close

Se connecter

Se connecter avec OpenID

Clamaths.fr - Terminales S

IntégréTéléchargement
Clamaths.fr
Terminales S
1
Rappels Foncions affines et de degré 2 ................................................................................................2
2
Suites ....................................................................................................................................................4
3
Continuité – Convexité - TVI ...............................................................................................................19
4
Fonctions Exponentielle et Logarithme ..............................................................................................23
5
Dérivées..............................................................................................................................................24
6
Fonctions trigonométriques ...............................................................................................................25
7
Limites de fonctions ...........................................................................................................................30
8
Primitives et intégrales .......................................................................................................................34
9
Complexes ..........................................................................................................................................38
10
Probabilités conditionnelles ...........................................................................................................39
11
Loi continues (Loi uniforme, Loi normale et Loi exponentielle) ......................................................42
12
Echantillonnage ..............................................................................................................................46
13
Géométrie dans l’espace ................................................................................................................49
14
Calculatrice .....................................................................................................................................54
15
Rappels sur quelques règles de calcul (niveau college !) ................................................................55
www.clamaths.fr
Page 1 of 56
1 RAPPELS FONCIONS AFFINES ET DE DEGRE 2
1.1 FONCTIONS AFFINES - () =  + 
 +  = 0   = − 
=−


a>0
x
f(x)


0
a<0
x
−
-
+


0
−
f(x)
+
-
1.2 FONCTIONS POLYNOME DE DEGRE 2 - () =  +  + 
RESOLUTION DE L’EQUATION : AX2 + BX + C = 0
Calcul du discriminant : ∆=  − 
Si ∆<  : Aucune racine (pas de solution à l’équation) -> Pas de forme factorisée
Si ∆=  : 1 racine (solution de l’équation) : 0 =
−
2
Forme factorisée : l () = ( − 0 )2
Si ∆>  : 2 racines (solutions de l’équation) : 1 =
−−√∆
2
et 2 =
−+√∆
2
Forme factorisée : l () = ( − 1 )( − 2 )
www.clamaths.fr
Page 2 of 56
SIGNE DE F(X) = AX2 + BX + C
∆< 0
∆= 0
∆> 0
a>0
x
f(x)
0
x
+
f(x)
+
0
1
x
+
f(x)
+
0
2
-
0 +
a<0
x
f(x)
www.clamaths.fr
0
x
-
f(x)
-
0
1
x
-
f(x)
-
0
2
+
0
-
Page 3 of 56
2 SUITES
2.1 SUITES ARITHMETIQUES ET SUITES GEOMETRIQUES
 ℎé
 éé
 é
+1 =  + 
+1 =  × 
 
  = 0 +  × 
 = 0 ×  
Attention, si 1 premier terme :
 = 1 + ( − 1) × 
Attention, si 1 premier terme :
 = 1 ×  −1
 =  ×  −
 =  + ( − ) × 
 éé
Pour montrer qu’une suite est Arithmétique, il suffit de calculer +1 −  et de montrer que le
résultat est égal à une constante.
Pour montrer qu’une suite est Géométrique, il suffit de calculer
+1

et de montrer que le résultat est
égal à une constante.
Pour montrer qu’une suite n’est ni Arithmétique ni Géométrique, il suffit de montrer que respectiveent


que 1 − 0 ≠ 2 − 1 et que 1 ≠ 2
0
1
2.2 SENS DE VARIATION
Soit ( ) une suite définie pour  ∊ ℕ :
( )   ⇔  ≤ +1
( )  é ⇔  ≥ +1
Méthode pour déterminer les variations d’une suite :
On calcule +1 −  :
=>  +1 −  ≥ 0  ( )  .
=>  +1 −  ≤ 0  ( )  é.
www.clamaths.fr
Page 4 of 56
Autre méthode (moins fréquente), on calcule


+1

:
Si pour tout  ∊ ℕ,  > 0, alors :
+1
=> 
≥ 1  ( )  .

+1
=> 
≤ 1  ( )  é.

Si pour tout  ∊ ℕ,  < 0, c’est le contraire :
+1
=> 
≥ 1  ( )  é.

+1
=> 
≤ 1  ( )  .

2.3 SOMME DES TERMES
2.3.1
Somme des termes d’une suite Arithmétique
1 + 2 + 3 + ⋯+  =
Cas particulier :
(+1)
2
  ∊ ℕ
Cas Général :
 = (  ) ×
2.3.2
1  +  
2
Somme des termes d’une suite Géométrique
Cas particulier :
1 +  + 2 + 3 + ⋯ +  =
1−+1
1−
  ∊ ℝ
Cas Général :
 = (1 ) ×
1 −   
1 − 
2.4 LIMITES

Notions de base :
La suite ( ) est convergente si elle admet une limite finie.
La suite est dite divergente lorsqu’elle tend vers −∞ , +∞ ou alors simplement si elle n’admet pas de
limite finie (exemples :  = (−1) ;  = 3cos() )
www.clamaths.fr
Page 5 of 56

-
Soit  ∊ ℝ ∶
 0 <  < 1 , 
-
  > 1 ,

-
  = 1 ,


Il y 4 formes indéterminées :
« ∞/∞ »
;
lim   = 0
→+∞
lim   = +∞
→+∞
lim   = 1
→+∞
« 0×∞ »
;
« 0/0 »
;
« ∞−∞ »
2.5 METHODES POUR LEVER UNE INDETERMINATION
2.5.1 Du type « ∞/∞ » et « ∞−∞ »
En général, lorsque l’on est face à une forme indéterminée du type « ∞/∞ » ou « ∞−∞ », il suffit de
factoriser par le terme de plus haut degré.
Exemples :
1)  = 32 − 2 + 3  il y a une forme indéterminée du type « ∞−∞ »
 On factorise par 2 :
2
3
 = 2 (3 − + 2 )
 
La fome indéterminée est ainsi levée car :
2
3
lim 2 = +∞ et lim 3 − + 2 = 3 donc par produit :


→+∞
→+∞
2)  =
lim  = +∞
→+∞
32 −2+4
 il y a une forme indéterminée du type « ∞/∞ »
−54 −12
 On factorise au numérateur par 2 et au dénominateur par 4 :
 =
2 (3−2+ 42 )

4
 (−5− 13)
2
=
3−2+ 42

2
 (−5− 13)
2
2
4
On a alors : lim 3 − + 2 = 4 ;


→+∞
lim 2 = +∞ et
→+∞
lim −5 −
→+∞
1
= −5
23
Par produit et quotient on a donc : lim  = 0
→+∞
3 −2
 il y a une forme indéterminée du type « ∞/∞ »
−54 −6
 On factorise au numérateur par   et au dénominateur par 4
3)  =
 =
 (3− 2)
3−2

=
×
4 (−5− 64) 4 (−5− 64)


www.clamaths.fr

Page 6 of 56

4 = +∞
→+∞ 
D’après le théorème des croissances comparées : lim
De plus lim
3−2
6
→+∞ (−5− )
4
=−
3
donc par produit : lim  = −∞
5
→+∞
2.6 THEOREME DE COMPARAISON
2.6.1
Théorème 1
Soit ( ) et ( ) deux suites telles que :
-  ≤  pour tout  ≥ 0
- Et lim  = +∞
→+∞
Alors : lim  = +∞
→+∞
2.6.2
Théorème 2
Soit ( ) et ( ) deux suites telles que :
-  ≤  pour tout  ≥ 0
- Et lim  = −∞
→+∞
Alors : lim  = −∞
→+∞
Exemple 1 :
Soit  = cos() + 
1) Montrer que −1 +  ≤  ≤ 1 + 
2) En déduire la limite de la suite 
Correction :
1) Pour tout  ∊ ℕ :
−1 ≤ cos() ≤ 1
⇔ −1 +  ≤ cos() +  ≤ 1 + 
⇔ −1 +  ≤  ≤ 1 + 
www.clamaths.fr
Page 7 of 56
2) On a donc −1 +  ≤  et lim −1 +  = +∞ donc d’après le théorème de comparaison
→+∞
(théorème 1) :
lim  = +∞
→+∞
Exemple 2 :
Soit  = 3 × (−1) − 33
1) Montrer que : −3 − 33 ≤  ≤ 3 − 33
2) En déduire la limite de la suite 
Correction :
1) Pour tout  ∊ ℕ :
−1 ≤ (−1)n ≤ 1
⇔ −3 ≤ 3 × (−1) ≤ 3
⇔ −3 − 33 ≤ 3 × (−1) − 33 ≤ 3 − 33
⇔ −3 − 33 ≤  ≤ 3 − 33
2) On a donc  ≤ 3 − 33 et lim 3 − 33 = −∞ donc d’après le théorème de comparaison
→+∞
(théorème 2) :
lim  = −∞
→+∞
2.7 THEOREME DES GENDARMES
Soit ( ), ( ) et ( ) trois suites telles que :
-  ≤  ≤  pour tout  ≥ 0
- Et lim  = lim  =  où  ∊ ℝ
→+∞
→+∞
Alors : lim  = 
→+∞
Exemple 1 :
Soit  =
cos()
pour tout  ∊ ℕ.

