close

Se connecter

Se connecter avec OpenID

Ce n`est qu`un copie du cours. Il ne remplace pas le suivi de

IntégréTéléchargement
Relativité restreinte
Licence Physique L1
Janos Polonyi
Université de Strasbourg
(Le 13 janvier, 2016)
Ce n’est qu’un copie du cours. Il ne
remplace pas le suivi de cours ou la lecture d’un livre.
Table des matières
I. Modification de la mécanique de Newton
3
A. L’échelle de l’observation
3
B. Les ordres de grandeur
4
C. Vitesse limite
4
D. La matière et le rayonnement
7
E. Relation dispersion
8
II. Propagation de la lumière
9
A. Particule ou onde?
9
B. Michelson-Moreley
11
III. Relativité galiléenne et einsteienne
14
A. Relativité et symétrie galiléenne
14
B. Le problème avec la lumière
14
2
C. La resolution: la relativité einsteinne
IV. Géometrie de l’espace-temps
15
16
A. Ligne de monde
16
B. Transformation Lorentz
17
C. L’addition de la vitesse
18
D. Distance invariante
18
E. Géométrie minkowskienne
19
V. Phénomènes physiques
20
A. Contraction Lorentz-Einstein de longeur
20
B. Dilatation du temps
21
C. Une horloge stochastique
21
D. Dilatation du temps =⇒ contraction de Lorentz
24
E. L’effet Doppler
24
F. Paradoxes
26
3
I.
MODIFICATION DE LA MÉCANIQUE DE NEWTON
L’équation Newton F = ma est modifiée à v ∼ c = 2.9979 · 108 m/s (lumière)
Problème: notre intuition correspond à la limit
A.
v
c
≪1
L’échelle de l’observation
Les lois de la physique dependent de l’échelle de l’observation
trois échelles: L,T,M
unités naturelles: c = ~ = 1
Longeur:
10
29
particules 10
80
Quantique Classique
−35
10
10
grav. quant.
−15
−11
10
−5
10
1
10
7
10
35
21
10
L [m]
Terre
proton atome cellule
Voie Lactee Univers
interaction faible
interaction forte
electromagnetisme
gravitation
Vitesse:
syst. solaire
Concord
Apollo 10
c
tube cathodique
v [m/s]
0
10
2
10
Impulsion:
4
10
6
8
10
10
limit relativistique
0
mc
limite non relativistique
p
4
B.
Les ordres de grandeur
Chute libre: Un potentiel gravitationel homogène, v = 9.8t[MKS],
après 1 an v = 9.8 × 365 × 24 × 3600 ≈ 3 × 108 m/s
après 2 ans v ≈ 6 × 108 m/s
modifications importantes à v ∼ c = 2.9979 · 108 m/s
Accélération plus forte: F = qE = ma =⇒ large
q
|a|
=
|E|
m
=⇒ électron
Un tube cathodique: U = 100V , L = 1cm
1
1
qU = K = mvf2in = m(at)2 = 100eV
2
2
−19
(1eV = 1.6 × 10 J, m = 0.9 × 10−30 kg)
1
L = at2 = 1cm
2
Vitesse:
vf in
r
2K
3.2 × 10−17 √
≈
≈ 30 × 106
=
m
10−30
≈ 5.5 × 106 m/s ≈ 0.02c
Acceleration:
r
t =
r
2L
a
1
1
2L
m(at)2 = ma2
= maL
2
2
a
1.6 × 10−17
K
≈
= 1.6 × 1015 m/s2 ≈ 1014 g
a =
−32
mL
10
K =
C.
Vitesse limite
Electron: Une générateur Van de Graaf et LIN(ear)AC(ccelerator):
W. Bertozzi, Am. J. Phys. 32 551 (1964)
5
↔ 10−8 s
Temps du vol t[10−8 s]
Vitesse v[108 m/s]
0.5
3.23
2.60
6.8
1.0
3.08
2.73
7.5
1.5
2.92
2.88
8.3
4.5
2.84
2.96
8.8
15
2.80
3.00
9.0
Energie K[M eV ]
Vitesse carré v 2 [1016 m2 /s2 ]
K → 30K
l’équation de Newton: v 2 → 30v 2 ?
Vitesse limite: v < c
