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Clamaths.fr - Terminales ES

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Terminales ES
1
Fonctions affines -  =  + ......................................................................................................... 2
2
Fonctions polynôme de degré 2 -  =  +  +  ...................................................................... 3
3
Dérivées .............................................................................................................................................. 4
4
Continuité - Convexité ........................................................................................................................ 6
5
Fonctions Exponentielle et Logarithme............................................................................................. 10
6
Primitives et intégrales ..................................................................................................................... 11
7
Suites ................................................................................................................................................ 14
8
Evolutions & pourcentages ............................................................................................................... 19
9
Probabilité conditionnelles et loi binomiale...................................................................................... 20
10
Lois continues ............................................................................................................................... 23
11
Rappels sur quelques règles de calcul (niveau college !)............................................................... 28
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Page 1 of 29
1 FONCTIONS AFFINES - () =  + 
 +  = 0   = − 
=−


>0
x
f(x)


0
<0
x
−
-
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+
f(x)


0
−
+
-
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2 FONCTIONS POLYNOME DE DEGRE 2 - () =  +  + 
2.1 RESOLUTION DE L’EQUATION :  +  +  = 
Calcul du discriminant : ∆=  − 
Si ∆<  : Aucune racine (pas de solution à l’équation) -> Pas de forme factorisée
Si ∆=  : 1 racine (solution de l’équation) : 0 =
−
2
Forme factorisée : l () = ( − 0 )2
Si ∆>  : 2 racines (solutions de l’équation) : 1 =
−−√∆
2
et 2 =
−+√∆
2
Forme factorisée : l () = ( − 1 )( − 2 )
2.2
SIGNE DE ()
=  +  + 
∆< 0
∆= 0
∆> 0
a>0
x
f(x)
0
x
+
f(x)
+
0
1
x
+
f(x)
+
0
2
-
0 +
a<0
x
f(x)
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0
x
-
f(x)
-
0
1
x
-
f(x)
-
0
2
+
0
-
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3 DERIVEES
3.1 DEFINITION
Soit f une fonction définie sur un intervalle .
 est dérivable en  si et seulement si
On note alors :  ′ () = lim
ℎ→0
(+ℎ)−()
ℎ
admet une limite finie lorsque h tend vers 0.
(+ℎ)−()
ℎ
3.2 EQUATION DE LA TANGENTE
Si  est dérivable en  alors :
-
′() est le coefficient directeur de la tangente à  au point d’abscisses 
L’équation de la tangente au point d’abscisse  est :
 = ′ ()( − ) + ()
En particulier : si  ′ () = 0, alors la tangente est parallèle à l’axe des abscisses.
3.3 UTILITE DE LA DERIVEE
Comme dit précédemment, la dérivée en un point d’abscisse  est le coefficient directeur de la tangente
à la courbe en ce point.
Ainsi la dérivée représente la pente de la courbe  ce qui se traduit par les propriétés suivantes :
-
 ′ () > 0   ⇔     
 ′ () < 0   ⇔   é  
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3.4 TABLEAU DES DERIVEES (PARTIES GRISEES HORS PROGRAMME)
√
1

Fonction
Dérivée

0
 + 

2
2
3
3 2

 −1
1
  ∊ [0; +∞[
1

  ∊ ℕ\{0}

ln()
2√
1
− 2


− +1


1

Soit f et g 2 fonctions continues et dérivables sur ℝ.
Et k une constante appartenant à ℝ.
Fonction

