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1-Quelques rappels - La physique à Mérici

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Calculer la masse du Soleil sachant que la Terre tourne autour de celui-ci
avec une période de 365,2563634 jours et que le rayon de l’orbite terrestre
est de 149 600 000 km.
commons.wikimedia.org/wiki/File:Sunset_in_Zadar_2.jpg
Apprenez comment résoudre ce problème dans ce chapitre.
Luc Tremblay Collège Mérici, Québec
Pour suivre ces notes de cours d’astrophysique, on tient pour acquis que les étudiants ont
préalablement fait un cours de physique mécanique. Voici quelques rappels de ce cours
qui seront bien utiles. Parfois, on ajoutera quelques résultats.
Commençons par un bref rappel des lois de Newton. Elles seront d’une importance
capitale pour expliquer le mouvement et la structure des corps célestes.
Première Loi de Newton ou loi de l’inertie
Si la force externe nette sur un objet est nulle alors
la vitesse de l’objet est constante (grandeur et direction)
Deuxième loi de Newton en composantes
F
x
 ma x
F
y
 ma y
F
z
 ma z
Troisième loi de Newton


FAB   FBA
Tous les objets qui ont une masse attirent tous les autres objets qui ont une masse. La
force d’attraction entre deux objets ponctuels est
Loi de la gravitation de Newton (formule générale)
1) Grandeur de la force
F G
m1m2
r2
où
²
G  6, 674 1011 Nm
kg ²
2) Direction de la force
Attraction des deux masses l’une vers l’autre
Version 2016
1 – Quelques rappels 2
Luc Tremblay Collège Mérici, Québec
Définition du champ gravitationnel
Si on place un objet à un endroit et qu’il subit une force gravitationnelle, alors il y a un
champ gravitationnel à cet endroit. Puisque n’importe quelle masse placée près de la
Terre subit une force, on peut conclure qu’il y a un champ gravitationnel autour de la
Terre.
On notera ce champ par g. Par définition, le champ a les caractéristiques suivantes :
1) Plus le champ est fort, plus la force est grande.
2) Plus on place une masse importante dans un champ, plus la force est grande.
La deuxième caractéristique se remarque facilement à la surface de la Terre. Si on place
une petite roche à un endroit, elle subit une certaine force. Si on place une masse deux
fois plus grande au même endroit, elle subit une force deux fois plus grande.
La valeur du champ peut varier d’un endroit à l’autre. C’est d’ailleurs pour ça qu’on dit
que c’est un champ, car en mathématiques, un champ est une quantité dont la valeur peut
varier d’un endroit à l’autre.
Selon les deux caractéristiques mentionnées précédemment, on peut résumer la définition
du champ gravitationnel avec la formule suivante.
Force sur un objet de masse m dans un champ gravitationnel