Photon: Vitesse de la propagation: toujours v = c
E = ~ω
(Einstein)
2π~
hc
2π
c=
c= ,
λ = τc =
ω
E
E
~=
h
(constant de Planck)
2π
6
Energie du photon K[eV ]
Vitesse v[108 m/s]
Longeur d’onde λ[m]
1.9 × 10−7
6.4
1.2 × 10−6
1
2.99792 ± 0.00002
1.2 × 10−5
0.1
2.99792 ± 0.00009
3.0 × 10−4
4.2 × 10−3
2.997925 ± 0.000001
2.2
5.6 × 10−7
2.997931 ± 0.000003
5.1 × 105
2.5 × 10−12
2.983 ± 0.015
1.7 × 108
7.3 × 10−15
2.97 ± 0.03
2.9978 ± 0.0003
Le photon, est-il sans masse?
- La masse est bien défini seulement pour une particule libre
- L’interaction avec l’environnement rend la masse mal défini =⇒ masse effective: M(v)
E
V
v
2
dE(v02 )
+···
dv 2
2
dE(v02 )
2 dE(v0 )
+v
= E(v02 ) − v02
+···
2
2
|
| dv
{z dv }
{z }
E(v 2 ) = E(v02 ) + (v 2 − v02 )
E0 (v02 )
= E0 (v02 ) +
Un guide d’onde:
un tuyau conducteur
L’onde électromagnétique
dans un guide d’onde:
- Réflexions multiples
- Les charges traı̂nés
Dans le vide:
Mγ = 0
Dans un milieu polarisable: Mγ > 0
M(v0 ) 2
v +···
2
M (v0 )
2
7
D.
La matière et le rayonnement
Lumière: E = pc
Conservation de l’impulsion:
E
E
=⇒ V = −
0=VM +
c
Mc
E L
EL
∆x = V ∆t = −
=−
Mc c
Mc2
Masse équivalente: m
Centre masse: mL + M∆x = 0
E
M∆x
= 2
m=−
L
c
Equivalence masse-énergie: E = mc2 , l’énergie cinétique ⇐⇒ matière
=⇒ la valeur absolute est importante
Fusion thermo-nucléaire: masse ←→ énergie cinétique
Psoleil = 1.35 × 103 w/m2 =⇒ Ṁ = 4.5 × 109 kg/s ≈ Msoleil × 10−13 /an
41 H + 2e →4 He + 2ν + 6γ, une étape: p + D →3 He + γ
p = 1.6724 × 10−27 kg
D = 3.3432 × 10−27 kg
p + D = 5.0156 × 10−27 kg
3
He = 5.0058 × 10−27 kg
∆M = 0.0098 × 10−27 kg =
Eγ
, Eγ = 9.8 × 10−30 × 9 × 1016 J = 8.8 × 10−13 J = 5.5MeV
c2
(T ≈ 107 K dans l’intérieure de la soleil et Eγ ≈ 1eV ≈ 1.1 × 104 K sur la surface)
conservation de l’énergie + conservation de la masse =⇒ conservation de l’énergie
X
1 X
F
double role de la masse:
mi + 2
Ej = M =
c
a
Excercise: Estimer la masse équivalent de la consumption de l’énergie d’électricité
en Strasbourg dans un soir.
Population en Strasbourg: N = 2 × 105 , puissance: P = 500W/person, temps t = 6h
1 × 108 × 6 × 3600
NP t
≈ 2.4 × 10−5 kg = 24mg
m= 2 =
c
9 × 1016
8
E.
Relation dispersion
Seulement pour une particule libre!
Raisonnement naif:
p2
p
La définition d’une particle libre en mécanique nonrelativiste: E(p) =
, avec m =
2m
v
p
Ev
E
2p
2
=⇒ E = c , cp =
E = mc =⇒ masse équivalente: m(v) = 2 =
c
v
v
c
dp
Conservation de l’énergie: dE = F dx = dx = vdp
dt
2
Ev
2
2
2 2
2
2p
+ E02 =⇒ E0 = mc2
EdE = c vdp = c pdp =⇒ E = c p + E0 =
v
c
mc2
q
E =
2
1 − vc2
m
m(v) = q
2
1 − vc2
p = m(v)v = q
mv
1−
v2
c2
E
E 2 = c2 p2 + m2 c4
particule
p
antiparticule
E = ±c
p
m2 c2 + p2
Limite non-relativistique:
r
2 2 !
2
2
√
p
p
ǫ
p
+O
1 + ǫ = 1 + + O ǫ2 =⇒ E = mc2 1 + 2 2 ≈ mc2 +
2
mc
2m
m2 c2
9
Excercice: Force (=
∆p
)
∆t
constante, la condition initiale: v(0) = 0
mv
F t = p = m(v)v = q
2
1 − vc2
mv 2
v2
1− 2 =
c
Ft
2
mc 2 2
2
2 mc
2
2
c −v = v
→ c =v 1+
Ft
Ft


