échelles auront de grands gradients de vitesse et dissiperont
efficacement sous forme de chaleur.
•Le temps caractéristique de formation des petites échelles est de l'ordre
de grandeur de celui donné par le forçage.
•En turbulence les structures les plus probables sont les nappes étirées, les
plus intenses et plus rares sont les tubes étirés.
Production des petites échelles en turbulence 3D
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