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Chapitre 12 Integration

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12
Intégration
Manuel ”Repères” p.170.
Objectifs :
• Appréhender l’intégrale d’une fonction continue et positive sur un segment comme l’aire sous la courbe, généralisation aux fonctions de signe
quelconque
• Savoir déterminer une primitive d’une fonction usuelle, connaı̂tre ses
propriétés et savoir l’utiliser pour calculer une intégrale
• Connaı̂tre quelques applications des intégrales : valeur moyenne, calcul
d’aire, de volume...
Aperçu historique :
Gottfried Wilhelm
Leibniz (1646-1716)
Le calcul de l’aire d’une surface a été l’un des moteurs dans la mise en place
des concepts mathématiques. Beaucoup de grands mathématiciens se sont
penchés sur ce problème, depuis Archimède (287av.JC-212av.JC) qui
calcula l’aire de la surface située sous une parabole. Bonaventura
Cavalieri (1598-1647) développa sa théorie des indivisibles (partage de
l’aire à calculer par des droites parallèles ou des cercles concentriques), puis
Gilles de Roberval (1602-1675) calcula l’aire sous une arche cycloı̈de.
Enfin Gottfried
Leibniz (1646-1716) utilisa pour la première fois le
R
symbole , et Bernhard Riemann (1826-1866) établit une théorie aboutie
du calcul intégral.
Georg Friedrich
Bernhard Riemann
(1826-1866)
1. Définition d’une intégrale, premières propriétés
A. Intégrale d’une fonction continue et positive sur [a; b]
Définition 12.1 Soit f une fonction continue et positive sur [a; b] ; on note Cf sa courbe représentative
Z b
dans un repère. On appelle intégrale de f sur [a; b] et on note
f (x)dx le réel représentant l’aire,
a
en unités d’aire, de la portion de plan délimitée par l’axe des abscisses, la courbe Cf et les droites
d’équations x = a et x = b.
Z
b
f (x)dx =
Remarque 12.1 La variable x est dite muette :
Z b a
Dans le cas de la définition (f positive) on a
f (x)dx ≥ 0.
a
102
Z
b
f (t)dt = . . .
a
B. Propriétés fondamentales
Propriété 12.1 (admise) Soit f et g deux fonctions définies, continues et positives a sur un intervalle
[a; b]. Alors on a :
• la relation de C HASLES pour les intégrales : pour tout c ∈ [a; b],
Z
b
f (x)dx =
a
Z
c
f (x)dx +
a
Z
b
f (x)dx
c
• la linéarité : pour tous α et β réels positifs,
Z
b
(αf (x) + βg(x)) dx = α
a
Z
b
f (x)dx + β
a
• l’ordre : si pour tout x ∈ [a; b] on a f (x) ≤ g(x) alors
• la parité : si f est paire alors
Z
a
f (x)dx = 2
−a
Z
Z
Z
b
a
f (x)dx ≤
b
g(x)dx
a
Z
b
g(x)dx ;
a
a
f (x)dx
0
a. Ce sera vrai pour des fonctions de signe quelconque, voir Pté 12.2
Idée de la démonstration : Considérer chaque intégrale comme une aire.
Z a
Z b
Z
f (x)dx et lorsque a = b on pose
f (x)dx = −
Remarque 12.2 Lorsque a > b, on pose
b
a
a
f (x)dx = 0.
a
C. Cas d’une fonction négative sur [a; b]
Définition 12.2 Soit f une fonction continue et négative sur un intervalle [a; b]. On appelle intégrale de f
Z b
Z b
sur [a; b] et on note
f (x)dx le réel égal à −
|f (x)| dx.
a
a
Remarque 12.3 Dans ce cas l’intégrale est négative.
En fait, on applique la propriété de linéarité avec α = −1 et β = 0.
La propriété 12.1 est aussi vraie pour le cas des fonctions continue et négatives sur [a; b].