F
c
 mc
= tm
F t ≪ mc
c
Ft
q
≈
v =
2 
c
1 + mc
F t ≫ mc
Ft
v
c
t
Remarques:
1. v ≤ c mais p peut être arbitrarement large
2. v peut approcher c mais il ne jamais l’atteint parce que l’acceleration exige trop de
l’énergie
II.
PROPAGATION DE LA LUMIÈRE
Lumière: Pythagoras: particules se deplacent sur une ligne droit
Rober Hooke(1667): propagation dans un milieu
Christian Huygens(1678): la décomposition de la lumière solaire par un prisme
=⇒ lumiére = l’onde 6= une particule
A.
Particule ou onde?
Physique de la 19ème siècle est consacrée à la lumière:
Thomas Young (1801-04): la measurement de l’interférence
Augustin-Jean Fresnel (1818): l’explication de l’interf., diffr., polarisation
James Clerk Maxwell (1861): l’origine d’électromagnétique
Onde: diffraction, interférence, polarisation
Particule: impulsion, énergie
Modèles mécaniques jusqu’à 1850 mais sa vitesse est trop large
10
Vitesse de la lumière:
Ole Roemer (1675): l’éclipse des lunes
de Jupiter motre une variation en temps
c ≈ 2 × 108 m/s
La nature de la lumière:
Particule: vpart = vsource + vemission ,
Onde:
vonde est fixée dans le milieu
de la propagation
Supposition de l’éther
→
Comment trouver notre vitesse par rapport à l’éther?
Maxwell: an(Jupiter)=12 an(Terre),
deux measurements, separées par 6 ans
técl.
=
A
ℓ
,
c + vsol
técl.
B =
2ℓvsol
2ℓvsol
=
2
− vsol
(c + vsol )(c − vsol )
2vsol
= t0
|{z} c
écl.
∆t = técl.
B − tA =
≈
2ℓvsol
c2
ℓ
c − vsol
c2
16min
Mais il est problèmatique répéter la même expérience aprés 6 ans!
11
B.
Michelson-Moreley
Michelson (1881):
Interférence: Intensité I ∼ E 2 = (E1 + E2 )2
φI (t) = sin(ωt)
φII (t) = sin(ωt + α)
φI+II (t) = sin(ωt) + sin(ωt + α)
sin(a + b) = sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b)
φI+II (t) = sin(ωt) + sin(ωt) cos(α) + cos(ωt) sin(α)
= sin(ωt)[1 + cos(α)] + cos(ωt) sin(α)



2 sin(ωt)