F  mg
Comme la force est un vecteur, g doit aussi être un vecteur. Ce vecteur pointe dans la
direction de la force que subira une masse si on la place à cet endroit. Le champ
gravitationnel est donc un champ vectoriel.
L’unité du champ est le N/kg ou encore le m/s² (qui sont deux unités équivalentes).
Qu’est-ce qui fait le champ?
On peut se demander d’où vient le champ s’il y a un champ à un endroit. La réponse n’est
pas si compliquée. S’il y a un champ gravitationnel à un endroit, c’est qu’une masse va
subir une force gravitationnelle si on la place à cet endroit. Or, si elle subit une force
gravitationnelle, c’est qu’elle est attirée par d’autres corps. Donc s’il y a un champ à un
endroit, c’est qu’il y a des masses autour de cet endroit. Cela veut donc dire que
Version 2016
1 – Quelques rappels 3
Luc Tremblay Collège Mérici, Québec
Les masses font un champ gravitationnel autour d’elles.
Par exemple, il y a un champ gravitationnel dans votre chambre parce qu’il y a un corps
très important tout près de votre chambre qui fait un champ autour de lui : La Terre.
Champ gravitationnel d’une masse ponctuelle de masse M
Si les masses font un champ autour d’elles, on doit être en mesure de déterminer
l’intensité de ce champ. Commençons par un cas simple. On va déterminer quel est le
champ gravitationnel fait par une masse ponctuelle de masse M.
On sait que si on a deux masses ponctuelles (de masses M et m), la force entre les deux
est
F G
Mm
r2
On peut aussi considérer qu’il y a une force sur la masse m parce qu’elle est dans le
champ gravitationnel créé par la masse M. Dans ce cas, la force est
F  mg
Comme ces deux façons de voir la force gravitationnelle doivent donner le même résultat,
on a
mg  G
Mm
r2
ce qui nous donne
Grandeur du champ gravitationnel d’une masse ponctuelle de masse M
g
GM
r2
On voit que le champ gravitationnel diminue rapidement à mesure qu’on s’éloigne de la
masse. Aussi, plus la masse sera importante, plus le champ gravitationnel sera important
autour de la masse. La direction du champ à différents endroits autour de la masse M est
illustrée sur la figure.
Version 2016
1 – Quelques rappels 4
Luc Tremblay Collège Mérici, Québec
www.vias.org/physics/bk4_06_03.html
Le champ pointe toujours vers la masse M, car c’est la direction de la force que fait la
masse M sur les masses autour d’elle puisque la force gravitationnelle est toujours
attractive.
Champ gravitationnel d’un objet non ponctuel
Pour calculer le champ fait par un objet de forme quelconque, on va le séparer en petits
morceaux infinitésimaux. Le champ fait par chacun de ces petits morceaux ponctuels de
masse dm sera identique au champ fait par une masse ponctuelle. La grandeur de ce
champ est
dg 
Gdm
r2
Finalement, on va faire une somme
vectorielle de tous les champs faits
par les petites masses pour obtenir
le champ total. Cette somme
d’infinitésimaux est une intégrale.
Le champ gravitationnel d’une sphère
Le champ gravitationnel d’une sphère est d’une importance capitale puisque c’est la
forme des planètes et des étoiles, seuls objets qui ont une masse suffisante pour générer
des forces gravitationnelles non négligeables. On pourrait même dire que le calcul du
Version 2016
1 – Quelques rappels 5
Luc Tremblay Collège Mérici, Québec
champ gravitationnel pour toutes autres formes que la sphère n’est qu’un simple exercice
intellectuel dont la seule utilité est de nous divertir.
On trouve le champ résultant d’une sphère de la même façon que ce qu’on a fait avec la
tige : on sépare la sphère en petits morceaux et on trouve le champ fait par chacun des
petits morceaux. On somme ensuite à l’aide d’une intégrale les champs faits par chacun
des petits morceaux pour obtenir le champ total. Le résultat de ce calcul assez complexe,
qu’on vous épargne, est étonnamment simple. À l’extérieur d’une sphère, le champ
gravitationnel est identique à celui fait par une masse ponctuelle de même masse qui
serait située au centre de la sphère. Autrement dit, le champ gravitationnel à l’extérieur
d’une sphère est donné par
Champ gravitationnel à l’extérieur d’une sphère
g
GM
r2
où r est la distance à partir du centre de la sphère. (Ce résultat, de même que ceux qui
suivront, est valide uniquement si la sphère est symétrique, ce qui veut dire qu’elle est
identique dans toutes les directions à partir du centre. La densité peut varier, mais elle ne
peut varier qu’en fonction de la distance du centre de la sphère.)
À l’intérieur de la sphère, le champ gravitationnel dépend de la façon dont la masse est
répartie. Si la masse est répartie uniformément, on a
Champ gravitationnel à l’intérieur d’une sphère de densité constante
g
Version 2016
GMr
R3
1 – Quelques rappels 6
Luc Tremblay Collège Mérici, Québec
Le graphique de la valeur du champ en fonction de la distance du centre de la sphère est
donc
en.wikibooks.org/wiki/A-level_Physics_(Advancing_Physics)/Gravitational_Fields/Worked_Solutions
Le champ gravitationnel d’une sphère uniforme atteint donc sa valeur maximale à la
surface de la sphère.
Pourquoi utiliser le champ gravitationnel?
Le concept de champ va nous permettre de séparer le calcul de la force entre deux objets
en deux étapes, ce qui va grandement nous faciliter la vie. On fait ce genre de calcul en
séparant le calcul en deux parties.
1) On calcule le champ gravitationnel fait par un des objets
On trouve le champ en séparant l’objet en morceaux, puis en sommant, à
l’aide d’une intégrale, les champs faits par chacun des morceaux pour trouver
le champ total.
2) On trouve la force sur l’autre objet avec F = mg
Ça semble facile, mais ça peut se compliquer. En effet, si l’objet n’est pas
dans un champ constant, il faudra séparer l’objet en petits morceaux et
calculer la force sur chacun des morceaux. On trouvera ensuite la force totale
en sommant, à l’aide d’une intégrale, les forces sur chacun des morceaux.
La force entre deux sphères
On peut maintenant calculer la force entre deux sphères. Le calcul se fait en deux étapes,
comme le calcul de force entre deux tiges fait précédemment. On commence par calculer
le champ gravitationnel fait par une des sphères. On connait le résultat dans ce cas : un
champ identique à celui d’une masse ponctuelle située au centre de la sphère. On doit
Version 2016
1 – Quelques rappels 7
Luc Tremblay Collège Mérici, Québec
ensuite calculer la force sur la deuxième sphère en calculant la force sur chaque atome de
la deuxième sphère causée par le champ de la première sphère et en sommant toutes ces
forces en faisant une intégrale. Le résultat est encore une fois remarquablement simple.
La force entre les sphères est la même que celle qu’on aurait si toute la masse de chaque
sphère était concentrée au centre de la sphère! Ce calcul a demandé de faire deux
intégrales assez complexes (une pour le calcul de g pour le champ de la première sphère
et une autre pour la force sur la deuxième sphère), mais le résultat est tout simple. La
force entre deux sphères est donnée par
Force entre deux sphères
F
GMm
r2
où r est la distance
entre les centres des
sphères.
Cette force obéit bien sûr à la troisième loi de Newton. Cela signifie que les deux masses
subissent la même force d’attraction l’un vers l’autre.
www.brighthub.com/science/space/articles/117594.aspx
Le champ gravitationnel à la surface et à une certaine
distance d’une planète
Avec ces formules, on peut trouver le champ gravitationnel d’une planète.
Version 2016
1 – Quelques rappels 8
Luc Tremblay Collège Mérici, Québec
Exemple 1.3.1
Quelle est la grandeur du champ gravitationnel…
a) à la surface de la Terre si elle a une masse de 5,972 x 1024 kg et un rayon de
6378 km?
À la surface, on est à 6378 km du centre de la Terre. En prenant la formule du
champ fait par une sphère, on obtient donc
11
24
²
GM 6,674  10 Nm
kg ²  5,972  10 kg
g 2 
 9,80 kgN
2
6
R
 6,378  10 m 
b) à 1000 km au-dessus de la surface de la Terre si elle a une masse de
5,972 x 1024 kg et un rayon de 6378 km?
À 1000 km de la surface, on est à 7378 km du centre de la Terre. En prenant la
formule du champ fait par une sphère, on obtient donc
11
24
²
GM 6,674  10 Nm
kg ²  5,972  10 kg
g 2 
 7,32 kgN
2
6
R
 7,378  10 m 
On peut voir que le champ gravitationnel diminue à mesure qu’on s’éloigne de la
Terre.
c) à la surface de la Lune si elle a une masse de 7,35 x 1022 kg et un rayon de
1738 km?
À la surface, on est à 1738 km du centre de la Lune. En prenant la formule du
champ fait par une sphère, on obtient donc
11
22
²
GM 6,674  10 Nm
kg ²  7,35  10 kg
g 2 
 1, 62 kgN
2
6
R
1,738  10 m 
Ce champ est environ le sixième du champ à la surface de la Terre.
Version 2016
1 – Quelques rappels 9
Luc Tremblay Collège Mérici, Québec
Exemple 1.3.2
Un satellite de 100 kg est entre la Terre et la Lune, à l’endroit indiqué sur la figure. La
masse de la Lune est 7,35 x 1022 kg et la masse de la Terre est 5,97 x 1024 kg.
a) Quel est le champ à cet endroit?
Le champ total est la somme des champs faits par chaque planète. Comme le
champ est toujours vers la planète qui cause le champ, le champ fait par la Terre
est vers la gauche et le champ fait par la Lune est vers la droite.
On a donc
g
GM Terre GM Lune
 2
2
rTerre
rLune
24
6,674  1011 Nm
kg ²  5,97  10 kg
2

