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CAHIER DE TEXTES 2015-2016

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Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
CAHIER
1
DE TEXTES
2015-2016
LUNDI 11 JANVIER
• Remise des copies du devoir surveillé du samedi 9 janvier.
• Cours du chapitre 18 « Structure d’espace vectoriel » :
— Espace vectoriel. Exemples : K, espaces vectoriels produits dont Kn , Mn,p (K), K[X ], espaces vectoriels de fonctions dont R I et RN .
— Combinaisons linéaires d’un nombre fini de vecteurs. Exemples sous forme d’exercice.
• Exercices du chapitre 17 « Polynômes » : 19, 26–1)4), 29.
• Exercices du chapitre 17 « Polynômes » à chercher pour mardi : 26–5)6).
2
SAMEDI 9 JANVIER
Devoir surveillé sur l’arithmétique des entiers relatifs, le calcul matriciel, les groupes et les anneaux. Distribution de la
correction.
3
VENDREDI 8 JANVIER
• Remise des copies du devoir à la maison « Calculs matriciels et quaternions ».
• Cours du chapitre 17 « Polynômes » :
— Exemples d’utilisation des relations coefficients-racines.
— Polynômes annulateurs d’une matrice carrée. Utilisation en vue de l’inversion et du calcul des puissances.
— Polynômes de Lagrange associés à une famille finie de nombres complexes. Polynôme d’interpolation
de Lagrange de degré minimal.
• Exercices du chapitre 17 « Polynômes » : 10, 13, 14, 15, 21–1)a)b)c), 23–1), 33, 34–1).
• Exercices du chapitre 17 « Polynômes » à chercher pour lundi : 19, 26–1)4), 29.
4
MERCREDI 6 JANVIER
• Distribution de la feuille d’exercices du chapitre 18 « Structure d’espace vectoriel ».
• Cours du chapitre 17 « Polynômes » :
— Utilisation des dérivées successives pour le calcul d’une multiplicité. Racines complexes d’un polynôme réel.
— Factorisation « par les racines ». Nombre maximal de racines comptées avec multiplicité. Le polynôme nul est le seul polynôme qui possède une infinité de racines. Identification polynôme/fonction
polynomiale.
— Polynôme scindé. Relations coefficients-racines.
• Exercices du chapitre 16 « Structures de groupe et d’anneau » : 15–2).
• Exercices du chapitre 17 « Polynômes » : 3, 7, 9, 11.
• Exercices du chapitre 17 « Polynômes » à chercher pour vendredi : 13, 15, 21–1)a)b)c), 23–1).
1
Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
5
MARDI 5 JANVIER
• Copies du devoir à la maison « Calculs matriciels et quaternions » relevées. Distribution de la correction et du devoir
à la maison « Pi carré sur six ».
• Distribution du cours du chapitre 18 « Structure d’espace vectoriel ».
• Cours du chapitre 17 « Polynômes » :
— Divisibilité, propriétés. Théorème de la division euclidienne.
— Reste de la division euclidienne par X − λ. Racine d’un polynôme, multiplicité. Formule de Taylor
polynomiale.
• Exercices du chapitre 17 « Polynômes » : 2, 4.
• Exercices du chapitre 17 « Polynômes » à chercher pour mercredi : 7, 11–1).
6
LUNDI 4 JANVIER
• Remise des copies du devoir à la maison « Équations de Mordell ».
• Cours du chapitre 17 « Polynômes » : Polynôme, identification polynomiale. Anneau K[X ]. Notation polynomiale.
Formule de Vandermonde. Degré, degré d’une somme, d’un produit. Intégrité de K[X ]. Composition des polynômes,
degré d’une composée. Dérivées successives, degré, formule de Leibniz. Évaluation polynomiale, fonction polynomiale.
• Exercices du chapitre 16 « Structures de groupe et d’anneau » : 11, 17–1), 21.
• Exercices du chapitre 17 « Polynômes » à chercher pour mardi : 2, 3, 4.
7
VENDREDI 18 DÉCEMBRE
• Remise des copies du devoir à la maison « Séries de Engel ». Copies du devoir à la maison « Équations de Mordell »
relevées. Distribution de la correction.
• Distribution de la feuille d’exercices du chapitre 17 « Polynômes ».
• Exercices du chapitre 16 « Structures de groupe et d’anneau » : 12, 13, 15–1), 18–1), 20, 22-1)2).
• Exercices du chapitre 16 « Structures de groupe et d’anneau » à chercher pour lundi : 11, 15–2), 17–1), 21.
8
MERCREDI 16 DÉCEMBRE
• Distribution du cours du chapitre 17 « Polynômes » et du devoir à la maison « Calculs matriciels et quaternions ».
• Cours du chapitre 16 « Structures de groupe et d’anneau » :
— Centre de Mn (K). Anneau intègre. Groupe des inversibles d’un anneau.
— Sous-anneau, caractérisation. Exemples sous forme d’exercices. Corps.
• Exercices du chapitre 16 « Structures de groupe et d’anneau » à chercher pour mercredi : 1, 4, 7, 8.
• Exercices du chapitre 16 « Structures de groupe et d’anneau » à chercher pour vendredi : 12, 13, 15–1), 18–1), 20.
2
Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
9
MARDI 15 DÉCEMBRE
• Cours du chapitre 16 « Structures de groupe et d’anneau » :
— Sous-groupe, caractérisation. Exemples sous forme d’exercices. Groupe produit.
— Anneau. Règles usuelles de calcul, formule du binôme, formule « a n − b n ».