√

sin(ωt) + cos(ωt) = 2 sin ωt + π
2
=


0





√


sin(ωt) − cos(ωt) = 2 sin ωt − π2
α = π(2n + 0) ← int. constr.
α = π 2n + 12
α = π(2n + 1) ← int. destr.
α = π 2n + 32
In-
terféromètre: la mesure de ∆ℓ = c(tk − t⊥ ) avec la précision λ
12
2ℓ
k
ℓk
2cℓk
ℓk
c
+
= 2
=
tk =
2
c−v c+v
c − v2
1 − vc2
2
2
vt⊥
ct⊥
2
= ℓ⊥ +
2
2
2
2
2
2
t⊥ (c − v ) = 4ℓ⊥
2ℓ⊥
t⊥ = √
c2 − v 2

ℓk
ℓ⊥
2
∆t(ℓk , ℓ⊥ ) = tk − t⊥ = 
2 − q
v
c 1 − c2
1−
v2
c2
Rotation par 900 dans quelques minutes:
∆t′ (ℓk , ℓ⊥ ) = −∆t(ℓ⊥ , ℓk ) =
∆t(ℓk , ℓ⊥ ) − ∆t′ (ℓk , ℓ⊥ ) =
√
=
q
2 ℓk 1 −
c
1−
2 (ℓk + ℓ⊥ )(1 −
c