 2  108 m 
2
22
6,674  1011 Nm
kg ²  7, 35  10 kg
2

1,85  10 m 
8
2
 0,009961 kgN  0,000144 kgN
 0,009817 kgN
Une réponse négative signifie que le champ gravitationnel est vers la Terre.
b) Quelle est la force sur le satellite?
La force est
F  mg
 100kg  0,009817 kgN
 0,9817 N
Comme la force est négative, elle est dirigée vers la Terre.
Version 2016
1 – Quelques rappels 10
Luc Tremblay Collège Mérici, Québec
Très souvent, les astres sont en orbites autour d’un autre astre, comme la Terre est en
orbite autour du Soleil. On va supposer dans cette section que l’orbite est un cercle
parfait.
Dans ce cas, l’objet décrit une trajectoire circulaire et l’objet doit donc avoir une
accélération de v²/r dirigée vers le centre de la trajectoire circulaire. Cela signifie qu’on
doit avoir
Le mouvement circulaire uniforme

v2
F

m

r
vers le centre de la trajectoire circulaire
Comme il n’y a que la force de gravitation qui
agit sur le corps, c’est cette force qui joue le rôle
de force centripète. On a donc
GM c m
v2
m
r2
r
La masse au centre s’appelle Mc, pour masse
centrale.
On voit alors que l’objet en orbite doit avoir une
vitesse très précise pour être en orbite circulaire.
Si on isole v, on obtient
www.ux1.eiu.edu/~addavis/3050/Ch09Gravity/Sat.html
La vitesse d’un objet en orbite circulaire
v
GM c
r
Le temps nécessaire pour faire le tour de l’objet central (la période T) est donc
T
Version 2016
distance
2 r