D. Cas d’une fonction de signe quelconque
Pour calculer l’intégrale sur [a; b] d’une fonction f de signe quelconque, on découpe l’intervalle [a; b] en
intervalles où f est de signes constant et on applique les définitions précédentes.
Par exemple, pour une fonction f dont la représentation graphique est donnée ci-dessous, on a :
Cf
~j
c
a
Z
b
f (x)dx =
a
Z
~i
c
f (x)dx +
a
Z
d
d
f (x)dx +
c
Z
b
b
f (x)dx
d
Propriété 12.2 La propriété 12.1 reste vraie pour deux fonctions de signes quelconques.
103
Exemple 12.1 Déterminer le signe de
Z
2
0
x−8
dx.
x3 + 1
2
x−8
dx < 0.
3
0 x +1
Z 0
x−8
Attention, l’hypothèse 0 < 2 est importante à vérifier, en effet sinon, on aurait par exemple
dx > 0.
3+1
x
2
3
Pour tout x ∈ [0; 2], on a x − 8 < 0 et x + 1 > 0 donc
x−8
x3 +1
< 0 et 0 < 2 donc
Z
Méthode Après avoir ”découpé” l’intégrale de la fonction f à étudier en intervalles où f est de signe
constant, on peut savoir si l’intégrale obtenue sur chacun de ces intervalles sera positive ou négative.
Soit [a; b] un intervalle sur lequel f est de signe constant. En suivant le ”bord” de la surface correspondant
à l’intégrale (on va de a vers b, puis on fait ”tout le tour”), on obtient une courbe fermée orientée.
Z b
Z b
f (x)dx sera
f (x)dx sera positif. Sinon,
Si cette courbe est orientée dans le sens positif, alors
a
a
négatif.
Les sens ”positif” et ”négatif” correspondent aux sens sens de parcours
du cercle trigonométrique. On peut utiliser la ”méthode de la main droite”
(gauchers, méfiez-vous !) :
Si votre pouce est vers vous , l’orientation est positive. Si votre pouce est
vers la feuille, l’orientation est négative.
Le tableau suivant résume les différents cas possibles :
Z
b
f (x)dx > 0
a
Z
b
f (x)dx 6 0
a
Z
b
f (x)dx > 0
a
Z
b
f (x)dx 6 0
a
2. Les primitives
A. Définition, premiers exemples, ”définition à une constante près”, unicité s’il
y a une ”condition initiale”
Définition 12.3 Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On dit que F est une primitive de f sur I
si F est dérivable sur I et si pour tout x ∈ I on a F ′ (x) = f (x).
Exemple 12.2 Soit f : x 7→ cos(x). Une primitive de f sur R est la fonction F : x 7→ sin(x).
Soit g : x 7→ 2x3 − 4x. Une primitive de g sur R est la fonction G : x 7→ 21 x4 − 2x2 .
Exemple 12.3 Tableau de primitives usuelles où u est une fonction dérivable sur l’ensemble indiqué, n un
entier naturel et k un réel quelconque :
Fonction f
f (x) = k
f (x) = x
f (x) = xn
f = u × u′
f = u′ × un
′
f = uu
′
f = uu2
′
f = √uu
Primitive F
F (x) = kx
2
F (x) = x2
1
F (x) = n+1
xn+1
1 2
F = 2u
n+1
F = un+1
F = ln(u)
F = − u1
√
F =2 u
104
Ensemble
R
R
R
R
R
pour x, u(x) ∈ R∗+
pour x, u(x) 6= 0
pour x, u(x) > 0
Remarque 12.4 Si F est une primitive de f sur I, alors ∀k ∈ R, G : x 7→ F (x) + k est également une primitive
de f sur I.
Théorème 12.1 Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Si F est une primitive de f sur I alors f
admet une infinité de primitives et toute autre primitive de f sur I est définie par G(x) = F (x) + k où k
est un réel quelconque.
Démonstration Soit k ∈ R et G : x 7→ F (x) + k.