1−
q
v2
c2
1−
2 ℓk − ℓ⊥
c
v2
c2
v2
c2
q
1−
1−
v2
c2
v2
c2
− ℓ⊥
v2
)
c2
2
v
2(ℓk + ℓ⊥ ) 2c
ǫ
2
1+ǫ∼1+ → ≈
2
2
c
1 − vc2
2(ℓk + ℓ⊥ ) v 2
v2
v2
1
∼1−ǫ→ ≈
1
+
≈
(ℓ
+
ℓ
)
⊥ 3
k
1+ǫ
c
2c2
c2
c
Les miroirs ne sont pas exactement orthogonals =⇒ l’interférence
Nombre de lignes déplacées: ∆N
λ∆N = (∆t − ∆t′ )c
c
v 2 ℓ⊥ + ℓk
∆N = (∆t − ∆t′ ) = 2
λ
c
λ
v
≈ 10−4 et
c
en utilisant λ = 6 × 10−7 m, ℓ = 1.2m =⇒ ∆N ≈ 0.04 n’a pas été trouvé
En assumant vterre = 30km/s,
Michelson-Morley (1887): ℓ → 10ℓ, ∆N → 0.4, ∆Nobs = 0 ± 0.005
13
Fitzgerald Lorentz (1892): une contraction mystérieuse d’un corps solid en
q
2
mouvement ℓ → ℓ 1 − vc2 , ∆t = 0 pour ℓ⊥ = ℓk
Einstein (1905): la contraction est le résultat de la façon dont la longeur est observée
Kennedy Thorndike (1932): resultat nulle avec ℓ⊥ 6= ℓk
14
III.
RELATIVITÉ GALILÉENNE ET EINSTEIENNE
Référentiel d’inertie: mouvement libre = vitesse constante, S : (t, x), x = tv + x0 .
A.
Relativité et symétrie galiléenne
Généralisation d’une particule libre au tout loi de mécanique:
Les lois de la mécanique sont identiques dans tous les référentiels d’inertie.
Un objet chute du mat d’un bateu qui déplace
avec une vitesse constant et il tombe à la base
du mat.
Si on jette vers le haut un objet
alors il revient à sa main.
Transformations admissibles de mẍ = 0: (transformations galiléennes)
t → t′ = t ← temps absolu
x → x′ = Rx − tv + x0
Les différents référentiels d’inertie sont liées par les transformations galiléennes.
L’addition de la vitesse (R = 11): ẋ → ẋ′ =
B.
d
(x − tv + x0 ) = ẋ − v (temps absolu)
dt
Le problème avec la lumière
Particule: vpart = vsource + vemission , mais c 6= vsource + c ?
Onde:
vonde est fixée,
Michelson-Morley ?
L’addition de la vitesse n’applique pas à la lunière ?
Trois suppositions evidentes sont en conflit:
1. Tous les lois de la physique sont identiques dans les référentiels d’inertie.
2. La vitesse de la lumière est fixée par l’équation de Maxwell.
3. Le temps est absolut et l’addition de la vitesse est valid.
15
C.
La resolution: la relativité einsteinne
Einstein (1905): Pas de justification expérimentale du point 3.
1. Les lois de la physique sont identiques dans tout référentiel d’inertie.
2. La vitesse de la lumière dans le vide est c.
Expérimental évidences de l’indépendence de c de la vitesse de la source:
1. Michelson-Morley (1887)
2. Kennedy-Thorndike (1932):
• Differences par rapport de M-M:
(a) ℓk 6= ℓ⊥ ,
(b) observation pendant plusieurs mois sans rotation
• Null-resulte: temps de vol ∆ℓ = ℓk − ℓ⊥ est indépendant de vterre
• La contraction est une effet de l’observation.