Dérivée
′
+
′ + ′

′  + ′
2
2′ 
   ∊ ℕ
 × ′ × −1
1

√
1




ln()
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−
 × ′
+1
′
2√
′
− 2

′
  −  ′
2
′ 
′

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4 CONTINUITE - CONVEXITE
4.1 THEOREME DES VALEURS INTERMEDIAIRES
Soit f une fonction continue sur [a ;b] et  compris entre () et (), alors il existe au moins un réel
∊ℝ tel que () = 
TVI (Corollaire) :
Soit f une fonction continue et strictement croissante (resp. décroissante) sur [ ; ] et  compris entre
() et (), alors il existe un unique réel  ∊ ℝ tel que () = 
Exercice type 1 - TVI :
Soit  une fonction définie sur [−2; 2] par () =  3 − 2 2 + 3 − 4
1)
2)
3)
4)
Etudier les variations de 
Montrer que l’équation () = 0 admet une unique solution α sur [−2; 2]
Donner un encadrement de  à 10−2 près
En déduire le signe de  sur [−2; 2]
Correction :
1)  ′ () = 3 2 − 4 + 3,
 = −8 < 0 => pas de racine et  = 3 > 0 donc  ′ () > 0  
2)  est continue et strictement croissante sur [−2; 2]
(−2) = −26 ,
(2) = 2 ,
0 ∊ [−26; 2]
D’après le théorème des valeurs intermédiaire l’équation () = 0 admet une unique solution α
sur l’intervalle[−2; 2].
3) Avec la calculatrice on trouve :
(1) = −2 < 0 et (2) = 2 > 0 donc 1 <  < 2
(1.6) = −0.224 < 0 et (1.7) = 0.233 > 0 donc 1.6 <  < 1.7
(1.65) ≃ −0.003 < 0 et (1.66) ≃ 0.043 > 0 d’où 1.65 <  < 1.66
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Page 6 of 29
4) D’après le tableau de variation et sachant que  s’annule en , on peut en déduire le signe de 
Exercice type 2 - TVI :
3
− 3 2 + 5 + 10
3
Soit  une fonction définie sur ℝ par () =
1)
2)
3)
4)
Etudier les variations de  sur [−2; 8]
Montrer que l’équation () = 0 admet exactement 1 solution sur [−2; 8]
Donner une valeur approchée à 10−2 de cette solution
En déduire le signe de  sur ℝ
Correction :
1)  ′ () =  2 − 6 + 5,
 = 16 > 0
=> 2 racines : 1 = 1 et 2 = 5
2) *  est continue et strictement croissante sur ] − 2; 1]
(−2) = −
44
,
3
(1) =
37
,
3
0 ∊ [−
44 37
; ]
3 3
 D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaire l’équation () = 0 admet une
unique solution  sur l’intervalle ] − 2; 1].
5
5
* Sur l’intervalle [1; 8], on observe que le minimum est , on a pour tout  ∊ [1; 8], () ≥ ,
3
3
l’équation () = 0 n’admet donc pas de solutions sur cet intervalle.
* Conclusion : l’équation () = 0 admet une unique solution  sur l’intervalle ] − 2; 8].
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On peut alors rajouter  dans le tableau :
3) * A l’aide du tableau de valeur de la calculatrice on constate que :
(−1.133) ≃ ~ − 0.0009 < 0 et (−1.132) ≃ 0.0122 > 0
D’où : −1.113 ≤  ≤ −1.132 et donc  ≃ −1.13
4) On peut ainsi en déduire le tableau de signe de la fonction  :
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4.2 CONVEXITE
CONVEXE
CONCAVE
Graphiquement
 est convexe sur  ⇔ La Courbe  est située
au-dessus de toutes ses tangentes
Graphiquement
 est concave sur  ⇔ La Courbe  est située audessous de toutes ses tangentes
Par le calcul
 est convexe sur  ⇔ ’ est croissante sur 
 est convexe sur  ⇔ ’’ est positive sur 
Par le calcul
 est concave sur  ⇔ ’ est décroissante sur 
 est concave sur  ⇔ ’’ est négative sur 
POINT D’INFLEXION
Graphiquement
 admet un point d’inflexion au point d’abscisse 0 ⇔ La tangente à la courbe au point d’abscisse 0
traverse la courbe 
Par le calcul
 admet un point d’inflexion au point d’abscisse 0 ⇔ ’ change de sens de variation en 0
 admet un point d’inflexion au point d’abscisse 0 ⇔ ’’ s’annule et change de signe en 0
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5 FONCTIONS EXPONENTIELLE ET LOGARITHME
EXPONENTIELLE
LOGARITHME NEPERIEN
ln() < 0 pour  ∊]0 ; 1[
ln() > 0 pour  ∊]1 ; +∞[
Pour tout  ∊ ℝ,   > 0
0 = 1
1 = 
Propriétés :
 +
=
ln(1) = 0
Propriétés :