• Exercices du chapitre 15 « Matrices et systèmes linéaires » : 12, 18–5), 20–1)f).
• Exercices du chapitre 16 « Structures de groupe et d’anneau » à chercher pour mercredi : 1, 4, 7, 8.
10
LUNDI 14 DÉCEMBRE
• Cours du chapitre 16 « Structures de groupe et d’anneau » :
— Loi interne, magma. Commutativité, associativité. Élément neutre. Inversibilité, inverse, propriétés.
Partie stable par une loi interne.
— Groupe. Groupe symétrique d’un ensemble non vide.
• Exercices du chapitre 15 « Matrices et systèmes linéaires » : 7, 10–5), 18–3), 20–2)a).
• Exercices du chapitre 15 « Matrices et systèmes linéaires » à chercher pour mardi : 12, 18–5), 20–1)f).
11
VENDREDI 11 DÉCEMBRE
• Distribution du cours du chapitre 16 « Structures de groupe et d’anneau » et de la feuille d’exercices associée.
• Cours du chapitre 15 « Matrices et systèmes linéaires » :
— Opérations sur les matrices inversibles. Les opérations élémentaires sont des produits par des matrices inversibles. Application de l’algorigthme du pivot à l’inversibilité et à l’inversion. Exemples
sous forme d’exercices.
— Inversibilité d’une matrice triangulaire.
• Exercices du chapitre 15 « Matrices et systèmes linéaires » : 3, 4, 5, 6, 10–4), 11, 16, 17, 18–1)2), 20–1)a)b).
• Exercices du chapitre 15 « Matrices et systèmes linéaires » à chercher pour lundi : 7, 10–5), 18–3), 20–2)a).
12
MERCREDI 9 DÉCEMBRE
• Copies du devoir à la maison « Séries de Engel » relevées. Distribution de la correction et du devoir à la maison
« Équations de Mordell ».
• Cours du chapitre 15 « Matrices et systèmes linéaires » :
— Opérations élémentaires et algorithme du pivot. Exemples sous forme d’exercices.
— Matrice inversible, inverse. Système de Cramer. Caractérisation de l’inversibilité en termes de systèmes liéaires. Utilisation de l’algorithme du pivot pour l’inversibilité et l’inversion. Exemples sous
forme d’exercices.
— Matrices inversibles de taille 2. Formules de Cramer.
• Exercices du chapitre 15 « Matrices et systèmes linéaires » : 1, 2, 10–1)3).
• Exercices du chapitre 15 « Matrices et systèmes linéaires » à chercher pour vendredi : 3, 4, 10–4), 20–1)a), 16.
3
Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
13
MARDI 8 DÉCEMBRE
• Cours du chapitre 15 « Matrices et systèmes linéaires » : Notation Vect. Lien avec les systèmes linéaires et interprétation
géométrique. Rappels sur les droites du plan et les plans de l’espace.
• Exercices du chapitre 14 « Arithmétique des entiers relatifs » : 15, 27–1), 32.
• Exercices du chapitre 15 « Matrices et systèmes linéaires » : 1, 2, 10–1).
14
LUNDI 7 DÉCEMBRE
• Cours du chapitre 15 « Matrices et systèmes linéaires » :
— Matrices, coefficients, lignes, colonnes, matrices carrées. Addition et multiplication par un scalaire.
— Produit matriciel. Associativité, bilinéarité, matrice identité. Calculs élémentaires sous forme d’exercices. Formule du binôme et formule « Ak − B k ».
— Transposition, linéarité, involutivité, effet sur un produit. Matrice symétrique/antisymétrique.
— Trace d’une matrice carrée, linéarité, effet sur un produit.
— Systèmes linéaires, écriture matricielle. Principe « Solution particulière + solution générale de l’équation homogène ».
• Exercices du chapitre 14 « Arithmétique des entiers relatifs » : 13, 25, 34.
• Exercices du chapitre 14 « Arithmétique des entiers relatifs » à chercher pour mardi : 15, 27–1), 32.
15
SAMEDI 5 DÉCEMBRE
Devoir surveillé sur les suites.
16
VENDREDI 4 DÉCEMBRE
• Cours du chapitre 14 « Arithmétique des entiers relatifs » : Petit théorème de Fermat.
• Exercices du chapitre 14 « Arithmétique des entiers relatifs » : 6, 14, 19, 20, 21, 30–3), 31, 36.
• Exercices du chapitre 14 « Arithmétique des entiers relatifs » à chercher pour lundi : 13, 25, 34.
17
MERCREDI 2 DÉCEMBRE
• Distribution du cours du chapitre 15 « Matrices et systèmes linéaires ».
• Cours du chapitre 14 « Arithmétique des entiers relatifs » :
— Famille finie d’entiers premiers entre eux dans leur ensemble/deux à deux. Théorème de Bézout.
Théorème de Gauss. Entiers premiers entre eux et produit d’entiers. Forme irréductible d’un rationnel.
— PPCM de deux entiers. Lien avec le PGCD.
— Unicité de la factorisation première, valuations p-adiques. Propriétés des valuations p-adiques.
• Exercices du chapitre 14 « Arithmétique des entiers relatifs » : 8–1), 10, 11, 29–1), 30–1)2).
• Exercices du chapitre 14 « Arithmétique des entiers relatifs » à chercher pour vendredi : 6, 19, 21, 31.
4
Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
18
MARDI 1 DÉCEMBRE
ER
• Cours du chapitre 14 « Arithmétique des entiers relatifs » :
— Les diviseurs communs de a et b sont exactement les diviseurs de a ∧ b. Algorithme d’Euclide. Associativité du PGCD, possibilité de factoriser par un diviseur commun. Relation de Bézout. Algorithme
d’Euclide étendu.
