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2015_2016_DS5_corrige_2ndes

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Eléments de correction du D.S n°5 du 04/02/2016
avec calculatrice
Classe : 2nde
Durée : 50
min
Le barème sur 25 points est donné à titre indicatif.
Fonctions affines (11,5 points)
Exercice n°1 : (3,5 points)
Sur le graphique ci-contre, on a tracé les représentations graphiques de deux fonctions affines f et g.
1. Donner leurs expressions ci-dessous :
f(x) = 2 x −1
g(x) = − x + 4
2. Sur ce même graphique, tracer la représentation
graphique de la fonction h, définie sur ℝ par :
4
2
h(x) = x −
3
3
On indiquera brièvement la démarche utilisée
4
2
h(2) = × 2 − =
3
3
−
=
4
2
et h(−1) = × (−1) − =
3
3
=2
−
=
=−2
donc on trace la droite passant par les points de coordonnées (2 ; 2) et (−1 ; −2).
Exercice n°2 : ( 5,5 points)
Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x) =
− 2x + 5
. En justifiant donner :
3
1) Le tableau de variations de f.
f est une fonction affine car f(x) =
m=
x+
donc m < 0 donc f est strictement décroissante sur IR
−∞
x
+∞
Variations
de f
2) Le tableau de signes de f(x).
Résolution de l’équation f(x) = 0
x+ =0
x= −
x= −
x=
x
×
Signe de
f (x)
−∞
+∞
+
0
−
Exercice n°3 : ( 2,5 points)
Soit f la fonction affine vérifiant f(3) = 4 et f(8) = −2.
Déterminer l’expression de f(x) en fonction de x.
f la fonction affine donc f(x)) = m x+p
m=
=
– =
= − 1,2
Ainsi f(x) = −1,2 x + p.
Or f(3) = 4 donc −1,2 × 3 + p = 4 soit −3,6 + p = 4 donc p = 4 + 3,6 = 7,6
On trouve donc, pour tout x de IR, f(x) = −1,2 x + 7,6
Vecteurs (4,5 points)
Exercice n°1 : (1,5 points)
Cette figure est un assemblage de triangles équilatéraux.
Compléter l’égalité :
→ → →
EG + CA + HI =
+
+
=
Exercice n°2 : (3 points)
Dans un repère orthonormé du plan, on considère les points A ( − 2 ; 4 ), B ( − 3 ; 5 ) et D (4 ; 6 )
→ →
1) Calculer les coordonnées du point C tel que AB = CD .
→
AB
→
CD
→
AB
→
AB
→
CD
→ →
Or AB = CD , c'est-à-dire
dire
! "
soit
! !
!
Ainsi C (5 ; 5)
2) Que traduit géométriquement cette égalité vectorielle ?
→ →
AB = CD signifie que ABDC est un parallélogramme.
" et
! "
! Géométrie dans l’espace (5 points)
Soit une pyramide SABCD
ABCD dont la base est un parallélogramme.
Les points K, L et M sont les milieux respectifs de [SD], [SA] et [SC].
Dans chaque question, on complètera en donnant leurs positions relatives.
relatives
1. La droite (DM) et le plan (SBC)
La droite (DM) et le plan (SBC) sont sécants en M
2. La droite (AK) et le plan (DSL)
(AK) est incluse dans (DSL)
3. Les droites (AS) et (BC)
Les droites (AS) et (BC) sont non coplanaires
4. Les plans (LKM) et (ABC)
Les plans (LKM) et (ABC) sont strictement parallèles
paral
5. Les plans (SLK) et (SAD)
Les plans (SLK) et (SAD) sont confondus
Mathématisation et calculatrice (4 points)
On considère un triangle ABC rectangle en A avec AB = 6 et AC = 8.
Les points M et N sont respectivement sur les segments [AB] et [AC] tels que MB = AN.
On souhaite conjecturer l’aire maximale du triangle AMN.
AMN
Pour cela, on pose x = AN.
a) Préciser à quel intervalle appartient la variable x.
M est sur [AB] et x=BM
=BM donc x ne peut pas
dépasser 6
N est sur [AC] et x=AN
=AN donc x ne peut pas
dépasser 8.
Ainsi x ne peut pas dépasser 6 ni être négatif
(c’est une longueur).
x∈[0 ; 6]
b) Déterminer l’aire du triangle AMN en fonction de x
AN= x
AM = AB –BM = 6−x
AAMN =
#$%&'($)*&)+
=
,,-',.
=
'
c) Utiliser une calculatrice pour répondre au problème posé. (votre démarche est à expliciter).
N’oubliez pas de conclure
1
Dans le menu graph,
je pose Y1=
'
Dans V window,
2
je règle Wmin W max
3 Ensuite je fais un Zoom auto
4 Enfin : Gsolv Max
On trouve que l’aire maximale du triangle semble être égale à 4,5
BONUS (3 points)
Toute trace de recherche, même non aboutie, sera évaluée positivement si elle est correcte.
Marc et Louise, qui sont frère et sœur, quittent leur maison et suivent exactement la même route pour se
rendre au lycée situé à 5km et dans lequel les cours commencent à 8h.
Marc, le piéton, quitte la maison à 7h et marche à une vitesse moyenne de 5 km.h-1.
Louise, la cyclomotoriste, part de la maison à 7h30 et roule à scooter à la vitesse moyenne de 25 km.h-1.
A quel instant Louise rejoindra Marc ?
Marc part à 7h et fait du 5km par heure, il a 5 km à parcourir donc il arrive à 8h.
Soit x le nombre d’heures écoulées depuis 7h
Marc part à 7h, et sa vitesse est de 5 km/h, donc sa distance parcourue, en km, en
fonction de x est donnée par :
dM(x) = 5x avec (x compris entre 0 et 1).
Louise part à 7h30, donc jusque 7h30 elle est chez elle, et ensuite, lorsque x est plus
grand que 0,5, son temps de parcourt est égal à x− 0,5 et sa vitesse est de 25 km h-1.
Sa distance parcourue, en km, est donc donnée par :
dL(x) = 25( x−0,5) avec (x compris entre 0,5 et 1), jusqu’à son arrivée au lycée.
Par le graphique,
On trouve qu’ils se croisent pour x≈ 0,62
lycée
CdL
Par le calcul,
Ils se croisent lorsque d1 (x)= d2 (x)
c'est-à-dire :
5x = 25 ( x – 0,5)
5x = 25 x −12,5
12,5 = 20 x
12,5
= x
20
Ainsi il s’est écoulé 0, 625 heure après 7h
maison
Or 0,625h = 37,5 min
Louise rejoint donc Marc à 7h 37 min et 30 s
(d = vt = 5 × 0,625 = 3,125 ils sont donc à ce moment à 3,125km de chez eux)
CdM
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