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2 - P.i.i.m.t.

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GESTION DE PRODUCTION ET
OPERATIONS – GPOProduction and operations management (POM) are
activities related to the creation of goods and services
through the transformation of inputs into outputs.
These outputs when distributed, meet the needs of
customers.
Il s’agit donc d’une gestion de transformation des inputs
en outputs (ceux destinés à satisfaire une demande du
marché)
BUT DE GOP
La gestion de production a pour objet la recherche
d'une organisation efficace de la production de biens et
services.
But : Optimisation de la transformation des matières en
fonction des contraintes et objectifs de l'entreprise.
Transversalité de la gestion de production (chaîne de
valeur).
Gestion : Rationalisation volontaire et organisée de la
production.
POM ?
Gérer la production, c'est gérer la
conception, la planification et le contrôle
des activités qui composent les processus
de production de biens ou de services.
Les différentes méthodes proposées
1. La programmation linéaire peut être définie comme
étant une méthode qui permet d’allouer de façon
optimale des ressources disponibles en quantités
limitées à des activités compétitrices.
2. La méthode de la gestion des stocks peut aussi aider
à déterminer la quantité optimale des biens qui doit
etre disponible dans les magasins
3. La méthode de satisfaction d’une demande
dépendante et la gestion des différentes opérations
entrainées par cette demande
4. La méthode de gestion des différentes taches.
Réseau PERT et la méthode du chemin critique.
LA PRODUCTIVITE
Les mesures de productivité permettent d’évaluer
l’efficacité avec laquelle les ressources sont
transformées en produits et services.
La productivité est le rapport entre la production et
l’ensemble ou une partie des ressources mises en
œuvre pour la réaliser. La production représente la
quantité de biens et services produits. Les
ressources mises en œuvre (c’est-à-dire les
moyens utilisés ou facteurs de production)
représentent le travail, le capital, l’énergie, les
matières premières
MESURE DE PRODUCTIVITE
A QUI SERVENT LES GAINS DE
PRODUCTIVITE
Introduction à la programmation linéaire
PIIMT - TRAINING - POM
PROGRAMMATION LINEAIRE-LPCaractéristiques
•Décisions (Variables décisionnelles)
Qu’est-ce qu’on cherche à établir?
•Contraintes
Viennent définir l’ensemble des
solutions possibles.
•Objectif
Maximisation - Minimisation
Forme générale d’un problème d’optimisation
MAX (ou MIN):
f0(X1, X2, …, Xn)
f1(X1, X2, …, Xn) <= b1
:
fk(X1, X2, …, Xn) >= bk
:
fm(X1, X2, …, Xn) = bm
Le problème LP est une fonction linéaire
Sujet à:
Forme générale d’un problème en
programmation linéaire
MAX (ou MIN):
Sujet à:
c1X1 + c2X2 + … + cnXn
a11X1 + a12X2 + … + a1nXn <= b1
:
ak1X1 + ak2X2 + … + aknXn <= bk
:
am1X1 + am2X2 + … + amnXn<= bm
Propriétés d’un modèle de programmation
linéaire
•Linéarité
Équations polynômiales de degré 1
a 1X  a 2 X    a n X
1
1
1
2
•Divisibilité & continuité
Domaine des variables 
1
n
Propriétés d’un modèle de
programmation linéaire (Suite)
•Séparabilité & additivité
c1X1 + c2X2 + … + cnXn
•Fonction objectif unique
Min coût, Max profit, …
Linear Programming
General restrictions
All decision variables must be
nonnegative
Constant terms cannot appear on the
LHS of a constraint
No variable can appear on the RHS of a
constraint
No variable can appear more than once
in the objective function or in any
constraint
Source:
J. Doucette, G. D. Morley, ECE 681, UofA, Fall 2000
EXAMPLE
Your company produces wrenches and pliers out of steel using
an injection moulding machine and an assembly machine.
