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Arrangements d`hyperplans

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Arrangements d'hyperplans
Pauline Bailet
Université Nice Sophia Antipolis
Soutenance de Thèse
Dirigée par Alexandru Dimca
11 juin 2014
1/1
2/1
P. Bailet : On the monodromy of Milnor bers of hyperplane
arrangements, arXiv :1401.6042
P. Bailet, M. Yoshinaga : Degeneration of Orlik-Solomon
algebras and Milnor bers of complex line arrangements,
arXiv :1312.1771
3/1
4/1
Les objets
Un arrangement d'hyperplans A ⊂ Cn+1 est un ensemble ni
d'hyperplans Hi ⊂ Cn+1 :
A = {H1 , ... , Hd } ⊂ Cn+1 .
On dit que A est central si 0 ∈ ∩dj=1 Hj
On dit que A est essentiel si ∩dj=1 Hj = {0}
5/1
L'union des hyperplans de A est dénie par un polynôme :
Q(x1 , ... , xn+1 ) =
d
Y
lj (x1 , ... , xn+1 ) = 0,
j=1
où Hj = {lj = 0}.
Lorsque A est central, Q est homogène (de degré d ) et on peut
considérer l'arrangement projectif :
A0 = {H10 , ... , Hd0 } ⊂ PnC .
6/1
On note
n+1
M(A) = C
\
d
[
0
Hj , M(A ) =
j=1
PnC \
d
[
Hj0 ,
j=1
les complémentaires de A et A0 .
7/1
On note
L(A) = {X = Hi1 ∩ · · · ∩ Hik | X 6= ∅}
le treillis d'intersection de A ordonné par inclusion inverse, et
Lq (A) = {X ∈ L(A) | codim(X ) = q}.
Pour X ∈ L(A), on note
AX = {Hi ∈ A | X ⊂ Hi }.
8/1
Soit R un anneau commutatif unitaire.
On note A∗R (A) l'algèbre d'Orlik-Solomon de A,
et ai ∈ A1R (A) le générateur correspondant à l'hyperplan Hi .
Soient ω1 =
Pd
i=1 ai
∈ A1R (A), et
(A∗R (A), ω1 ∧) = { A∗R (A)
ω1 ∧
/ A∗+1 (A) }∗≥0
R
le complexe d'Aomoto.
9/1
Soit A = {H1 , ... , Hd } ⊂ Cn+1 central.
On appelle bre de Milnor de l'arrangement A, l'hypersurface
ane lisse dénie par :
F = Q −1 (1) ⊂ Cn+1 .
10 / 1
Soit λ = exp(2iπ/d), d = |A|. La monodromie sur F est :
h: F →F
x 7→ λ · x
On note
hq : H q (F , C) → H q (F , C), ∀q ≥ 0,
les operateurs de monodromie.
11 / 1
La problématique
Théorème (Orlik, Solomon, 1980)
A∗R (A) ' H ∗ (M(A), R).
⇒ H ∗ (M(A), R) est complètement déterminé par L(A).
12 / 1
La problématique
Théorème (Orlik, Solomon, 1980)
A∗R (A) ' H ∗ (M(A), R).
⇒ H ∗ (M(A), R) est complètement déterminé par L(A).
QUESTION OUVERTE (pour n ≥ 2) :
L(A) ⇒ h∗ ?
L(A) ⇒ bq (F ) = dim H q (F , C), 0 ≤ q ≤ n ?
12 / 1
Les opérateurs de monodromie
hq : H q (F , C) → H q (F , C)
sont diagonalisables, à valeur propres dans
µd = {λk , 0 ≤ k ≤ d − 1}.
13 / 1
On a la décomposition en sous-espaces propres :
H q (F , C) =
d−1
M
H q (F )λk ,
k=0
où H q (F )λk = ker(hq − λk · Id).
14 / 1
On a
H q (F , C) =
d−1
M
H q (M(A0 ), L0λk ),
k=0
est le système local de rang 1 sur M(A0 ) tel que la
où
monodromie autour de chaque hyperplan de A0 est λk .
L0λk
15 / 1
On va s'intéresser à q = 1 :
1
H (F , C) =
d−1
M
H 1 (F )λk .
k=0
Pour la valeur propre 1 :
H 1 (F )1 = H 1 (M(A0 ), C) ' Cd−1
est déterminé par L(A).
Pour les autres valeurs propres, c'est plus compliqué.
16 / 1
17 / 1
Soit A = {H1 , ... , Hd } ⊂ Cn+1 central de bre de Milnor F .
