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C5 racine

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LYCEE VICTOR HUGO
3.2
L’attention est attirée sur le fait que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements
entrent pour une part importante dans l’appréciation des copies.
PARTIE I - Activités numériques (16 Points)
Exercice 1 : (2.5 points)
a) Calculer les nombres A et B suivants en faisant apparaître chaque étape du calcul.
2
(
)
(
)
2
3 1
A =   − et B = 3 − 5 + 2 25 + 45 .
8 8
b) Que peut on dire des nombres A et B ?
Exercice 2 : (2 points)
Calculer les nombres A=
2 3 5
1
1 2 
− × , B=  −  :  2 +  en donnant les résultats sous forme de fractions
3 4 9
3
5 3 
irréductibles
Exercice 3 : (3.5 points)
On considère l’expression suivante : A(x) = ( x − 5 )² − ( x − 5 )( 7 − 2x )
a) Développer et réduire A (x).
b) Factoriser A(x).
c) Calcule A(x) pour x = – 5
d) Résoudre A(x) = 0
Exercice 4 : (4 points)
a) Écrire C = 5 6 × 2 3 et D= 75 + 7 3 − 2 27 sous la forme a b , où a et b sont des entiers, a étant le
plus petit possible.
45 × 103 × 10 −5
5 × 10 −2 × 9
b) Donner l'écriture scientifique des nombres B et C : B =
et C =
.
5 × 10 4
3 × 20
Exercice 5 : (1 points)
On a posé à des élèves de 3ème la question suivante :
« Est-il vrai que, pour n’importe quelle valeur du nombre x, on a : 5x2 −10x +2 = 7x −4 ? »
Léa a répondu :
«Oui, c’est vrai. En effet, si on remplace x par 3, on a : 5×32 −10×3+2 = 17 et 7×3−4 = 17 ».
Myriam a répondu :
«Non, ce n’est pas vrai. En effet, si on remplace x par 0, on a : 5×02 −10×0+2 = 2 et 7×0 −4 = −4 ».
Une de ces deux élèves a donné un argument qui permet de répondre de façon correcte à la question posée
dans l’exercice. Indiquer laquelle en expliquant pourquoi.
Exercice 6 : (3 points)
Hicham a écrit le programme de calcul suivant :
Choisis un nombre
Soustrais 6.
Multiplie le résultat par 4
Écris le résultat
Eva a écrit le programme de calcul suivant :
Choisis un nombre
Prends son triple
Soustrais 10.
Écris le résultat
a) Applique ces deux programmes aux nombres – 3 et 20.
b) Quels nombres peut choisir Eva pour que son programme donne à chaque fois un résultat supérieur à
celui de Hicham ?
1
PARTIE II - Activités géométriques (11 Points)
Exercice 1 : 4 points
La figure ci-dessous n’est pas en vraie grandeur.
Les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
Les dimensions de la figure sont les suivantes :
IB = 2,5 ; AB = 10 ; ID = 3 ; AE = 12 ; IC = 9.
1) Calculer IA et CD.
2) Les droites (AI) et (DE) sont-elles parallèles ?
Exercice 2 : 4 points
soit
1. Tracer un cercle C de diamètre AB = 8 cm, puis placer un point F sur le cercle tel que l’angle BAF
égal à 60°.
2. Montrer que le triangle ABF est rectangle en F.
3. Calculer AF.
Exercice 3 : 3 points
Les figures ci-contre représentent un
carré de côté 1 + 3 et un rectangle
de largeur 1 et de longueur
indéterminée. Les longueurs sont
données en centimètres, mais les
dessins ne sont pas en vraie
grandeur.
Les deux questions sont indépendantes
1. Dans cette question, on veut que le périmètre du rectangle EFGH soit égal à celui du carré ABCD.
Déterminer dans ce cas la valeur exacte de FG.
2. Dans cette question, on veut que les aires des deux quadrilatères ABCD et EFGH soient égales.
Déterminer dans ce cas la valeur exacte de FG.
PARTIE III - Problème (13 Points)
Monsieur Gabrielli souhaite construire un appentis
pour ranger ses outils. Il a réalisé le dessin ci-contre.
L'appentis est représenté par le prisme droit
ABSTCRUD.
La base de ce prisme est le trapèze rectangle ABST.
Le point O est imaginaire.
Monsieur Gabrielli veut que le toit de l'appentis soit
dans le prolongement du toit de sa maison (V, T, A et
O alignes).
Les droites (TH) et (EB) sont horizontales, donc
parallèles.
Les points E, O, B et S sont alignes.
Les dimensions suivantes sont imposées :
mesure 40°.
ST = 3 m; BC = 2,5 m; l'angle VTH
Monsieur Gabrielli peut choisir la profondeur SB de
son appentis.
Partie A :
Dans cette partie, on suppose que la profondeur SB de l'appentis est égale à 1,2 m.
est égale à 40°. En déduire la mesure de l'angle STO
.
1. Justifier que la mesure de l’angle AOB
2
1
la face ABST de l'appentis ; faire figurer le point O sur ce dessin.
