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. Pour les q uest ion s 9 a 1l , vous devez donner des solutions

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P r o fe sseu r : D . D a i l e
E x a m
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D a t e : 8 f 6v r i e r 2 0 16
D u r e e : 7 5 m i n ti t e s .
. P our les q u e st i on s l a 6 , don nez seulem ent la r ep onse, sans j u st ifuer ou ex pl iqu er .
. P our les q u e st i o n s 7 et 8 , v ous dev ez j u st if er b ri &v em ent v ot re r ep onse.
. P our les q u est io n s 9 a 1l , vou s devez d on ner d es solu ti on s comp let es et j u st ifi er vos affi rm a t io n s,
. N on per m is : ca lc ul at ri ces et a u tr es ap p ar eil s el ect ron ique s, m a nu els et n ote s de cour s.
.
N e d et a ch ez p a s l e s p ag e s d e l 'ex a m e n .
. Si vou s man quez d 'espace, vou s pouv ez u ti liser le verso d es p aees ou l a der ni ere p aee de
l 'ex am en p ou r l e tr av a il a u b rou ill on ou p our re p ondr e a ux que st ions.
E sp a ce r eser v e a u co r r ect eu r
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q u es t i on s
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p oi n t s m a x .
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( I ) !4 p ts) Snp ]rosOn s qu e cFi , cp2 et ]l;, sc ril des for mu Jes cle l ogi que p ror>osit i on rieEle3et r on sid6r^ons
l ' flr EJl l r n @n t r/ 3
t su,i ^a rtt. :
CP 1
$l :
C
p2
k)ites si ck acuite des af rwiati ons suivantes est vraie ou fausse (rC
j poncl ez par V ou F ] :
!a) sa ( 1 J (pa)
'(li est une tatltologie alors l 'argumcnt
est vali d;e.
(h$ Si v4 6s: rali de alors ((pi V cp 2) =$ ri est une tautologie.
F
(c) Sa (pi A p 2A i
est une contradiction al ors
est val ide.
(d) Ci Jl est valide alors (pi A cp2 A 7 est une cont raC
cict ion. y
(e) Si l 'ensembIe f c9i , cP2, yi ) est sati sfaisable alors $l est vali de. F
(f) Si Jl est valide alors l $ensembl e ( cp i ()cp2 ) est sati sfai sableu F
(g) Si l 'ensernble f cPi , (Pt ) est non-sat isfaisable al or s $l est val ide. q/
(h) Si $l est valide alors l 'ensemble ( (Pi (P2) est non-saGisfaisable. %d;
(2) (4 pt s) C o n si der ez l 'ar gu m en t
=
Cp 1
cp Z
;i
et l 'ensembl e de form ules
= ( (P1 (P2$7 1V)
' ^
Considerez les affir mat ions suivant es, qui concer nent ]rarbre de v er it e de l 'ensemble C. Pour
chacune de ces affi rmations, determinez si elle est vraie ou fausse (repondez par V ou F ) .^
(a )
Si l $arbre a une branche ouverte, al ors f est satisfaisable et l 'ar ument $l est vali de. F
(b ) Si
est non sat isfaisabl e, alor s l 'ar br e n $a aucu n e br an che fer mee.
F
(c ) Si l $
areument
est vali de, alors l 'arbr e a une br anche ouver te.
F
(d ) Si j 4 n')a aucun contrexemple, alors l 'arbre n)a aucune branche fermee. F
3
(3) (2 pi s! Voici la t abl e cie v6rit 6 d'une forr tj iQ i^' dr,\- lr'o.tt-iLat paoposif ior r ,cll e :
l
:
" ii -
z
i
l
l
l
V
F
F
Donnez une formule en forme nor male disj onctive qui est equivalente a cp.
i 7 '\
A u cun e Justif icati on n 'est r equi se.
(4) (2 pt s) C om pl et ez la defin iti on suivante :
A u cu ne j usti cati on n fest requi se.
izi l b
4
( 5) (3 pts\ Donnez un r xe i3?:e cl 'um
ze forriz!tIe de lOeique r3l'op4;isitioPinelle rq i est :
-
e un
t a u t o Eo g i e :
X v 7 X
co n t r a d i ct i on :
T
l
l
-
l
l
l
7
7 )l
n e t a u t (ri o gi e, ri i u n e co r t r a d i ct i o n :
A ucu ne Jus tifi cati o'r
'es t requ ise.