Dénition
Le graphe G (A) d'un arrangement A ⊂ Cn+1 est donné par :
Les sommets de G (A) sont les hyperplans Hi ∈ A.
Deux sommets distincts Hi et Hj sont reliés par une arête si et
seulement si |AX | = 2, où X = Hi ∩ Hj .
G (A) est connexe si pour tous sommets Hi , Hj ∈ A, il existe une
suite d'arêtes reliant Hi et Hj .
18 / 1
Exemples
L'arrangement des tresses An ⊂ Cn+1 :
Hij = {xi − xj = 0}, 1 ≤ i < j ≤ n + 1.
Figure: Les graphes G (A3 ) et G (A2 )
19 / 1
Exemples
L'arrangement des tresses An ⊂ Cn+1 :
Hij = {xi − xj = 0}, 1 ≤ i < j ≤ n + 1.
Figure: Les graphes G (A3 ) et G (A2 )
G (An ) est connexe pour tout n ≥ 4.
19 / 1
Théorème (2)
Soit A = {H1 , ... , Hd } ⊂ Cn+1 central de bre de Milnor F .
Supposons que les hypothèses suivantes sont vériées :
(i) Pour tout X ∈ L2 (A), on a |AX | ≤ 9.
(ii) Soit d n'est pas un multiple de 6,
soit il existe un hyperplan H ∈ A tel que :
si X ∈ L(A) vérie codim X = 2 et X ⊂ H, alors |AX | =
6 6.
(iii) Le graphe G (A) est connexe.
Alors H 1 (F , C) = H 1 (F )1 .
20 / 1
Exemple
Soit An ⊂ Cn+1 l'arrangement des tresses. Alors
H 1 (FAn , C) = H 1 (FAn )1 , ∀n ≥ 4.
21 / 1
Eliminer des valeurs propres en utilisant un résultat d'annulation de
la cohomologie tordue dû à Cohen, Dimca, Orlik.
22 / 1
Eliminer des valeurs propres en utilisant un résultat d'annulation de
la cohomologie tordue dû à Cohen, Dimca, Orlik.
Théorème (Papadima, Suciu, 2010)
Si ord(λk ) = p s , s ≥ 1, p premier, alors :
dim H 1 (M(A0 ), L0λk ) ≤ dimFp H 1 (A∗Fp (A0 ), ω10 ∧).
22 / 1
Eliminer des valeurs propres en utilisant un résultat d'annulation de
la cohomologie tordue dû à Cohen, Dimca, Orlik.
Théorème (Papadima, Suciu, 2010)
Si ord(λk ) = p s , s ≥ 1, p premier, alors :
dim H 1 (M(A0 ), L0λk ) ≤ dimFp H 1 (A∗Fp (A0 ), ω10 ∧).
Lemme (1)
Si G (A) est connexe, alors H 1 (A∗R (A), ω1 ∧) = 0, pour tout anneau
commutatif unitaire R.
22 / 1
23 / 1
Soit
A0 = {H10 , ... , Hd0 } ⊂ P2C
un arrangement constitué de d hyperplans, de complémentaire
M(A0 ) = P2C \
de bre de Milnor
d
[
Hj0 ,
j=1
F ⊂ C3 .
Soit λ = exp(2iπ/d). On considère la décomposition en
sous-espaces propres :
H 1 (F , C) =
d−1
M
H 1 (F )λk .
k=0
24 / 1
OBJECTIF : trouver des valeurs propre λk telles que
H 1 (F )λk = 0.
25 / 1
OBJECTIF : trouver des valeurs propre λk telles que
H 1 (F )λk = 0.
(Orlik, Randell, Hattori)
Si A0 est générique, alors H 1 (F , C) = H 1 (F )1 .
25 / 1
(Libgober, 2002) Supposons qu'il existe un hyperplan Hi0 ∈ A0
ne contenant que des points doubles.
Alors H 1 (F , C) = H 1 (F )1 .
26 / 1
Dénition
Soit m > 1 un entier strictement supérieur à 1. Notons
µ(Hi0 , m) = |{P ∈ Hi0 | m divise |A0P |}|,
= nombre de points sur Hi0 de multiplicités divisibles par m.
27 / 1
Dénition
Soit m > 1 un entier strictement supérieur à 1. Notons
µ(Hi0 , m) = |{P ∈ Hi0 | m divise |A0P |}|,
= nombre de points sur Hi0 de multiplicités divisibles par m.
(Libgober, 2002) Soit λk 6= 1 une racine de l'unité d'ordre
m > 2.