3. Alväger et al. (1966): π 0 → 2γ: vπ = 0.99975 × c, vγ = (2.9977 ± 0.0004) × 108 m/s
vπ + vγ 6= c
Relativité restreinte: La coordonnée et la vitesse sont nonobservables et relatives.
L’acceleration,
dn x(t)
,
dtn
n ≥ 2 sont absoluts.
Relativité générale: La coordonnée et tous les dérivés
dn x(t)
dtn
sont relatives.
Une modélisation de la mesure de la distance et du temps est necessaire.
Distance: un barre étalon
x
(macroscopique)
ct
Temps: l’horloge standard,
observations des
événements simultanées
x
ligne d’une horloge
sur l’espace−temps
16
IV.
GÉOMETRIE DE L’ESPACE-TEMPS
Champ classique ϕ(t, x) : l’espace externe → l’espace interne
Espace externe: quand et où? ← Évenements: (ct, x) = (x0 , x1 , x2 , x3 ) = xµ ∈ R4
Espace interne: quoi? ϕ ∈ Rn
A.
Ligne de monde
Mouvement non-relativiste - symétrie: mélange des components de xj
- trajectoire: x(t)
- symétrie: mélange des components de xµ
Mouvement relativiste:
- ligne de monde: xµ (s)
ct
Mouvement non-relativistic
d’une particule:
x
Nouvelle possibilité: ligne de monde =⇒ trajectoire
s: l’ordre des événements
ct
Anti-particule: t → −t ↔ E → −E
Mécanique classique:
p
E = ±c m2 c2 + p2
dp
dt
= − ∂H(p,q)
,
∂q
dq
dt
=
e
∂H(p,q)
∂p
e+p+e
Mécanique quantique: ψ = ψ(Et)
x
e
Théorie quantique des champs: E ≥ 0
Simultanéité (temps) non-absolute: un signal de lumière b ← a → c, x′ = x + t(v, 0, 0)
ct’
ct
z
t′b < t′c
z’
y
y’
v
b
a
x
x’
c
x
b
a
c
x’
b
a
c
17
B.
Transformation Lorentz
Transformation entre deux référentiels d’inertie: (ct, x) → (ct′ , x′)
Axes non-orthogonal
ct
ct’
Rotation
Transformation
euclidéene
Lorentz
ct
y
y’
ct’
lumiere
P
x’
x’
x’
x
x
x
Pas de ligne fixe
Lumière: une ligne fixe
x′ = ax − bct
Forme générale:
= a(x − vt)
boost:
x = a(x′ + vt′ )
inverse (v → −v):
Appliquer à la propagation de la lumière: x = ct, x′ = ct′
a
c2
1
ct′ = a(c − v)t, ct = a(c + v)t′ =⇒ ct = a(c + v) (c − v)t, a2 = 2
,a= q
2
c
c −v
1−
x − vt
x′ = q
,
2
1 − vc2
t − vx
2
t = q c (← x = ct),
2
1 − vc2
′
Limite
v
c
→ 0: Transformation galiléenne
v2
c2
x′ + vt′
x=q
2
1 − vc2
′
t′ + vx
2
t= q c
2
1 − vc2
Pas de changement dans les directions orthogonales de la vitesse: v = (v, 0, 0),
y = y′, z = z′
L’angle de l’inclinaison:
x+ = ℓ + t+ v = ct+ ,
t+ =
x− = −ℓ + t− v = −ct− ,
c(t+ − t− )
=
tan α =
x+ − x−
ℓ
1− vc
ℓ
1− vc
ℓ
c−v
t− =
−
+
ℓ
1+ vc
ℓ
1+ vc
ct ct’
ℓ
c+v
v
= ,
c
c
tan β =
v
+
ct
−
ct
x’
β
α x−
x+
x
18
C.
L’addition de la vitesse
x′k + ut′
′
Deux référentiels d’inertie: S et S : xk = q
,
2
1 − uc2
ux′
x⊥ =
x′⊥ ,
t′ + c2k
t= q
2
1 − uc2
dx
dx′
→
v
=
dt′
dt
uvk′
′
(vk′ + u)∆t′
(1
+
2 )∆t
′
,
∆x⊥ = v⊥
∆t′ ,
∆t = q c
∆t → ∆xk = q
2
2
1 − uc2
1 − uc2