— PGCD d’une famille finie d’entiers relatifs. Extension des résultats précédents.
— Couple d’entiers premiers entre eux. Exemple sous forme d’exercice.
• Exercices du chapitre 14 « Arithmétique des entiers relatifs » : 1, 2, 3–1), 4.
• Exercices du chapitre 14 « Arithmétique des entiers relatifs » à chercher pour mercredi : 8–1), 29–1), 30–1)2).
19
LUNDI 30 NOVEMBRE
• Distribution de la feuille d’exercices du chapitre 15 « Matrices et systèmes linéaires ».
• Cours du chapitre 14 « Arithmétique des entiers relatifs » :
— Nombre premier. Existence de la factorisation première. Infinité de l’ensemble des nombres premiers.
Crible d’Ératosthène.
— Théorème de la division euclidienne.
— Diviseurs communs. PGCD de deux entiers. Idée fondamentale de l’algorithme d’Euclide.
• Exercices du chapitre 12 « Limites d’une suite » : 38, 51.
• Exercices du chapitre 14 « Arithmétique des entiers relatifs » : 1, 2, 3–1), 4.
20
SAMEDI 28 NOVEMBRE
• Cours du chapitre 13 « Relations binaires » :
— Classes d’équivalence, ensemble quotient.
— Relation d’ordre. Relation d’ordre strict associé. Majorants/minorants d’une partie, plus grand/petit
élément, borne supérieure/inférieure.
• Cours du chapitre 14 « Arithmétique des entiers relatifs » :
— Relation de divisibilité, propriétés.
— Relation de congruence modulo un entier naturel, propriétés.
• Exercices du chapitre 13 « Relations binaires » : 2, 4.
• Exercices du chapitre 12 « Limite d’une suite » à chercher pour lundi : 38, 51.
21
VENDREDI 27 NOVEMBRE
• Distribution du cours du chapitre 13 « Relations binaires » et de la feuille d’exercices associée et du cours du chapitre
14 « Arithmétique des entiers relatifs » et de la feuille d’exercices associée.
• Cours du chapitre 13 « Relations binaires » :
— Relation binaire. Réflexivité, transitivité, symétrie, antisymétrie. Éléments comparables, relation totale.
— Relation d’équivalence.
• Exercices du chapitre 12 « Limite d’une suite » : 1–2)f), 25, 31, 35, 50.
• Exercices du chapitre 13 « Relations binaires » à chercher pour samedi : 2.
5
Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
22
MERCREDI 25 NOVEMBRE
• Copies du devoir à la maison « Un minimum qui vient tout compliquer » relevées. Distribution de la correction et du
devoir à la maison « Séries de Engel ».
• Exercices du chapitre 12 « Limite d’une suite » : 30, 33, 34, 36.
• Exercices du chapitre Exercices du chapitre 12 « Limite d’une suite » à chercher pour vendredi : 1–2)f), 25, 31, 35,
50.
23
MARDI 24 NOVEMBRE
• Cours du chapitre 12 « Limite d’une suite » :
— Extension des résultats du chapitre aux suites complexes.
— Théorème de Bolzano-Weierstrass (cas réel et complexe).
• Exercices du chapitre 12 « Limite d’une suite » : 28, 39–1)2).
• Exercices du chapitre 12 « Limite d’une suite » à chercher pour mercredi : 30, 33, 34.
24
VENDREDI 20 NOVEMBRE
• Remise des copies du devoir à la maison « L’épaisseur d’un cheveu ».
• Cours du chapitre 12 « Limite d’une suite » :
— Monotonie d’une suite définie par une relation « un+1 = f (un ) ». Exemples sous forme d’exercices.
Théorème « f (ℓ) = ℓ ».
— Caractérisation séquentielle de la borne supérieure. Caractérisation séquentielle de la densité. L’ensemble des décimaux est dense dans R. Développements décimaux illimités.
• Exercices du chapitre 12 « Limite d’une suite » : 9, 12, 16, 20–1)2), 46–1)a).
• Exercices du chapitre 12 « Limite d’une suite » à chercher pour lundi : 28, 39–1)2), 46–1)b).
25
MERCREDI 18 NOVEMBRE
• Copies du devoir surveillé prévu samedi 14 novembre relevées. Distribution de la correction.
• Cours du chapitre 12 « Limite d’une suite » :
— Comparaison exponentielles/factorielle.
— Suites adjacentes. Théorème des suites adjacentes. Exemple sous forme d’exercice.
— Partie de R stable par une fonction. Existence et unicité d’une suite définie par une relation « un+1 =
f (un ) ». Exemples sous forme d’exercices.
• Exercices du chapitre 12 « Limite d’une suite » : 1–2)a)b)c), 3, 11-3)4), 15, 19–1).
• Exercices du chapitre 12 « Limite d’une suite » à chercher pour vendredi : 9, 12, 16, 20–1)2).
6
Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
26
MARDI 17 NOVEMBRE
• Copies du devoir à la maison « L’épaisseur d’un cheveu » relevées. Distribution de la correction.
• Cours du chapitre 12 « Limite d’une suite » :
— Opérations sur les limites. Quelques preuves sous forme d’exercices.
— Théorème d’encadrement/de minoration/de majoration.
— Théorème de la limite monotone.
• Exercices du chapitre 12 « Limite d’une suite » : 2, 11–1)2), 42–2).
• Exercices du chapitre 12 « Limite d’une suite » à chercher pour mercredi : 1–2)a), 3.