Si µ(Hi0 , m) = 0 pour un certain Hi0 ∈ A0 , alors H 1 (F )λk = 0.
27 / 1
(Yoshinaga, 2013) Supposons que les hyperplans de A0 sont
donnés par des equations linéaires à coecients réels.
Soit λk 6= 1 une racine de l'unité d'ordre m > 1.
Si µ(Hi0 , m) ≤ 1 pour un certain Hi0 ∈ A0 , alors H 1 (F )λk = 0.
28 / 1
Théorème (A)
Soit p ∈ Z un nombre premier et m = p s , s ≥ 1, tel que m|d.
Soit λk 6= 1 une racine de l'unité d'ordre m.
Supposons A0 essentiel. Alors on a :
si µ(Hi0 , p) ≤ 1 pour un certain Hi0 ∈ A0 , alors H 1 (F )λk = 0.
29 / 1
Démonstration
On va supposer µ(H10 , p) ≤ 1.
On a un isomorphisme de variétés algébriques
C2 ' P2C \H10 .
On obtient un arrangement ane B ⊂ C2 ,
M(B) ' M(A0 ).
On a donc :
H 1 (F )λk ' H 1 (M(B), Lλk ).
30 / 1
Théorème (Papadima, Suciu)
Si ord(λk ) = p s , s ≥ 1, p premier, alors :
dim H 1 (M(B), Lλk ) ≤ dimFp H 1 (A∗Fp (B), ω1 ∧).
31 / 1
Théorème (Papadima, Suciu)
Si ord(λk ) = p s , s ≥ 1, p premier, alors :
dim H 1 (M(B), Lλk ) ≤ dimFp H 1 (A∗Fp (B), ω1 ∧).
Théorème (B)
Soit p ∈ Z un nombre premier. Supposons A0 essentiel. Alors on a :
si µ(H10 , p) ≤ 1, alors H 1 (A∗Fp (B), ω1 ∧) = 0.
31 / 1
Dégénérescence totale
B
C3
B1 = {H1 , H2 }
B2 = {H3 }
B3 = {H4 , H5 }
H1
He1
H2
H3
-
H 4 H5
He2
He3
Dégénérescence totale de B en C3 .
32 / 1
On partitionne B ⊂ C2 en familles de droites parallèles :
B = B1 t B2 t · · · t Bl .
Soit R un anneau commutatif unitaire.
33 / 1
On partitionne B ⊂ C2 en familles de droites parallèles :
B = B1 t B2 t · · · t Bl .
Soit R un anneau commutatif unitaire.
Théorème (C)
Il existe un homomorphisme de R−algèbres surjectif, appelé
homomorphisme de dégénérescence totale :
∆tot : A∗R (B) −→ A∗R (Cl ),
où Cl est un arrangement central de l droites dans C2 .
33 / 1
Dégénérescence directionnelle
P2
B
B1 = {H1 , H2 }
B2 = {H3 }
B3 = {H4 , H5 }
H1
He3
H2
H3
-
H 4 H5
He1
He2
Dégénérescence directionnelle de B en P2 par rapport à B3 .
34 / 1
Reprenons notre décomposition B = B1 t B2 t · · · t Bl ⊂ C2 .
Fixons une classe Bβ .
Posons v = |Bβ |.
35 / 1
Reprenons notre décomposition B = B1 t B2 t · · · t Bl ⊂ C2 .
Fixons une classe Bβ .
Posons v = |Bβ |.
Théorème (D)
Il existe un homomorphisme de R−algèbres surjectif, appelé
dégénérescence directionnelle par rapport à la classe Bβ :
∆dir : A∗R (B) −→ A∗R (Pv ),
où Pv ⊂ C2 est constitué de v droites parallèles, et d'une autre
droite qui leur est transversale.
35 / 1
36 / 1
Préliminaires
Soit A ⊂ Cn+1 un arrangement d'hyperplans central, |A| = d, de
bre de Milnor
F ⊂ Cn+1 .
Alors H q (F , Q) est une structure de Hodge mixte pour tout q ≥ 0.