v ′ + u u, v ′ ≪ c
vk′ + u
∆x
k
k
vk =
=
=
uvk′

∆t
c
1 + c2
vk′ ≪ c, u ≈ c, ou u ≪ c, vk′ ≈ c

q

u2
v ′ u ≪ c
1 − c2
y
′
v⊥ = v⊥
=
uvx′

1 + c2
0 u ≈ c
v′ =
D.
Distance invariante
s2 (x1 , x2 ) = c2 (t2 − t1 )2 − (x2 − x1 )2 = (x02 − x01 )2 − (x2 − x1 )2
ds2 = c2 dt2 − dx2 = dx02 − dx2
s2 (x1 , x2 ) = 0 s’il y a un échange de la lumière entre x1 et x2
reste invariant sous les transformations de Lorentz
s2 6= 0 ?
Soient S0 et S1 deux référentiels, vS0 →S1 = v:
(i) s21 = F (|v|, s20 )
(ii) F (|v|, 0) = 0
(iii) continuité de F pour infinitesimal s2 → ds2 :
∂F (|v|, s2 )
ds21 = F (|v|, ds20) ≈
ds20
2
∂s2
|s =0
|
{z
}
a(|v|)
(iv) soient S, S1 et S2 trois référentiels, vS0 →S1 = v1 , vS0 →S2 = v2 , |v1 |, |v2 | ≪ c
ds21 = a(|v1 |)ds20
ds22 = a(|v2 |)ds20
ds22 = a(|v1 − v2 |)ds21
a(|v2 |)
→ a = 1 → s2 6= 0 est invariant
a(|v1 − v2 |) =
a(|v1 |)
19
E.
Géométrie minkowskienne
du genre temps: s2 > 0
du genre espace: s2 < 0
Les trois types de separation:
du genre lumière: s2 = 0
ct
future absolu
eloignement
eloignement
absolu
absolu
passe
x
absolu
La propagation de la lumière
Le cône de lumière
ct
ct’’
Simultaneité est relative:
′
ct’
cT’’
′
′′
x’
′′
T (B) − T (A) < T (B) − T (A) = 0 < T (B) − T (A)
.
.
B
A
x’’
cT’
Variable l’échelle:
Euclidenne:
ct’’ ct
y
ct’
x constant
y’
x2 + y 2 = R2
x
Minkowskienne:
x’
x’ v
x
(ct)2 − x2 = s2
x’’
ct
Synchronisations de l’horloges:
longeur =⇒ temps
t(x) = 21 Tref l (x)
x
T refl
x
v
20
V.
A.
PHÉNOMÈNES PHYSIQUES
Contraction Lorentz-Einstein de longeur
ℓ = x2 − x1
ct ct’
ℓ′ = x′2 − x′1 les coordonnées simultanées
x′ + vt′
xa = qa
2
1 − vc2
x′ − x′1
ℓ′
ℓ = q2
=q
2
1 − vc2
1−
r
v2
ℓ′ = ℓ 1 − 2
c
x’
v2
c2
x
ct
ct
ct’
ct’
La contraction est
relative:
x’
contracte
x’
non contracte
x
x
contracte
Un barre au repos
Rotation apparente d’un planche:
La lumière de A0 et B0 arrive dans le même temps
W
c
v
′
′
A B = v∆t = W
c
v
sin Θ =
cr
v2
B ′ C ′ = L 1 − 2 ← contraction de Lorentz
c
∆t =
non contracte
Un barre en mouvement
21
B.
L’horloge en déplacement:
r
s2 = c2 t′2 = c2 t2 − x2 = c2 t2
r
Temps propre: t0 = t′ = t
t > t0 : un ralentissement
Dilatation du temps
ct
1−
1−
ct’
v2
c2
v2
c2
x
L’horloge optique:
c2 t20 = x2
c2 t2 = t2 v 2 + t20 c2
r
v2
t0 = t 1 − 2
c
x
v
C.
Une horloge stochastique
www.scivee.tv/node/2415
D. H. Frisch, J. H. Smith,
American Journal of Physics,
31 342 (1963), frisch.pdf
22
Rayonnement cosmique:
µ → e + ν̄e + νµ
t
nµ (t) = n0 e− τ
75cm de fer: vµ < 0.9950c: arretent avant le scint.
vµ > 0.9954c: partent du système
Alors, 0.9950c < vµ < 0.9954c
scintillateur: 103 γ/µ
photomultiplicateur:
108 e/µ
La photomultiplicateur déclenche le mouvement horizontal
pour chaque charge passant la scintillateur, ∆t = 1µs
Le mouvement vertical est déclenché
soit par la capture de µ
soit par l’électron de la désintégration
Un masque pour couvrir les traces sans désintégration
Resultat:
23
I. Nombre de désintégrations:
II. Distribution de temps de désintégration:
Deux stations:
1. Mont Washington (1910m)
NM W = 563 désintégrations/h
τ1 = 2.2 ± 0.2 × 10−6 s
2. Cambridge Ma (3m)
NC = 408 désintégrations/h
τ2 = τ1
1907
= 6.4 × 10−6 s
0.9952 × 3 × 108
6.4
= NM W e− 2.2 ≈ 27 6= 408