Given the following data on raw materials, machine hours, and
demand, how many wrenches and/or pliers should you
produce?
Steel required: 1.5 lbs/wrench, 1.0 lb/pliers, 15 000 lbs
available
Moulding machine: 1.0 hr/wrench, 1.0 hr/pliers, 12 000
hrs available
Assembly machine: 0.4 hrs/wrench, 0.5 hrs/pliers, 5 000
hrs available
Demand: 8 000 wrenches, 10 000 pliers
Profit: $0.40 per wrench, $0.30 per pliers
Adapted from:
James Orlin, MIT, 2003
EXAMPLE
Une entreprise fabrique des clés et des pinces en acier en utilisant
une machine de moulage et une machine d'assemblage.
Selon les informations suivantes sur les matières premières, les
heures-machine, et la demande, quelle est la quantité des clés
et/ou des pinces qui peut aider à maximiser le profit de
l’entreprise?
Chaque unité des clés nécessite: 1.5 livre d’acier une heure de
moulage, 0,40 heures d’assemblage. La demande actuelle est de
8000 clés,
Chaque unité des pinces nécessite: 1,0 livre d’acier, 1.0 hr de
moulage, 0,5 heures d’assemblage. La demande actuelle est de
10 000 pinces.
Les données disponibles:
Acier: 15000 livres. Heures moulage: 12000. heures assemblage:
5000
Profit espéré: $0.40 par clé, $0.30 par pince
PROGRAMMATION LINEAIRE
Le fait que la fonction objective doit être linéaire a deux
implications :
1. La contribution à la fonction objective de chaque variable de
décision est proportionnelle à la valeur de la variable de
décision.
par exemple, la contribution à la fonction objective de 4 clés
est exactement quatre fois la contribution de 1 clé.
2. La contribution à la fonction objective pour n'importe quelle
variable est indépendante des autres variables de décision.
par exemple, Quelque soit le nombre de pinces, la fabrication
des clés contribuera toujours par la même valeur unitaire à la
fonction objective.
Formulation du problème LP
1. Comprendre le problème.
2. Identifier les variables décisionnelles.
w = nbre de clés
p = nbre de pinces
3. Définir la fonction objectif en une combinaison
linéaire de variables décisionnelles.
MAX: 0.40w + 0.30p
Étapes pour la formulation du problème
LP (Suite)
4. Définir les contraintes en une combinaison linéaire de
variables décisionnelles.
1.5w + 1.0p <= 15000
} Acier
1.0w + 1.0p <= 12000
} Moulinage.
0.4w + 0.5p <= 5000
} Assemblage
Demande des clés: w <= 8000
Demande des pinces: p <= 10000
5. Identifier limites supérieures ou inférieures des variables
décisionnelles.
w >= 0
p >= 0
Sommaire du modèle LP
Objective Function
m ax : profit  400  w  300  p
Subject to
Steel:
Moulding:
Assembly:
1 .5  w  1 .0  p  1 5
1 .0  w  1 .0  p  1 2
0 .4  w  0 .5  p  5
Wrench demand:
w  8
Pliers demand:
p  10
p, w  0
Résolution graphique d’un problème de LP
p
14
Start by plotting the two decision
variables on the x and y axes.
12
10
8
6
4
2
w
2
4
6
8
10
12
14
Résolution graphique d’un problème de LP
p
14
Then begin plotting the constraints,
one at a time:
12
10
1.5  w  1.0  p  15
8
6
4
2
w
2
4
6
8
10
12
14
Résolution graphique d’un problème de LP
p
14
12
10
1.0  w  1.0  p  12
8
6
4
2
w
2
4
6
8
10
12
14
Résolution graphique d’un problème de LP
p
14
12
10
0.4  w  0.5  p  5
8
6
4
2
w
2
4
6
8
10
12
14
Solving an LP Graphically
p
14
12
10
p  10
8
w  8
6
4
2
w
2
4
6
8
10
12
14
Solving an LP Graphically
p
14
This defines the LP problem’s
feasible region.