27
LUNDI 16 NOVEMBRE
• Distribution du devoir suveillé qui aurait dû avoir lieu samedi 14 novembre.
• Distribution du devoir à la maison « Un minimum qui vient tout compliquer ».
• Cours du chapitre 12 « Limite d’une suite » :
— Opérations sur les limites. Quelques preuves sous forme d’exercices. Composition d’une limite de
fonction et d’une limite de suite.
— Limites et inégalités strictes. Limites et inégalités larges.
— Suites extraites. Limite d’une suite extraite. Si lim u2n =
n→+∞
lim u2n+1 = ℓ, alors lim un = ℓ.
n→+∞
n→+∞
Application à la démonstration qu’une limite n’existe pas.
• Exercices du chapitre 11 « Compléments sur les réels » : 4, 6–4), 9.
• Exercices du chapitre 12 « Limite d’une suite » : 1–1).
• Exercices du chapitre 12 « Limite d’une suite » à chercher pour mardi : 2, 11, 42–2).
28
VENDREDI 13 NOVEMBRE
• Distribution du cours du chapitre 12 « Limite d’une suite » et de la feuille d’exercices associée.
• Cours du chapitre 12 « Limite d’une suite » :
— Vocabulaire usuel sur les suites. Propriété vraie à partir d’un certain rang. Suites définies explicitement par une fonction ou implicitement par une relation de récurrence simple.
— Voisinage d’un point de R dans R. Définitions de la limite. Unicité. Convergence/divergence. Toute
suite convergente est bornée. Exemples sous forme d’exercices.
• Exercices du chapitre 10 « Injections, surjections, bijections » : 8–2).
• Exercices du chapitre 11 « Compléments sur les réels » : 1, 2, 5–1)2)3), 6–1), 7–1).
• Exercices à chercher pour lundi :
— Chapitre 11 « Compléments sur les réels » : 4, 6–4), 9.
— Chapitre 12 « Limite d’une suite » : 1–1).
7
Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
29
MARDI 10 SEPTEMBRE
• Cours du chapitre 11 « Compléments sur les réels » :
— Partie entière.
— Partie dense dans R. Exemples de Q et R \ Q.
• Exercices du chapitre 10 « Injections, surjections, bijections » : 8–1), 16, 18, 20.
• Exercices à chercher pour vendredi :
— Chapitre 10 « Injections, surjections, bijections » : 8–2).
— Chapitre 11 « Compléments sur les réels » : 1, 2, 5–1)2), 6–1).
30
LUNDI 9 NOVEMBRE
• Cours du chapitre 11 « Compléments sur les réels » :
— Toute partie non vide majorée de N possède un plus grand élément.
— Borne supérieure/inférieure. Lien avec le maximum/minimum. Opérations sur les bornes supérieures/inférieures.
— Propriété de la borne supérieure/inférieure.
— Droite achevée R.
• Exercices du chapitre 10 « Injections, surjections, bijections » : 4–10), 10, 17–2), 19–2).
• Exercices du chapitre 10 « Injections, surjections, bijections » à chercher pour mardi : 8–1), 16, 18.
31
VENDREDI 6 NOVEMBRE
• Distribution du cours du chapitre 11 « Compléments sur les réels ».
• Cours du chapitre 11 « Compléments sur les réels » :
— Partie majorée/minorée de R, majorant/minorant.
— Plus grand/petit élément, unicité.
— Toute partie non vide de N possède un plus grand élément.
• Exercices du chapitre 10 « Injections, surjections, bijections » : 3–1), 5, 7–1)2)3), 12, 13, 17–1), 19–1).
• Exercices du chapitre 10 « Injections, surjections, bijections » à chercher pour lundi : 4–10), 10, 17–2), 19–2).
32
MERCREDI 4 NOVEMBRE
• Cours du chapitre 10 « Injections, surjections, bijections » :
— Surjectivité. Composée de surjections.
— Bijectivité. Réciproque. Bijectivité de la réciproque et composée de bijections. Exemples sous forme
d’exercices. Image directe par f −1 et image réciproque par f .
— Présentation informelle de quelques paradoxes de l’équipotence.
• Exercices du chapitre 10 « Injections, surjections, bijections » : 1, 4–1)2)3)4).
• Exercices du chapitre 10 « Injections, surjections, bijections » à chercher pour vendredi : 5, 7–1)2)3), 12, 13.
8
Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
33
MARDI 3 NOVEMBRE
• Copies du devoir à la maison « L’intégrale de Gauss » relevées. Distribution de la correction et du devoir à la maison
« L’épaisseur d’un cheveu ».
• Distribution de la feuille d’exercices du chapitre 11 « Compléments sur les réels ».
• Cours du chapitre 10 « Injections, surjections, bijections » :
— Expression « à valeurs dans ».
— Image réciproque d’une partie par une application.
— Vocabulaire usuel : famille, composée, identité, restriction, prolongement.
— Injectivité. Exemple sous forme d’exercice. Composée d’injections. Toute fonction strictement monotone est injective.
• Exercices du chapitre 9 « Équations différentielles et suites récurrentes linéaires » : 13, 16–4), 17.
• Exercices du chapitre 10 « Injections, surjections, bijections » : 4–1)2)3)4).
34
LUNDI 2 NOVEMBRE
• Exercices du chapitre 9 « Équations différentielles et suites récurrentes linéaires » : 5, 6–1), 7, 9–3)9), 10–1).
• Cours du chapitre 9 « Équations différentielles et suites récurrentes linéaires » :
— Suites arithmético-géométriques. Exemple sous forme d’exercice.