1) Encadrer 
2) En déduire sa limite
www.clamaths.fr
Page 8 of 56
Correction :
1) Pour tout  ∊ ℕ :
−1 ≤ cos() ≤ 1
1 cos() 1
⇔ − ≤
≤



1
1
⇔ − ≤  ≤


1
1
1
1
2) On a donc montré que pour tout  ∊ ℕ : − ≤  ≤
et lim − = lim = 0


→+∞ 
→+∞ 
Donc d’après le théorème des gendarmes :
lim  = 0
→+∞
Exemple 2 :
Soit  = −3 +
(−1)

×

pour tout  ∊ ℕ.
1) Encadrer 
2) En déduire sa limite
Correction :
−1 ≤ (−1)n ≤ 1
(−1)n
1
1
⇔ − ≤
≤ 




(−1)n × 


⇔ − ≤
≤ 




(−1)n × 


⇔ −3 −  ≤ −3 +
≤ −3 + 




1) Pour tout  ∊ ℕ :
2) On a donc montré que pour tout  ∊ ℕ :


−3 −  ≤  ≤ −3 + 


Or on sait d’après le théorème des croissances comparées que :

=0

→+∞
On peut en déduire que : lim

= +∞ (voir chapitre 4)
→+∞ 
lim

1
( car :  =  )




D’où : lim − 3 −  = lim − 3 +  = −3


→+∞
→+∞
D’après le théorème des gendarmes on en déduit :
lim  = −3
→+∞
www.clamaths.fr
Page 9 of 56
2.8 THEOREME DE CONVERGENCE (IMPORTANT)
 Toute suite croissante et majorée est convergente
 Toute suite décroissante et minorée est convergente
 Si  ≤  ≤  et ( ) monotone, alors la suite converge vers une limite  ∊ [; ]
2.9 THEOREME POUR LA LIMITE D’UNE SUITE CONVERGENTE
Soit la suite ( ) telle que +1 = ( ).
Si ( ) admet une limite finie  et  continue en , alors : () = 
2.10 AUTRES THEOREMES
1) Théorème 1 :
o
Toute suite croissante non majorée a pour limite +∞
o Toute suite décroissante non majorée a pour limite −∞
2) Théorème 2 :
o Si ( ) est croissante et admet une limite finie , alors pour tout  ∊ ℕ,  ≤ 
o Si ( ) est décroissante et admet une limite finie , alors pour tout  ∊ ℕ,  ≥ 
2.11 RAISONNEMENT PAR RECURRENCE
Principe :
Soit une propriété () à démontrer pour tout  ∊ ℕ tel  ≥ 0
Le raisonnement par récurrence est constitué de 3 étapes :
1) Initialisation : On montre que la propriété est vraie pour le premier rang 0
2) Hérédité : On montre que pour  ∊ ℕ et  ≥ 0 , si () est vrai alors ( + 1) est vraie
3) Conclusion : Pour tout  ≥ 0 , () est vraie.
Exemple 1 :
Démontrer par récurrence que pour tout  ∊ ℕ :
12 + 22 + ⋯ + 2 =
www.clamaths.fr
( + 1)(2 + 1)
6
Page 10 of 56
Correction :
Soit () la propriété, définie pour tout  ∊ ℕ∗ par :
12 + 22 + ⋯ + 2 =
( + 1)(2 + 1)
6
Initialisation :
Montrons que (1) est vraie.
12 = 1
1(1+1)(2×1+1)
6
=
1×2×3
On constate que 12 =
6
=1
1(1+1)(2×1+1)
.
6
Donc (1) est vraie.
Hérédité :
Supposons qu’il existe  ∊ ℕ∗ tel que () est vraie. Montrons alors que ( + 1) est vraie.
On a :
12 + 22 + ⋯ +  2 =
(+1)(2+1)
6
On veut montrer que :
12 + 22 + ⋯ +  2 + ( + 1)2 =
( + 1)( + 2)(2( + 1) + 1)
6
C’est-à-dire en simplifiant :
12 + 22 + ⋯ +  2 + ( + 1)2 =
( + 1)( + 2)(2 + 3)
6
On calcule 12 + 22 + ⋯ +  2 + ( + 1)2 :
12 + 22 + ⋯ +  2 + ( + 1)2 =
(+1)(2+1)
+ ( + 1)2 d’après l’hypothèse de récurrence.
6
2
Donc :
12 + 22 + ⋯ +  2 + ( + 1)2 =
(+1)(2+1) (+1) ×6
+
6
6
=
( + 1)[(2 + 1) + ( + 1) × 6]
6
=
( + 1)[2 2 +  + 6 + 6]
6
=
( + 1)[2 2 + 7 + 6]
6
Pour arriver au résultat escompté il suffit donc de montrer que : 2 2 + 7 + 6 = ( + 2)(2 + 3).
Il suffit donc de développer ( + 2)(2 + 3) :
www.clamaths.fr
Page 11 of 56
( + 2)(2 + 3) = 2 2 + 3 + 4 + 6 = 2 2 + 7 + 6
On a donc :
(+1)(2 2 +7+6)
6
=
(+1)(+2)(2+3)
6
12 + 22 + ⋯ +  2 + ( + 1)2 =
D’où :
(+1)(+2)(2+3)
6
Donc ( + 1) est vraie, l’hérédité est ainsi prouvée.
Conclusion :
Pour tout  ∊ ℕ∗ , () est vraie : 12 + 22 + ⋯ + 2 =
(+1)(2+1)
6
Exemple 2 :
Soit ( ) définie pour tout  ∊ ℕ par :
0 = −3
{
+1 = −4 + 10
Démontrer par récurrence que :
 = −5 × (−4) + 2
Correction :
Soit () la propriété, définie pour tout  ∊ ℕ par :  = −5 × (−4) + 2
Initialisation :
−5 × (−4)0 + 2 = −5 × 1 + 2 = 3 = 0
Donc (0) est vraie.
Hérédité :
Supposons qu’il existe  ∊ ℕ∗ tel que () est vraie. Montrons alors que ( + 1) est vraie.
D’après l’hypothèse de récurrence on a :
 = −5 × (−4) + 2
Or : +1 = −4 + 10
= −4 × (−5 × (−4) + 2) + 10
= −4 × (−5) × (−4) − 4 × 2 + 10
= (−5) × (−4)+1 − 8 + 10
= (−5) × (−4)+1 + 2
Donc ( + 1) est vraie, l’hérédité est ainsi prouvée.
Conclusion :
Pour tout  ∊ ℕ, () est vraie :
www.clamaths.fr
 = −5 × (−4) + 2
Page 12 of 56
Exemple 3 :
Soit ( ) définie pour tout  ∊ ℕ par :
{
+1
0 = −3
= 0.5 ×  + 10
1) Démontrer par récurrence que :
−20 ≤  ≤ 20
2) Etudier les variations de 
3) En déduire que  est convergente.
4) Déterminer sa limite
Correction :
1) Soit () la propriété, définie pour tout  ∊ ℕ par : −20 ≤  ≤ 20
Initialisation : 0 = −3 ∊ [−20; 20]
Donc (0) est vraie.
Hérédité : Supposons qu’il existe  ∊ ℕ∗ tel que () est vraie. Montrons alors que ( + 1) est
vraie.
D’après l’hypothèse de récurrence on a :
−20 ≤  ≤ 20
⇔ −20 × 0.5 ≤ 0.5 ×  ≤ 20 × 0.5
⇔ −20 × 0.5 + 10 ≤ 0.5 ×  + 10 ≤ 20 × 0.5 + 10
⇔ 0 ≤ +1 ≤ 20
On a donc bien : −20 ≤ +1 ≤ 20 car −20 ≤ 0
Donc ( + 1) est vraie, l’hérédité est ainsi prouvée.
Conclusion :
Pour tout  ∊ ℕ, () est vraie :
−20 ≤  ≤ 20
2) Pour étudier les variations de  on calcule +1 −  :
+1 −  = 0.5 + 10 − 
= 10 − 0.5
= 0.5(20 −  )
Or  ≤ 20 donc 20 −  ≥ 0
D’où : +1 −  ≥ 0
La suite ( ) est donc croissante.
3) La suite ( ) est croissante et majorée par 20 donc elle converge.
www.clamaths.fr
Page 13 of 56
4) On peut donc en déduire qu’il existe une limite  ∊ ℝ telle que : −20 ≤  ≤ 20
On a donc :
lim  = lim +1 = 
→+∞
→+∞
Or : +1 = 0.5 + 10
Par passage à la limite on a :
lim +1 = lim 0.5 + 10 ⇔  = 0.5 ×  + 10
→+∞
→+∞
⇔ 0.5 = 10
⇔  = 20
D’où : lim  = 20
→+∞
Exemple 4 :
Soit ( ) définie pour tout  ∊ ℕ par :
0 = 1
{
+1 = ( )
Où : () =
3+2
+1
1) Calculer les 4 premiers termes de la suite et en donner une valeur approchées à 10−3 . Que
peut-on conjecturer ?
2) Etudier les variations de  sur ] − 1; +∞[
3) Démontrer par récurrence que :
1 ≤  ≤ +1 ≤ 3
4) En déduire que la suite ( ) est convergente et déterminer sa limite.
Correction :
1) 0 = 1
|
3×19+2
3 = 197
=
+1
7
1 =
71
7
26
7
=
30 +2 5
= = 2.5
0 +1
2
71
≃ 2.731
26
|
|
3×5+2
2 = 5 2
=
+1
2
3×71+2
4 = 7126
=
+1
26
265
26
97
26
=
19
2
7
2
=
19
≃ 2.714
7
265
≃ 2.732
97
On peut supposer que la suite ( ) est croissante et converge.
2) () =
′() =
3+2
+1
3×(+1)−1×(3+2)
(+1)
2
)=
1
2 > 0 pour  ∊] − 1; ∞[
(+1)
Donc  est strictement croissante sur ] − 1; ∞[
3) Soit () la propriété, définie pour tout  ∊ ℕ par :
1 ≤  ≤ +1 ≤ 3
www.clamaths.fr
Page 14 of 56
Initialisation : 0 = 1  1 = 2.5
On a bien :
1 ≤ 0 ≤ 1 ≤ 3
Donc (0) est vraie.
Hérédité : Supposons qu’il existe  ∊ ℕ∗ tel que () est vraie. Montrons alors que ( + 1) est
vraie.
D’après l’hypothèse de récurrence on a :
1 ≤  ≤ +1 ≤ 3
⇔ (1) ≤ ( ) ≤ (+1 ) ≤ (3)
⇔
car  est croissante sur ] − 1; +∞[
5
11
≤ +1 ≤ +2 ≤
2
4
On a donc bien : 1 ≤ +1 ≤ +2 ≤ 3 car 1 ≤
11
5
et
≤3
2
4
Donc ( + 1) est vraie, l’hérédité est ainsi prouvée.
Conclusion : Pour tout  ∊ ℕ, () est vraie :
1 ≤  ≤ +1 ≤ 3
4) La suite ( ) est croissante et majorée par 3 donc elle converge vers une limite  ∊ ℝ telle
que 1 ≤  ≤ 3
On a : +1 = ( )
Donc par passage à la limite :
lim +1 = lim ( )