 − =
× 
1

(  )
=
 − =
1
(  )2 = √ 
 


ln() = ln() + ln()
ln(  ) =  × ()

ln ( ) = ln() − ln()

1
ln(√) = ln()
2
1
ln ( ) = −ln()

  =  ⇔  = 
  <  ⇔  < 
Dérivée :
(  )′ =  
= ′ ×  
ln() = ln() ⇔  = 
ln() < ln() ⇔  < 
Dérivée :
(  )′
Définition :
[ln()]′ =
1

Pour x>0 et y∊ℝ :
Propriétés :
 = ln() ⇔  =  
Pour  ∊ ℝ : (  ) =  et pour  > 0 ∶  ln() = 
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6 PRIMITIVES ET INTEGRALES
6.1 DEFINITION ET PROPRIETES DES PRIMITIVES
 est une primitive de  ⇔ ′ () = ()
Propriétés :
1) Toute fonction continue sur  admet des primitives sur 
2) Soit  une primitive de , alors toutes les fonctions de la forme () = () +  (où  ∊ ℝ)
sont également des primitives de  (il existe ainsi une infinités de primitives pour )
3) Soit 0 et 0 deux réels, il existe une unique primitive G telle que (0 ) = 0
Exemple :
Soit la fonction () = 3 2 +  − 2
1) Trouver une primitive de 
2) Déterminer la primitive de  qui vaut 3 lorsque  = 1
Correction :
1) () = 3 ×
3
3
= 3 +
+
2
2
2
2
− 2
− 2
2) On cherche ici une primitive  de  telle que (1) = 3
D’après la propriété 2 ci-dessus on sait que si  est une primitive de  alors elle est de la forme :
() = () + 
On a donc : (1) = 3 ⇔ (1) +  = 3
⇔ 13 +
12
2
−2×1+ =3
1
⇔ − + =3
2
⇔ =
7
2
On peut donc en déduire que : () = 3 +
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2
2
7
− 2 + 2
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6.2 INTEGRALES
Soit  une fonction continue et positive sur [; ]
Définition :

On note : ∫ () l’aire sous la courbe de  (Aire délimitée par les droites d’équation  = ,  = ,
l’axe des abscisses et la courbe  )
Propriété fondamentale :
Soit  une primitive de  :

∫ () = [()] = () − ()

Propriétés :

∫ () = 0


∫ () = − ∫ ()
Linéarité :



∫ () + () = ∫ () + ∫ ()



( de même : ∫ () − () = ∫ () − ∫ () )


∫  × () =  ∫ ()
Relation de Chasles :



∫ () = ∫ () + ∫ ()



Autres propriétés :

-
Si () ≥ 0   ∊ [ ; ] ∫ () ≥ 0
-
Si () ≤ 0   ∊ [ ; ] ∫ () ≤ 0
-
Si () ≤ ()  ∊ [ ; ] ∫ () ≤ ∫ ()



Valeur moyenne d’une fonction :
La valeur moyenne de  sur l’intervalle [; ] est :
µ=
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∫ ()
− 
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6.3 LIEN ENTRE DERIVEE, FONCTION ET PRIMITIVE
Soit  une fonction dérivable sur un intervalle 
Propriétés :
-
Signe de ′ ⇔ Variations de 
Signe de  ⇔ Variations de 
Signe de ′′ ⇔ Variations de ′ ⇔ Convexité de 
Nous pouvons si besoin retrouver ces propriétés à partir du schéma ci-dessous :
 =>  =  ′ =>  ′ => ′′
6.4 TABLEAU DES PRIMITIVES (PARTIES GRISEES HORS PROGRAMME)
Fonction
Primitive



2
2
2
3
3
 +1
+1
2√

(  ∊ ℕ)
1
1

√
1

1
2
( > 0)
( ≠ 0)
( ≠ 0)
  ∊ ℕ\{0; 1}
 +
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ln()
1