— Suites récurrentes linéaires homogènes d’ordre 2, cas complexe et réel. Exemples sous forme d’exercice.
• Cours du chapitre 10 « Injections, surjections, bijections » :
— Fonction/application, ensemble de définition, ensemble d’arrivée, image et antécédents d’un point.
— Image directe d’une partie par une application, image d’une application.
• Exercices du chapitre 9 « Équations différentielles et suites récurrentes linéaires » à chercher pour mardi : 13, 16–4),
17.
35
VENDREDI 16 OCTOBRE
• Copies du devoir à la maison « Birapports, théorème de Miquel et sommes de Gauss » relevées. Distribution de la
correction et du devoir à la maison « L’intégrale de Gauss ».
• Cours du chapitre 9 « Équations différentielles et suites récurrentes linéaires » :
— Équations différentielles homogènes a y ′′ + b y ′ + c y = 0, cas complexe puis cas réel. Exemples sous
forme d’exercice.
— Équations différentielles a y ′′ + b y ′ + c y = d(x), existence et unicité de la solution d’un problème
de Cauchy. Principe de superposition.
— Solution particulière d’une équation de la forme a y ′′ + b y ′ + C y = Aeλx . Exemples sous forme
d’exercices.
• Exercices du chapitre 8 « Calculs de primitives et d’intégrales » : 7, 8–7)8), 10–8).
• Exercices du chapitre 9 « Équations différentielles et suites récurrentes linéaires » : 1–1)6)7), 2–4)5).
• Exercices du chapitre 9 « Équations différentielles et suites récurrentes linéaires » à chercher pour lundi : 5, 6–1), 7,
9–3)9), 10–1).
9
Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
36
MERCREDI 14 OCTOBRE
• Remise des copies du devoir surveillé du mercredi 7 octobre.
• Cours du chapitre 9 « Équations différentielles et suites récurrentes linéaires » :
— Introduction à la linéarité et aux équations linéaires. Principe « Solution particulière + solution
générale de l’équation homogène ». Principe de superposition.
— Équations différentielles homogènes y ′ + a(x) y = 0.
— Équations différentielles y ′ + a(x) y = b(x). Méthode de variation de la constante. Existence et
unicité de la solution d’un problème de Cauchy. Principe de superposition.
— Solution particulière d’une équation de la forme y ′ + a y = Aeλx .
• Exercices du chapitre 8 « Calculs de primitives et d’intégrales » : 9–3), 11–4), 17–3).
• Exercices du chapitre 9 « Équations différentielles et suites récurrentes linéaires » : 1–3), 2–1).
• Exercices à chercher pour vendredi :
— Chapitre 8 « Calculs de primitives et d’intégrales » : 7, 8–7)8), 10–8).
— Chapitre 9 « Équations différentielles et suites récurrentes linéaires » : 1–1)7), 2–4).
37
MARDI 13 OCTOBRE
• Exercices du chapitre 8 « Calculs de primitives et d’intégrales » : 8–5)6), 10–3)c), 10–5), 11–1)2), 13, 17–1)2),
9–1)2).
• Exercices du chapitre 8 « Calculs de primitives et d’intégrales » à chercher pour mercredi : 9–3), 11–4), 17–3).
38
LUNDI 12 OCTOBRE
• Exercices du chapitre 8 « Calculs de primitives et d’intégrales » :
— Exemple d’IPP sous forme d’exercice.
— Changement de variable. Exemples sous forme d’exercices.
• Exercices du chapitre 8 « Calculs de primitives et d’intégrales » : 1–8)9)10)11)12)13)14), 8–1)2)3)4), 10–1)2)3)a)b).
• Exercices du chapitre 8 « Calculs de primitives et d’intégrales » à chercher pour mardi : 8–5)6), 10–3)c), 11–1)2).
39
VENDREDI 9 OCTOBRE
• Distribution du cours du chapitre 9 « Équations différentielles et suites récurrentes linéaires » et de la feuille d’exercices
associée.
• Cours du chapitre 8 « Calculs de primitives et d’intégrales » :
— Primitives d’une fonction complexe, unicité à constante additive près.
1
2 + bx + c
a
x
avec discriminant négatif. Primitivation des fonctions x 7−→ eax cos(bx) et x 7−→ eax sin(bx). Primitivation de fonctions trigonométriques par linéarisation. Primitivation des fractions rationnelles par
utilisation de leur décomposition en éléments simples.
— Primitivation des fonctions de la forme f ′ × g ′ ◦ f . Primitivation des fonctions x 7−→
— Fonction complexe continue. Intégrale d’une fonction complexe continue sur un segment. Linéarité,
relation de Chasles, inégalité triangulaire, et pour les fonctions réelles, positivité, positivité stricte et
croissance.
10
Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
— Théorème fondamental de l’analyse.
— Fonction complexe de classe C 1 . Intégration par parties.
• Exercices du chapitre 7 « Introduction à la décomposition en éléments simples » : 2, 3–2)4).
• Exercices du chapitre 8 « Calculs de primitives et d’intégrales » : 1–1)2)3)4)5)6)7), 3–1), 4–1).
• Exercices du chapitre 8 « Calculs de primitives et d’intégrales » à chercher pour lundi : 1–8)9)10)11)12)13)14),
8–1)2)3)4).
40
MERCREDI 7 OCTOBRE
• Exercices du chapitre 6 « Nombres complexes » : 27–2)c), 29–2), 30–2)b), 31–2)a)2)b), 34–3)4)5).
• Exercices du chapitre 7 « Introduction à la décomposition en éléments simples » : 3–1).
