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1 Lycée Bachir Sfar Amdoun Béja
2015-2016
Durée : 2 heures
Prof :Ghomriani Béchir
Devoir de Synthèse N°1
3ème Math
Exercice N°1 :
On donne ci-dessous la courbe représentative  f d’une fonction f définie
1. Par lecture graphique donner :
sur IR  . On sait que :
lim
f ( x)

0
; lim
f ( x) et

0

La droite  : y  x  2 est une asymptote à  f au voisinage de   

La droite d’équation " x  0" est une asymptote à  f
a. Déterminer : f ' 1

La courbe admet deux demi-tangentes au point B  1,1 et une
b.
tangente horizontale au point C 1,0

1
x  x  2  f ( x)
lim  f ( x)  x  2 et lim
x 
2.
f d '  1 et
lim
x 1
; f '  2
f ( x)  1
x 1
3. Dresser le tableau de variation de la fonction f
La tangente à la courbe  f au point A  2 ; 0,5 passe par le point
P  4, 2
Exercice N°2 :


Le plan est muni d’un repère orthonormé O, i , j .On désigne par  f la
courbe représentative de la fonction f définie sur IR  1 par :
 x2  1  x

f ( x)   2 x  1

 x 1
si x  0
si x  0
1. Etudier la continuité de f en 0.
2. Déterminer lim f ( x)
x 1
résultat.
et
lim f ( x) .interpréter graphiquement le
x 1
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Prof :Ghomriani Béchir
Devoir de Synthèse N°1
2015-2016
Durée : 2 heures
3ème Math
b. Construire la courbe  f ainsi que les demi-tangentes à  f au
3.
a. Calculer lim f ( x) . interpréter graphiquement le résultat.
point d’abscisse 0.
x 
b. Montrer que l’axe des abscisses est une asymptote horizontale à
la courbe  f au voisinage de   
Exercice N°3 :
4.

b. Montrer que lim
x 0

Le plan est muni d’un repère orthonormé direct O, i , j .on considère
a. Etudier la dérivabilité de f à droite en 0 .
f ( x)  f (0)
1.
x


A et B de coordonnées cartésienne A 1  3 ,  1  3 et B
la fonction f est-elle dérivable en 0 ?
3 

C le point de coordonnées polaires C  2, 
.
4 

c. Déterminer des équations des demi-tangentes à  f en 0
5. On donne le tableau de variation de la fonction f
1. Déterminer les coordonnées cartésiennes du point C
a. Compléter le tableau par les limites trouvées
2.
a. Déterminer les coordonnées polaires du point B
x

0
1

1
……
b. Construire le point B
3.
f ( x)
a. Montrer que OBAC est un rectangle
0
……
b. Construire le point A
…
4.


a. Montrer que OA , OB 

6
 2 
b. Déduire les coordonnées polaires de A


3, 3 .
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Devoir de Synthèse N°1
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Durée : 2 heures
3ème Math
Exercice N°4 :
Soit A 

4. Déduire que A 

2  1 cos  2 x   sin  2 x 
3 

cos  2 x 

8 

2 2
2
5. Résoudre dans IR l’équation A  0
1.
a. Résoudre dans IR l’équation  E  : x2  2 x  1  0
b. en utilisant la formule : tan  2a  
2 tan  a 
1  tan 2  a 
 
Montrer que tan   est une solution de l’équation  E 
8
 
c. déduire que tan    2  1
8
2. Montrer que A 



sin  2 x  
8

2  1 cos  2 x   sin  2 x  
 
cos  
8

3. En utilisant la formule cos 2  a  
2 2
 
Montrer que cos   
2
8
1  cos  2a 
2
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