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Algèbre 1

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Algèbre 1
Unité pédagogique et enseignant à contacter pour tout complément d'information
Unité
Département de Mathématiques
Enseignant
Stephane Gaussent
courriel
stephane.gaussent@univ-st-etienne.fr
Ce cours est optionnel pour la
LICENCE DE SCIENCES ET TECHNOLOGIES
Pour les étudiants de la mention Mathématiques, Informatique, il est obligatoire.
Prérequis recommandés par l'équipe pédagogique : Terminale S
Ce cours est dispensé en langue(s) : Française
Objectifs opérationnels spécifiques principaux :
Cet enseignement a pour but de définir de manière rigoureuse les différentes notions
ensemblistes, les notions de groupe et corps utiles pour la suite du cursus, de travailler les
techniques de démonstration au travers d’un cours d’arithmétique sur les entiers naturels,
relatifs et sur les polynômes, d’approfondir la connaissance du corps des nombres complexes.
Compétences :
En fin de semestre, l’étudiant devra savoir :
- Rédiger la démonstration d'une implication, d'une équivalence, d'une récurrence.
- Démontrer qu'une application est (ou n'est pas) injective, surjective, bijective.
- Manipuler les congruences et classes modulo n, les notions de pgcd et ppcm.
- Se servir des nombres complexes, en particulier pour la trigonométrie.
- Décomposer en facteurs irréductibles (en éléments simples) les polynômes (fractions
rationnelles) sur R ou C
Programme :
Notions ensemblistes de base. Ensembles, éléments, ensemble des parties,
produits cartésiens, partitions, relations d'équivalence, applications,
applications injectives, surjectives et bijectives.
Entiers naturels, principe de récurrence, principe du minimum,
algorithme de division euclidienne, nombres premiers, ppcm, pgcd, et
factorisation.
Arithmétique sur les entiers relatifs, congruences, théorème chinois.
Définition d'un groupe, d'un corps
Le corps des nombres complexes. Fonction exponentielle complexe et
ses propriétés. Représentation cartésienne et polaire des nombres
complexes.
Polynômes, racines de polynômes et factorisation. Analogie entre
les polynômes et les entiers. Fractions rationnelles.
Analyse 1
Unité pédagogique et enseignant à contacter pour tout complément d'information
Unité
Département de Mathématiques
Enseignant
Florence Millet
courriel
florence.millet@univ-st-etienne.fr
Ce cours est obligatoire pour les parcours suivants :
LICENCE DE SCIENCES ET TECHNOLOGIES
Mentions Mathématiques, Informatique.
Prérequis recommandés par l'équipe pédagogique : Cours Terminale S
Ce cours est dispensé en langue(s) : Française
Objectifs opérationnels spécifiques principaux :
Cet enseignement a pour but d'introduire de façon rigoureuse des notions abordées par les
étudiants au lycée généralement et uniquement sous des aspects calculatoires, de développer
diverses méthodes de raisonnement chez l’étudiant. Les notions étudiées se rapportent aux
fonctions numériques de la variable réelle et aux suites numériques.
Compétences :
En fin de semestre, l'étudiant aura acquis les outils théoriques basiques lui permettant de
surmonter la plupart des difficultés liées au calcul de limites de suites, de fonctions, à l'étude
de la continuité et dérivabilité impliquant notamment les fonctions logarithme, exponentielle,
circulaires, hyperboliques.
Il sera capable sur des exemples simples de choisir entre divers types de raisonnement, de
construire et rédiger une démonstration rigoureuse.
Programme :
Principales propriétés de R : propriété d’Archimède, propriété de la borne supérieure, borne
inférieure.
Suites numériques, convergence, divergence
Etude des fonctions, limites, continuité, dérivabilité
Fonctions élémentaires
Diverses méthodes de raisonnement : récurrence, disjonction de cas, par l’absurde, par
contraposée.
