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4.4 Spirales 1.cdr

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4.3
1/2
Les spirales
Pour situer les exemples que nous avons rencontrés,
je m’adresse ici aux internautes qui ont oublié ou qui
n’ont pas appris ces notions.
Lorsque l’angle θ
varie, le point M doit rester sur la courbe
O
Si le rayon OM est constant le point décrit un CERCLE
θ
M
Fig : 1
A
Lorsque l’angle θ
varie, le point M doit rester sur la spirale
le rayon OM variera en fonction de θ
Si la variation de longueur d’OM est constante
le point décrit une SPIRALE D’ARCHIMÈDE
L’image en est donnée par une grosse corde de marine
qu’on enroule à spires jointives, sur le sol.
A chaque tour OM s’accroit de l’épaisseur de la code.
O
θ
M
Fig :2
I
Lorsque l’angle θ
varie, le point M doit rester sur la spirale
le rayon OM variera aussi en fonction de θ
Si la variation de longueur d’OM augmente de façon constante
On dit que cette élongation est exponentielle.
le point décrit alors une SPIRALE LOGARITHMIQUE
O
θ
B
M
Fig : 3
A
Si cette constante d’élongation de OM est 1,618... = Φ
,
elle est au nombre d’or, la suite de Fibonacci apparaît
Voir l’exemple de l’ammonite page suivante
H
Si cette constante d’élongation de OM est fonction de Φ
elle est au nombre d’or, la suite de Fibonacci apparaît
Voir l’exemple de notre spirale construite avec la corde (4.4)
G
O
C
B
θ
M
Fig : 4
A
Si ces spirales sont construite avec le triangle “sublime” comme
sur la couverture de “Mathématique”ou avec le carré tracé
sur le petit côté d’un rectangle d’or, comme on la voit partout,
dans les deux cas c’est valable pour les spirales “intérieures”
et “extérieurs” à ces éléments de base, les spirales obtenues
sont au nombre d’or, voir 4.2 galaxies
4.3 Spirales
2/2
Spirale logarithmique
L’accroissement à chaque tour est constant
Couverture du livre:
Nombre d’or nature
et œuvre humaine
Cette ammonite de plus de 100 million d’années est apparemment au nombre d’or.
A
Sur tout rayon passant par le centre,
Les arcs de cercle prouvent que :
AB=BC+CD, BC=CD+DE... donc que les
passages de la spirale sur ce rayon sur
un tour, crées une suite de segments
(AB, BC, CD...),qui forment une suite
de Fibonacci.
Et comme dans cette suite :
AB/BC=BC/CD= CD/DE=Φ
(mesurez pour contrôler !)
B
C
D
E
O
Cette suite est en plus
géométrique, de raison Φ
Cet enroulement naturel est-il au nombre d’or ?
Apparemment, OUI et directement.
* Rappel :
— Une suite de Fibonacci est une suite de nombres dans laquelle
1
2
Φ
Φ
acci
1/Φe
2
d
1/Φ
suite
n
Fibo
tout nombre est égal à la somme des deux précédents (sauf les deux premiers évidemment)
— Toute suite de Fibonacci peut tendre vers l’infini alors le rapport des deux derniers termes
tend vers 1,618... quelque-soit les deux nombres de départ.
— Une suite particulière est celle où les deux 1er nombres sont 1 et 1,618... parce qu’elle est
en même temps “arithmétique” et géométrique de raison Φ
.
Un terme est déterminé soit par
2
2
addition soit par multiplication, exemple : Φ
+
1
=
Φ
ou,
Φ
=
Φ
xΦ
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