vitesse
GM c
r
1 – Quelques rappels 11
Luc Tremblay Collège Mérici, Québec
En simplifiant, on a
La période d’un objet en orbite circulaire (3e loi de Kepler)
T  2
r3
GM c
On appelle parfois cette formule la troisième loi de Kepler puisque ce dernier découvrit
en 1618 que T²  r³ pour les planètes tournant autour du Soleil.
La masse des corps célestes
C’est avec cette formule qu’on peut trouver la masse des corps célestes. Voici un
exemple.
Exemple 1.4.1
Calculer la masse du Soleil sachant que la Terre tourne autour de celui-ci avec une
période de 365,2566 jours et que le rayon de l’orbite terrestre est de 149 600 000 km.
Avec la formule de la période, on trouve
T  2
r3
GM c
1, 496  10 m 
11
365, 2566  24  60  60s  2
3
6,674  1011 Nm
Mc
kg 2
2
M c  1,9885  1030 kg
Les objets en orbite sont en chute libre
Cela n’est pas évident, mais les objets en orbite sont en chute libre. Pour nous en
convaincre, supposons que nous lancions trois balles horizontalement à partir du sommet
d’une très haute falaise, mais à des vitesses différentes. Il n’y a pas de friction de l’air
dans ces situations.
Commençons par lancer une balle pas très rapidement. On a alors un projectile qui
tombera avec la trajectoire courbant vers le sol ressemblant à celle sur la figure. Comme
tous les projectiles, cette balle est en chute libre.
Version 2016
1 – Quelques rappels 12
Luc Tremblay Collège Mérici, Québec
slid.es/tofergregg/gravity-and-fluid-dynamics/fullscreen#/22
Si on lance la balle avec une plus grande vitesse maintenant, on a toujours une balle en
chute libre. La trajectoire aura l’air de celle-ci. (On a exagéré beaucoup la courbure de la
Terre dans cette image.)
slid.es/tofergregg/gravity-and-fluid-dynamics/fullscreen#/22
On a lancé la balle avec tellement de vitesse que la courbure de la Terre commence à
avoir de l’importance. On voit que la balle courbe encore vers le sol et que le sol courbe
aussi. Dans ce cas, la balle finira quand même par frapper le sol.
Si on augmente encore la vitesse pour atteindre la vitesse nécessaire pour l’orbite
circulaire, on aura la situation suivante.
slid.es/tofergregg/gravity-and-fluid-dynamics/fullscreen#/22
La trajectoire de l’objet en chute libre courbe toujours vers le sol à cause de la force de
gravitation. Cependant, le sol courbe aussi de telle sorte que l’objet est toujours à la
même distance du sol. Ainsi, l’objet, même s’il est en chute libre, ne frappera jamais le
sol et se déplacera continuellement sur son orbite circulaire.
Version 2016
1 – Quelques rappels 13
Luc Tremblay Collège Mérici, Québec
On demande parfois pourquoi la Lune ne tombe pas sur la Terre si elle est attirée par la
force de gravitation. Tout comme la balle du dernier exemple, la Lune est bel et bien en
chute libre, mais elle ne frappe jamais la Terre puisque la force de gravitation ne fait que
courber la trajectoire de la Lune de sorte qu’elle ne s’approche pas de la Terre.
Le vidéo suivant (en anglais) reprend cette explication.
http://www.youtube.com/watch?v=MpiknSRTmT4
Erreur fréquente : En orbite, il y a équilibre entre
la gravitation et la force centrifuge.
Il arrive très souvent qu’on affirme qu’il y a équilibre entre la force
centrifuge et la force gravitationnelle sur les objets en orbite circulaire. On
vous montre alors une image telle que l’image ci-contre.
On sait que cela ne peut pas être correct puisque la force
centrifuge n’existe pas. De plus, si ces deux forces
s’annulaient vraiment, la somme des forces serait nulle et
l’objet aurait une trajectoire en ligne droite. On ne peut
avoir une trajectoire circulaire si la somme des forces est
nulle puisque cela serait en contradiction évidente avec la
première loi de Newton.
J’ai même trouvé cette explication dans une revue en Inde
vendue pour aider les futurs étudiants universitaires à se
préparer aux examens d’entrée à l’université.
xp.hauduroy.free.fr/Mise_en_orbite.html
Version 2016
1 – Quelques rappels 14
Luc Tremblay Collège Mérici, Québec
La formule
On a obtenu précédemment l’énergie gravitationnelle en partant de la force
gravitationnelle. Cependant, en prenant la formule de la force de gravitation près de la
Terre (mg), notre résultat n’est valide que si on reste près de la surface de la Terre. Elle
n’est donc pas correcte en général puisqu’on sait que la force de gravitation entre une
planète et un objet diminue avec le carré de la distance. On va donc obtenir ici une
formule plus générale de l’énergie gravitationnelle en partant de la loi de la gravitation.
F
GMm
r2
Pour calculer l’énergie gravitationnelle,
imaginons qu’on se déplace en ligne
droite en s’éloignant de la Terre, tel
qu’illustré sur la figure. On aura alors un
mouvement en une dimension, ce qui
nous permet d’écrire
U g    Fdr
www.how-to-draw-cartoons-online.com/cartoon-earth.html
Comme notre axe est dirigé en s’éloignant de la Terre (puisque les valeurs de r
augmentent quand on s’éloigne de la Terre), la force est négative, car elle est dirigée vers
la Terre. On a donc
U g    Fdr
 GMm 
     2  dr
r 