La fonction G est dérivable sur I et pour x ∈ I on a G′ (x) = F ′ (x) = f (x) donc G est une primitive de f sur I.
Réciproquement, soit G une autre primitive de f que F sur I. La fonction G − F est dérivable sur I et pour
x ∈ I on a (G − F )′ (x) = G′ (x) − F ′ (x) = f (x) − f (x) = 0.
Donc la fonction G − F est constante sur I et il existe donc un réel k tel que pour tout x ∈ I on a
G(x) = F (x) + k.
Théorème 12.2 Soit f une fonction définie sur I et admettant des primitives sur I. Soit x0 ∈ I et y0 ∈ R.
Il existe une unique primitive F de f sur I vérifiant F (x0 ) = y0 .
Démonstration Supposons qu’il existe deux primitives F et G de f sur I telles que F (x0 ) = G(x0 ) = y0 .
D’après le théorème 12.1, il existe k ∈ R tel que pour tout x ∈ I on a G(x) = F (x) + k.
En particulier si x = x0 , on obtient : y0 = y0 + k donc k = 0 et F = G.
La primitive vérifiant la condition initiale F (x0 ) = y0 est unique.
Exemple 12.4 Déterminer la forme générale des primitives de f : x 7→
sin(x)
cos2 (x)
sur − π2 ; π2 .
B. Lien entre primitive et intégrale
Propriété 12.3 Soit
Z x f une fonction continue sur un intervalle I et soit a ∈ I. Alors la fonction F définie
f (t)dt est une primitive de f sur I.
sur I par F (x) =
a
Démonstration ROC : Démonstration
à savoir refaire (cas où f est croissante sur I)
Z
x
On pose, pour tout x ∈ I, F (x) =
Montrons que lim
a
f (t)dt. Soit x0 ∈ I.
F (x) − F (x0 )
= f (x0 ). Pour x 6= x0 on a :
x − x0
Z x
Z x0
Z x
F (x) − F (x0 )
1
1
f (t)dt
f (t)dt =
f (t)dt −
=
x − x0
x − x0
x − x0 x0
a
a
x→x0
Si x0 < x alors pour tout t ∈ [x0 ; x] on a f (x0 ) ≤ f (t) ≤ f (x) (car f est croissante sur I), or x0 < x donc
d’après l’inégalité de la moyenne, on a :
Rx
1
f (x0 ) ≤ x−x
f (t)dt ≤ f (x)
x0
0
(x0 )
donc f (x0 ) ≤ F (x)−F
≤ f (x)
x−x0
(x0 )
≤ f (x0 ).
De la même façon, si x < x0 on obtient f (x) ≤ F (x)−F
x−x0
Or f est une fonction continue donc limx→x0 f (x) = f (x0 ) et donc à l’aide du théorème des gendarmes
(théorème 5.3 page 50), on obtient :
lim
x→x0
F (x) − F (x0 )
= f (x0 )
x − x0
Donc F est dérivable en x0 et F ′ (x0 ) = f (x0 ). Ceci est vrai pour tout x0 ∈ I donc F est dérivable sur I et
F ′ = f . La fonction F est donc bien une primitive de f sur I.
105
Remarque 12.5 (Conséquence) Toutes les primitives de f sur I sont de la forme :
x 7→
Z
x
a
f (t)dt + k, ou k ∈ R
Remarque 12.6 En particulier, pour toute fonction f continue et positive sur un intervalle [a; b] , pour toute
Z b
f (t)dt = F (b) − F (a).
primitive F de f on a : F (x) =
a
Propriété 12.4
Z Soit f une fonction continue sur un intervalle I et soit a ∈ I. Alors la fonction F définie
x
f (t)dt est la primitive de f sur I qui s’annule en a.
par F (x) =
a
Remarque 12.7 Ainsi, les intégrales permettent d’écrire les primitives des fonctions qui ne ≪ rentrent ≫ pas
dans le formulaire des primitives de la page 104 (exemple 12.3).