→+∞
→+∞
⇔  = ()
⇔=
3+2
+1
⇔ ( + 1) = 3 + 2
⇔ 2 +  = 3 + 2
⇔ 2 − 2 − 2 = 0
 =  2 − 4 = (−2)2 − 4 × 1 × (−2) = 12
L’équation admet donc 2 racines : 1 =
Or  ∊ [1; 3].
2−√12 2−2√3
=
= 1 − √3 et 2 = 1 + √3
2
2
Donc lim  = 1 + √3 ≃ 2.73205
www.clamaths.fr
→+∞
Page 15 of 56
2.12 EXERCICE SUR UNE SUITE ARITHMETICO-GEOMETRIQUE
Le nombre d'arbres d'une forêt, en milliers d'unités, est modélisé par la suite ( ) où  désigne le
nombre d'arbres, en milliers, au cours de l'année (2010 + n). En 2010, la forêt possède 50 000 arbres.
Afin d'entretenir cette forêt vieillissante, un organisme régional d'entretien des forêts décide d'abattre
chaque année 5 % des arbres existants et de replanter 3 000 arbres.
1. Exprimer la suite ( ) de manière récurrente et donner son premier terme
2. On considère la suite ( ) définie pour tout entier naturel n par :  = 60 −  .
Montrer que la suite ( ) est une suite géométrique et en déduire l’expression de  en fonction de 
3. Déterminer le nombre d'arbres de la forêt en 2015. On donnera une valeur approchée arrondie à
l'unité.
4. Déterminer la monotonie de la suite.
5. Déterminer l'année à partir de laquelle le nombre d'arbres de la forêt aura dépassé de 10 % le
nombre d'arbres de la forêt en 2010.
6. Déterminer la limite de la suite ( ). Interpréter.
Correction :
1.  désigne le nombre d’arbres, en millier de l’année (2010 + ), on peut donc noter :
5
+1 =  × (1 −
)+3
100
En effet, le nombre d’arbre diminuant de 5% d’une année à l’autre, cela revient à multiplier 
par 1 −
5
,
100
et pour tenir compte des 3000 arbres replantés chaque année, il suffit de faire
« +3 » car  est exprimé en milliers.
On a donc : +1 = 0,95 + 3
De plus en 2010,la forêt contient 50000 arbres donc 0 = 50
2. On a  = 60 −  et donc également :  = 60 − 
Pour montrer que ( ) est géométrique il suffit de montrer qu’il existe un réel  ∊ ℝ tel que : +1 =
 × 
On part donc de :
+1 = 60 − +1 = 60 − (0,95 + 3)= 60 −0,95 − 3= 57 −0,95
= 57 − 0.95(60 −  )
= 57 − 57 + 0.95
= 0.95
Donc  est une suite géométrique de raison 0.95
D’après la formule  = 60 −  , on peut obtenir le premier terme :
www.clamaths.fr
Page 16 of 56
0 = 60 − 0 = 60 − 50 = 10
Ainsi ( ) étant une suite géométrique on :
 = 0 ×  
 = 10 × 0.95
On sait que  = 60 −  , Ainsi :  = 60 −  et donc :
 = 60 − 10 × 0.95
3. 5 = 60 − 10 × 0.955 = 52.262
Le nombre d’arbres en 2015 sera donc de 52262 arbres.
4. On a :  = 60 − 10 × 0.95
Donc +1 = 60 − 10 × 0.95+1
Calculons +1 −  :
+1 −  = 60 − 10 × 0.95+1 − (60 − 10 × 0.95 )
= 60 − 10 × 0.95+1 − 60 + 10 × 0.95
= −10 × 0.95+1 + 10 × 0.95
= −10 × 0.95 × 0.951 + 10 × 0.95
= 0.95 (−10 × 0.951 + 10)
= 0.95 × (0.5)
On constate que 0.95 × (0.5) > 0 car 0.95 > 0 et 0.5 > 0
On peut donc en déduire que +1 −  > 0,
donc +1 > 
La suite  est donc strictement croissante.
5. On cherche  tel que :
 ≥ 0 +
10
×
100
0 ⇔  ≥ 50 + 0.1 × 50
⇔  ≥ 55
⇔ 60 − 10 × 0.95 ≥ 55
⇔ −10 × 0.95 ≥ −5
−5
⇔ 0.95 ≤ −10
⇔ 0.95 ≤ 0.5
⇔ ln(0.95 ) ≤ ln(0.5) (car ln est une fonction croissante sur ]0; +∞[)
⇔  × ln(0.95) ≤ ln(0.5)
www.clamaths.fr
Page 17 of 56
ln(0.5)
⇔  ≥ ln(0.95)
(on change à nouveau le sens de l’inégalité car on divise par
ln(0.95) qui est négatif car 0<0.95<1 (voir chapitre expo & ln))
⇔  ≥ 13.5
⇔  ≥ 14
Donc le nombre d’arbres dépassera 55000 arbres au bout de 14 années, c’est-à-dire en 2024.
6.
lim 0.95 = 0 car 0 ≤ 0.95 ≤ 1
→+∞
Ainsi :
Et :
lim 10 × 0.95 = 10 × 0 = 0
→+∞
lim 60 − 10 × 0.95 = 60 − 0 = 60
→+∞
Donc :
lim  = 60
→+∞
On peut donc en déduire qu’à long terme, la forêt tendra vers 60000 arbres.
www.clamaths.fr
Page 18 of 56
3 CONTINUITE – CONVEXITE - TVI
3.1 LIMITE FINIE EN UN REEL A
Définition :
Soit  une fonction définie sur un intervalle  et  ∊ .
Dire qu’une fonction  a pour limite  lorsque  tend vers  signifie que tout intervalle ouvert contenant
 contient toutes les valeurs () prises par tous les nombre  de l’intervalle  suffisamment proche de
a.
3.2 DEFINITION DE LA CONTINUITE
Définition :
Soit  une fonction définie sur un intervalle  et  ∊ .
 continue en  ⇔ lim () = ()
→
Propriété :
 dérivable sur  =>  continue sur 
3.3 THEOREME DES VALEURS INTERMEDIAIRES
Théorème des Valeurs intermédiaires :
Soit f une fonction continue sur [a ;b] et  compris entre () et (), alors il existe au moins un réel
∊ℝ tel que () = 
TVI (Corollaire) :
Soit f une fonction continue et strictement croissante (resp. décroissante) sur [a ;b] et  compris entre
() et (), alors il existe un unique réel  ∊ ℝ tel que () = 
www.clamaths.fr
Page 19 of 56
Exercice type 1 :
Soit  une fonction définie sur ℝ par () =
1)
2)
3)
4)
3
− 3 2 + 5 + 4
3
Etudier les variations de  sur ℝ
Montrer que l’équation () = 0 admet exactement 3 solutions sur ℝ
Donner une valeur approchée à 10−2 de ces solutions
En déduire le signe de  sur ℝ
Correction :
1)  ′ () =  2 − 6 + 5,
 = 16 > 0
=> 2 racines : 1 = 1 et 2 = 5
2) *  est continue et strictement croissante sur ] − ∞; 1]
lim () = −∞ ,
→−∞
(1) =
19
,
3
0 ∊ [−∞;
19
]
3
 D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaire l’équation () = 0 admet une
unique solution 1 sur l’intervalle ] − ∞; 1].
*  est continue et strictement décroissante sur [1; 5]
(1) =
19
,
3
(5) = −
13
,
3
0 ∊ [−
13 19
; ]
3 3
 D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaire l’équation () = 0 admet une
unique solution 2 sur l’intervalle ]1; 5].
*  est continue et strictement croissante sur ]5; +∞]
(5) = −
13
13
, lim () = +∞ , 0 ∊ [− ; +∞]
3
3
→+∞
 D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaire l’équation () = 0 admet une
unique solution 3 sur l’intervalle ]5; +∞].
www.clamaths.fr
Page 20 of 56
3) * A l’aide du tableau de valeur de la calculatrice on constate que :
(−0.583) ≃ ~ − 0.0007 < 0 et (−0.582) ≃ 0.008 > 0
D’où : −0.583 ≤ 1 ≤ −0.582 et donc 1 ≃ −0.58
De même on montre que : 2 ≃ 3.25 et 3 ≃ 6.33
4) On peut ainsi en déduire le tableau de signe de la fonction  :
www.clamaths.fr
Page 21 of 56
3.4 CONVEXITE
CONVEXE
CONCAVE
Graphiquement
f est convexe sur  ⇔ La Courbe  est située
au-dessus de toutes ses tangentes
Graphiquement
f est convexe sur  ⇔ La Courbe  est située audessus de toutes ses tangentes
Par le calcul
f est convexe sur  ⇔ f’ est croissante sur 
f est convexe sur  ⇔ ’’ est positive sur 
Par le calcul
f est concave sur  ⇔ f’ est décroissante sur 
f est concave sur  ⇔ ’’ est négative sur 
POINT D’INFLEXION
Graphiquement
f admet un point d’inflexion au point d’abscisse 0 ⇔ La tangente à la courbe au point d’abscisse 0
traverse la courbe 
Par le calcul
f admet un point d’inflexion au point d’abscisse 0 ⇔ f’ change de sens de variation
f admet un point d’inflexion au point d’abscisse 0 ⇔ f’’ s’annule et change de signe en 0
www.clamaths.fr
Page 22 of 56
4 FONCTIONS EXPONENTIELLE ET LOGARITHME
EXPONENTIELLE , () =  
Pour tout  ∊ ℝ,   > 0
0 = 1
Propriétés :
 + =   ×  
1
 − = 