GMm
dr

r2
Cette intégrale nous donne
Ug  
GMm
 Constante
r
Avec l’énergie gravitationnelle mgy, la constante d’intégration nous permettait de
changer la position de l’origine y = 0. La constante permet de faire cela uniquement si
l’énergie est une fonction linéaire de la position. Ici, la constante ne nous permet pas de
changer la position de l’origine r = 0 puisque r est au dénominateur dans la fonction. La
constante n’a en fait aucune utilité et nous allons poser qu’elle est nulle. On a alors
Version 2016
1 – Quelques rappels 15
Luc Tremblay Collège Mérici, Québec
Énergie gravitationnelle (Ug ) (formule générale)
Ug  
GMm
r
Le r est la distance entre l’objet et le centre de la planète ou de l’étoile et il n’est pas
possible de changer cela. L’énergie gravitationnelle est toujours négative et s’approche de
zéro à mesure que l’objet s’éloigne de la planète ou de l’étoile. Ainsi, l’énergie
gravitationnelle augmente à mesure que l’objet s’éloigne de la planète ou de l’étoile.
Dans le fond, c’est pratique que l’énergie gravitationnelle soit nulle quand un objet est
loin d’une planète ou d’une étoile, car on n’a pas besoin de tenir compte de toutes les
autres planètes et étoiles de l’univers quand on calcule l’énergie gravitationnelle d’un
objet à proximité de la Terre. Toutes ces planètes et étoiles étant tellement loin, l’énergie
gravitationnelle due à ces corps célestes sera tout à fait négligeable.
Noter que quand on calcule l’énergie gravitationnelle d’un objet à proximité d’une
planète, ce qu’on obtient n’est pas l’énergie de l’objet uniquement, mais plutôt l’énergie
du système planète-objet. Si l’énergie gravitationnelle se transforme en énergie cinétique,
l’énergie cinétique peut donc se retrouver dans l’objet et la planète et non pas uniquement
dans l’objet. La répartition dépend des masses et des contraintes sur le système.
Cependant, si la planète est nettement plus massive que l’objet, l’énergie gravitationnelle
ira presque exclusivement en énergie cinétique de l’objet.
Exemple 1.5.1
On lance une balle à 5000 m/s vers le haut à partir de la surface de la Terre. Jusqu’à
quelle hauteur va monter la balle si on néglige la friction faite par l’atmosphère?
L’énergie mécanique initiale est
1 2 GM Terre m
mv 
2
r

GM
1
Terre m
 mv 2 
2
RTerre
E
Au départ, r est le rayon de la Terre parce que quand l’objet est la surface de la
Terre, il est à une distance du centre égale au rayon de la Terre.
Quand l’objet arrive au point le plus haut, sa vitesse est nulle. Son énergie
mécanique est donc
GM terre m
1
mv2 
r
2
GM terre m

r
E 
Version 2016
1 – Quelques rappels 16
Luc Tremblay Collège Mérici, Québec
En égalant l’énergie initiale à l’énergie au point le plus haut, on obtient
E  E
1
GM T m GM T m

mv 2 
2
RT
r
24
24
²
²
  6, 674 1011 Nm
  6, 674 1011 Nm
1
s ²  5,974  10 kg 
s ²  5,974  10 kg 
m 2

 5000 s  
r
2
 6,378 106 m 
r   7,972 106 m
Ceci est la distance entre l’objet et le centre de la Terre. Si on veut la distance à
partir de la surface, on doit soustraire le rayon de la Terre.
distance  7,972 106 m  6,378 106 m  1,594 106 m  1594km
Il ne faut donc pas utiliser la formule Ug = mgy si les objets s’éloignent beaucoup de la
surface de la Terre. Le calcul est peu plus difficile avec la formule générale, mais la
réponse est exacte.
L’énergie mécanique d’un objet en orbite
À partir de l’équation générale de l’énergie gravitationnelle, on peut faire une formule
toute simple qui va nous donner l’énergie mécanique d’un objet en orbite circulaire
autour d’un corps céleste.
L’énergie mécanique de l’objet de masse m en orbite autour d’un corps céleste de masse
Mc est
Emec 
1 2 GM c m
mv 
r
2
Or, comme la force centripète sur l’objet est la force de gravitation, on a
mv 2 GM c m

r
r2
et qu’ainsi
mv 2 
GM c m
r
En remplaçant dans l’équation de l’énergie mécanique, on obtient
Version 2016
1 – Quelques rappels 17
Luc Tremblay Collège Mérici, Québec
1 2 GM c m
mv 
r
2
1  GM c m  GM c m
 