50
3. On travaille à nouveau avec les dimensions réelles.
a) Calculer OS et OB (arrondi au cm).
b) Calculer AB (si nécessaire, arrondir au cm).
c) Calculer une valeur approchée du volume de l'appentis.
2. Dessiner à l'échelle
Partie B :
Dans cette partie, on ne connait pas la profondeur SB de l'appentis.
Monsieur Gabrielli désire que :
le volume de son appentis soit supérieur à 8 m3 ;
la hauteur minimale AB de son appentis soit supérieure à 1,60 m.
On désignera par x la longueur de [SB] exprimée en mètre. On utilisera : OS = 3,6 m.
1. Exprimer OB en fonction de x.
2. Montrer, en utilisant le théorème de Thales, que AB = 3 −
x
.
1.2
x
> 1.6 .
1.2
4. Le graphique ci-après représente le volume de l'appentis exprime en m3 en fonction de x. En observant ce
graphique, donner cinq valeurs de x pour lesquelles le volume de l'appentis est supérieur à 8 m3.
5. En utilisant les réponses obtenues aux questions précédentes de cette partie B, donner une valeur de SB
qui corresponde aux désirs de Monsieur Gabrielli.
3. Résoudre l'inéquation : 3 −
3
Correction :
PARTIE I - Activités numériques (17 Points)
Exercice 1 : (2.5 points)
a) Calculer les nombres A et B suivants en faisant apparaître chaque étape du calcul.
2
8
1
3 1 9
A=  − =
−
=
 8  8 64 64 64
(
B = 3− 5
)
2
(
)
+ 2 25 + 45 = 9 − 6 5 + 5 + 50 + 2 9 5
B = 64 − 6 5 + 6 5 = 64
b) Le nombre A est l’inverse du nombre B.
Exercice 2 : (2 points)
2 3 5 2 5
8 5
A= − × = − = −
3 4 9 3 12 12 12
3 1
A=
=
12 4
1   3 10   6 1 
1 2 
B =  − :2+  =  − : + 
3   15 15   3 3 
5 3 
7 7
7 3
3
1
B=− : =− × =− =−
15 3
15 7
15
5
Exercice 3 : (3.5 points) On considère l’expression suivante : A(x) = ( x − 5 )² − ( x − 5 )( 7 − 2x )
a) A(x) = ( x − 5 )² − ( x − 5 )( 7 − 2x ) = x² – 10x + 25 – (7x – 2x² – 35 + 10x)
A(x) = x² – 10x + 25 – 7x + 2x² + 35 – 10x = 3x² – 27x + 60
b) A(x) = ( x − 5 )² − ( x − 5 )( 7 − 2x ) = ( x − 5 )(x – 5 − ( 7 − 2x )) = ( x − 5 )(x – 5 − 7 + 2x )
A(x) = ( x − 5 )(3x – 12)
c) Pour x = – 5 , A(– 5) = 3 × 5 + 27 5 + 60 = 75 + 27 5
12
d) A(x) = 0 ssi (x − 5 )(3x – 12) = 0 ssi x – 5 = 0 ou 3x – 12 = 0 ssi x = 5 ou x =
=4
3
Les solutions de l’équation sont 4 et 5.
Exercice 4 : (4 points)
a) C = 5 6 × 2 3 = 10 2 3 3 = 30 2 et
b) B =
45 ×103 × 10−5 9 × 10 −2
=
= 9 × 10−6
4
4
5 × 10
10
D = 75 + 7 3 − 2 27 = 25 3 + 7 3 − 2 9 3
.
D = 5 3 +7 3 −6 3 = 6 3
5 ×10 −2 × 9 5 × 3 × 3 × 10−2
et C =
=
= 0.75 × 10−2 = 7.5 ×10 −3 .
3 × 20
3× 4 × 5
Exercice 5 : (1 points)
C’est Myriam qui a donné un argument qui permet de répondre de façon correcte à la question posée car
Myriam a donné un contre-exemple alors que Léa a donné un exemple : « D’un exemple on ne peut pas en
tirer une généralité »
Exercice 6 : (2.5 points)
a) Appliquons ces deux programmes aux nombres – 3 et 20.
Pour Hicham
Pour Eva
Pour x = – 3
Pour x = 20
Pour x = – 3
Pour x = 20
• –3–6=–9
• 20 – 6 = 14
• −3 × 3 = −9
• 20 × 3 = 60
• −9 × 4 = −36
• 14 × 4 = 56
• – 9 – 10 = –19
• 60 – 10 = 50
Le résultat est – 36
Le résultat est 56
Le résultat est – 19
Le résultat est 50
b) Si x est le nombre choisi au départ, le programme de Hicham a pour 4( x − 6) ≤ 3 x − 10
résultat 4(x – 6) et le programme d’Eva a pour résultat 3x – 10.