1
−
( − 1) −1
 +

−
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Considérons 2 fonctions,  et , continues et dérivables sur ℝ et α, constante appartenant à ℝ.
Fonction
Primitive
′

′ + ′
+
′ × 
′

+1
+1
1
−
( − 1) × −1

ù  ∊ ℕ
ù  ∊ ℕ   > 1
′ 
′

ln()
 () > 0
′
2√
√
7 SUITES
7.1 SUITES ARITHMETIQUES ET SUITES GEOMETRIQUES
 ℎé
 éé
 é
+1 =  + 
+1 =  × 
 
  = 0 +  × 
 = 0 ×  
Attention, si 1 premier terme :
 = 1 + ( − 1) × 
Attention, si 1 premier terme :
 = 1 ×  −1
 éé
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 =  + ( − ) × 
 =  ×  −
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7.2 SENS DE VARIATION
Soit ( ) une suite définie pour  ∊ ℕ :
( )   ⇔  ≤ +1
( )  é ⇔  ≥ +1
Méthode pour déterminer les variations d’une suite :
On calcule +1 −  :
=>  +1 −  ≥ 0  ( )  .
=>  +1 −  ≤ 0  ( )  é.
7.3 SOMME DES TERMES
7.3.1
Somme des termes d’une suite Arithmétique
Cas particulier :
1+2+3+⋯+ =
( + 1)
2
  ∊ ℕ
Cas Général :
 = (  ) ×
7.3.2
1  +  
2
Somme des termes d’une suite Géométrique
Cas particulier :
1 +  + 2 + 3 + ⋯ +  =
1 −  +1
1−
  ∊ ℝ
Cas Général :
 = (1 ) ×
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1 −   
1 − 
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7.4 LIMITES
Soit  ∊ ℝ ∶
 0 <  < 1 , 
  > 1 ,
  = 1 ,
lim   = 0
→+∞


