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applications affines - IMJ-PRG

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L3 Mathématiques - Géométrie (U3GA35)
Feuille d'exercices 3
Université Paris Diderot - Paris 7
Année 20152016
APPLICATIONS AFFINES
Soit
k un corps. Soit E
un espace ane de direction notée
E.
On note H (resp. T ) l'ensemble des homothéties de E dans E . On
HT = H ∪ T .
(1) Soit f ∈ GA(E). Démontrer l'équivalence : f ∈ HT ⇔ pour toute droite
ane D ⊆ E on a f (D) D .
(2) Démontrer que HT < GA(E).
−1
(3) Soient τ ∈ T , h ∈ H. Identier h ◦ τ ◦ h
en fonction des éléments remarquables de h et τ . En déduire que T C HT .
0
0
(4) Soient h, h ∈ H. Démontrer que les images de h, h dans HT /T sont égales
∗
si et seulement si elles ont le même rapport. En déduire que HT /T ' k .
Exercice 1 pose
Exercice 2 -
On suppose que
application ane bijective de
Exercice 3 -
Soit
F
F
et de noyau
(1) Soit
X ∈ E.
(2) Démontrer que
(3) Démontrer que
(4) Démontrer que
la
E?
E
E.
supplémentaire de
Sa direction est notée
F.
On note
π
F.
Soit
le projecteur de
G
E
G.
p l'application
(X + G) ∩ F .
p
est une droite ane. Que peut-on dire d'une
(X + G) ∩ F est un singleton.
E dans E qui à tout X ∈ E associe l'unique
Justier que
On note
On appelle
E
dans
un sous-espace ane de
un sous-espace vectoriel de
d'image
E
de
élément de
p ◦ p = p.
p est une application ane, puis que p~ = π .
p(E) = F et que F = {X ∈ E | p(X) = X}.
de E sur F parallèlement à G.
projection ane
i.e.
~ = DC
~ et
Exercice 4 - Soit ABCD un parallèlogramme non aplati (
AB
A, B, C, D ne sont pas alignés). Soit M ∈ (AC)\{A}. On note I (resp. J ) le projeté
ane de M sur (AB) (resp. (AD)) parallèlement à la direction de (AD) (resp.
(AB)).
(1) Faire un dessin.
(2) Démontrer que
I 6= J .
(3) Démontrer qu'il existe une unique homothétie
et
h: E → E
telle que
h(A) = A
h(I) = B .
h(M ) = C et h(J) = D.
(IJ) (BD).
(4) Démontrer que
(5) Conclure que
Soient A0 , A1 , A2 ∈ E non alignés. Pour tout M0 ∈ (A0 A1 ) on
(Mi )i∈N ∈ E N par récurrence : si i ∈ N alors Mi+1 est l'intersection
−−−−→
de Mi + Vect(Ai Ai+1 ) et de (Ai+1 Ai+2 ) (en convenant que Ai = A0 , A1 ou A2
selon que i = 0 mod 3, i = 1 mod 3 ou i = 2 mod 3). On note h : (A0 A1 ) → (A0 A1 )
l'application dénie par h(M0 ) = M3 pour tout M0 ∈ E .
Exercice 5 -
dénit une suite
1
L3 Mathématiques - Géométrie (U3GA35)
Feuille d'exercices 3
Université Paris Diderot - Paris 7
Année 20152016
(1) Faire un dessin représentant le triangle
(2) Justier que, pour tout
(3) Démontrer que
h
(4) Identier
(
Exercice 6 -
Soit
F.
E
M0 = M6
pour tout
−−→
AM .
F 6= ∅
= M
F 6= ∅, alors F
(4) On suppose que
dim E < ∞.
→
−
f ?
On suppose que
G l'ensemble
f ({A, B, C}) = {A, B, C}.
alignés. On note
(1) Démontrer que
par
F
On note
d'inconnue
si et seulement si
(3) Démontrer que si
(2) Soit
M0 ∈ (A0 A1 ).
f : E → E une application ane.
A ∈ E . On pose B = f (A).
→
−
Ker( f − IdE ).
que
1 ).
l'ensemble des
Soit
(2) En déduire que
Exercice 7 -
est correctement dénie.
0
d'inconnue
propre de
(Mi )i∈N
est une application ane bijective.
(1) Transformer l'équation f (M )
dans
la suite
M0 , · · · , M6 .
et une suite
on pourra d'abord déterminer h(A ) et h(A )
(5) En déduire que
points xes de
h
M0 ∈ E ,
A0 A1 A2
E
M ∈E
en une équation
→
−
−−→
AB ∈ Im( f − IdE ).
est un sous-espace ane de
Que se passe-t-il lorsque
est un plan ane. Soient
1
E
de direction
n'est pas valeur
A, B, C ∈ E non
f : E → E telles
des applications anes bijectives
G < GA(E).
f ∈ G. Justier que l'application ϕf : {A, B, C} → {A, B, C} dénie
ϕf (X) = f (X) est bijective. Démontrer que l'application suivante est
un isomorphisme de groupes
G → S{A,B,C}
f 7→ ϕf
(on pourra déterminer des symétries appartenant à G et leur image dans
S
).
{A,B,C}
{A, B, C} par {A, B, C, D} où, cette fois, A, B, C, D ∈ E sont
ABCD soit un parallélogramme. En suivant la même méthode,
démontrer que G est isomorphe à un 2-sous-groupe de Sylow de S{A,B,C,D}
(3) On remplace
tels que
que l'on identiera précisément.
2
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