ttravel =
NCexpecté
′
− tτ
NC = NM W e
t′ = 0.7 × 10−6 s
Ralentissement:
1
6.4
= 9.1 = q
0.7
1−
=⇒ v = 0.994c
v2
c2
24
D.
Dilatation du temps
=⇒ contraction de Lorentz
L’horloge stochastique:
Référentiel d’intertie de µ: temps de vie τ ,
vitesse de la surface de terre v
t′
NC = NM W e− τ
distance de la surface de terre, vu par la µ: ℓ′ ,
q
r
r
2
′
′
2
t
1 − vc2
′
ℓ
t
v
v2
ℓ
= NM W e− vτ ,
=
=
,
ℓ′ = vt 1 − 2 = ℓ 1 − 2
τ
τ
vτ
c
c
Avec une horloge plus lente la distance faite parait plus court
Un barre en mouvement:
c∆t1 = ℓ + v∆t1
c∆t2 = ℓ − v∆t2
∆t = ∆t1 + ∆t2 =
=
2ℓ0
q
c 1−
r
ℓ = ℓ0
1−
ℓ
2ℓc
ℓ
+
= 2
c−v c+v
c − v2
v2
c2
v2
c2
E.
L’effet Doppler
Cas nonrelativiste: vitesse sonore w
Pendant une période:
wτ = λ′ + u1τ
λ′ = (w − u1 )τ =
w − u1
ν
= (w − u2 )τ ′
w − u1
λ′
=
τ′ =
w − u2
ν(w − u2 )
1 − uw2
w − u2
ν′ = ν
=ν
w − u1
1 − uw1
u2 ′
Source stationnaire: u1 = 0, ν ′ = ν 1 −
, ν = 0 pour u2 = w
w
ν
, ν ′ = ∞ pour u1 = w
Observer stationnaire: u2 = 0, ν ′ =
1 − uw1
25
Cas relativiste (lumière): ν =
1
T
une période émis, vobserver = v
ct
x0
c−v
x0 + cT
x2 = c(t2 − T ) = x0 + vt2
→ t2 =
c−v
T
vT
t2 − t1 =
,
x2 − x1 =
1 − vc
1 − vc
x1 = ct1 = x0 + vt1
x2
→ t1 =
x1
T
observer
x
x0
t2 − t1 − cv2 (x2 − x1 )
q
2
1 − vc2
1
T
v vT
= q
v − 2
2
c 1 − vc
1 − vc2 1 − c
T ′ = t′2 − t′1 =
= q
1
2
T
1−
v
2
v
1− 2
c
c
1 − vc2
s
1 − vc
v
ν′ = ν
=
6
ν
1
−
1 + vc
| {z c }
=T
q
1−
1−
v2
c2
v
c
=T
s
1+
1−
v
c
v
c
non. rel.
Champ gravitationel statique:
E↓ (e− e+ ) = E↑ (e− e+ ) +2m |{z}
∆U
| {z }
gL
2mc2
∆U
− +
= E↑ (e e ) 1 + 2
c
− +
− +
E↑ (e e ) = E↑ (γ), E↓ (e e ) = E↓ (γ)
E = ~ω
E↓ (e− e+ )
∆U
ω↓
=
=1+ 2
−
+
ω↑
E↑ (e e )
c
|{z}
z
gL
∆U
z = 2 = 2
c
c
Champ gravitationel dépendant du temps:
electron
positron
..
L
g
..
26
Modèle de Robertson-Walker
de cosmologie
L’Univers en expansion: λem < λobs
λobs
ωem
=
=1+z >1
Déplacement rouge:
ωobs
λem
H
constant de Hubble: z = ℓ
c
ℓ
1
l’age de l’Univers: TU = , z = c
H
TU
F.
Paradoxes
ct
Les joumeaux:
A: reste en place, B: part et revient
A
B
Qui est plus agé quand ils rencontrent?
x
Une barre et un cercle:
ℓ = 2r, vb = (u, 0, 0), vc = (0, v, 0)
t = 0: centre de la barre et du crecle
sont dans la même position
Peuvent-ils se croiser?
Un baton et une grange:
ℓb = 20m, ℓe = 10m
q
2
1 − vc2 = 12
Ref. d’in. de la grange: ℓ′b = 10m
Ref. d’in. du baton: ℓ′e = 5m
Le baton peut-il rentrer?
27
ct
ct
ecurie
barre
barre
ecurie
x
−10
0
10
x
20
−10
0
10
20
Mécanique quantique relativiste: problème de localisation
~
~
~
~
p=
= mc
=⇒ localisation d’une électron avec ∆x ≪ λC =
: p≈
=
λp
mc
∆x
λC
√
√
E = c m2 c2 + p2 ≫ c m2 c2 + m2 c2 = 2mc2 =⇒ creation de pairs
Particules sont indescernable =⇒ impossible localiser une particule avec ∆x ≪ λC
Références:
1. http://www.edu.upmc.fr/physique/bobin 04001/
2. www.phytem.ens-cachan.fr/telechargement/Module%20Mb/coursMb.pdf
3. Jean Hladik, Michel Chrysos Introduction à la relativité restreinte, Dunod
4. Michel Hulin, Nicole Hulin, Lydie Mousselin, Relativité restreinte, Dunod
5. A. P. French: Special Relativity, MIT Press
Auteur
Document
Catégorie
Uncategorized
Affichages
4
Taille du fichier
1 032 KB
Étiquettes
1/--Pages
signaler