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C2 identité

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LYCEE VICTOR HUGO
3.1
L’attention est attirée sur le fait que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements
entrent pour une part importante dans l’appréciation des copies.
Exercice 1 : (4.5 points) Calculer les expressions suivantes en faisant apparaître chaque étape du calcul et
donner le résultat sous forme d'une fraction irréductible.
A=
7 14  5 3 
− × − 
15 15  7 4 
Exercice 2 : (5 points) On donne l'expression :
D (x) = (3x + 7)2 – (3x + 7)(9x + 6)
a)
b)
c)
d)
Développer et réduire D.
Factoriser D.
Résoudre l’équation D(x) = 0.
Résoudre l’équation D(x) = 7.
Exercice 4 : (6 points)
Soit A (x) = (6 x – 3)2 – (5x + 8) 2.
a)
b)
c)
d)
e)
1−
5
3
B= + 2
4 7−3
Développer, réduire A.
Factoriser A.
Résoudre l’équation (11x + 5)(x – 11) = 0.
Résoudre l’équation A(x) = – 55.
Résoudre l’équation A(x) = – 116x.
C=
3  10 4 
 − 
14  11 3 
2 1
−
3 2
Exercice 3 : (5 points)
On donne l'expression :
E (x) = 4 x 2 – 25 + (2x + 5) ( x – 4).
a)
b)
c)
d)
Développer E.
Factoriser E.
Calculer E(0) puis E(1)
Résoudre l’équation E (x) = 0.
Exercice 5 : (1.5 points)
Soit (E) l’équation suivante : 7x3 + 16 = –2x +7
Le nombre – 1 est-il solution de l’équation ?
Exercice 6 : (3 points)
Programme de calcul :
1. Lorsque le nombre de départ est 2, quel résultat final
obtient-on?
2. Le nombre de départ étant x, exprimer le résultat final en
fonction de x.
3. Quel nombre de départ doit-on choisir pour obtenir un
résultat final égal à 15 ?
Exercice 7 : (2 points)
Cinq personnes se partagent 1075 dirhams. Déterminer la
part de chacune sachant que la seconde a 27 dirhams de
plus que la première ; que la troisième a 27 dirhams de plus
que la seconde et ainsi de suite jusqu’à la cinquième.
•
•
•
•
•
Choisir un nombre de départ
Ajouter 1
Calculer le carré du résultat obtenu
Lui soustraire le carré du nombre de départ
Écrire le résultat final.
Exercice 8 : (2 points)
Un père a 42 ans et sa fille 12 ans.
"Dans combien d'années l'âge du père sera-t-il le
triple de celui de sa fille ?".
Bonus : (1 point)
Total : 30 points
Résoudre l’équation :
Bon travail
7x − 3 6x + 3
=
6x + 3 7 x − 3
1
Correction :
Exercice 1 : (4.5 points)
7 14  5 3 
3  10 4 
3  30 44 
A = − × − 
5
5
1−  −  1−  − 
15 15  7 4 
14  11 3 
14  33 33 
3
2 = 3+ 2
C=
=
B
=
+
7 14  20 21 
2 1
4 3
4 7−3 4 4
A = − × − 
−
−
15 15  28 28 
3 2
6 6
3 5 1 3 5
B= + × = +
3 −14
1 12
7 14 −1 7 14
1
4 2 4 4 8
1− ×
1+
A= − ×
= + ×
12 6 72
15 15 28 15 15 14 × 2
C = 14 33 = 11 = 11 = × =
6 5 11
1
1
1 11 1 11
B= + =
7 1 14 1 15 1
8 8 8
A= +
=
+
=
=
6
6
6
15 30 30 30 30 2
Exercice 2 : (5 points) On donne l'expression :
Exercice 3 : (5 points)
D (x) = (3x + 7)2 – (3x + 7)(9x + 6)
a) E (x) = 4 x 2 – 25 + (2x + 5) ( x – 4)
2
a) D (x) = (3x + 7) – (3x + 7)(9x + 6)
E (x) = 4 x 2 – 25 + 2x² – 8x + 5 x – 20
D (x) = 9x² + 42x + 49 – (27x² + 18x + 63x + 42)
E (x) = 6 x 2 – 3x – 45
D (x) = 9x² + 42x + 49 – 27x² – 18x – 63x – 42
b) E(x) = 4 x 2 – 25 + (2x + 5) ( x – 4)
D (x) = – 18x² – 39x + 7.
E(x) = (2 x – 5)(2x + 5) + (2x + 5) ( x – 4)
b) D (x) = (3x + 7)2 – (3x + 7)(9x + 6)
E(x) = (2x + 5) (2 x – 5+ x – 4)
D (x) = (3x + 7)[3x + 7 – (9x + 6)]
E(x) = (2x + 5) (3 x – 9)
D (x) = (3x + 7)[3x + 7 – 9x – 6]
c) E(0) = – 45 ; E(1) = 6 – 3 – 45 = – 42.