1
1 = 
(  ) =  

 − = 

(  )2 = √ 
LOGARITHME NEPERIEN , () = ln()
ln() < 0 pour  ∊]0 ; 1[
ln() > 0 pour  ∊]1 ; +∞[
Propriétés :
ln() = ln() + ln()

ln ( ) = ln() − ln()

1
ln(√) = ln()
2
  =  ⇔  = 
  <  ⇔  < 
Dérivée :
(  )′ =  
(  )′ = ′ ×  
Limites :
lim   = 0
(ROC)
→+∞
(ROC)
____________________

lim
= +∞
→+∞ 
lim   = 0
Dérivée :
1

′

[ln()]′ =

[ln()]′ =
Pour x>0 et y∊ℝ :
 = ln() ⇔  =  
www.clamaths.fr
Limites :
lim ln() = −∞
→+
lim ln() = +∞
→+∞
→−∞
 − 1
lim
=1
→0

Définition :
ln(  ) =  × ()
1
ln ( ) = −ln()

ln() = ln() ⇔  = 
ln() < ln() ⇔  < 
lim   = +∞
→−∞
ln(1) = 0
ln()
lim () = 0
→0+
=0
→+∞ 
ln(1 + ℎ)
lim
=1
ℎ→0
ℎ
lim
Propriétés :
Pour  ∊ ℝ : (  ) =  et pour  > 0 ∶  ln() = 
Page 23 of 56
5 DERIVEES
√
Fonction
Dérivée

 + 
2
3

0

2
3 2
 −1
1
  ∊ [0; +∞[
1

1

  ∊ ℕ\{0}
2 √
1
− 2


− +1



ln()
1

−sin()
cos()
sin( )
cos( + )
− × sin( + )
sin( + )
 × cos( + )
cos()
Soit f et g 2 fonctions continues et dérivables sur ℝ.
Et k une constante appartenant à ℝ.
Fonction

Dérivée
′
+

2
   ∊ ℕ
1

′ + ′
′  + ′
2′ 
 × ′ × −1
 × ′
− +1

√
′
2 √
′
2
′  −  ′
2
′ 
1



−

ln()
( + )
www.clamaths.fr
ù ( ) > 0
′

′( + )
Page 24 of 56
6 FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES
6.1 CERCLE TRIGONOMETRIQUE (RAPPELS PREMIERE S)

0
/6
/4
/3
1
cos()
1
0
√2
2
√2
2
1
2
√3
2
0
sin()
√3
2
1
2
tan() =
1
sin()
cos()
cos 2 () + sin2 () = 1
6.2 ANGLES ASSOCIES (RAPPELS PREMIERE S)
Les formules suivantes se retrouvent à l’aide
du cercle trigonométrique :
cos(−) = cos()
sin(−) = − sin()
cos( − ) = − cos()
sin( − ) = sin()
cos( + ) = − cos()
sin( + ) = − sin()

cos ( − ) = sin()
2
π
sin ( − ) = cos()
2

cos ( + ) = − sin()
2

sin ( + ) = cos()
2
www.clamaths.fr
Page 25 of 56
6.3 ANGLES ORIENTES (RAPPELS PREMIERE S)

-
Sur un cercle trigonométrique :
A tout nombre  on associe un point M unique
Si un point M est associé à un nombre , alors il est aussi
associé à tout nombre ′ tel que :
 ′ =  + 2 où  ∊ ℤ

Chacun de ces nombres est une mesure, en radian, de
⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
l’angle orienté de vecteurs (
 )

Parmi toutes ces mesures, il en existe une unique
appartenant à l’intervalle ] − ; ]. Cette mesure est
⃗⃗⃗⃗ , 
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )
appelée mesure principale de l’angle orienté (
Propriétés sur les angles orientés :
(−
⃗⃗⃗⃗⃗ , −
⃗⃗⃗⃗⃗ ) = (
⃗ , )
(
⃗ , −
⃗⃗⃗⃗⃗ ) = (
⃗ , ) + 
&
(−
⃗⃗⃗⃗⃗ ,  ) = (
⃗ , ) + 
( , 
⃗ ) = −(
⃗ , )
6.4 RESOLUTION D’EQUATIONS ET D’INEQUATIONS (RAPPELS PREMIERE S)
6.4.1 Equations trigonométrique
Propriétés :
 =  + 2
cos() = cos() ⇔ {
  ∊ ℤ

 = − + 2
sin() = sin() ⇔ {
 =  + 2
  ∊ ℤ

 =  −  + 2
On peut aisément retrouver ces propriétés à l’aide d’un cercle trigonométrique
www.clamaths.fr
Page 26 of 56
Exemple 1 :
1) Résoudre sur ℝ l’équation cos() =
1
.
√2
2) Donner les solutions sur ] − ; ]
3) Donner les solutions sur ]0; 2]
Correction :

+ 2
4

1)
  ∊ ℤ

 = − + 2
4
 
2) En remplaçant  par 0 on trouve 2 solutions dans ] − ; ] :  = {− ; }
4 4


3) En remplaçant  par 0, on a :  = ou  = −
4
4
9
7
En remplaçant  par 1, on obtient :  =
ou  =
4
4
 7
Les solutions sur ]0; 2] sont donc :  = { ; }
4 4
√2
1

cos() =
⇔ cos() =
⇔ cos() = cos( ) ⇔ {
2
4
√2
=
Exemple 2 :
1) Résoudre sur ℝ l’équation sin(2) =
1
2
2) Donner les solutions sur ] − ; ]
3) Donner les solutions sur ]0; 2]
Correction :

+ 2
6
1


Sin(2) = ⇔ sin(2) = sin ( ) ⇔ {
  ∊ ℤ
2
6

2 =  − + 2
6

=
+ 
12

⇔{
  ∊ ℤ
5
=
+ 
12
2 =
1)
11
7
2) Pour  = −1, on a :  = −
ou  = −
12
12

5
Pour  = 0, on a :  =
ou  =
12
12
13
17
Pour  = 1, on a :  =
ou  =
12
12
11
7  5
Il y a donc 4 solutions sur ] − ; ] :  = {−
;− ; ; }
12
12 12 12
 5 13 17
3) Les solutions sur ]0; 2] sont donc :  = { ; ;
;
}
12 12 12 12
www.clamaths.fr
Page 27 of 56
Exemple 3 :
1) Résoudre sur ℝ l’équation sin(2) = cos()
2) Donner les solutions sur ] − ; ]
3) Donner les solutions sur ]0; 2]
Correction :

−  + 2
2


1) sin(2) = cos() ⇔ sin(2) = sin( − ) ⇔ {
  ∊ ℤ
2

2 =  − ( − ) + 2
2

3 = + 2
2

⇔{
  ∊ ℤ

 = + 
2
 2
= +
6
3
⇔{
  ∊ ℤ


 = + 
2
7
3
2) Pour  = −2, on a :  = − ou  = −
6
2


Pour  = −1, on a :  = − ou  = −
2
2


Pour  = 0, on a :  = ou  =
6
2
5
3
Pour  = 1, on a :  =
ou  =
6
2
3
5
Pour  = 2, on a :  =
ou  =
2
2
   5
Il y a donc 3 solutions sur ] − ; ] :  = {− ; ; ; }
2 6 2 6
  5 3
3) Et sur ]0; 2]:  = { ; ; ; }
6 2 6 2
2 =
6.4.2
Inéquations trigonométrique
Il suffit de s’aider du cercle trigonométrique.
Voici des exemples (exemples 3, 4 et 5) : http://bernard.gault.free.fr/~bg/cours/1S/geom/11-equat-ineqtrigo.pdf
6.5 AUTRES FORMULES

Formules d’addition :
cos( + ) = cos() cos() − sin() sin()
cos( − ) = cos() cos() + sin() sin()
sin( + ) = sin() cos() + cos() sin()
sin( − ) = sin() cos() − cos() sin()
www.clamaths.fr
Page 28 of 56

Formules de duplication (se déduisent des précédentes) :
cos(2) = cos 2 () − sin2 ()
= 2cos 2 () − 1
= 1 − 2sin2 ()
sin(2) = 2 sin(a) cos(a)
6.6 FONCTIONS PAIRE OU IMPAIRE
Fonction paire
Soit  une fonction définie sur un intervalle  :   ⇔ (−) = ()
Interprétation graphique : La courbe  est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
 La fonction cosinus est paire car : cos(−) = cos()
Fonction impaire
Soit  une fonction définie sur un intervalle  :   ⇔ (−) = −()
Interprétation graphique : La courbe  est symétrique par rapport à l’origine du repère.
 La fonction sinus est impaire car : sin(−) = −sin()
6.7 FONCTION PERIODIQUES
Une fonction  définie sur  est dite périodique de période  si pour tout  ∊  :
( + ) = ()
Il en découle que pour tout  ∊ ℤ :
( + ) = ()
6.8 DERIVEES DE COSINUS ET SINUS
La dérivée de cosinus et sinus sont :
 ′ () = −sin()
′ () = cos()
De plus, si  est une fonction définie et dérivable sur  :
′ () = −′ × sin()
′ () = ′ × cos()
www.clamaths.fr
Page 29 of 56
7 LIMITES DE FONCTIONS
7.1 THEOREME DE COMPOSITION DE LIMITES
Soit  définie sur  et  définie sur  deux fonctions telles que :
- lim () =  avec  ∊  et lim () = 
→
→
Alors : lim [()] = 
→
Exemple 1 : Déterminer la limite en +∞ de : () = √3 − 2
lim 3 − 2 = +∞ et
lim √ = +∞
→+∞
→+∞
Donc par composition : lim √3 − 2 = +∞
→+∞
Exemple 2 : Déterminer la limite en −∞ de : () =
lim − − 3 = +∞ et lim
→−∞
lim
→−∞
→+∞
ln(−−3)
−−3
ln()
= 0 (croissances comparées), donc par composition de limites :

ln(−−3)
=0
−−3
Exemple 3 : Déterminer la limite en −∞ de : () = (3 + 2) 3+2
lim 3 + 2 = −∞ et lim   = 0 donc par composition de limites :
→−∞
→−∞
lim (3 + 2) 3+2 = 0
→−∞
7.2 THEOREMES DE COMPARAISON ET GENDARMES
7.2.1
Théorème des gendarmes
Soit ,  et ℎ 3 fonctions définies sur  =]; +∞[ ou ℝ.
Si () ≤ () ≤ ℎ() et si lim () = lim ℎ() =  où  ∊ ℝ
→+∞
→+∞
Alors lim () = 
→+∞
 Voir exemples sur les suites (chapitre 2.7)
www.clamaths.fr
Page 30 of 56
7.2.2
Théorèmes de comparaison
Théorème 1 :
Soit et  2 fonctions définies sur  =]; +∞[ ou ℝ.
Si () ≤ () et si lim () = +∞
→+∞
Alors lim () = +∞
→+∞
Théorème 2 :
Soit et  2 fonctions définies sur  =]; +∞[ ou ℝ.
Si () ≤ () et si lim () = −∞
→+∞
Alors lim () = −∞
→+∞
 Voir exemples sur les suites (chapitre 2.6)
7.3 METHODES POUR LEVER UNE INDETERMINATION
7.3.1
Du type « ∞/∞ » et « ∞−∞ »
En général, lorsque l’on est face à une forme indéterminée du type « ∞/∞ » ou « ∞−∞ », il suffit de
factoriser par le terme de plus haut degré et/ou utiliser des limites connues comme le théorème des
croissances comparées (  l’emporte sur  qui l’emporte sur ln())
Exemples : Voir exemples sur les suites (c’est la même chose) partie 9.5.1
Remarque : Si  → −∞ c’est le même principe.
17
Exemple avec Ln : Déterminer la limite en +∞ de : () =
ln(4(−3) )
−3
Il faut commencer par transformer l’expression pour se ramener à une forme du type «
()