(6) (2 pts) Consi derez la phrase suivante, dans laquelle nous avons aj oute des parentheses pour
c l a r i fi er l a s t r u c t u r e :
(L a condition cc]e syst&me foncti onne normalement et le programm.e n $est pas mis
a j our" est necessaire et suffi sante pour que les utili sateurs aient acces aux ftchiers)
seulement si une recherche anti-virus est effectuee sur l es messa es.
Donnez une formule de logique propositionnelle qui est une traduction de la phrase ci-dessus.
\
U t i l i s ez l e s a t om es s u i v a n t s :
N : ((l e sy st em e f on ct i o n n e n o r m a l em en t "
M : ccune recherche ant i-virus est effect u6e sur l es messages '
U : ccle pr oCram me est m is a j our $'
F : cCle s u t i l i saGeu r s o n t acc es au x fi ch i er s"
l
A u cun e j ustifi cation n 'est r equis e.
5
( 7j (4 p t s) Sur l 'iile des C he^ya iier s et d es Cvoq ;xi.ii :, , t-ou s r rer!cen.t r ez deux h ab it a nt s A et B .
i9 d i t : 'cn o u s so m m e s d eei x co q u i n s" .
e! ue pou v ez-v ous conc lur e su r les t y p es (coq uii"i ou ch eva lier ! de A et B ?
r
R ; p o n se :
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J zi st if i ex br i 9vem en t v o tr e r ep o n se d a 'r s l fesp a ce ci -d esso u s.
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(8) (4 pt s) L 'ar gu rn ent
j
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7 (Y
7 X
Z)
3
Z
es: -i l vaii de ! E ncer clez l a b onn e r ; p on se daii s l a b oit e.
si vouf tl; p3Ilde!t cxue l Targl ment est invalide, donnez aussi un contrexez.nple.
l
l
-
L $a r g u m en t est :
v
C ontr exewiple (si appl ic
-
'l u stiJiex br i evem ent votne r eponse dans l 'espace ci-dessous.
R a r co
O :
s bBY)a3cr
6a$A+iC
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( ) ( 4 p ts) D em ontr ez l 'equ ival encc
(x v y ) A ( (x 3 z ) A (y -3Lz ))
(X V Y ) A L
p ar l a rn ct hod e d es m ani pu lation s al eb r iqu es. N ot ez b ierd:
o Vous pouvez seul em ent ut ili scr l es equ ivaleP?ces qui sont enoncees dans la t abl e donnee
a la page 10 de l 'ex amen. Va.ns votre preuve, j usti ez chaque equi val ence en ecrivant l e
numero correspondant (les numeros qui sont donnes dans la table).
o U e saut'ez A U C U N E et ap e. N 'om et tvz p as les par enGheses i nt er nes:
ii 'avez pas le droit d 'ecrire que i A V (B V CY) 7 A V B V Qji,
/ ) i\ F_cxt i
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Cl3 )
(l
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(2Q)
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Cl 8)
(s)
i\ cr i ziJ
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p a r ex e m p l e , v o u s
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( l o) (6 pt s-) l Ji il isf?i/ I,rl, ll?G/l Il ( de cxe l 'al^Fsrk* d_t! 't,^ $'^tt, ; f?(>l :^ det erm in er st l $icTl sem bl e
F :u
. l X A (x 7> i !, Cx /\,r') j C,X =j z), C
x v Y) j C
7x ) )
cst sLi,tisfaj sahl e cu rion. Si votss dtt 9s que k est, sat isfai sable, d,3ri rrez eout,cs les val¡y
i at iO
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(:5 pt^s) ea'ppel : Etant donn6s des cntaifi's r t. e! i&, cLi il i 4 que ?r &i ai vict eL
' s'i l ex iste un entier
x s a t i sf a i s a n & m rc =
n.
DerrPontrez Ie tli6oreme suivant aix mogren d'Pine preidve indj,r^ecte,
(R ernarque : dans
!i6nonc6 du th6or6me, on a aj out 6 des parent kL&ses poiur clari f er la st ru(:t ]ur5e de l a phrase.)
ri l h ecJbr&pn e. s i n ect impair , alors [T?z est irnpai r o'il n, ne divi s& pas /nl .
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