lim   = +∞
→+∞
lim   = 1
→+∞
7.5 EXO-TYPE : SUITES ARITHMETICO-GEOMETRIQUE (CENTRES ETRANGERS - 2010)
Le nombre d'arbres d'une forêt, en milliers d'unités, est modélisé par la suite ( ) où  désigne le
nombre d'arbres, en milliers, au cours de l'année (2010 + n). En 2010, la forêt possède 50 000 arbres.
Afin d'entretenir cette forêt vieillissante, un organisme régional d'entretien des forêts décide d'abattre
chaque année 5 % des arbres existants et de replanter 3 000 arbres.
1. Montrer que la situation peut être modélisée par :
0 = 50 et pour tout entier naturel n par la relation : +1 = 0,95 + 3
2. On considère la suite ( ) définie pour tout entier naturel n par :  = 60 −  .
a. Montrer que la suite ( ) est une suite géométrique de raison 0,95.
b. Calculer v0. Déterminer l'expression de  en fonction de n.
c. Démontrer que pour tout entier naturel n,  = 60 − 10 × (0,95) .
3. Déterminer le nombre d'arbres de la forêt en 2015. On donnera une valeur approchée arrondie
à l'unité.
4.
a. Vérifier que pour tout entier naturel n, on a l'égalité +1 −  = 0,5 × (0,95) .
b. En déduire la monotonie de la suite.
5. Déterminer l'année à partir de laquelle le nombre d'arbres de la forêt aura dépassé de 10 % le
nombre d'arbres de la forêt en 2010.
6. Déterminer la limite de la suite ( ). Interpréter.
Correction :
1.  désigne le nombre d’arbres, en millier de l’année (2010 + ), on peut donc noter :
5
+1 =  × (1 −
)+3
100
En effet, le nombre d’arbre diminuant de 5% d’une année à l’autre, cela revient à multiplier 
par 1 −
5
,
100
et pour tenir compte des 3000 arbres replantés chaque année, il suffit de faire
« +3 » car  est exprimé en milliers.
On a donc : +1 = 0,95 + 3
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2.
a. On a  = 60 −  et donc également :  = 60 − 
Pour montrer que ( ) est géométrique il faut montrer qu’il existe un réel  ∊ ℝ tel
que : +1 =  × 
Méthode 1 :
On part donc de :
+1 = 60 − +1
= 60 − (0,95 + 3)
= 60 −0,95 − 3
= 57 −0,95
= 0.95(
57
− )
0.95
(on factorise par 0.95)
= 0.95(60 − )
= 0.95
Donc  est une suite géométrique de raison 0.95
Méthode 2 :
On part donc de :
+1 = 60 − +1
= 60 − (0,95 + 3)
= 60 −0,95 − 3
= 57 −0,95
= 57 − 0.95(60 −  )
= 57 − 57 + 0.95
= 0.95
Donc  est une suite géométrique de raison 0.95
b. D’après la formule  = 60 −  , on a :
0 = 60 − 0 = 60 − 50 = 10
Ainsi ( ) étant une suite géométrique on :
 = 0 ×  
 = 10 × 0.95
c. On sait que  = 60 − 
Donc :
 = 60 − 
 = 60 − 10 × 0.95
3. 5 = 60 − 10 × 0.955 = 52.262
Le nombre d’arbres en 2015 sera donc de 52262 arbres.
4.
a. On a :  = 60 − 10 × 0.95
Donc +1 = 60 − 10 × 0.95+1
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Calculons +1 −  :
+1 −  = 60 − 10 × 0.95+1 − (60 − 10 × 0.95 )
= 60 − 10 × 0.95+1 − 60 + 10 × 0.95
= −10 × 0.95+1 + 10 × 0.95
= −10 × 0.95 × 0.951 + 10 × 0.95
= 0.95 (−10 × 0.951 + 10)
= 0.95 × (0.5)
b. On constate que 0.95 × (0.5) > 0 car 0.95 > 0 et 0.5 > 0
On peut donc en déduire que +1 −  > 0, donc +1 > 
La suite  est donc strictement croissante.
5. On cherche  tel que :
10
 ≥ 0 +
× 0
100
⇔  ≥ 50 + 0.1 × 50
⇔  ≥ 55
⇔ 60 − 10 × 0.95 ≥ 55
⇔ −10 × 0.95 ≥ −5
−5
⇔ 0.95 ≤ −10
(Attention ! On change le sens de
l’inégalité car on divise par un nombre négatif)
⇔ 0.95 ≤ 0.5
⇔ ln(0.95 ) ≤ ln(0.5) (car ln est une fonction croissante
sur ]0; +∞[
⇔  × ln(0.95) ≤ ln(0.5)
ln(0.5)
⇔  ≥ ln(0.95)
(on change à nouveau le sens de
l’inégalité car on divise par ln(0.95) qui est négatif car 0<0.95<1 (voir chapitre expo & ln))
⇔  ≥ 13.5
⇔  ≥ 14
Donc le nombre d’arbres dépassera 55000 arbres au bout de 14 années, c’est-à-dire en 2024.
6.
lim 0.95 = 0 car 0 ≤ 0.95 ≤ 1
→+∞
Ainsi :
lim 10 × 0.95 = 10 × 0 = 0
→+∞
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Et :
lim 60 − 10 × 0.95 = 60 − 0 = 60
→+∞
Donc :
lim  = 60
→+∞
On peut donc en déduire qu’à long terme, la forêt tendra vers 60000 arbres.
8 EVOLUTIONS & POURCENTAGES
8.1 TAUX D’EVOLUTION
Pour déterminer le taux d’évolution d’une valeur initiale  vers une valeur finale  on utilise la
formule :
 = 100 ×
 − 

Exemple 1 :
Un prix passe de 20€ à 22€ :
 = 100 ×
22−20
= 10
20
 = 100 ×
25−30
= −16.67
30
Le prix a donc augmenté de 10%
Exemple 2 :
Un prix passe de 30€ à 25€ :
Le prix a donc baissé de 16.67%
8.2 COEFFICIENT MULTIPLICATEUR
Le coefficient multiplicateur entre une valeur initiale  et une valeur finale  est :
 =