»
ln(4( − 3)17 ) ln(4) + ln(( − 3)17 ) ln(4)
ln( − 3)
() =
=
=
+ 17 ×
−3
−3
−3
−3
ln(4)
=0
→+∞ −3
D’une part on a : lim
www.clamaths.fr
Page 31 of 56
ln()
= 0 donc par composition de limites :
→+∞ 
D’autre part : lim  − 3 = +∞ et lim
→+∞
ln(−3)
=0
→+∞ −3
lim
D’où, par produit et somme sur les limites : lim () = 0
→−∞
7.3.2
Du type « 0/0 »
Lorsque l’on est face à une indétermination du type « 0/0 », en générale il suffit d’identifier d’où
provient l’indétermination puis de factoriser l’expression (pas par le terme de plus haut degré mais une
factorisation classique). Lorsqu’il y a une racine carrée, il peut être utile d’utiliser une quantité conjuguée
(voir exemple 3 ci-dessous)
Exemple 1 : Considérons la fonction  définie pour tout  ∊ ℝ\{−2} par :
() =
2 − 4
+2
Question : Déterminer la limite de  lorsque  → −2 avec ( > −2)
On a une forme indéterminée du type « 0/0 », il suffit ici de factoriser l’expression :
() =
 2 − 4 ( − 2)( + 2)
=
=−2
+2
+2
D’où : lim () = lim  − 2 = −4
→−2
>−2
→−2
>−2
Exemple 2 : Considérons la fonction  définie pour tout  ∊ ℝ\{−2} par :
() =
3 2 + 3 − 6
+2
Question : Déterminer la limite de  lorsque  → −2 avec ( > −2)
On a une forme indéterminée du type « 0/0 », il suffit ici de factoriser l’expression :
() =
3 2 + 3 − 6 3( 2 +  − 2)
=
+2
+2
Ici, on pourrait faire le discriminant pour factoriser  2 +  − 2, mais sachant que −2 est une racine de ce
polynôme on sait que l’on va pouvoir factoriser par  + 2. On devine donc assez facilement que :  2 +
 − 2 = ( + 2)( − 1)
D’où :
() =
3(+2)(−1)
= 3( − 1)
+2
On a donc : lim () = lim 3( − 1) = −9
→−2
>−2
www.clamaths.fr
→−2
>−2
Page 32 of 56
Exemple 3 : Considérons la fonction  définie pour tout  ∊ [2; +∞[\{0} par :
() =
√ − 2 − 2
−6
Question : Déterminer la limite de  lorsque  → 6 avec ( < 6)
On a une forme indéterminée du type « 0/0 », il suffit ici de multiplier au numérateur et au
dénominateur par la quantité conjugué de √ − 2 − 2, c’est-à-dire √ − 2 + 2.
(Rappel : la quantité conjugué d’une expression du type  −  est  + , et inversement. L’intérêt est
d’élever les termes au carré et ainsi de supprimer la racine car : ( − )( + ) = 2 − 2 )
On obtient ainsi :
2
√ − 2 − 2 (√ − 2 − 2) × (√ − 2 + 2)
√ − 2 − 22
() =
=
=
−6
( − 6) × (√ − 2 + 2)
( − 6) × (√ − 2 + 2)
=
−6
( − 6) × (√ − 2 + 2)
=
1
(√ − 2 + 2)
En simplifiant par ( − 6) on a ainsi levé l’indétermination, on a ainsi :
lim () = lim
→6
<6
7.3.3
→6 (√
<6
1
− 2 + 2)
=
1
4
Du type « ∞×0 »
Dans ce cas, il suffit simplement parfois de développer l’expression :
Par exemple pour la limite en +∞ de : () =
1
× ( 2 − 2 + 3)

On a une forme indéterminée du type « 0×∞ », il suffit alors de développer pour lever l’indétermination.
Dans d’autre cas il faut pouvoir se ramener à une limite connue, en utilisant par exemple le
théorème des croissances comparées (on sait que : lim   = 0 et lim+ () = 0 )
→−∞
→0
1) Par exemple si on veut la limite en +∞ de : () = (3 − 2) −5+1
Il faut ici transformer l’expression de manière se ramener à une forme du type «   » où «  → −∞ ».
() = 3 ×  −5 ×  1 − 2 ×  −5 ×  1 = 3 ×  −5 − 2 ×  −5
= 3 ×
=−
www.clamaths.fr
1
× (−5) −5 − 2 ×  −5
−5
3
× (−5) −5 − 2 ×  −5
5
Page 33 of 56
On a donc d’une part : lim −5 = −∞ et
→+∞
D’autre part : lim −5 = −∞ et
→+∞
lim   = 0 donc par composition : lim  −5 = 0
→−∞
→+∞
lim   = 0 donc par composition : lim (−5) −5 = 0
→−∞
→+∞
D’où par produit et somme : lim () = 0
→+∞
8 PRIMITIVES ET INTEGRALES
8.1 DEFINITION D’UNE PRIMITIVE
 est une primitive de  ⇔ ′ () = ()
8.2 TABLEAU DES PRIMITIVES
Soit une constante  ∊ ℝ
Fonction


2

(  ∊ ℕ)
1
1

√
1

1
2
( > 0)
( ≠ 0)
( ≠ 0)
  ∊ ℕ\{0; 1}
 +
cos()
sin()
cos( + )
sin( + )
www.clamaths.fr
Primitive
 + 
2
+
2
3
+
3
 +1
+
+1
2√ + 
ln() + 
1
− +

1
−
+
( − 1) −1
 +
+

sin() + 
−cos() + 
sin( + )
+

cos( + )
−
+

Page 34 of 56
Considérons 2 fonctions,  et , continues et dérivables sur ℝ et α, constante appartenant à ℝ.
Fonction
Primitive
′
′ + ′

+
′ × 
′

+1
+1
1
−
( − 1) × −1

ln()
ù  ∊ ℕ
ù  ∊ ℕ   > 1
′ 
′

 () > 0
′
√
2√
u′cos()
′sin()
sin()
−cos()
8.3 PROPRIETES DES PRIMITIVES
-
Toute fonction continue sur  admet des primitives sur 
Soit  une primitive de , alors toutes les fonctions de la forme () = () +  (où  ∊ ℝ)
sont également des primitives de  (il existe ainsi une infinités de primitives pour )
Soit 0 et 0 deux réels, il existe une unique primitive G telle que (0 ) = 0
Remarque :
Toute les fonctions n’admettent pas nécessairement une primitive. Par exemple ^(− 2 ) n’admet
pas de primitive explicite.
Exemple :
Soit la fonction () = 3 2 +  − 2
1) Trouver une primitive de 
2) Déterminer la primitive de  qui vaut 3 lorsque  = 1
Correction :
1) () = 3 ×
3
3
+
2
2
− 2 = 3 +
2
2
− 2
2) On cherche ici une primitive  de  telle que (1) = 3
D’après la 2ème propriété citée précédemment on sait que si  est une primitive de  alors elle est de
la forme : () = () + 
On a donc : (1) = 3 ⇔ (1) +  = 3 ⇔ 13 +
On peut donc en déduire que : () =  3 +
www.clamaths.fr
12
2
1
2
−2×1+ =3 ⇔ − + = 3 ⇔  =
7
2
2
7
− 2 +
2
2
Page 35 of 56
8.4 INTEGRALES
Définition :
Soit  une fonction continue et positive sur [; ]

On note : ∫ () l’aire sous la courbe de  (Aire délimitée par les droites d’équations  = ,  = ,
l’axe des abscisses et la courbe  )
Théorème fondamental (ROC):
Soit  une fonction continue et positive sur [; ]

La fonction () = ∫ () est dérivable sur [; ] et  ′ = 
Propriété fondamentale :

Soit  une primitive de  :
∫ () = [()] = () − ()
Propriétés :


∫ () = 0

∫ () = − ∫ ()
Linéarité :



∫ () + () =  ∫ () +  ∫ ()





( en particulier : ∫ () + () = ∫ () + ∫ () et ∫  × () =  ∫ () )
Relation de Chasles :



∫ () = ∫ () + ∫ ()



Autres propriétés :

-
Si () ≥ 0   ∊ [ ; ] ∫ () ≥ 0
-
Si () ≤ 0   ∊ [ ; ] ∫ () ≤ 0
-
Si () ≤ ()  ∊ [ ; ] ∫ () ≤ ∫ ()



Valeur moyenne d’une fonction :
La valeur moyenne de  sur l’intervalle [; ]
est :
www.clamaths.fr
µ=