37 / 1
H q (F , Q) est un Q−espace vectoriel de dimension nie
38 / 1
H q (F , Q) est un Q−espace vectoriel de dimension nie
Il existe une ltration, dite "ltration de Hodge", décroissante
et nie
H q (F , C) = F 0 H q (F , C) ⊃ · · · ⊃ F q+1 H q (F , C) = 0
38 / 1
H q (F , Q) est un Q−espace vectoriel de dimension nie
Il existe une ltration, dite "ltration de Hodge", décroissante
et nie
H q (F , C) = F 0 H q (F , C) ⊃ · · · ⊃ F q+1 H q (F , C) = 0
Il existe une ltration, dite "ltration par le poids", croissante
et nie
0 ⊂ Wq H q (F , Q) ⊂ · · · ⊂ W2q H q (F , Q) = H q (F , Q),
telle que
GrkW H q (F , Q) = Wk H q (F , Q)/Wk−1 H q (F , Q)
est une structure de Hodge pure de poids k pour tout k.
38 / 1
Il existe une ltration induite,
F a GrkW H q (F , C)
et on note
W
H a,b (H q (F , C)) = GrFa Gra+b
H q (F , C),
et
ha,b (H q (F , C)) = dimC H a,b (H q (F , C))
les nombres de Hodge mixtes.
39 / 1
Problématique
Soit Y une variété algébrique complexe. On s'interesse à la
propriété suivante :
ha,b (H q (Y , C)) = 0 si a 6= b, ∀q
(P)
On dit que les H q (Y , C) sont des structures de Hodge-Tate
mixtes.
40 / 1
Problématique
Soit Y une variété algébrique complexe. On s'interesse à la
propriété suivante :
ha,b (H q (Y , C)) = 0 si a 6= b, ∀q
(P)
On dit que les H q (Y , C) sont des structures de Hodge-Tate
mixtes.
QUESTION : est-ce que la bre de Milnor F d'un arrangement
central A vérie (P) ?
40 / 1
ha,b (H q (Y , C)) = 0 si a 6= b, ∀q
(P)
(P) vérié si Y = M(A) est le complémentaire d'un
arrangement.
41 / 1
ha,b (H q (Y , C)) = 0 si a 6= b, ∀q
(P)
(P) vérié si Y = M(A) est le complémentaire d'un
arrangement.
h∗ trivial ⇒ H ∗ (F , C) = H ∗ (F , C)1 = H ∗ (M(A0 ), C)
⇒ F vérie (P).
41 / 1
QUESTION : F vérie (P) ⇒ h∗ trivial ?
42 / 1
QUESTION : F vérie (P) ⇒ h∗ trivial ?
VRAI pour A ⊂ C2 central.
(Dimca, 2012) VRAI pour A ⊂ C3 central et essentiel.
(Dimca) Faux pour A ⊂ C8 .
42 / 1
QUESTION : F vérie (P) ⇒ h∗ trivial ?
VRAI pour A ⊂ C2 central.
(Dimca, 2012) VRAI pour A ⊂ C3 central et essentiel.
(Dimca) Faux pour A ⊂ C8 .
On propose d'étudier le cas A ⊂ C4 central.
42 / 1
On considère
GrFa H q (F , C),
et l'application linéaire induite :
hq : GrFa H q (F , C) → GrFa H q (F , C),
à valeurs propres dans µd .
Soit β ∈ µd . On note
GrFa H q (F , C)β
le sous-espace propre associé la valeur propre β.
43 / 1
Dénition
Le spectre d'un arrangement central A ⊂ Cn+1 ,
de bre de Milnor F , est le polynôme
Sp(A) =
X
nα t α ,
α∈Q
dont les coecients sont donnés par :
nα =
X
(−1)q−n dim GrFa H q (F , C)β ,
q>0
où β = exp(−2iπα), et a = bn + 1 − αc est la partie entière de
n + 1 − α.
44 / 1
Théorème (Budur, Saito, 2009)
Le spectre Sp(A) d'un arrangement central A ⊂ Cn+1 est
complètement déterminé par le treillis d'intersection L(A).
45 / 1
On a des formules combinatoires pour calculer les coecients
nα du spectre données par Budur et Saito pour un
arrangement A ⊂ C3 central et essentiel.
De nouvelles formules ont été récemment obtenues (2014)
pour un arrangement A ⊂ C4 central par Yoon.
Ces formules nous permettent de démontrer le théorème
suivant.
46 / 1
Théorème
Soit A ⊂ C4 un arrangement central et essentiel,
de bre de Milnor F . Les hypothèses suivantes sont équivalentes :
(i) La monodromie h∗ est triviale sur tous les groupes de
cohomologie H ∗ (F , C).
(ii) Les nombres de Hodge mixtes vérient
ha,b (H q (F , C)) = 0, ∀a 6= b, ∀q
(P)
(iii) Les coecients du spectre nα sont nuls pour tout α ∈
/ Z.
47 / 1
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