A partir du coefficient multiplicateur on peut trouver le taux d’évolution grâce à la formule :
 = 100 × ( − 1)
D’autre part on peut calculer le Coefficient multiplicateur à partir du taux dévolution en faisant :
 = 1 +
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100
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9 PROBABILITE CONDITIONNELLES ET LOI BINOMIALE
9.1 RAPPELS
Soit  et  deux évènements de l’univers Ω
() =
  ′   
  ′  
0 ≤ () ≤ 1
() = 1 − (̅)
() = () + () − (⋂)
Soit X une variable aléatoire avec  ∊ {1 ; 2 ; … ;  }
Donner la loi de probabilité de  c’est associer à chaque issue de  sa probabilité :

( =  )
1
1
2
2
…
…


Espérance : () = 1 × 1 + 2 × 2 + ⋯ +  ×  (  ∶ () = ∑=1  ×  )
Variance :
2
2
() = 1 (1 − ()) + 2 (2 − ()) + ⋯ +  ( − ())
2
() = ( 2 ) − [()]2 = 12 × 1 + 22 × 2 + ⋯ + 2 ×  − [()]2
Ou
Ecart-type : () = √()
Avec la calculatrice
TI : stats -> Edit… -> « Dans L1 rentrer les  et dans L2 les  »
Puis faire : stat -> CALC -> 1-Var Stats L1,L2
9.2 LOI BINOMIALE
Schéma de Bernoulli et Loi Binomiale
-
Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire à 2 issues : « succès » ou « échec », le
paramètre  de la loi de Bernoulli est la probabilité de « succès ».
Un schéma de Bernoulli de paramètre  et  est une succession  épreuves de Bernoulli (de
paramètre ) réalisées de manières identiques et indépendantes.
Dans un schéma de Bernoulli, si l’on note  la variable aléatoire correspondant au nombre de
succès à l’issue des  épreuves, alors on  suit la Loi Binomiale de paramètres  et . On note
souvent  ↝ (, ). On a alors pour tout tout entier  ∊ [1; ] :

( = ) = ( ) ×   × (1 − )−

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Rédaction type
L’expérience consiste à répéter … fois de manière identique et indépendante une même épreuve de
Bernoulli de succès : « ….. » et de paramètre  = ⋯, soit  la variable aléatoire correspondant au
nombre de succès.  ↝ (… , … )
Calculatrice
Soit  une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètre (, )
( = )
( ≤ )
Casio
2nde -> var -> (, , )
Ou « Binompdf »
OPTN -> STAT –> DIST -> BINM -> (, , )
2nde -> var -> é(, , )
Ou « Binomcdf »
OPTN -> STAT –> DIST -> BINM -> (, , )
Lien
http://mathematiques.ac-bordeaux.fr/lycee2010/calculatrices/loi_binomiale_et_calculatrice.pdf
TI
Exercice type (Reunion – Juin 2008)
Tous les résultats seront arrondis à 10−2 près.
Une entreprise produit en grande quantité des stylos. La probabilité qu’un stylo présente un défaut est
égale à 0, 1.
On prélève dans cette production, successivement et avec remise huit stylos. On note X la variable
aléatoire qui compte le nombre de stylos présentant un défaut parmi les huit stylos prélevés.
1) Justifier que X suit une loi binomiale et donner les paramètres de cette loi.
2) Calculer la probabilité des événements suivants :
A : « il n’y a aucun stylo avec un défaut » ;
B : « il y a au moins un stylo avec un défaut » ;
C : « il y a exactement deux stylos avec un défaut ».
D : « il y a 4 stylos ou plus présentant un défaut ».
Correction :
1) L’expérience consiste à répéter 8 fois de manière identique et indépendante une même épreuve
de Bernoulli de succès : « le stylos présente un défaut » et de paramètre  = 0.1, soit  la
variable aléatoire correspondant au nombre de succès.  suit la loi binomiale de paramètre
 = 8 et  = 0.1
2) () = ( = 0) = 0.98 ≃ 0.43
() = ( ≥ 1) = 1 − ( = 0) = 1 − 0, 98 = 0, 57
2
6
() = ( = 2) = (8
2) × 0.1 × 0.9 ≃ 0.15 (avec la calculatrice)
() = ( ≥ 4) = 1 − ( ≤ 3) ≃ 1 − 0.99 ≃ 0.01 (avec la calculatrice)
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9.3 PROBABILITES CONDITIONNELLES
Soit A et B deux évènements tels que () ≠ 0 et () ≠ 0
Formules de probabilités conditionnelles :
(⋂) = () × () = () ×  ().
() =
(⋂)
()
Formule des probabilités totales :
Soit 1 , 2 , … ,  des évènements formant une partition de l’univers Ω et B un évènement de Ω.
On a :
() = (1 ⋂) + (2 ⋂) + ⋯ + ( ⋂)
= (1 ) × 1 () + (2 ) × 2 () + ⋯ + ( ) ×  ()
Cas particulier :
() = (⋂) + (̅⋂)
= () ×  () + (̅) × ̅()
Evènements indépendants :
A et B sont dits indépendants ⇔ ( ⋂ ) = () × ()
⇔  () = () ou  () = ()
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10 LOIS CONTINUES
10.1 DEFINITION D’UNE DENSITE DE PROBABILITE
Définition :
Une fonction  est une fonction densité de probabilité sur un intervalle  si :

