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Soit U un ensemble quelconque (qu’on appellera l’ensemble universel).
Pour chaque sous-ensemble A de U , on définit le complément de A dans U par :
Ac = U \ A = x ∈ U | x ∈
/A .
La table ci-dessous donne les propriétés principales des opérations ∪, ∩ et c . Tous
les ensembles considérés sont des sous-ensembles de U .
Remarquez la similarité avec les propriétés de ∨, ∧ et ¬.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
(17)
(18)
(19)
(20)
P ⇒Q
P ⇔Q
P ⇔Q
P ∨ ¬P
P ∧ ¬P
P ∨F
P ∧V
P ∨V
P ∧F
P ∨P
P ∧P
¬¬P
P ∨Q
P ∧Q
(P ∨ Q) ∨ R
(P ∧ Q) ∧ R
P ∨ (Q ∧ R)
P ∧ (Q ∨ R)
¬(P ∧ Q)
¬(P ∨ Q)
Logique
≡ ¬P ∨ Q
≡ (P ∧ Q) ∨ (¬ P ∧ ¬ Q)
≡ (P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ P )
≡ V
≡ F
≡ P
≡ P
≡ V
≡ F
≡ P
≡ P
≡ P
≡ Q∨P
≡ Q∧P
≡ P ∨ (Q ∨ R)
≡ P ∧ (Q ∧ R)
≡ (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R)
≡ (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R)
≡ ¬P ∨ ¬Q
≡ ¬P ∧ ¬Q
Nom ou commentaire
Tiers exclu
Contradiction
∅ est neutre pour ∪
U est neutre pour ∩
U est “absorbant” pour ∪
∅ est “absorbant” pour ∩
Idempotence
Idempotence
Double complément
Commutativité de ∪
Commutativité de ∩
Associativité de ∪
Associativité de ∩
Distributivité de ∪ sur ∩
Distributivité de ∩ sur ∪
Loi de De Morgan
Loi de De Morgan
Ensembles
A ∪ Ac = U
A ∩ Ac = ∅
A∪∅=A
A∩U =A
A∪U =U
A∩∅=∅
A∪A=A
A∩A=A
(Ac )c = A
A∪B =B∪A
A∩B =B∩A
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
(A ∩ B)c = Ac ∪ B c
(A ∪ B)c = Ac ∩ B c
Remarquez qu’on a aussi les propriétés U c = ∅ et ∅c = U , qui ne sont pas dans la table.
c
Pour le complément de A dans U , on peut
aussi écrire A (au lieu de A ). Avec cette
notation, on a A = U \ A = x ∈ U | x ∈
/ A et :
A ∪ B = A ∩ B,
A ∩ B = A ∪ B.
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