r
2 r 
Emec 
Emec
 1   GM c m 
Emec    1 

 2  r 
Pour obtenir finalement
Énergie mécanique d’un objet de masse m en orbite autour d’un corps céleste de
masse Mc
Emec  
GM c m
2r
Le fait que l’énergie soit négative nous indique que l’objet est lié à la planète, qu’il ne
pourra pas quitter la planète. En effet, à une distance très grande de la planète, l’énergie
gravitationnelle est nulle et l’énergie cinétique est positive. Cela signifie que l’énergie
mécanique est au minimum zéro quand l’objet est loin de la planète. Si l’objet à une
énergie mécanique totale négative, il ne peut pas aller aux endroits où l’énergie est nulle
et l’objet en orbite ne peut donc pas quitter la planète.
Si on veut que l’objet quitte la planète, on doit lui fournir de l’énergie jusqu’à ce que son
énergie mécanique devienne nulle (au minimum). Ainsi, si l’énergie mécanique d’un
objet en orbite autour de la Terre est de -1000 J, on doit lui fournir au moins 1000 J pour
qu’il puisse quitter la Terre.
Exemple 1.5.2
Quelle énergie doit-on fournir pour placer un satellite de 100 kg en orbite sur une orbite
circulaire à 200 km au-dessus de la surface de la Terre? (La masse de la Terre est
5,974 x 1024 kg et le rayon de la Terre est 6378 km.)
L’énergie mécanique est
Emec 
1 2 GM T m
mv 
2
r
où MT est la masse de la Terre. (Il y a deux objets dans le système : La Terre et le
satellite. Comme la Terre est au repos, l’énergie cinétique le la Terre n’a pas été
incluse dans la formule. Par contre, la Terre est incluse dans l’énergie
gravitationnelle puisque cette énergie est l’énergie gravitationnelle du satellite et de
la Terre.)
Version 2016
1 – Quelques rappels 18
Luc Tremblay Collège Mérici, Québec
À l’instant 1, le satellite est au repos à la surface de la Terre. L’énergie est donc
1 2 GM T m
mv 
2
r
  6, 674 1011
 0
E
   5,974 10
 6,378 10 m 
Nm ²
s²
24
kg   100kg 
6
 6, 2513 109 J
(Ne pas prendre la formule de l’énergie mécanique en orbite que l’on a obtenue dans
cette section puisque le satellite n’est pas en orbite à ce moment. Notez qu’on a
négligé la vitesse initiale du satellite due à la rotation de la Terre.)
À l’instant 2, le satellite est en orbite. L’énergie est
E 

GM T m
2r 
  6, 674  1011
Nm ²
s²
   5,974 10
24
kg   100kg 
2  6,378 106 m  200 000m 
 3, 0307 109 J
La variation d’énergie est donc
Emec  E   E
 3, 0306  109 J  6, 2513 109 J
 3, 22  109 J
C’est l’énergie qu’il faut fournir pour amener le satellite en orbite. De façon un peu
plus formelle, on aurait fait
E  Wnc  E 
6, 2514  10 J  Wnc  3,0307  109 J
9
Wnc  3, 22  109 J
Ce qui signifie aussi que le moteur doit faire un travail de 3,22 x 109 J pour mettre le
satellite en orbite.
(Notez que cette énergie correspond à l’énergie qu’on peut obtenir en brulant environ
100 litres d’essence. Ça semble peu, mais en fait il en faut beaucoup plus parce qu’il
faut également donner de l’énergie mécanique à la fusée et au carburant. En plus, ce
100 litres suppose que toute l’énergie libérée par l’essence qui brule va en énergie
Version 2016
1 – Quelques rappels 19
Luc Tremblay Collège Mérici, Québec
mécanique alors qu’en réalité, une bonne partie va en chaleur. Il faut donc beaucoup
de carburant pour compenser cette perte d’énergie en chaleur.)
La vitesse de libération
On va chercher maintenant avec quelle vitesse on doit lancer un objet à partir de la
surface d’une planète pour qu’il puisse quitter la planète sans retomber sur celle-ci. On
appelle cette vitesse la vitesse de libération.
Initialement (instant 1), à la surface du corps céleste de masse Mc et de rayon Rc ,
l’énergie mécanique est
1 2 GM c m
mv 
2
r
GM c m
1
 mv 2 
2
Rc
E
Quand l’objet est rendu très loin de la planète (instant 2), son énergie est
GM c m
1
mv2 
r
2
1
 mv2
2
E 
L’énergie gravitationnelle devient négligeable puisque r est très grand. Si on veut la
vitesse initiale minimum pour s’éloigner de la planète, on doit trouver l’énergie
mécanique minimum. Avec l’énergie mécanique à l’instant 2, on voit que cette énergie
minimum est obtenue quand v’ = 0.
E  0
On a alors
E  E
1
GM c m
0
mv 2 
2
Rc
Il ne reste qu’à isoler la vitesse dans cette équation pour obtenir la vitesse de libération.
Vitesse de libération
vlib 
Version 2016
2GM c
Rc
1 – Quelques rappels 20
Luc Tremblay Collège Mérici, Québec
Exemple 1.5.3
Quelle est la vitesse de libération de la Terre sachant qu’elle a une masse de
5,974 x 1024 kg et un rayon de 6378 km?
La vitesse de libération est
vlib 