D (x) = (3x + 7)(– 6x + 1)
d) E (x) = 0 ssi (2x + 5) (3 x – 9) = 0
c) D(x) = 0 ssi (3x + 7)(– 6x + 1) = 0
Ssi
2x + 5 = 0 ou 3x – 9 = 0
Ssi 3x + 7 = 0 ou – 6x + 1 = 0
Ssi
2x = – 5 ou 3x = 9
Ssi 3x = – 7
ou 1 = 6x
5
9
Ssi
x=−
ou x = = 3
7
1
2
3
Ssi x = −
ou x =
3
6
Les solutions de l’équation est – 2.5 et 3.
7
1
Exercice 4 : (6 points)
Les solutions de l’équation est − et .
3
6
Soit A (x) = (6 x – 3)2 – (5x + 8) 2.
d) D(x) = 7 ssi – 18x² – 39x + 7 = 7
a) A(x) = (6 x – 3)2 – (5x + 8) 2
Ssi – 18x² – 39x = 0 ssi x (– 18x –39) = 0
A(x) = 36 x ² – 36x + 9 – (25x² + 80x +64)
Ssi x = 0 ou –18x – 39 = 0
A(x) = 36 x ² – 36x + 9 – 25x² – 80x – 64
Ssi x = 0 ou −39 = 18x
A(x) = 11 x ² – 116x –55
−39
b) A(x) = (6 x – 3)2 – (5x + 8) 2
Ssi x = 0 ou x =
A(x) = [(6 x – 3) – (5x + 8)][6 x – 3+ 5x + 8]
18
A(x) = [6 x – 3 – 5x – 8][11 x + 5x]
−39
Les solutions de l’équation est 0 et
.
A(x) = ( x – 11)(11 x + 5)
18
c)
(11x + 5)(x – 11) = 0.
Exercice 5 : (1.5 points)
Ssi 11x + 5 = 0 ou x – 11 = 0
Soit (E) l’équation suivante : 7x3 + 16 = –2x +7
Ssi
11x = – 5
ou x = 11
Le membre de gauche vaut :
5
Ssi
x=−
ou x = 11
7 × (−1)3 + 16 = −7 + 16 = 9
11
Le membre de droite vaut : −2 × (−1) + 7 = 7 + 2 = 9
5
Les solutions de l’équation est −
et 11.
Donc le nombre –1 est solution de l’équation (E)
11
d) A(x) = – 55 ⇔ 11 x ² – 116x –55 = – 55
Exercice 6 : (3 points)
Ssi 11x² – 116x = 0 ⇔ x(11x – 116) = 0
* 2 +1 = 3
Ssi x = 0 ou 11x – 116 = 0
ou 11x = 116
1. On a : * 3² = 9
. Lorsque le nombre de Ssi x = 0
116
* 9 − 2² = 9 − 4 = 5
Ssi x = 0 ou x =
11
départ est 2, le résultat est 5.
116
.
Les solutions de l’équation est 0 et
11
2
* x +1 = x +1
e) A(x) = – 116x ⇔ 11 x ² – 116x –
55 = –116x
⇔ 11 x ² = 55 ⇔ x ² = 5
Ssi x = 5 ou x = – 5
2. On a : * ( x + 1)² = x ² + 2 x + 1
. Le nombre de départ étant x, le
* x² + 2 x + 1 − x² = 2 x + 1
résultat final est 2x + 1.
3. Résolvons : 2 x + 1 = 15 donc 2x = 14 donc x = 7. Pour obtenir un Les solutions de l’équation est − 5 et
5.
résultat final égal à 15, il faut choisir 7 comme nombre de départ.
Exercice 7 : (4 points)
Exercice 8 : (6 points)
Soit x le nombre d’année recherchés.
Soit x la part de la première personne donc x + 27 est celle de la
deuxième personne, x + 54 de la troisième, x + 81 de la quatrième et
Actuel
Futur
enfin x + 108 est la part de la cinquième personne.
Père
42 ans
42 + x ans
D’après l’énoncé, on a :
fille
12 ans
12 + x ans
x + x + 27 + x + 54 + x + 81 + x + 108 = 1075
D’après l’énoncé, on a :
5 x + 270 = 1075
42 + x = 3(12 + x) ⇔ 42 + x = 36 + 3 x
5 x = 1075 − 270 = 805
⇔ 42 − 36 = 3 x − x ⇔ 6 = 2x
805
x=
= 161
⇔ x=3
5
Dans
3 ans l'âge du père sera le triple
Les personnes touchent respectivement : 161; 188 ; 215 ; 242 et 269
de celui de sa fille.
dirhams.
7x − 3 6x + 3
−1
3
est définie ssi x ≠
Bonus : L’équation
=
et x ≠ .
2
7
6x + 3 7 x − 3
On a : (7x – 3)² = (6x + 3)² ⇔ (7x – 3)² – (6x + 3)² = 0 ⇔ (7x – 3 + 6x + 3) (7x – 3 – 6x – 3) = 0
⇔ 13x(x – 6) = 0 ⇔ x = 0 ou x = 6.
Les solutions de l’équation sont 0 et 6.
3
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