∫ ()
− 
Page 36 of 56
8.5 LIEN ENTRE DERIVEE, FONCTION ET PRIMITIVE
Soit  une fonction dérivable sur un intervalle 
Propriétés :
-
Signe de ′ ⇔ Variations de 
Signe de  ⇔ Variations de 
Signe de ′′ ⇔ Variations de ′ ⇔ Convexité de 
Nous pouvons si besoin retrouver ces propriétés à l’aide du schéma ci-dessous :
 =>  =  ′ =>  ′ => ′′
www.clamaths.fr
Page 37 of 56
9 COMPLEXES
9.1 RESUME SUR LES COMPLEXES
On définit le nombre complexe
 tel que :  2 = −1
Forme
algébrique
Tout nombre complexe  s’écrit
de manière unique sous la
forme :
 =  +  où  ∊ ℝ et  ∊ ℝ
=> L’ensemble des nombres
complexes est noté ℂ
-  est appelé partie réelle de 
et on note :  = ()
-  est appelé partie imaginaire
de  et on note :  = ()
* Dans un repère on note
(; ) le point ayant pour
affixe . On peut noter ()
* Réciproquement, le point
(; ) et le vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
(; )
ont pour affixe  =  + 
Forme
Trigonométrique
Forme
exponentielle
www.clamaths.fr
Tout nombre complexe s’écrit
sous la forme :
 = ||( + )
|| = √ 2 +  2
Où : {
 = (
⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
)
 +  =  ′ +  ′ ⇔ {
 = ′
 = ′
En particulier :
=0
 +  = 0 ⇔ {
=0
Module :
Soit  =  +  l’affixe du
point (; )
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ = 
|| = ‖
= √ 2 +  2
Le conjugué de  est :
̅ =  − 
Propriétés :
| ∗ ′| = || ∗ |′|
Propriétés :
| |=|

| |
′
′|
| | = |  |
|̅| = ||
-  é ⇔ ̅ = 
(exemple : 3̅ = 3)
-  imaginaire ⇔ ̅=−
̅ = −3)
(3̇
Si I milieu de [AB], alors :
 + 
 =
2
⃗⃗⃗⃗⃗
 a pour affixe :
⃗⃗⃗⃗⃗
 =  − 
Soit 2 vecteurs, 
⃗   :
⃗ =  × ⃗ où  ∊ ℝ
Et ⃗+⃗ = ⃗ + ⃗
On a de plus :
 = | − |
Propriétés :
̅̅̅̅̅̅̅̅
̅
 + ′ = ̅ + ′
̅̅̅̅̅̅̅
̅
 ∗ ′ = ̅ ∗ ′
̅̅̅) =
(′
̅
′

̅
̅  = ̅̅̅

 ∗ ̅ =  2 +  2
Argument de z :
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+2
Arg() = (
⃗ , 
(⃗⃗⃗⃗⃗
 ) = ( −  )
= (
⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗
)
Propriétés (mod 2) :
Propriété :
(′ )=()+(′)
Si  = ( + ) où >0,
alors ( + ) est la
forme trigonométrique de  et
|| =  et () = 
 ( ′ )=()-(’)
Tout nombre complexe s’écrit
sous la forme :
 = ||
Où :   = cos() + ()
Propriétés :


(  )= × ()
(
 −
)
 −
= ( ⃗⃗⃗⃗⃗
, ⃗⃗⃗⃗⃗
 )
x =  × ()
 =  × ()

cos(θ) =

⇔ {

sin(θ) =
{

′
  ×   =  (+
 − =
′)
|
 
′
 
=  (−
′)
| (  ) =  
1
| ̅̅̅̅̅̅
  =  − | (  ) =    
 
Page 38 of 56
9.2 EQUATION DU SECOND DEGRE A COEFFICIENTS REELS
Dans ℂ, l’équation  2 +  +  = 0, ù  ≠ 0, avec a, b et c réels a toujours des solutions :
−−√∆
-
Si  > 0, l’équation a 2 solution réelles : 1 =
-
Si  = 0, l’équation a 1 solution réelle : 0 =
-
Si  < 0, l’équation a 2 solutions complexes conjuguées :
 =
−−√−∆

et  =
−+√−∆

et 2 =
2
−
2
−+√∆
2
avec  = ̅̅̅

Conséquence :
Si  < 0, on a :  2 +  +  = ( − 1 )( − 2 )
10 PROBABILITES
10.1 RAPPELS
Soit  et  deux évènements de l’univers Ω
() =
  ′   
  ′  
() = 1 − (̅)
0 ≤ () ≤ 1
() = () + () − (⋂)
Soit X une variable aléatoire avec  ∊ {1 ; 2 ; … ;  }
Donner la loi de probabilité de X c’est associer à chaque issue de X sa probabilité :

( =  )
1
1
2
2
…
…


Espérance : () = ∑=1  ×  = 1 × 1 + 2 × 2 + ⋯ +  × 
Variance :
2
2
2
() = ∑=1  ( − ()) = 1 (1 − ()) + 2 (2 − ()) + ⋯ +  ( − ())
Ecart-type : () = √()
Avec la calculatrice
TI : stats -> Edit… -> « Dans L1 rentrer les  et dans L2 les  »
Puis faire : stat -> CALC -> 1-Var Stats L1,L2
www.clamaths.fr
Page 39 of 56
2
10.2 LOI BINOMIALE
Schéma de Bernoulli et Loi Binomiale
-
Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire à 2 issues : « succès » ou « échec », le
paramètre  de la loi de Bernoulli est la probabilité de « succès ».
- Un schéma de Bernoulli de paramètre  et  est une succession  épreuves de Bernoulli (de
paramètre ) réalisées de manières identiques et indépendantes.
- Dans un schéma de Bernoulli, si l’on note  la variable aléatoire correspondant au nombre de
succès à l’issue des  épreuves, alors on  suit la Loi Binomiale de paramètres  et . On note
souvent  ↝ (, ). On a alors pour tout tout entier  ∊ [1; ] :

( = ) = ( ) ×   × (1 − )−

Rédaction type
L’expérience consiste à répéter … fois de manière identique et indépendante une même épreuve de
Bernoulli de succès : « ….. » et de paramètre  = ⋯, soit  la variable aléatoire correspondant au
nombre de succès.  ↝ (… , … )
Calculatrice
Soit  une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètre (, )
( = )
( ≤ )
Casio
2nde -> var -> (, , )
Ou « Binompdf »
OPTN -> STAT –> DIST -> BINM -> (, , )
2nde -> var -> é(, , )
Ou « Binomcdf »
OPTN -> STAT –> DIST -> BINM -> (, , )
Lien
http://mathematiques.ac-bordeaux.fr/lycee2010/calculatrices/loi_binomiale_et_calculatrice.pdf
TI
Exercice type (Reunion – Juin 2008)
Tous les résultats seront arrondis à 10−2 près.
Une entreprise produit en grande quantité des stylos. La probabilité qu’un stylo présente un défaut est
égale à 0, 1.
On prélève dans cette production, successivement et avec remise huit stylos. On note X la variable
aléatoire qui compte le nombre de stylos présentant un défaut parmi les huit stylos prélevés.
1) Justifier que X suit une loi binomiale et donner les paramètres de cette loi.
2) Calculer la probabilité des événements suivants :
A : « il n’y a aucun stylo avec un défaut » ;
B : « il y a au moins un stylo avec un défaut » ;
C : « il y a exactement deux stylos avec un défaut ».
D : « il y a 4 stylos ou plus présentant un défaut ».
www.clamaths.fr
Page 40 of 56
Correction :
1) L’expérience consiste à répéter 8 fois de manière identique et indépendante une même épreuve
de Bernoulli de succès : « le stylos présente un défaut » et de paramètre  = 0.1, soit  la
variable aléatoire correspondant au nombre de succès.  suit la loi binomiale de paramètre
 = 8 et  = 0.1
2) () = ( = 0) = 0.98 ≃ 0.43
() = ( ≥ 1) = 1 − ( = 0) = 1 − 0, 98 = 0, 57
2
6
() = ( = 2) = (8
2) × 0.1 × 0.9 ≃ 0.15 (avec la calculatrice)
() = ( ≥ 4) = 1 − ( ≤ 3) ≃ 1 − 0.99 ≃ 0.01 (avec la calculatrice)
10.3 PROBABILITES CONDITIONNELLES
Soit A et B deux évènements tels que () ≠ 0 et () ≠ 0
Formules de probabilités conditionnelles :
 () =
(⋂)
()
(⋂) = () × () = () ×  ().
Formule des probabilités totales :
Soit 1 , 2 , … ,  des évènements formant une partition de l’univers Ω et B un évènement de Ω.
On a :
() = (1 ⋂) + (2 ⋂) + ⋯ + ( ⋂)
= (1 ) × 1 () + (2 ) × 2 () + ⋯ + ( ) ×  ()
Cas particulier :
() = (⋂) + (̅⋂)
= () ×  () + (̅) × ̅ ()
Evènements indépendants :
A et B sont dits indépendants ⇔ ( ⋂ ) = () × ()
⇔  () = () ou  () = ()
⇔ ̅ et  sont indépendants (ROC)
www.clamaths.fr
Page 41 of 56
11 LOI CONTINUES (LOI UNIFORME, LOI NORMALE ET LOI EXPONENTIELLE)
11.1 DEFINITION D’UNE DENSITE DE PROBABILITE
Définition :
Une fonction  est une fonction densité de probabilité sur un intervalle  si :

 est continue et strictement positive sur  = [; ], et ∫ () = 1

NB : Si  = [ ; +∞[ il faut montrer que lim ∫ () = 1
→+∞
Soit  une variable aléatoire à valeur dans , suivant la loi de densité , pour tout intervalle [; ] inclus
dans  on a alors :

( ≤  ≤ ) = ∫ ()

Propriétés (ATTENTION ces propriétés ne sont valables que pour le chapitre loi de densité)
-

( = ) = 0 (car on est sur une loi continue donc ( = ) = ∫ () = 0 )
( ≤  ≤ ) = ( <  < ) = ( ≤  < ) = ( <  ≤ )
Si  = [; +∞[ : ( > ) = 1 − ( < )
Espérance :

() = ∫ ()
11.2 LOI UNIFORME
Définition :
La variable aléatoire  suit une loi uniforme sur [; ] lorsque sa densité de probabilité est : () =
1
−
Propriétés :
-
-
Soit  une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur [; ], pour tout intervalle [; ] inclus
dans [; ] on a alors :
( ≤  ≤ ) =
−
−
() =
+
2
Espérance :
www.clamaths.fr
Page 42 of 56
11.3 LOI EXPONENTIELLE
Définition : Soit  ∊ ℝ+∗ . La variable aléatoire  suit la loi exponentielle de paramètre  sur [0; +∞]
lorsque sa densité de probabilité est : () =  −
Propriétés :
-
Soit  une variable aléatoire suivant la loi exponentielle sur [; +∞], pour tout intervalle [; ]
inclus dans [; +∞] on a:
( ≤  ≤ ) =  − −  −
-
( ≤ ) = 1 −  −
Durée de vie sans vieillissement (ROC) :
(≥) ( ≥  + ℎ) = ( ≥ ℎ)
( ≥ ) =  −
ù  ≥ 0  ℎ ≥ 0
Espérance :
() =
1