 est continue et strictement positive sur  = [; ], et ∫ () = 1
Soit  une variable aléatoire à valeur dans [a ;b], suivant la loi de densité , pour tout intervalle [; ]
inclus dans [; ] on a alors :

( ≤  ≤ ) = ∫ ()

Propriétés (ATTENTION ces propriétés ne sont valables que pour le chapitre loi de densité)
-

( = ) = 0 (car on est sur une loi continue donc ( = ) = ∫ () = 0 )
( ≤  ≤ ) = ( <  < ) = ( ≤  < ) = ( <  ≤ )
Espérance :

() = ∫ ()

10.2 LOI UNIFORME
Définition :
La variable aléatoire  suit une loi uniforme sur [; ] lorsque () =
1
−
Propriétés :
-
-
Soit  une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur [; ], pour tout intervalle [; ] inclus
dans [; ] on a alors :
( ≤  ≤ ) =
−
−
() =
+
2
Espérance :
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10.3 LOI NORMALE Ɲ(, )
Définition :
Une variable aléatoire X suit la loi normale centrée réduite, notée Ɲ(0,1), lorsque sa densité de
probabilité est :
() =
1
√2
× −
2
2
Propriétés :
-
( ≤ −) = ( ≥ )
( ≤ 0) = ( ≥ 0) = 0,5
(− ≤  ≤ ) = 2 × ( ≤ ) − 1
-
(−1.96 ≤  ≤ 1.96) ≃ 0.95
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10.4 LOI NORMALE Ɲ(µ,  )
Exemple de lois normales :
Ɲ(3, 22 )
Ɲ(−1, 2 )
Ɲ(−1, 0.5 )
Définition :
 suit la loi normale Ɲ(µ,  2 ) (où µ = () désigne la moyenne et  = () désigne l’écart-type ), si
et seulement si la variable aléatoire  =
−µ

