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bras maxpid 2 approche analytique

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PRYTANÉE
ILI
TAIRE
Cycle 5
M
L
NA
NATIO
BRAS MAXPID
C5 Analyser, modéliser et résoudre pour vérifier les performances
énergétiques de systèmes de solides d’une chaîne d’énergie
1
2 APPROCHE ANALYTIQUE
Question 1 : Donner l’expression de l’énergie cinétique galiléenne T(E/R1) de l’ensemble E dans son mouvement par
rapport au repère R1 lié au châssis 1 en fonction :
•
•
des vitesses angulaires α! , β! = ωm , θ! ;
des moments d’inertie J2, J3 et J35.
T (E / R1 ) = T (2 / R1 ) + T (3 / R1 ) + T (5 / R1 )
On peut négliger l’énergie cinétique de l’écrou 4. Pour chacun des termes :
1
J 2 θ 2 (ensemble rigide en rotation autour d’un axe fixe)
2
1
T (5 / R1 ) = J 5 α 2 (ensemble rigide en rotation autour d’un axe fixe)
2
Pour T (3 / R1 ) , il faut être prudent car le mouvement de la vis 3 par rapport au repère R1, résulte de la composition de deux
T (2 / R1 ) =
mouvements de rotation. Il faut s’assurer que T (3 / R1 ) ne présente pas de terme dit de « couplage » en « α β ».
⎡ A3



⎢
Ω(3 / R1 ) = α z1 + β x3 et I(B, 3) = ⎢ 0
⎢ 0
⎣
0
B3
0
Le calcul, non détaillé ici, donne pour T (3 / R1 ) :
0 ⎤
⎥
0 ⎥


B3 ⎥ (x3 , _, _)
⎦
1
1
T (3 / R1 ) = (A3 β 2 + B3 α 2 ) = (J 3 β 2 + B3 α 2 )
2
2
Pas de couplage donc, entre α et β !
Finalement :
T (E / R1 ) =
1
1
1
1
1
1
1
J 3 β 2 + B3 α 2 + J 5 α 2 + J 2 θ 2 = J 3 ω m2 + J 35 α 2 + J 2 θ 2
2
2 
2
2
2
2


 2
1
J 35 α 2
2
Question 2 : Donner l’expression du moment d’inertie équivalent J en fonction :
•


des rapports des vitesses angulaires θ et α
•
des moments d’inertie J2, J3 et J35.
ωm
ωm
En écrivant l’énergie cinétique de l’ensemble dans son mouvement par rapport à R1 sous la forme :
fait apparaître le moment d’inertie équivalent ramené sur l’arbre moteur. En factorisant
trouvée précédemment, on obtient :
On en déduit pour J :
T (E / R1 ) =
J = J 3 + J 35
1
(J 3 + J 35
2
θ 2
α
θ 2
+
J
) ω m2 .
2
ω m2
ω m2
ω m2
T (E / R1 ) =
dans l’expression de T(E/R1)
2
α 2
+ J2 2
ω m2
ωm
Question 3 : Donner la valeur numérique, autour du point de fonctionnement θ = θ0 = 60°, du rapport
La définition du gain K1 nous donne :
1
J ω m2 , on
2
θ θ .
=
β ω m
1
θ
1 ; soit θ
=
= 87.10 -4 pour θ = θ0 = 60°.
=
ω m 114, 4
ω m K1
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3 APPROCHE EXPERIMENTALE
Question 4 : En utilisant le tableur Excel, notamment la commande courbe de tendance, caractériser le bloc Ka et donner
sa valeur numérique.
L’ensemble des données issues de l’expérimentation est regroupé dans le tableau ci-dessous :
On rappelle : Ka =
Tension de commande
Kp (θ c - θ )
Tension de
commande (V)
θc
2,2
2,6
3,1
4
4,8
(°)
74,2
59,9
44,7
29,4
14,7
θ
Kp* (θ c
(°)
73,3
58,8
43,3
27,6
12,7
- θ)
45
55
70
90
100
Kp
Ka(V/°)
50
50
50
50
50
0,049
0,047
0,044
0,044
0,048
Avec Kp = 50
Tension de
commande
6
y = 0.0463x
2
R = 0.9792
5
4
Gain fictif Ka
3
Linéaire (Gain fictif Ka)
2
1
Kp (Thétac - Théta)
0
0.000
20.000
40.000
60.000
80.000
100.000
120.000
Question 5 : En analysant la courbe obtenue, proposer un modèle de comportement pour le moteur. Préciser la valeur de la
constante de temps τ du moteur. Vous imprimerez la courbe obtenue sur laquelle vous préciserez votre proposition.
La courbe de réponse à un échelon de tension du moteur en boucle ouverte est la suivante :
206 rad/s
196 ≈ 206 x 0,95 (rad/s)
130 ≈ 206 x 0,63 (rad/s)
On évalue, à partir du modèle de
er
comportement d’un système du 1 ordre,
la constante de temps τ à 40ms.
τ = 40 ms
TR5% = 120 ms
40
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Question 6 : En identifiant la fonction de transfert du système suiveur (Ω en fonction de U), à la forme générique d’un
système du premier ordre, donner l’expression littérale du moment d’inertie équivalent J en fonction de la constante de
temps τ du moteur et des différentes caractéristiques. En utilisant l’ensemble des données dont vous disposez depuis le
début de l’activité, déterminez la valeur numérique du moment d’inertie équivalent J.
La constante de temps est donnée par la relation : τ =
τ (K v K c + Rf )
RJ
. On en déduit pour J : J =
R
K v K c + Rf
La documentation technique du moteur électrique nous donne :
o R = 2,07 Ω
-3
o Kc = 52,5.10 Nm/A
o
AN : → J =
Kv =
1
1 60
V/(tr/min)) → Kv =
= 52,5.10 -3 V/(rad/s)
182
182 2π
40.10 -3 (52,5 2.10 -6 + 2,07 x 6,8.10 -4 ) soit : J = 8,05.10 -5 kg.m 2
2,07
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