2 6, 674  10 11
Nm 2
kg 2
 5,974 10 kg 
24
6,378  106 m
 11,18km / s
Cela veut dire que si on lance un objet à partir de la surface de la Terre avec une vitesse
supérieure à 11,18 km/s, il ne retombera pas sur Terre. Si on le lance avec une vitesse
inférieure à 11,18 km/s, il finira par revenir sur Terre (évidemment, on néglige la friction
de l’air dans ce calcul). Cela veut dire aussi qu’un objet ayant une vitesse inférieure à
11,18 km/s quand il est à la surface de la Terre a une énergie mécanique négative. L’objet
ne peut donc pas aller à une distance très grande où l’énergie gravitationnelle est zéro.
(Rappelez-vous, l’objet ne peut pas être aux endroits où l’énergie mécanique est plus
petite que U.) S’il a une vitesse supérieure à 11,18 km/s, son énergie mécanique est
positive et il peut donc aller loin de la Terre où l’énergie gravitationnelle est nulle.
Énergie gravitationnelle d’une sphère uniforme
On peut maintenant calculer l’énergie gravitationnelle d’une sphère uniforme. Cette
énergie sera utile, car elle permettra de calculer l’énergie libérée lors de la formation
d’une planète ou d’une étoile.
On va ajouter des couches minces l’une à la suite de l’autre à la sphère pour faire une
sphère de rayon R.
Tous les morceaux de cette couche de masse dm
étant à la même distance du centre de la sphère, son
énergie est
dU g  
GM c dm
r
Or, la masse centrale dépend de la taille de la
sphère. En la reliant à la densité de la sphère par
urro.astr.cwru.edu/Academics/Astr221/StarPhys/gravity.html
Version 2016
1 – Quelques rappels 21
Luc Tremblay Collège Mérici, Québec
4
M c   r3
3
on a
G 43  r 3  dm
dU g  
r
4
dU g  G 3  r 2  dm
La masse de la couche est
dm    volume
dm     épaisseur    aire 
dm    dr   4 r 2 
On a donc
dU g  G 43  r 2  dm
dU g  G 43  r 2  dr 4 r 2
dU g  G 163  2 r 4  2 dr
Ceci est l’énergie d’une mince couche sphérique. On trouve l’énergie totale en sommant
l’énergie de toutes les couches pour former une sphère de rayon R.
R
U g    G 163  2 r 4  2 dr
0
R
U g  G 163  2  2  r 4 dr
0
R
 r5 
U g  G    
 5 0
16
3
2
2
U g  G 163  2  2
R5
5
Comme on a
4
M   R3 
3
3M
R3 
4
Version 2016
1 – Quelques rappels 22
Luc Tremblay Collège Mérici, Québec
On a
R5
5
1 6
U g  G 163  2  2
R
5R
U g  G 163  2  2
1  3M 
U g  G  


5 R  4 
16
3
Ug  
2
2
2
16G 2  2 9 M 2
3  5  R 16 2  2
Ug  
3GM 2
5 R
On a donc
Énergie gravitationnelle d’une sphère uniforme
3 GM 2
Ug  
5 R
Exemple 1.5.4
Quelle est l’énergie gravitationnelle de la Terre sachant qu’elle a une masse de
5,974 x 1024 kg et un rayon de 6378 km? (en supposant que sa densité est uniforme)
L’énergie gravitationnelle est
Ug  
3 GM 2
5 R
11 Nm
24
3 6, 674  10 kg 2   5,974  10 kg 

5
6,378  106 m
2
2
 2, 241 1032 J
Cela signifie qu’il faudra fournir au moins 2,241 x 1032 J pour séparer la Terre en petits
morceaux éparpillés dans l’espace. Il en est ainsi parce que tous ces morceaux éloignés
les uns des autres auront une énergie gravitationnelle nulle s’ils sont loin les uns des
autres. Comme leur énergie cinétique peut être au minimum de 0, cela signifie que
l’énergie minimale de tous les morceaux éparpillés est de 0 J. Il faut donc fournir
2,241 x 1032 J pour passer de -2,241 x 1032 J à 0 J.
Version 2016
1 – Quelques rappels 23
Luc Tremblay Collège Mérici, Québec
Cette énergie correspond à 3 milliards de milliards de fois l’énergie dégagée par
l’explosion nucléaire d’Hiroshima et ce n’est pas loin de toute l’énergie dégagée par le
Soleil pendant toute une année.
Première Loi de Newton ou loi de l’inertie
Si la force externe nette sur un objet est nulle alors
la vitesse de l’objet est constante (grandeur et direction)
Deuxième loi de Newton en composantes
F
x
 ma x
F
y
 ma y
F
z
 ma z
Troisième loi de Newton