Exemple 12.5 La primitive de t 7→
Rx 1
x 7→ 1 1+t
2 dt.
1
1+t2 ,
t ∈ R qui s’annule en t = 1 est la fonction définie sur R par
Propriété 12.5 Toute fonction f continue sur un intervalle admet des primitives sur cet intervalle.
Démonstration ROC : Démonstration à savoir refaire On étudie le cas où f est définie sur I = [a; b], et
on admet que f a un minimum m sur [a; b].
Soit g : x 7→ f (x) − m. g est continue et positive* sur [a; b].
D’après la remarque 12.6 , g admet donc une primitive G sur [a; b].
Pour tout x ∈ [a; b], G′ (x) = f (x) − m.
On définit la fonction F sur [a; b] par : F (x) = G(x) + mx.
F est dérivable sur [a; b] et, pour tout x ∈ [a; b], F ′ (x) = G′ (x) + m = f (x).
Ainsi, f admet F pour primitive sur [a; b].
*Le programme demande que pour ce ROC on se ramène ainsi à une fonction continue positive.
Théorème 12.3 Soit f une fonction continue sur [a; b] et soit F une primitive de f sur [a; b]. Alors :
Z
b
a
f (x)dx = F (b) − F (a)
Démonstration
F est une primitive de f sur [a; b] donc il existe k ∈ R tel que pour tout x ∈ [a; b] on a :
Rx
F (x) = a f (t)dt + k.
Rb
Rb
On a alors F (a) = k et F (b) = a f (t)dt + k donc a f (t)dt = F (b) − k = F (b) − F (a).
Remarque 12.8 (Notation) La différence F (b) − F (a) se note [F (x)]ba et se dit ≪ la valeur de F entre a et b ≫.
R1
Exemple 12.6 Calculer 0 2t(t2 + 1)3 dt.
Soit f : t 7→ 2t(t2 + 1)3 . La fonction f est de la forme f = u′ × u3 où u(t) = (t2 + 1). Une primitive de f est
donc F : t 7→ 14 (u(t))4 = 14 (t2 + 1)4 .
R1
Donc 0 2t(t2 + 1)3 dt = [F (t)]10 = F (1) − F (0) = 14 × 16 − 14 = 15
4 .
106
3. Applications
A. Valeur moyenne d’une fonction
Définition 12.4 Pour toute fonction f continue sur [a; b], la valeur moyenne de f sur [a; b] est le réel µ
défini par :
Z b
1
µ=
f (x)dx
b−a a
Propriété 12.6 L’intégrale d’une fonction f continue et positive sur [a; b] est l’aire du rectangle dont les
côtés ont pour longueur µ et b − a :
Z
b
a
f (x)dx = (b − a) × µ
Propriété 12.7 (Inégalité de la moyenne) Soit f une fonction continue sur [a; b]. On note m et M deux
réels tels que pour tout x ∈ [a; b] on a m ≤ f (x) ≤ M . Alors :
m≤
1
b−a
Z
b
a
f (x)dx ≤ M
Conséquences : dans les conditions de la propriété, on a :
m(b − a) ≤
Et aussi, il existe c ∈ [a; b] tel que :
Z
b
a
f (x)dx ≤ M (b − a), bien sûr si a < b
1
b−a
Z
b
f (x)dx = f (c)
a
√
2
Exemple 12.7 Donner un encadrement de la valeur moyenne de la fonction f : x 7→ ex sur [0; 2].
√
√
√
2
Sur [0; 2], la fonction f est croissante donc pour x ∈ [0; 2], √on a f (0) ≤ f (x) ≤ f ( 2) soit 1 ≤ f (x) ≤ ex .
R
2
En appliquant l’inégalité de la moyenne, on obtient : 1 ≤ √12 0 f (x)dx ≤ e2 ou encore 1 ≤ µ ≤ e2 où µ est la
√
valeur moyenne de f sur [0; 2].