• Exercices du chapitre 7 « Introduction à la décomposition en éléments simples » à chercher pour vendredi : 2, 3–2)4).
41
MARDI 6 OCTOBRE
• Cours du chapitre 7 « Introduction à la décomposition en éléments simples » : Exemple sous forme d’exercice.
• Exercices du chapitre 6 « Nombres complexes » : 7, 22, 29–2), 30–2)b), 31–2)a), 34–2).
42
LUNDI 5 OCTOBRE
• Remise des copies du devoir à la maison « Inégalités logarithmiques ».
• Distribution du cours du chapitre 8 « Calculs de primitives et d’intégrales » et de la feuille d’exercices associée.
• Exercices du chapitre 6 « Nombres complexes » à chercher pour lundi : 18, 30–1)a)c)2)a), 31–1), 34–1).
• Cours du chapitre 7 « Introduction à la décomposition en éléments simples » :
— Division euclidienne des polynômes à coefficients complexes. Racine d’un polynôme à coefficients
complexes, principe de « factorisation par la racine ». Multiplicité d’une racine.
— Factorisations irréductibles sur C et sur R.
— Décomposition en éléments simples sur R — seulement. Exemples sous forme d’exercice. Techniques
de calcul des coefficients. Exemple sous forme d’exercice.
• Exercices du chapitre 6 « Nombres complexes » à chercher pour mardi : 29–2), 30–2)b), 31–2)a)).
43
VENDREDI 2 OCTOBRE
• Copies du devoir à la maison « Inégalités logarithmiques » relevées. Distribution de la correction et du devoir à la
maison « Birapports, théorème de Miquel et sommes de Gauss ».
• Distribution du cours du chapitre 7 « Introduction à la décomposition en éléments simples » et de la feuille d’exercices
associée.
• Interrogation de cours sur les chapitres 5 « Fonctions circulaires » et 6 « Nombres complexes ».
• Cours du chapitre 6 « Nombres complexes » :
— Racines nèmes . Ensemble Un . Nombre j.
— Interprétation géométrique des transformations z 7−→ az + b avec a ∈ C∗ et b ∈ C. Interprétation
z−b
géométrique du rapport
.
z−a
• Exercices du chapitre 6 « Nombres complexes » : 8, 14, 15, 16, 20–2)a), 25, 27–1)a)2)a).
• Exercices du chapitre 6 « Nombres complexes » à chercher pour lundi : 18, 30–1)a)c)2)a), 31–1), 34–1).
11
Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
44
MERCREDI 30 SEPTEMBRE
• Cours du chapitre 6 « Nombres complexes » : Dérivation de la fonction eϕ pour ϕ ∈ D(I , C).
• Exercices du chapitre 6 « Nombres complexes » : 11–7), 13, 21, 23–2).
• Exercices du chapitre 6 « Nombres complexes » à chercher pour vendredi : 8, 14, 15, 20–2)a), 27–1)a)2)a).
45
MARDI 29 SEPTEMBRE
• Cours du chapitre 6 « Nombres complexes » :
— Exemple de linéarisation sous forme d’exercice. Exemple de dé-linéarisation sous forme d’exercice.
— Formes trigonométriques d’un nombre complexe non nul, argument(s). Lien entre les formes algébrique et trigonométriques. Exemple sous forme d’exercice. Technique de l’angle moitié. Application
n
X
au calcul de
cos(2k x).
k=0
— Exponentielle complexe, module et arguments, périodicité, transformation des sommes en produits.
• Exercices du chapitre 6 « Nombres complexes » : 1, 2, 3, 5, 6, 11–1), 23–1).
• Exercices du chapitre 6 « Nombres complexes » à chercher pour mercredi : 11–7), 13, 21, 23–2).
46
LUNDI 28 SEPTEMBRE
• Distribution de la feuille d’exercices du chapitre 7 « Introduction à la décomposition en éléments simples ».
• Cours du chapitre 6 « Nombres complexes » :
— Racines carrées d’un nombre complexe. Exemple sous forme d’exercice. Équations du second degré
à coefficients complexes. Systèmes somme-produit.
— Ensemble U des nombres complexes de module 1. « Exponentielle iθ ». Transformation des sommes
en produits, formules d’Euler et Moivre. Exemple de délinéarisation sous forme d’exercice.
— Exercices du chapitre 4 « Rappels et compléments sur les fonctions » : 23.
• Exercices du chapitre 5 « Fonctions circulaires » : 4–5), 28–1)2), 29.
• Exercices du chapitre 6 « Nombres complexes » : 1, 2, 3, 5, 6, 11–1).
47
VENDREDI 25 SEPTEMBRE
• Distribution du cours du chapitre 6 « Nombres complexes » et de la feuille d’exercices associée.
• Interrogation de cours sur les chapitres 4 « Rappels et compléments sur les fonctions » et 5 « Fonctions circulaires ».
• Cours du chapitre 6 « Nombres complexes » :
— Construction rapide de l’ensemble des nombres complexes.
— Conjugué et module d’un nombre complexe. Inégalité triangulaire et cas d’égalité.
• Exercices du chapitre 5 « Fonctions circulaires » : 18, 20–1)2), 24, 25–5), 26–1)2).
• Exercices à chercher pour lundi :
— Chapitre 4 « Rappels et compléments sur les fonctions » : 23.
— Chapitre 5 « Fonctions circulaires » : 4–5), 28–1)2), 29.
12
Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
48
MERCREDI 23 SEPTEMBRE
• Cours du chapitre 5 « Fonctions circulaires » :
— Exemple sur les fonctions arcsinus et arccosinus sous forme d’exercice.