Approfondissement maths
Unité pédagogique et enseignant à contacter pour tout complément d'information
Unité
Département de Mathématiques
Enseignant
Sylvie Champier
courriel
sylvie.champier@univ-st-etienne.fr
Ce cours est facultatif pour les parcours suivants :
LICENCE DE SCIENCES ET TECHNOLOGIES
Mentions Mathématiques, Informatique.
Prérequis recommandés par l'équipe pédagogique : Cours Terminale S
Ce cours est dispensé en langue(s) : Française
Objectifs opérationnels spécifiques principaux :
Cet enseignement a pour but d’aider à la compréhension des cours d’analyse 1 et d’algèbre 1
Compétences :
En fin de semestre, l'étudiant aura acquis des méthodes de travail en groupe. Il sera capable
d’exposer à l’oral des résultats mathématiques.
Programme :
Contenu des cours d’analyse 1 et algèbre 1.
Mathématiques pour l'ingénieur
Unité pédagogique et enseignant à contacter pour tout complément d'information
Unité
Département de Mathématiques
Enseignant
Valentina Busuioc
courriel
valentina.busuioc@univ-st-etienne.fr
Ce cours est obligatoire pour les parcours suivants :
LICENCE DE SCIENCES ET TECHNOLOGIES
Mention Physique Chimie
Prérequis recommandés par l'équipe pédagogique :
Aucun prérequis
Ce cours est dispensé en langue(s) : Française
Objectifs opérationnels spécifiques principaux :
Permettre à l’étudiant de disposer rapidement des principaux outils mathématiques
nécessaires à la physique.
Compétences :
A la fin du semestre, l’étudiant sera capable de :
- Calculer des limites de suite ou fonctions
- Calculer des dérivées
- Ecrire des développements limités
- Etudier une fonction réelle et donner sa représentation graphique
- Manipuler les fonctions trigonométriques
- Calculer des intégrales de fonctions classiques et les fractions rationnelles
- Savoir si un intégrale généralisée est convergente.
Programme :
- Suites
- limites
- continuité, dérivabilité d'une fonction numérique
- développements limités
- fonctions trigonométriques et leurs réciproques
- intégrales, primitives
- décomposition d'une fraction rationnelle en éléments simples
- intégrales généralisées
Algèbre linéaire 1
Unité pédagogique et enseignant à contacter pour tout complément d'information
Unité
Département de Mathématiques
Enseignant
Eric Canon
courriel
Eric.canon@univ-st-etienne.fr
Ce cours est obligatoire pour le parcours suivant :
LICENCE DE SCIENCES ET TECHNOLOGIES
Mentions Mathématiques.
Prérequis recommandés par l'équipe pédagogique : Cours Algèbre 1 du S1.
Ce cours est dispensé en langue(s) : Française
Objectifs opérationnels spécifiques principaux :
- Reconnaître des espaces vectoriels et des sous-espaces vectoriels aussi bien de
dimension finie que de dimension infinie.
- Reconnaître des systèmes libres dans des espaces vectoriels de dimension finie.
- Reconnaître des bases d'un sous-espace vectoriel de dimension finie.
- Construire une base d'un sous-espace vectoriel de dimension finie.
- Calculer la dimension d'un sous-espace vectoriel de dimension finie.
- Calculer la matrice des coordonnées d'un vecteur dans un espace vectoriel de
dimension finie relative à une base donnée.
- Reconnaître des applications linéaires dans des espaces vectoriels de dimension
finie ou non.
- Calculer une base du noyau et une base de l'espace image d'une application
linéaire en dimension finie.
- Calculer la matrice d'une application linéaire en dimension finie relative à des
bases données.
- Diagonaliser une matrice carrée d'ordre 2 ou 3.
Compétences :
A la fin du semestre, les étudiants disposeront des connaissances de base sur les espaces
vectoriels, les applications linéaires. Ils sauront traduire en terme matriciel des applications
linéaires et réciproquement. Ils auront eu une première approche de la diagonalisation, de son
intérêt dans la résolution de certains problèmes.