107
B. Calculs d’aires
Propriété 12.8 Pour calculer l’aire délimitée par les courbes représentatives de deux fonctions f et g
continues sur un intervalle [a; b] on procède ainsi :
• on décompose [a; b] en intervalles où la différence f − g est de signe constant ;
• on intègre alors la fonction f − g sur chacun de ces intervalles en veillant au lien entre intégrale et
aire suivant son signe.
Cg
Cf
~j
a
A =
Cela revient à calculer
Rb
a
c
~i
Z
b
c
(f − g)(t)dt −
a
Z
b
c
(f − g)(t)dt
|f (x) − g(x)|dx.
Exemple 12.8
Soit f et√g les fonctions définies sur [0; 1] par
f (x) = x et g(x) = x3 dont on a tracé les
représentations graphiques sur la figure ci-contre.
Déterminer l’aire de chacun des domaines coloriés.
D 1 Cf
D2
~j
Cg D 3
~i
Le domaine D1 est délimité par (Oy), Cf et la droite d’équation y = 1 représentant la fonction affine h
constante égale à 1. On a donc :
D1 =
Z
1
0
(1 −
√
2 3
x)dx = x − x 2
3
1
0
=
1
3
Le domaine D2 est délimité par Cf et Cg on a donc :
D2 =
Z
1
0
2 3
x4
x2 −
( x − x )dx =
3
4
√
3
1
=
5
2 1
− =
3 4
12
=1−
0
Et enfin,
D3 = Acarré − (D1 + D2 ) = 1 −
108
1
5
+
3 12
3
1
=
4
4
C. Calculs de volumes
Propriété 12.9
Un solide S est délimité par deux plans P1 et P2
d’équations respectives z = a et z = b.
Si la section du solide S par le plan P d’équation
z = k où k ∈ [a; b] (ce plan est parallèle à P1 et
P2 ) est une surface d’aire A (k) alors le volume du
solide S est donné par :
V =
Z
b
A (z)dz
a
Exemple 12.9 Calculer le volume d’une boule de rayon R à l’aide d’une intégrale.
On peut se contenter de calculer le volume d’une
demi-boule posée sur le plan xOy. Pour k ∈ [0; R] on
a alors A (k) = π × r2 où r est le rayon du disque
obtenu par section de la boule par le plan d’équation
z = k.
√
On a donc r = O′ A = R2 − k 2 (théorème de
Pythagore dans OO′ A rectangle en O′ - voir figure
ci-contre).
L’aire du disque est donc A (k) = π(R2 − k 2 ).
Finalement, le volume de la boule est donc :
V =2
Z
R
A (z)dz = 2π
0
Z
R
0
R
3
z3
4πR3
2R
(R2 − z 2 )dz = 2π R2 z −
=
= 2π ×
3 0
3
3
D. Distance parcourue (cinématique)
Nous avons vu en première que si on connaı̂t la position d’un mobile à chaque instant, on est capable de
déterminer sa vitesse instantanée à chaque moment (bien sûr, si la fonction définissant la position est dérivable
sur l’intervalle étudié. . .). Grâce à la propriété suivante, on est capable du contraire : connaı̂tre la distance
parcourue grâce à la donnée de la vitesse à chaque instant.
Propriété 12.10 Si la vitesse instantanée V (t) d’un mobile est connue pour tout t ∈ [a; b] alors la distance
parcourue entre les instants t = a et t = b est égale à :
d=
Z
b
V (t)dt
a
Exemple 12.10 La vitesse d’un objet en chute libre (sans frottement) lâché sans vitesse initiale à l’instant
t = 0 est donnée par V (t) = gt.
La distance parcourue au cours de la troisième seconde de chute est donc :
d=
Z
3
gtdt =
2
1 2
gt
2
3
2
=
1
1
g (9 − 4) ≈ × 9, 81 × 5 = 24, 5 m
2
2
109
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