— Fonction arctangente. Exemple sous forme d’exercice.
• Exercices du chapitre 5 « Fonctions circulaires » : 14–1), 19, 25–1)2).
• Exercices du chapitre 5 « Fonctions circulaires » à chercher pour vendredi : 18, 20–1)2), 25–5).
49
MARDI 22 SEPTEMBRE
• Cours du chapitre 5 « Fonctions circulaires » :
— Transformation des expressions « a cos θ + b sin θ ».
— Fonctions arcsinus et arccosinus.
• Exercices du chapitre 5 « Fonctions circulaires » : 4–4), 5, 7, 11.
• Exercices du chapitre 5 « Fonctions circulaires » à chercher pour mercredi : 19, 25–1)2).
50
LUNDI 21 SEPTEMBRE
• Cours du chapitre 5 « Fonctions circulaires » :
— Relation de congruence.
— Fonctions
sinus
et cosinus, lien avec le cercle trigonométrique. Équations sin x = sin y. . . , relations
π
sin x +
. . . , sin(x + y). . . , sin x sin y. . . , relations de duplication.
2
— Fonction tangente, lien avec le cercle trigonométrique. Équations tan x = tan y, relation tan(x + y),
relation de duplication.
• Exercices du chapitre 4 « Rappels et compléments sur les fonctions » : 9–2), 16, 17–1)2), 18–1)2), 21–1), 22–1).
• Exercices du chapitre 5 « Fonctions circulaires » : 1–1), 2, 4–1)2).
• Exercices du chapitre 5 « Fonctions circulaires » à chercher pour mardi : 4–4), 5, 7, 11.
51
SAMEDI 19 SEPTEMBRE
Devoir surveillé sur les chapitres 1 « Rappels et compléments calculatoires », 2 « Sommes, produits, coefficients binomiaux » et 3 « Rudiments de logique et vocabulaire ensembliste » et sur le chapitre transversal « Raisonner, rédiger ».
52
VENDREDI 18 SEPTEMBRE
• Copies du devoir à la maison « L’inégalité arithmético-géométrique et l’inégalité de Carleman » relevés. Distribution
de la correction et du devoir à la maison « Inégalités logarithmiques ».
• Cours du chapitre 4 « Rappels et compléments sur les fonctions » :
— Fonctions puissances, propriétés algébriques, graphes, position relative, croissances comparées.
— Fonctions sinus, cosinus et tangente hyperbolique présentées sous forme d’exercice.
13
Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
— Bijection. Identité. Réciproque. Réciproque d’une fonction monotone/impaire.
— TVI et TVI strictement monotone. Point fixe.
— Continuité et dérivabilité d’une réciproque.
• Exercices du chapitre 4 « Rappels et compléments sur les fonctions » : 3–2), 5–2), 10, 12.
• Exercices du chapitre 4 « Rappels et compléments sur les fonctions » à chercher pour lundi : 16, 17–1)2), 18–1)2),
21–1), 22–1).
53
MERCREDI 16 SEPTEMBRE
• Interrogation de cours sur les chapitres 2 « Sommes, produits, coefficients binomiaux », 3 « Rudiments de logique et
vocabulaire ensembliste » et le chapitre transversal « Raisonner, rédiger ».
• Cours du chapitre 4 « Rappels et compléments sur les fonctions » :
— Preuves d’inégalités par étude de fonction sous forme d’exercices.
— Consignes de bonne rédaction au sujet des fonctions.
— Fonctions affines et affines par morceaux. Fonctions puissances entières, fonctions polynomiales et
rationnelles, factorisation « par les racines ».
— Rappels sur les fonctions exponentielle et logarithme.
• Exercices du chapitre 3 « Rudiments de logique et vocabulaire ensembliste » : 24–1).
• Exercices du chapitre 4 « Rappels et compléments sur les fonctions » : 8, 9–1).
• Exercices du chapitre 4 « Rappels et compléments sur les fonctions » : 5–2), 9–2), 10, 12.
54
MARDI 15 SEPTEMBRE
• Cours du chapitre 4 « Rappels et compléments sur les fonctions » : Exemple de recherche de domaine de dérivabilité sous forme d’exercice. Caractérisation des fonctions dérivables constantes/monotones/strictement monotones.
Dérivées successives. Exemples d’inégalités sous forme d’exercices.
• Exercices du chapitre 4 « Rappels et compléments sur les fonctions » : 1–1)2)4), 2, 5–1).
• Exercices à chercher pour mercredi :
— Chapitre 3 « Rudiments de logique et vocabulaire ensembliste » : 24–1).
— Chapitre 4 « Rappels et compléments sur les fonctions » : 8, 9–1).
55
LUNDI 14 SEPTEMBRE
• Cours du chapitre 4 « Rappels et compléments sur les fonctions » :
— Monotonie. Somme de fonctions croissantes/décroissantes. Composition de fonctions monotones.
Caractère majoré/minoré/borné d’une fonction. Maximum, minimum.
— Transformations affines du graphe d’une fonction. Parité/imparité. Périodicité, opérations sur les
fonctions périodiques.
— Nombre dérivé, dérivée, tangente. Opérations sur les dérivées.
• Exercices du chapitre 3 « Rudiments de logique et vocabulaire ensembliste » : 6, 15–1)c)2), 17, 20.
• Exercices du chapitre 4 « Rappels et compléments sur les fonctions » : 1–1)2)4), 2, 5–1).
14
Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
56
VENDREDI 11 SEPTEMBRE
• Distribution du cours du chapitre 4 « Rappels et compléments sur les fonctions » et de la feuille d’exercices associée.