11.4 LOI NORMALE Ɲ(, )
Définition : Une variable aléatoire X suit la loi normale centrée réduite, notée Ɲ(0,1), lorsque sa densité
de probabilité est :
() =
1
√2
× −
2
2
On note couramment Ф() = ( ≤ ), que l’on appelle fonction de répartition. Ф est une fonction
continue et strictement croissante sur ] − ∞; +∞[
Propriétés :
- ( ≤ −) = ( ≥ ) = 1 − ( ≤ )
= 1 − Ф()
-
( ≤ 0) = ( ≥ 0) = 0,5
-
(− ≤  ≤ ) = 2 × ( ≤ ) − 1
= 2Ф() − 1
-
ROC : Pour tout  ∊ [0; 1], il existe un
unique réel  ≥ 0 tel que :
(− ≤  ≤  ) = 
www.clamaths.fr
Connaître les valeurs 0.05 = 1.96 et
0.01 = 2.58 :
(−1.96 ≤  ≤ 1.96) ≃ 0.95
(−2.58 ≤  ≤ 2.58) ≃ 0.99
Page 43 of 56
Calculatrice :
Calcul de
( ≤  ≤ )
TI
Casio
2nde -> var ->
é(, )
Menu -> STAT ->
DIST -> NORM ->
(, , 1,0)
Calcul de
( ≤ )
Calcul de  sachant que
( ≤ ) = 
Calcul de
( ≥ )
2nde -> var ->
2nde -> var ->
é(−1099 , ) é(, 1099 )
Menu -> STAT ->
Menu -> STAT ->
DIST -> NORM ->
DIST -> NORM ->
2nde -> var ->
()
Menu -> STAT ->
DIST -> NORM ->
(−1099 , , 1,0)
(, 1,0)
(, −1099 , 1,0)
11.5 LOI NORMALE Ɲ(µ,  )
Exemple de lois normales :
Ɲ(3, 22 )
Ɲ(−1, 2 )
Ɲ(−1, 0.5 )
Définition :
 suit la loi normale Ɲ(µ,  2 ) (où µ = () désigne la moyenne et  = () désigne l’écart-type ), si et
seulement si la variable aléatoire  =
−µ

suit la loi normale centrée réduite ( Ɲ(0,1) )
Théorème de Moivre-Laplace :
Soit  une variable aléatoire qui suit la loi binomiale (, ) et 
=
−E(X)
()
=
−
√(1−)
.

Pour tous nombres  et  tels que  ≤ , lim ( ≤  ≤ ) = ∫ (), où () est la fonction de
→+∞
densité de la loi normale centrée réduite.
Autre formulation : Pour  ≥ 30,  ≥ 5  (1 − ) ≥ 5, une variable aléatoire  suivant une loi
binomiale (, ) peut être approximée par une loi normale Ɲ(µ,   ) (où µ = E(X) = np et
 = () = √np(1 − p)) avec un risque d’erreur très faible.
www.clamaths.fr
Page 44 of 56
Propriétés :
-
( ≤  ≤ ) = ( ≤ ) − ( ≤ )
( ≥ ) = 1 − ( ≤ )
Critères de normalités :
-
(µ −  ≤  ≤ µ + ) ≃ 0.68
(µ − 2 ≤  ≤ µ + 2) ≃ 0.954
(µ − 3 ≤  ≤ µ + 3) ≃ 0.997
Calculatrice - Soit  une variable aléatoire suivant la loi normale Ɲ(µ,  2 ) :
TI
Calcul de
( ≤  ≤ )
Calcul de
( ≤ )
2nde -> var ->
2nde -> var ->
Calcul de  sachant que
( ≤ ) = 
Calcul de
( ≥ )
2nde -> var ->

2nde -> var ->

é(, , µ, ) é(− , , µ, ) é(,  , µ, ) (, µ, )
Casio
Liens
Menu -> STAT ->
DIST -> NORM ->
Menu -> STAT ->
DIST -> NORM ->
Menu -> STAT ->
DIST -> NORM ->
Menu -> STAT ->
DIST -> NORM ->
(, , , µ)
(− , , , µ)
(, − , , µ)
(, , µ)
TI : http://www.irem.univmrs.fr/IMG/pdf/loi_normale_et_calculatrice_V42.pdf
Casio : http://www.casioeducation.fr/calculatrice_casio_documents/exercic
es/graph35_Plus/Loi-normale.pdf
Exercice type (Amérique du Nord – Mai 2014)
Dans cet exercice, tous les résultats demandés seront arrondis à 10−3 près.
Une grande enseigne de cosmétiques lance une nouvelle crème hydratante.
Cette enseigne souhaite vendre la nouvelle crème sous un conditionnement de 50 mL et dispose pour
ceci de pots de contenance maximale 55 mL. On dit qu’un pot de crème est non conforme s’il contient
moins de 49 mL de crème.
1) Plusieurs séries de tests conduisent à modéliser la quantité de crème, exprimée en mL, contenue
dans chaque pot par une variable aléatoire X qui suit la loi normale d’espérance µ = 50 et
d’écart-type  = 1,2. Calculer la probabilité qu’un pot de crème soit non conforme.
2) La proportion de pots de crème non conformes est jugée trop importante. En modifiant la
viscosité de la crème, on peut changer la valeur de l’écart-type de la variable aléatoire , sans
modifier son espérance µ = 50. On veut réduire à 0,06 la probabilité qu’un pot choisi au hasard
−50
soit non conforme. On note σ′ le nouvel écart-type, et  la variable aléatoire égale à
σ′
a. Préciser la loi que suit la variable aléatoire .
b. Déterminer une valeur approchée du réel  tel que ( ≤ ) = 0.06
c. En déduire la valeur attendue de σ′
www.clamaths.fr
Page 45 of 56
Correction :
1) ( ≤ 49) ≃ 0.202 (d’après la calculatrice)
2)
a.  suit la loi normale d’espérence 50 et d’écart type σ′ donc  =
−50
suit la loi normale
σ′
centrée réduite
b. Avec la calculatrice on trouve :  ≃ −1.555
c. On a :
( ≤ 49) ≃ 0.202
 − 50 49 − 50
⇔ (
≤
) ≃ 0.202
σ′
σ′
−1
⇔  ( ≤ ′ ) ≃ 0.202
σ
−1
D’où, d’après la question précédente : ′ ≃ −1.555 ⇔ σ′ ≃ 0.643
σ
12 ECHANTILLONNAGE
12.1 INTERVALLE DE FLUCTUATION – ESTIMATION
Contexte de l’étude :
On étudie un caractère présent dans une population et on prélève au hasard un échantillon de la
population.
 = proportion du caractère dans la population
 = taille de l’échantillon
 = la fréquence du caractère dans l’échantillon
Soit  une variable aléatoire suivant la loi binomiale (, )
Théorème (ROC) :
Soit  ∊ [0; 1], lorsque  → +∞ :
 ( −  ×
√(1−)
 = [ −  ×
√
√(1−)

≤  ≤  +  ×
)= 1−

√
√(1−)
au seuil de 1 − 
www.clamaths.fr
√
;  +  ×
√(1−)
√
] est appelé intervalle de fluctuation asymptotique de


Page 46 of 56
Intervalle de fluctuation (on connaît p) au seuil 95% ( = . ) :
Lorsque  ≥ ,  ×  ≥  et  × ( − ) ≥ 
L’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% est :
 = [ − .  ×
√ × ( − )
√
;  + .  ×
√ × ( − )
√
]
Cela signifie que sur un échantillon de taille , la fréquence  de l’échantillon a 95% de chances de se
trouver dans cet intervalle.
Programme calculette pour calculer l’intervalle de fluctuation :
 , 
1.96 × √( × (1 − ))/√ −> 
− →
+ →
 
 
Prise de décision :
Pour un échantillon donné de taille  :
-
Si  ∊  , alors on accepte l’hypothèse selon laquelle l’échantillon est compatible, avec un risque
d’erreur de 5%
Si  ∉  , alors on rejette l’hypothèse selon laquelle l’échantillon est compatible, avec un risque
d’erreur de 5%
Cela signifie que le risque d’erreur (rejet à tort) est d’environ 5%
Intervalle de confiance (on ne connaît pas p) :
Lorsque  ≥ ,  ×  ≥  et  × ( − ) ≥ 
L’intervalle de confiance de la proportion  de la population au seuil de 95% est :
 = [ −
www.clamaths.fr

√
;+

√
]
Page 47 of 56
Remarque :
Dans certains champs d’étude, on utilise parfois comme intervalle de confiance :
 = [ − .  ×
√ × ( − )
√
;  + .  ×
√ × ( − )
√
Amplitude d’un intervalle de confiance :
Si l’on veut un intervalle de confiance d’amplitude inférieure ou égale à , il faut que la taille  de
l’échantillon soit telle que :  ≥
4
2
Exemple :
Quelle taille minimale d’échantillon faut-il prendre pour obtenir un intervalle de confiance d’amplitude
maximale 0.01 ?
On cherche  tel que :
+
www.clamaths.fr
1
√
− ( −
1
√
) ≤ 0.01 ⇔
2
√
≤ 0.01 ⇔
2
≤ √ ⇔  ≥ 400
0.01
Page 48 of 56
13 GEOMETRIE DANS L’ESPACE
13.1 RAPPELS DANS LE PLAN
(à compléter)
13.2 RAPPELS DANS L’ESPACE
13.2.1 Position relatives de 2 droites
Droites coplanaires
(contenues dans un même plan) => 3 cas possibles
Les 2 droites sont
Les 2 droites sont
Les 2 droites sont sécantes
parallèles
confondues
Droites non coplanaires
Il n’existe pas de plan
contenant les 2 droites
13.2.2 Position relatives de 2 plans non confondus (2 cas possibles)
Plans sécants
Plans strictement parallèles
L’intersection est une droite
Deux plans sont parallèles si et seulement si deux
droites sécantes d’un des deux plans sont
parallèles à deux droites de l’autre plan
13.2.3 Position relative d’une droite et d’un plan (3 cas possibles)
Droite parallèle au plan
Droite contenue dans le plan
www.clamaths.fr
Droite sécante au plan
(l’intersection est un point)
Page 49 of 56
13.3 TRACER UNE SECTION
(à compléter)
13.4 PARALLELISME DANS L’ESPACE
Théorème 1
Si une droite () est parallèle à une droite (′) du
plan P, alors () est parallèle au plan P
Exemple d’application :
Si l’on souhaite montrer qu’une droite () est
parallèle à un plan P il suffit de montrer que la
droite est parallèle à une droite du plan
Théorème 2
Si deux plans 1 et 2 sont //, alors tout plan 3
qui coupe 1 coupe 2 et les droites
d’intersections sont 2 droites parallèles
Exemple d’application :
Cela peut être utile par exemple pour tracer des
sections
Théorème 3
Si () est une droite // à 2 plans 1 et 2 sécants
suivant une droite , alors () et Δ sont parallèles
Théorème du toit
Soit 2 plans 1 et 2 sécants suivant une droite ,
et 2 droites (1 ) et (2 ) telles que 1 ∊ 1 , 2 ∊
2 et (1)//(2).
Alors //(1 ) et //(2 )
www.clamaths.fr
Page 50 of 56
13.5 VECTEURS DANS L’ESPACE & EQUATIONS PARAMETRIQUES
13.5.1 Calcul sur les coordonnées
Soit ( ;  ;  ) et ( ;  ;  ) deux points distincts de l’espace.
-
 +
 +
 +
Le milieu  de [] a pour coordonnées :  =  ,  =  ,  =  
2
2
2
 = √( −  )2 + ( −  )2 + ( −  )2
⃗⃗⃗⃗⃗
( −  ;  −  ;  −  )
Soit 
⃗ (; ; ) et  (′; ′; ′) deux vecteurs de l’espace :
-

