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Applications affines usuelles

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 29 décembre 2015
Enoncés
1
Applications affines usuelles
Exercice 1 [ 02320 ] [Correction]
Soit E un espace affine de dimension finie et de direction E.
Soient ~u un vecteur de E et A un point de E. Décrire la transformation t~u ◦ sA .
Exercice 2 [ 02321 ] [Correction]
Soit E un espace affine de dimension finie et de direction E.
Soient H et H 0 deux homothéties de centres O et O0 et de rapports λ et λ0 .
Décrire la transformation H 0 ◦ H
Exercice 3 [ 02322 ] [Correction]
Soit f une transformation affine et h une homothétie de centre O et de rapport λ
d’un espace affine E.
Préciser l’application f ◦ h ◦ f −1 .
Exercice 4 [ 02323 ] [Correction]
Déterminer toutes les applications affines f d’un espace affine E dans lui-même
f : E → E commutant avec toutes les translations.
Exercice 5 [ 02324 ] [Correction]
Montrer que l’ensemble G formé par la réunion des translations et des symétries
centrales d’un espace affine E, muni du produit de composition des applications,
forme un groupe.
Exercice 6 [ 02325 ] [Correction]
Soit f une application affine d’un espace affine E dans lui-même qui transforme
toute droite vectorielle en une droite parallèle. Montrer que f est une translation
ou une homothétie.
Exercice 7 [ 02326 ] [Correction]
On note HT le groupe des homothéties-translations d’un espace affine E.
Montrer que si G est un sous-groupe commutatif de HT alors G n’est que
constitué que de translations ou d’homothéties de même centre.
Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 29 décembre 2015
Corrections
Corrections
Exercice 1 : [énoncé]
Posons B = A + 12 ~u. On a t~u = sB ◦ sA donc t~u ◦ sA = sB .
Exercice 2 : [énoncé]
−−0−−→
H ◦ H = λλ0 IdE .
Si λλ0 6= 1 alors H 0 ◦ H est une homothétie de rapport λλ0 et de centre Ω
−−→
−−→
−→
caractérisé par : (H 0 ◦ H)(Ω) = Ω soit O0 Ω = λ0 O0 O + λλ0 OΩ qui donne
−−0→ λ0 (1−λ) −−0→
O Ω = 1−λλ0 O O.
−−→
00
Si λλ0 = 1 alors H 0 ◦ H est une translation
de vecteur ~u = OO
−
−
→
−−→avec
00
0
0
0
0 0
0
O = H (H(O)) = H (O) = O + λ O O et donc ~u = (1 − λ )OO0 .
Exercice 3 : [énoncé]
f ◦ h ◦ f −1 est une application affine de partie linéaire λ Id qui fixe le point f (O).
Que λ = 1 ou non, f ◦ h ◦ f −1 est l’homothétie de centre f (O) et de rapport λ.
2
Montrons que ce λ ne dépend pas de ~u.
Soit B = (~e1 , . . . , ~en ) une base de E.
Pour tout 1 ≤ i ≤ n, il existe λi ∈ R tel que f~(~ei ) = λi~ei .
Soit 1 ≤ i 6= j ≤ n. Il existe λ ∈ R tel que f (~ei + ~ej ) = λ(~ei + ~ej ). Or
f~(~ei + ~ej ) = f~(~ei ) + f~(~ej ) = λi~ei + λj ~ej .
La famille (~ei , ~ej ) étant libre, on obtient λ = λi = λj .
Ainsi λ1 = . . . = λn = λ et f~ = λ Id.
Exercice 7 : [énoncé]
Si G n’est constitué que de translation : ok
Sinon soit H une homothétie h de centre O et de rapport λ 6= 1 appartenant à G.
Soit t une translation de vecteur ~u appartenant à G.
H ◦ t = t ◦ H donne en O : λ~u = ~u d’où ~u = ~0 et t = IdE qui est une homothétie
de centre O.
Soit H 0 une homothétie appartenant à G.
H ◦ H 0 = H 0 ◦ H donne en O : H(H 0 (O)) = H 0 (O). Or O est le seul point fixe de
H donc H 0 (O) = O et par suite H 0 est une homothétie de centre O.
Finalement les éléments de G sont tous des homothéties de centre O.
Exercice 4 : [énoncé]
Les translations sont solutions. Montrons que ce sont les seules.
Si f commutent avec les translations alors pour tout vecteur ~u de la direction E
de E, (t~u ◦ f )(A) = (f ◦ t~u )(A) donne f (A + ~u) = f (A) + ~u. Par suite f~(~u) = ~u
puis f~ = IdE . Ainsi f est une translation.
Exercice 5 : [énoncé]
Considérons L : GA(E) → GL(E) définie par L(f ) = f~.
L est un morphisme de groupes et {IdE , − IdE } est un sous-groupe de GL(E)
donc G = L−1 ({IdE , − IdE }) est un sous-groupe de GA(E).
Exercice 6 : [énoncé]
Soit f une solution du problème posé. Montrons qu’il existe λ ∈ R tel que
f~ = λ Id.
Soient ~u un vecteur non nul, A un point de E et D la droite D = A + V ect(~u).
On a f (D) = f (A) + Vect(~u).
Or f (A + ~u) = f (A) + f~(~u) ∈ f (D) donc f~(~u) est colinéaire à ~u et donc il existe
λ ∈ R tel que f~(~u) = λ.~u.
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