suit la loi normale centrée réduite ( Ɲ(0,1) )
Propriétés :
-
( ≤  ≤ ) = ( ≤ ) − ( ≤ )
( ≥ ) = 1 − ( ≤ )
Critères de normalités :
-
(µ −  ≤  ≤ µ + ) ≃ 0.68
(µ − 2 ≤  ≤ µ + 2) ≃ 0.954
(µ − 3 ≤  ≤ µ + 3) ≃ 0.997
Calculatrice - Soit  une variable aléatoire suivant la loi normale Ɲ(µ,  2 ) :
-
Calcul de ( ≤  ≤ ) :
TI : 2nde -> var -> é(, , µ, )
-
Calcul de ( ≤ ) :
TI : 2nde -> var -> é(−1099 , , µ, )
-
Calcul de ( ≥ ) :
TI : 2nde -> var -> é(, 1099 , µ, )
-
Calcul de  sachant que ( ≤ ) =  :
TI : 2nde -> var -> (, µ, )
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10.5 INTERVALLE DE FLUCTUATION – ESTIMATION
Contexte de l’étude :
On étudie un caractère présent dans une population et on prélève au hasard un échantillon de la
population.
 = proportion du caractère dans la population
 = taille de l’échantillon
 = la fréquence du caractère dans l’échantillon
Intervalle de fluctuation (on connaît p) :
Lorsque  ≥ ,  ×  ≥  et  × ( − ) ≥ 
L’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% est :
 = [ − .  ×
√ × ( − )
√
;  + .  ×
√ × ( − )
√
]
Cela signifie que sur un échantillon de taille , la fréquence  de l’échantillon a 95% de chances de se
trouver dans cet intervalle.
Programme calculette pour calculer l’intervalle de fluctuation :
 , 
1.96 × √( × (1 − ))/√ −> 
− →
+ →
 
 
Prise de décision :
Pour un échantillon donné de taille  :
-
Si  ∊  , alors on accepte l’hypothèse selon laquelle l’échantillon est compatible, avec un risque
d’erreur de 5%
Si  ∉  , alors on rejette l’hypothèse selon laquelle l’échantillon est compatible, avec un risque
d’erreur de 5%
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Intervalle de confiance (on ne connaît pas p) :
Lorsque  ≥ ,  ×  ≥  et  × ( − ) ≥ 
L’intervalle de confiance de la proportion  de la population au seuil de 95% est :
 = [ −

√
; +

√
]
Amplitude d’un intervalle de confiance :
Si l’on veut un intervalle de confiance d’amplitude inférieure ou égale à , il faut que la taille  de
l’échantillon soit telle que :  ≥
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2
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11 RAPPELS SUR QUELQUES REGLES DE CALCUL (NIVEAU COLLEGE !)
Les Evidences de l’associativité (mais il faut penser à l’utiliser !) :
+=+
×=×
++ =++ =++
×× = ×× = ××
=⇔=
≤⇔≥
Règles basiques de calculs :
=

1

=1

+  
= +

 

1
=×


  ×
× =
  ×
×+ +
≠
×

k× k
/ × 
=
=
k× k
/ × 
k
/ × ( + )
k
/ ×
=
+

×
 
×
= ×=
 

On ne barre pas les k
dans ce cas là !!!
Ici par contre on peux
les barrer !
La double fraction :

 =×
  

Attention aux
signes :
Exemples de
Factorisations :
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−


 =  =×1
  

1
 −

−
=
=
≠


− −
 ×  +  ×  = ( + )



= 1 =×





−( × ) = (−) ×  =  × (−) ≠ (−) × (−)
 ×  +  ×  +  ×  = ( +  + )
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−32
 ×  −  ×  ×  = ( −  × )
+ 8( + ) − 2 2  +  = [−32 + 8( + ) − 2 + 1]
( + ) =  ×  +  × 
Distributivité :
Transformer
une
expression :
−( + ) = − − 
−( − ) = − + 
−(− − ) =  + 
− +  = −( − )
− −   + 
=
−

− +   − 
=
−

0 = 1
1 = 
 ×  = +

= −

() =  × 
1

 ×   ≠ ( ×  ) 
( ) = 
Puissances :
  
( ) = 


− =
ATTENTION !!!
Un nombre négatif élevé à une puissance paire est positif !
Exemples : (−3)24 = 324
Un nombre négatif élevé à une puissance paire est positif !
Exemples : (−3)25 = −325
Racines carrées :
Identités
remarquables :
√ ×  = √ × √
 √
√ =
 √
√ +  ≠ √ + √
ATTENTION !!!
√ =  2
( + )2 = 2 + 2 + ²
1
( − )2 = 2 − 2 + ²
( + )( − ) = 2 − ²
Règle fondamentale sur les inéquations : Multiplier ou diviser les 2 membres d’une inéquation par un
nombre négatif change le sens de l’inégalité.
Exemple :  ≤  ⇔ −3 ≥ −3
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