FAB   FBA
Loi de la gravitation de Newton (formule générale)
1) Grandeur de la force
F G
m1m2
r2
où
G = 6,674 x 10-11 N m² / kg²
2) Direction de la force
Attraction des deux masses l’une vers l’autre
Force sur un objet de masse m dans un champ gravitationnel


F  mg
Grandeur du champ gravitationnel d’une masse ponctuelle de masse M
g
Version 2016
GM
r2
1 – Quelques rappels 24
Luc Tremblay Collège Mérici, Québec
Champ gravitationnel à l’extérieur d’une sphère
g
GM
r2
Champ gravitationnel à l’intérieur d’une sphère de densité constante
g
GMr
R3
Force entre deux sphères
F
GMm
r2
où r est la distance entre
les centres des sphères
Le mouvement circulaire uniforme

F m
v2
r
vers le centre de la trajectoire circulaire
La vitesse d’un objet en orbite circulaire
v
Version 2016
GM c
r
1 – Quelques rappels 25
Luc Tremblay Collège Mérici, Québec
La période d’un objet en orbite circulaire (3e loi de Kepler)
r3
GM c
T  2
Énergie gravitationnelle (Ug) (formule générale)
GMm
r
Ug  
Énergie mécanique d’un objet de masse m en orbite autour d’un corps céleste de
masse Mc
Emec  
GM c m
2r
Vitesse de libération
vlib 
2GM c
Rc
Énergie gravitationnelle d’une sphère uniforme
Ug  
3 GM 2
5 R
Utilisez les données suivantes pour ces exercices.
Soleil
Masse du Soleil = 2 x 1030 kg
Rayon de Soleil = 696 000 km
Version 2016
1 – Quelques rappels 26
Luc Tremblay Collège Mérici, Québec
Terre
Masse de la Terre = 5,98 x 1024 kg
Rayon de la Terre = 6380 km
Distance entre la Terre et le Soleil= 149 600 000 km
Lune
Masse de la Lune = 7,35 x 1022 kg
Rayon de la Lune = 1738 km
Distance entre la Terre et la Lune = 384 400 km
Mars
Masse de Mars = 6,42 x 1023 kg
Rayon de Mars = 3400 km
1.3 Le champ gravitationnel
1. Quel est le champ gravitationnel à 100 km de la surface de la Terre?
2. Quel est le champ gravitationnel à 1000 km sous la surface de la Terre si on
considère que la densité de la Terre est uniforme?
3.
a) Quel est le champ gravitationnel à la surface de Mars?
b) Quel serait le poids d’une personne de 70 kg à la surface de Mars?
c) Ce poids représente quel pourcentage du poids de la personne sur Terre?
4. À quelle distance de la Terre le champ gravitationnel est-il nul entre la Terre et la
Lune?
5. Quelle est la force exercée par la Terre sur la Lune?
6. Quelle est la force exercée par la Lune sur la Terre?
1.4 Les orbites circulaires
7. Quelle est la vitesse de la Lune sur son orbite autour de la Terre?
Version 2016
1 – Quelques rappels 27
Luc Tremblay Collège Mérici, Québec
8. Titan tourne autour de Saturne avec une période de 15,95 jours.
a) Quelle est la masse de Saturne si la distance entre Titan et Saturne est de
1 220 000 km?
b) Quelle est la force exercée sur Saturne par Titan si Titan à une masse de
1,35 x 1023 kg?
9. Les satellites géostationnaires sont des satellites qui tournent autour de la Terre
au même rythme que la Terre tourne sur elle-même, ce qui signifie qu’ils font le
tour de la Terre en 24 h. À quelle distance de la surface est située l’orbite de ces
satellites?
1.5 L’énergie gravitationnelle
10. Quelle est l’énergie gravitationnelle du système Terre-Soleil?
11. Quelle est l’énergie mécanique du système Terre-Soleil?
12. Combien d’énergie faudrait-il fournir pour éloigner la Terre de 10 000 000 km du
Soleil?
13. Quelle est la vitesse de libération à la surface de la Lune?
14. Quelle est l’énergie gravitationnelle de la Lune, si on suppose que c’est une
sphère uniforme?
1.3 Le champ gravitationnel
1.
2.
3.
4.
5.
6.
9,50 N/kg
8,27 N/kg
a) 3,71 N/kg
b) 259 N
c) 37,8 %
À 346 037 km du centre de la Terre
1,99 x 1020 N
1,99 x 1020 N
1.4 Les orbites circulaires
7. 1019 m/s
Version 2016
1 – Quelques rappels 28
Luc Tremblay Collège Mérici, Québec
8. a) 5,65 x 1026 kg
9. 35 880 km
b) 3,42 x 1021 N
1.5 L’énergie gravitationnelle
10. -5,34 x 1033 J
11. -2,67 x 1033 J
12. 1,67 x 1032 J
13. 2376 m/s
14. -1,24 x 1029 J
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1 – Quelques rappels 29
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