Programme :
1. Groupes, anneaux, corps.
2. Espaces vectoriels.
3. Sous-espaces vectoriels.
4. Intersection et somme de sous-espaces vectoriels.
5. Somme directe.
6. Systèmes libres.
7. Systèmes générateurs.
8. Bases.
9. Dimension d'un sous-espace vectoriel.
10.Matrices des coordonnées dans une base donnée.
11. Résolution de systèmes linéaires par la méthode de Gauss-Jordan.
12. Applications linéaires.
13. Endomorphismes, isomorphismes, automorphismes.
14. Inversion d'une matrice par la méthode de Gauss-Jordan.
15. Noyau et espace image d'une application linéaire.
16. Théorème du rang.
17.Matrice associée à une application linéaire dans des bases données.
18. Formule de changement de base.
19. Diagonalisation en dimension 2 et 3
Application : équations différentielles linéaires du 2nd ordre à coefficients constants
Analyse 2
Unité pédagogique et enseignant à contacter pour tout complément d'information
Unité
Département de Mathématiques
Enseignant
Mahdi Boukrouche
courriel
Mahdi.boukrouche@univ-st-etienne.fr
Ce cours est obligatoire pour le parcours suivant :
LICENCE DE SCIENCES ET TECHNOLOGIES
Mentions Mathématiques.
Prérequis recommandés par l'équipe pédagogique :
Cours d’Analyse 1
Ce cours est dispensé en langue(s) : Française
Objectifs opérationnels spécifiques principaux :
- Comprendre la notion de développement limite (DL) et apprendre les méthodes de
calculs de DL.
- Comprendre la notion de primitive.
- Apprendre les diverses méthodes qui permettent de calculer les primitives d'une
application.
- Faire une petite introduction aux équations différentielles et apprendre à résoudre
quelques équations différentielles très simples.
Compétences :
A la fin du semestre l'étudiant :
- sera capable d’étudier une fonction réelle en utilisant tous les résultats appris préalablement.
- saura à quoi servent les DL, comment les calculer (en particulier en utilisant la formule de
Taylor Young) et quand les utiliser
- saura trouver la bonne méthode pour le calcul des primitives.
- connaîtra les principaux types d'équations différentielles ordinaires et saura appliquer les
résultats théoriques pour les étudier.
Programme :
-
Théorème de Rolle, des accroissements finis
Formules de Taylor
Développements limités (utilisation de la notation epsilon, les notations o et O sont
hors programme)
Equivalents
Intégration, primitives, techniques de recherche de primitives
Mathématiques pour PC
Unité pédagogique et enseignant à contacter pour tout complément d'information
Unité
Département de Mathématiques
Enseignant
Marie Claude Canon
courriel
canon@univ-st-etienne.fr
Ce cours est obligatoire pour les parcours suivants :
LICENCE DE SCIENCES ET TECHNOLOGIES
Mention Physique, chimie
Prérequis recommandés par l'équipe pédagogique : Calcul de primitives.
Ce cours est dispensé en langue(s) : Française
Objectifs opérationnels spécifiques principaux :
Acquisition du socle des fondamentaux en algèbre linéaire
Compétences :
A la fin du semestre, l’étudiant sera capable de :
- résoudre des systèmes linéaires
- pratiquer le calcul matriciel, calculer le déterminant d’une matrice
- montrer qu’un ensemble est un espace vectoriel, en trouver une base, faire un
changement de base
- reconnaître et étudier les propriétés des applications linéaires, savoir dans quelles
conditions et comment diagonaliser la matrice d’une application linéaire
- manipuler le produit scalaire et vectoriel
- résoudre des équations différentielles linéaires
Programme :
- espaces vectoriels
- bases, dimension
- applications linéaires
- déterminants
- systèmes de Cramer,
- diagonalisation
- produit scalaire, produit vectoriel
- équations différentielles linéaires du premier ordre, du second ordre.
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