⃗ a pour coordonnées (; ; )

⃗ +  a pour coordonnées ( +  ′ ;  +  ′ ;  + ′)
13.5.2 Produit scalaire dans l’espace
La notion de vecteur vue en géométrie plane se généralise à l’espace :
-
1

⃗ .  = (‖
⃗ +  ‖ − ‖
⃗ ‖2 − ‖ ‖2 )
2
Avec les angles : Si  = (
⃗ ,  ), alors 
⃗ .  = ‖
⃗ ‖ × ‖ ‖ × cos()
Avec les coordonnées : Soit 
⃗ (; ; ) et  (′; ′; ′) :
Avec la norme :
⃗ .
⃗ = ′ + ′ + ′

Règles de calcul (rappels) :

⃗ .  = . 
⃗
www.clamaths.fr

⃗⃗ . (
⃗ + ) = 
⃗⃗ . 
⃗ +
⃗⃗ . 
(
⃗ ). ( ) = () × 
⃗ .
Page 51 of 56
13.5.3 Rappels
-

⃗ et  sont colinéaires ⇔ il existe  ∊ ℝ tel que 
⃗ = 
(1 ) // (2 ) ⇔ Leur vecteurs directeurs sont colinéaires
(1 ) orthogonale à (2 ) ⇔ Leur vecteurs directeurs sont orthogonaux ⇔ 
⃗ . = 0

⃗ ,  et 
⃗⃗ sont coplanaires ⇔ il existe  ∊ ℝ et  ∊ ℝ tels que : 
⃗⃗ = 
⃗ + 
13.5.4 Caractérisation d’un plan et d’une droite
Caractérisation d’une droite
Soit ( ;  ;  ) et ( ;  ;  ) deux points distincts de l’espace. La droite () correspond à
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ et ⃗⃗⃗⃗⃗
l’ensemble des points (; ; ) tels que 
 sont colinéaires. C’est-à-dire l’ensemble des points
 tels que pour tout  ∊ ℝ :
 −  = ( −  )
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
 =  ⇔ { −  = ( −  )
 −  = ( −  )
Equation paramétrique d’une droite :
Soit la droite () de l’espace passant par le point  et de vecteur directeur 
⃗ (; ; ).
L’ensemble des point (; ; ) appartenant à la droite () sont l’ensemble des points tels que pour
tout  ∊ ℝ :
 =  + 
{ =  + 
 =  + 
Démonstration :
 −  =  × 
 =  + 
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 
 ∊ () ⇔ ∃ ∊ ℝ, 
⃗ ⇔ { −  =  ×  ⇔ { =  + 
 −  =  × 
 =  + 
Caractérisation d’un plan
Soit ( ;  ;  ), ( ;  ;  ) et ( ;  ;  ) trois points non alignés. Le plan () correspond à
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 
⃗⃗⃗⃗⃗ et 
⃗⃗⃗⃗⃗ sont coplanaires. C’est-à-dire l’ensemble des
l’ensemble des points (; ; ) tels que 
points  tels que pour tout  ∊ ℝ et ′ ∊ ℝ :
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 
⃗⃗⃗⃗⃗ + ′
⃗⃗⃗⃗⃗

www.clamaths.fr
Page 52 of 56
Equation paramétrique d’un plan :
Soit () le plan de l’espace caractérisé par le point  et 2 vecteurs 
⃗ (; ; ) et  (′; ′; ′)
L’ensemble des point (; ; ) appartenant au plan () sont l’ensemble des points tels que pour tout
 ∊ ℝ et ′ ∊ ℝ :
 =  +  + ′′
{ =  +  + ′′
 =  +  + ′′
Démonstration :
 ∊ () ⇔ ∃ ∊ ℝ 
′
 −  =  ×  +  ′ × ′
 =  +  + ′′
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 
∊ ℝ , 
⃗ + ′ ⇔ { −  =  ×  +  ′ × ′ ⇔ { =  +  + ′′
 −  =  ×  +  ′ × ′
 =  +  + ′′
13.6 ORTHOGONALITE DANS L’ESPACE
13.6.1 Droites orthogonales
Définition :
Dans l’espace, dire que 2 droites (1 ) et (2 ) sont orthogonales signifie qu’en translatant (1 ) et (2 )
dans un même plan, elles seraient perpendiculaire.
 2 droites orthogonales ne sont pas nécessairement sécantes, alors que 2 droites
perpendiculaires le sont.
Propriété :
Considérons 2 droites (1 ) et (2 ) de vecteurs directeurs respectifs 
⃗⃗⃗⃗1 et ⃗⃗⃗⃗
2
(1 ) orthogonale à (2 ) ⇔ 
⃗⃗⃗⃗1 . ⃗⃗⃗⃗
2 = 0
13.6.2 Droite perpendiculaire à un plan
Définition :
Dans l’espace, dire qu’une droite  est orthogonale à un plan () signifie qu’elle est perpendiculaire à
deux droites non confondues de ().
www.clamaths.fr
Page 53 of 56
Propriété 1 :
Considérons un plan () et une droite  de vecteur directeur 
⃗ :
 orthogonale à () ⇔  est orthogonale à deux droites sécantes de ()
 orthogonale à () ⇔ 
⃗ est orthogonale à 2 vecteurs non colinéaires de ()
Propriété 2 :
Si une droite  est orthogonale à un plan () alors elle est orthognale à toutes les droites contenues
dans ()
Propriété 3 :
Si une droite  est orthogonale à un plan () alors elle est orthognale à toutes les droites contenues
dans ()
14 CALCULATRICE
Soit  une variable aléatoire qui suit la loi binomiale (, ) :

( = ) = ( ) ×   × (1 − )−

Exemple, prenons  ↝ (10, 0.25)
14.1 TI
14.1.1 Calcul de (
)

10 => MATH => PRB => Combinaison => 3
14.1.2 Calcul de ( = )
2nde => DISTRIB => binomFdp (10, 0.25, 4)
14.1.3 Calcul de ( ≤ )
2nde => DISTRIB => binomFRép (10, 0.25, 4)
www.clamaths.fr
Page 54 of 56
15 RAPPELS SUR QUELQUES REGLES DE CALCUL (NIVEAU COLLEGE !)
Les Evidences de l’associativité (mais il faut penser à l’utiliser !) :
+=+
×=×
++ =++ =++
×× = ×× = ××
=⇔=
≤⇔≥
Règles basiques de calculs :
=

1

=1

+  
= +

 

1
=×


  ×
× =
  ×
×+ +
≠
×

k× k
/ × 
=
=
k× k
/ × 
k
/ × ( + )
k
/ ×
=
+

×
 
×
= ×=
 

On ne barre pas les k
dans ce cas là !!!
Ici par contre on peux
les barrer !
La double fraction :

 =×
  

Attention aux
signes :
Exemples de
Factorisations :
www.clamaths.fr
−


 =  =×1
  

1
 −

−
=
=
≠


− −
 ×  +  ×  = ( + )



= 1 =×





−( × ) = (−) ×  =  × (−) ≠ (−) × (−)
 ×  +  ×  +  ×  = ( +  + )
Page 55 of 56
 ×  −  ×  ×  = ( −  × )
−32 + 8( + ) − 2 2  +  = [−32 + 8( + ) − 2 + 1]
( + ) =  ×  +  × 
Distributivité :
Transformer
une
expression :
−( + ) = − − 
−( − ) = − + 
−(− − ) =  + 
− +  = −( − )
− −   + 
=
−

− +   − 
=
−

0 = 1
1 = 
 ×  = +

= −

() =  × 
1


 ×  ≠ ( ×  ) 
( ) = 
Puissances :
  
( ) = 


− =
ATTENTION !!!
Un nombre négatif élevé à une puissance paire est positif !
Exemples : (−3)24 = 324
Un nombre négatif élevé à une puissance paire est positif !
Exemples : (−3)25 = −325
Racines carrées :
Identités
remarquables :
√ ×  = √ × √
 √
√ =
 √
√ +  ≠ √ + √
ATTENTION !!!
√ =  2
( + )2 = 2 + 2 + ²
1
( − )2 = 2 − 2 + ²
( + )( − ) = 2 − ²
Règle fondamentale sur les inéquations : Multiplier ou diviser les 2 membres d’une inéquation par un
nombre négatif change le sens de l’inégalité.
Exemple :  ≤  ⇔ −3 ≥ −3
www.clamaths.fr
Page 56 of 56
Auteur
Document
Catégorie
Uncategorized
Affichages
12
Taille du fichier
1 787 KB
Étiquettes
1/--Pages
signaler