4 x − 24 ≤ 3 x − 10
Si Eva choisi pour son programme un nombre inférieur à 14 alors à
4 x − 3 x ≤ −10 + 24
chaque fois son résultat sera supérieur à celui de Hicham.
x ≤ 14
PARTIE II - Activités géométriques (17 Points)
4
Exercice 1 :
∗ I ∈[ BD]
donc
1) Dans les triangles BIA et ICD, on a : ∗ I ∈[ AC ]
∗ ( AB ) / / (CD )
IB IA AB
d’après le théorème de Thalès on a :
=
=
c'est-àID IC CD
2.5 IA 10
9 × 2.5
dire
=
=
donc IA =
= 7.5 et
3
9 CD
3
3 ×10
CD =
= 12
2.5
2) Dans le triangle BED, les points B, A, E et B, I, D sont alignés dans le même ordre.
BA 10 5
BI 2.5 5
BA BI
=
=
et
=
= , on constate que
=
donc d’après la réciproque du
De plus :
BE 22 11
BD 5.5 11
BE BD
théorème de Thalès les droites (AI) et (DE) sont parallèles.
Exercice 2 :
1. Voir ci-contre.
2. Le triangle ABF est inscrit dans le cercle de diamètre [AB] qui est un des
côtés du triangle donc d’après le théorème du triangle inscrit le triangle ABF
est rectangle en F.
3. Dans le triangle ABF rectangle en F, on a :
AF
AF
cos ABF =
donc cos ( 60° ) =
donc AF = 8cos ( 60° ) = 4.
AB
8
Exercice 3 : 3 points Les deux questions sont indépendantes
1. Le périmètre du carré ABCD est 4 1 + 3 = 4 + 4 3 et le périmètre du rectangle EFGH est 2 + 2 FG
(
)
(
)
2+4 3
= 1+ 2 3
2
Le périmètre du carré ABCD est égale au périmètre du rectangle EFGH si FG = 1 + 2 3 .
donc résolvons 2 + 2 FG = 4 + 4 3 ⇔ 2 FG = 4 − 2 + 4 3 ⇔ FG =
(
2. L’aire du carré ABCD est 1 + 3
)
2
= 1 + 2 3 + 3 = 4 + 2 3 et l’aire du rectangle EFGH est
1× FG = FG donc les aires des deux quadrilatères ABCD et EFGH soient égales pour FG = 4 + 2 3
PARTIE III - Problème (13 Points)
Partie A : Dans cette partie, on suppose que la profondeur SB de l'appentis est égale à 1,2 m.
et AOB
sont correspondants de plus les
1. Les angles VTH
= AOB
= 40° .
droites (TH) et (OE) sont parallèles donc VTH
Dans le triangle STO rectangle en S, on a :
= 180 − 90 − 40 = 50° .
STO
2. On a :
Segment
ST
SB
Longueur
3m
1, 2 m
réelle
Longueur sur
300
120
= 6 cm
= 2, 4 cm
le dessin
50
50
3. On travaille à nouveau avec les dimensions réelles.
(
)
= OS donc tan ( 50° ) = OS
a) Dans le triangle STO rectangle en S, on a : tan STO
ST
3
OS = 3 tan ( 50° ) ≈ 3,58 m et OB = 3 tan ( 50° ) − 1.2 ≈ 2.38 m .
donc
5
(
)
AB
AB
b) Dans le triangle ABO rectangle en S, on a : tan AOB =
donc tan ( 40° ) =
OB
3 tan 50 − 1.2
AB = tan 40 × ( 3 tan ( 50° ) − 1.2 ) ≈ 2 m .
c) On a : Vappenti =
( 3 + 2 ) ×1.2 × 2.5 = 7.5 m3
2
donc
donc le volume de l'appentis est d’environ 7.5 m3 .
Partie B : Monsieur Gabrielli désire que :
le volume de son appentis soit supérieur à 8 m3 ;
la hauteur minimale AB de son appentis soit supérieure à 1,60 m.
On désignera par x la longueur de [SB] exprimée en mètre. On utilisera : OS = 3,6 m.
1. On a : OB = 3.6 – x.
∗ O ∈[OT ]
donc d’après le théorème de Thalès on a :
2. Dans le triangle OST, on a : ∗ O ∈[ BS ]
∗ ( AB ) / / ( ST )
3 ( 3.6 − x ) 3 × 3.6 3 x
OB AB OA
3.6 − x AB
x
=
=
c'est-à-dire
=
donc AB =
=
−
= 3−
.
OS ST OT
3.6
3
3.6
3.6
3.6
1.2
x
x
x
3. On a : 3 −
> 1.6 ⇔ 3 − 1.6 >
⇔ 1.4 >
⇔ 1.4 × 1.2 > x ⇔ 1.68 > x .
1.2
1.2
1.2
Tous les nombres strictement inférieurs à 1.68 sont solutions.
4. Les cinq valeurs possibles de x pour lesquelles le volume de l'appentis est supérieur à 8 m3 sont : 1.5 , 2 ,
2.5 ; 3 ; 3.5.
5. Une valeur possible de SB qui corresponde aux désirs de Monsieur Gabrielli est 1.67 m.
6
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