• Cours du chapitre transversal « Raisonner, rédiger » :
— Bilan de la lecture pour ce jour.
— Raisonnement par l’absurde.
— Raisonnement par analyse-synthèse.
• Cours du chapitre 4 « Rappels et compléments sur les fonctions » : Fonction, valeur, image et antécédents. Image
d’une partie par une fonction, image d’une fonction. Composition.
• Exercices du chapitre 3 « Rudiments de logique et vocabulaire ensembliste » : 3, 5, 11, 12, 15–1)a)b), 22.
• Exercices du chapitre 3 « Rudiments de logique et vocabulaire ensembliste » à chercher pour lundi : 6, 15–1)c)2),
17, 20.
57
MERCREDI 9 SEPTEMBRE
• Cours du chapitre 3 « Rudiments de logique et vocabulaire ensembliste » :
— Quantificateurs universel et existentiel, négation, permutations. Pseudo-quantificateur ∃ !.
— Appartenance, égalité d’ensembles, inclusion. Ensemble des parties d’un ensemble. Réunion, intersection, différence, complémentaire. Ensembles disjoints.
— Produit cartésien.
• Cours du chapitre transversal « Raisonner, rédiger » : Le raisonnement par récurrence, récurrences simples, doubles
et fortes.
• Exercices du chapitre 2 « Sommes, produits, coefficients binomiaux » : 6, 9–2), 22.
• Exercices du chapitre 3 « Rudiments de logique et vocabulaire ensembliste » : 1, 2.
• Exercices du chapitre 3 « Rudiments de logique et vocabulaire ensembliste » à chercher pour vendredi : 5, 11.
58
MARDI 8 SEPTEMBRE
• Interrogation de cours sur les chapitres 1 « Rappels et compléments calculatoires » et 2 « Sommes, produits, coefficients
binomiaux ».
• Cours du chapitre 3 « Rudiments de logique et vocabulaire ensembliste » : Proposition, valeur de vérité, propositions équivalentes, connecteurs logiques. Négation, conjonction, disjonction. Implication, équivalence, contraposée,
réciproque.
• Exercices du chapitre 2 « Sommes, produits, coefficients binomiaux » : 5–3), 8, 13.
• Exercices du chapitre 2 « Sommes, produits, coefficients binomiaux » à chercher pour mercredi : 6, 9–2), 22.
59
LUNDI 7 SEPTEMBRE
• Distribution du devoir à la maison « L’inégalité arithmético-géométrique et l’inégalité de Carleman ».
 ‹
n
=
• Cours du chapitre 2 « Sommes, produits, coefficients binomiaux » : Coefficients binomiaux, symétrie, formule «
k
‹

n n−1
», formule de Pascal, intégralité. Formule du binôme et lien avec la présentation des coefficients binomiaux
k k−1
du programme de Première S.
• Exercices du chapitre 2 « Sommes, produits, coefficients binomiaux » : 2–5)6), 4, 5–1)2), 9–1), 11, 19–1).
• Exercices du chapitre 2 « Sommes, produits, coefficients binomiaux » à chercher pour mardi : 8.
15
Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
60
VENDREDI 4 SEPTEMBRE
• Cours du chapitre 2 « Sommes, produits, coefficients binomiaux » :
— Sommes doubles
X
. Carré d’un
1¶i< j¶n
P
. Calcul de
n
X
k=0
k et
n
X
k2 . Sommes géométriques. Formule
k=0
« a n − b n ».
Y
Q
— Notation . Factorielle. Produits télescopiques. Produits doubles
,
Y
et
1¶i, j¶n 1¶i¶ j¶n
Y
.
1¶i< j¶n
• Exercices du chapitre 1 « Rappels et compléments calculatoires » : 7–6)7), 9–1)2)3)7)9).
• Exercices du chapitre 2 « Sommes, produits, coefficients binomiaux » : 1, 2–1)2)3)4), 10–1)2)3).
• Exercices du chapitre 2 « Sommes, produits, coefficients binomiaux » à chercher pour lundi : 2–5)6), 5, 9–1), 11, 13.
61
MERCREDI 2 SEPTEMBRE
• Cours du chapitre 1 « Rappels et compléments calculatoires » :
— Rappels sur les puissances et les valeurs absolues.
— Subtilités diverses au sujet de certaines équivalences courantes.
P
P
• Cours du chapitre 2 « Sommes, produits, coefficients
Xbinomiaux
X » : Notation . Produit de deux . Changements
d’indice. Sommes télescopiques. Sommes doubles
et
.
1¶i, j¶n
1¶i¶ j¶n
• Exercices du chapitre 1 « Rappels et compléments calculatoires » : 2.
• Exercices du chapitre 1 « Rappels et compléments calculatoires » à chercher pour vendredi : 7–6)7), 9–1)2)3)7)9).
62
MARDI 1 SEPTEMBRE
ER
• Distribution du cours du chapitre 1 « Rappels et compléments calculatoires » et de la feuille d’exercices associée, et
du cours du chapitre 2 « Sommes, produits, coefficients binomiaux » et de la feuille d’exercices associée, et du cours
du chapitre transversal « Raisonner, rédiger ».
• Cours du chapitre 1 « Rappels et compléments calculatoires » :
— Ensembles de nombres. Factorisation première et forme irréductible d’un rationnel.
— Rappels sur les inégalités.
— Rappels sur les valeurs absolues.
• Exercices du chapitre 1 « Rappels et compléments calculatoires » à chercher pour mercredi : 1, 2, 3, 7–1)3).
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