But how do we solve it?
12
10
8
6
4
2
w
2
4
6
8
10
12
14
Solving an LP Graphically
p
14
Is there a feasible solution that
gives a profit of, say, $1200?
12
10
1200  400  w  300  p
8
6
4
2
w
2
4
6
8
10
12
14
Solving an LP Graphically
p
14
What about $2400?
12
2400  400  w  300  p
10
8
6
4
2
w
2
4
6
8
10
12
14
Solving an LP Graphically
p
14
Or $3600?
12
3600  400  w  300  p
10
8
6
Can you see what’s happening?
What is the largest feasible profit
going to be?
4
2
w
2
4
6
8
10
12
14
Solving an LP Graphically
p
14
12
10
8
6
The largest feasible profit is going
to be defined by the highest profit
curve that intersects the feasible
region.
4
2
w
2
4
6
8
10
12
14
Solving an LP Graphically
p
14
In this case, the optimal
solution is:
12
w  50 / 7
10
p  30 / 7
8
profit  $4 142.86
6
4
2
w
2
4
6
8
10
12
14
PROBLEME DUEL
En théorie d'optimisation, nous associons à
chaque problème principal de la
programmation linéaire son problème
duel.
A chaque problème principal de
maximisation est associé son problème
duel de minimisation, et vice versa.
Formulation du problème duel
Les variables décisionnels du problème
duel:
S, M, et A représentent respectivement
l’acier, le moulinage, et l’assemblage
La fonction objective est donc: Min. Coût:
15S + 12M + 5A
s/c 1.5 S +1.0M +0.4 A ≥ 400
1.0 S + 1.0M + 0.5A ≥ 300
S, M, A ≥ 0
Exemple de problème de minimisation –
Résolution graphique
Une entreprise fabrique deux produits chimiques, c1 et
c2. c1 nécessite un coût de fabrication de $2500 par
tonne et c2 nécessite $3000 par tonne. Selon les
prévisions de l’entreprise concernant la demande de
ses produits, les productions des deux produits
doivent atteindre au moins 30 tonnes et 20 tonnes
pour c1 et c2 respectivement. Du fait que les
matières premières des deux produits sont sensibles
et vite périssables, leur stock ne doit pas dépasser
30 jours. Pour cela, l’entreprise table sur une
production d’au moins de 60 tonnes pour les deux
produits.
Formulation du problème
Les variables décisionnels:
X1: tonnes of c1. X2: tonnes of c2
La fonction objective:
Min. Coût: 2500X1 + 3000X2
Sujet à:
X1 ≥ 30 tonnes de c1
X2 ≥ 20 tonnes de c2
X1 + X2 ≥ 60 tonnes en totalité
X1, X2 ≥ 0
Résolution graphique d’un problème de LP
X
2
60
4
0
Region
faisable
b
2
0
a
2
4
0
0
60
X
1
Résolution graphique d’un problème de LP
Le graphe présente deux coins: le coin (a) et
le coin (b).
Le coût total au coin (a) est:
2500(40) + 3000(20) = $160000
Le coût total au coin (b) est:
2500(30) + 3000(30) = $165000
Le coût minimum est réalisé au coin a. Le
manager de production doit produire 40
tonnes de c1 et 20 tonnes de c2
Sommaire du modèle LP
Equipement inc.
MAX: 350X1 + 300X2
S.T.: 1X1 + 1X2 <= 200
9X1 + 6X2 <= 1566
12X1 + 16X2 <= 2880
X1 >= 0
X2 >= 0
Résoudre un problème PL:
Une approche intuitive
Idée: Chaque chargeuse A (X1) génère le profit
unitaire le plus élevé (350$), faisons-en le plus
possible!
Combien en fabriquer?
Posons X2 = 0
1ère contrainte :
2è contrainte :
3è contrainte :
1X1 <= 200
9X1 <=1566 ou X1 <=174
12X1 <= 2880 ou X1 <= 240
Résoudre un problème PL:
Une approche intuitive (Suite)
Si X2=0, la valeur maximale de X1 est 174 et le
profit total est:
(350$ * 174) + (300$ * 0) = 60 900$
C’est une solution possible mais est-elle optimale?
Non!
Résolution problème PL:
Une approche graphique
•Les contraintes d’un problème PL définissent la
région de faisabilité.
•Le meilleur point dans la zone de faisabilité
correspond à la solution optimale.
•Pour des problèmes à deux variables, il est facile de
tracer la zone de faisabilité et de trouver la solution
optimale.
X2
Tracé de la première contrainte
250
(0, 200)
200
Contrainte des pompes
X1 + X2 = 200
150
100
50
(200, 0)
0
0
50
100
150
200
250
X1
X2
Tracé de la deuxième contrainte
(0, 261)
250
Contrainte de main-d’oeuvre
9X1 + 6X2 = 1566
200
150
100
50
(174, 0)
0
0
50
100
150
200
250
X1
X2
Tracé de la troisième contrainte
250
(0, 180)
200
150
Contrainte des tuyaux
12X1 + 16X2 = 2880
100
Zone de faisabilité
50
(240, 0)
0
0
50
100
150
200
250
X1
Tracé d’une droite de la fonction
objectif
X2
250
200
(0, 116.67)
Fonction objectif
150
350X1 + 300X2 = 35000
100
(100, 0)
50
0
0
50
100
150
200
250
X1
Un deuxième tracé de la fonction
objectif
X2
250
(0, 175)
200
Fonction objectif
350X1 + 300X2 = 35000
Fonction objectif
350X1 + 300X2 = 52500
150
100
(150, 0)
50
0
0
50
100
150
200
250
X1
Tracé de la solution optimale
X2
250
Fonction objectif
350X1 + 300X2 = 35000
200
150
Solution optimale
100
Fonction objectif
350X1 + 300X2 = 52500
50
0
0
50
100
150
200
250
X1
Calcul de la solution optimale
La solution optimale se trouve à l’intersection des
contraintes de pompes et de m-o.
Où:
X1 + X2 = 200
9X1 + 6X2 = 1566(2)
De (1) nous avons:
X2 = 200 -X1
(1)
(3)
Calcul de la solution optimale (Suite)
En substituant (3) pour X2 dans (2) nous avons:
9X1 + 6 (200 -X1) = 1566
ce qui fait X1 = 122
La solution optimale est :
X1 = 122
X2 = 200-X1=78
Profit total = (350$*122) + (300$*78) = 66 100$
Situations spéciales avec problèmes PL
Plusieurs anomalies peuvent survenir:
Solutions optimales multiples
Contraintes redondantes
Problème non-contraint (“Unbounded
Solutions”)
Infaisable
Exemple de solutions
optimales multiples
X2
250
Tracé de la fonction objectif
450X1 + 300X2 = 78300
200
150
100
Solutions optimales
équivalentes
50
0
0
50
100
150
200
250
X1
Example d’une contrainte
redondante
X2
250
Contrainte des tuyaux
200
Contrainte des pompes
150
Contrainte de la M-O
100
Zone de faisabilité
50
0
0
50
100
150
200
250
X1
Exemple d’une solution
“unbounded”
X2
1000
Fonction objectif
X1 + X2 = 600
800
-X1 + 2X2 = 400
Fonction objectif
X1 + X2 = 800
600
400
200
X1 + X2 = 400
0
0
200
400
600
800
1000
X1
Exemple d’infaisabilité
X2
250
200
X1 + X2 = 200
Zone de
faisabilité de la
deuxième
contrainte
150
100
Zone de
faisabilité de la
première
contrainte
50
X1 + X2 = 150
0
0
50
100
150
200
250
X1
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