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3h. Calculatrice autorisée. Exercice I : Etude d`une varistance. Une

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Durée : 3h. Calculatrice autorisée.
Exercice I : Etude d'une varistance.
Une varistance est un dipôle symétrique dont la caractéristique statique a pour
équation en convention récepteur :
I
I = kUn , avec k et n des constantes positives.
U
Un étudiant relève en T.P. les couples (I,U) d'une varistance. Sur le graphe de la
figure 1 sont représentés les points correspondants à ln( I ) en fonction de ln( U ) et sur la figure 2, sont
représentés les points correspondant à I en fonction de U.
1- Déterminer les valeurs de k et n en utilisant le graphe de la figure 1. On arrondira n à la valeur entière
la plus proche.
I
2- On définit la conductance statique Gs par le rapport : G s 
et la conductance dynamique par
U
dI
Gd 
.
dU
2a- Etablir la relation qui lie les grandeurs Gs, Gd et n.
2b- Calculer Gs et Gd lorsque U = 5 V.
3- La varistance étudiée à la question 1 est insérée dans le montage ciI
contre. La source de courant délivre un courant d’intensité IN constante dans
IN
la branche où elle se trouve tel que IN = 100 mA et la résistance R est égale
à 100 Ω.
R
3a- A l'aide de la figure 2, déterminer graphiquement la tension U aux
bornes de la varistance ainsi que le courant I qui la traverse.
3b- La source de courant n'étant pas parfaite, le c.e.m IN présente des petites
fluctuations caractérisées par la variation élémentaire de IN, dIN.
dI
On définit le coefficient de stabilisation en courant par le rapport c  I . Exprimer c en fonction de Gs,
dI N
IN
R et n, puis calculer c pour le montage précédent.
-1
2
1
0
-0,5 -1 0
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
-11
-12
-13
-14
-15
ln(I)
0,5
ln(U)
1
1,5
2
2,5
0,1
I (A)
0,09
0,08
0,07
0,06
0,05
0,04
0,03
0,02
U (V)
0,01
0
figure 1
0
1
2
3
figure 2
4
5
6
Exercice II : Etude d’un guide d’onde.
2α
On considère le guide d’onde ci-dessus, constitué d’un milieu diélectrique plan transparent d'indice nl,
inséré entre deux milieux d'indice n2 , l'ensemble étant placé dans un milieu (l’air) d'indice n3, avec la
condition nl > n2 > n3 . A l'aide d'une lentille L1, on focalise la lumière émise par une source
monochromatique ponctuelle S à l'entrée du milieu 1. On ne considère que les rayons qui entrent dans le
milieu 1.
Données numériques :
n1 = 1,5227 ; n2 = 1,5200 ; n3 = 1,0000 ; a = 1,000 mm ; L = 10,00 m .
Dans le vide, la célérité de la lumière est C = 3,00.108 m.s-1
1- Calculer en fonction des indices, l'angle d'incidence minimum i1 d'un rayon à l'interface entre le milieu
1 et le milieu 2 pour que la lumière ne sorte pas du milieu 1.
2- En déduire l'angle 2α formé, à l'entrée du milieu 1, par les deux rayons issus de la lentille les plus
inclinés par rapport à l'axe et qui seront guidés par ce même milieu.
3- La lumière arrive à l’entrée du milieu 1 sous forme d’impulsions. Calculer l'allongement temporel
d’une impulsion en sortie du guide dû au fait que tous les rayons lumineux issus d’une impulsion ne
parcourent pas le même chemin dans le guide.
4- Une information est associée à une impulsion. Calculer le débit maximal d’informations (nombre
d’informations par seconde) qui peuvent être transférées dans le guide.
Exercice III : Ondes le long d’une corde de Melde.
Rappels : On rappelle que la somme de tous les termes d’une suite géométrique de raison q telle que
0 < q < 1 est égale à
0
1−
, U0 étant le premier terme de la suite.
Lorsqu’une onde progressive se propage sans atténuation ni déformation à la célérité c, le signal parcourt

une distance d entre les abscisses x0 et x en un temps égal à d/c , on a donc : s(x,t) = s(x0, t-  )
1- Question préliminaire.
On considère deux ondes progressives sinusoïdales de longueur d’onde λ, se propageant en sens opposés
sur un axe Ox :
s1(x,t) = A1cos(ωt - kx) ; s2(x,t) = A2cos(ωt + kx).
1a- A l’aide de la construction de Fresnel, exprimer l’amplitude A du signal résultant s(x,t) en fonction de
A1, A2, x et du vecteur d’onde k .
1b- Montrer qu’il existe des points sur Ox où A est maximal. On donnera les abscisses correspondantes
en fonction de λ et d’un nombre entier n.
On considère une corde de Melde de longueur L. On interprète la vibration de la corde de la manière
suivante : Le vibreur émet une onde qui se propage vers la poulie où elle est réfléchie. Cette onde
réfléchie se propage en direction du vibreur où elle est elle-même réfléchie. Cette onde réfléchie se
propage alors vers la poulie où elle est à nouveau réfléchie et ainsi de suite. L’onde résultante sur la corde
est ainsi une superposition d’un grand nombre d’ondes progressives (sens ⃗⃗⃗⃗
 ) et d’ondes régressives
(sens - ⃗⃗⃗⃗
 ).
L’axe Ox est parallèle à la corde, le vibreur est en x=0 et la poulie en x = L.
L
O
Le vibreur crée une onde progressive de longueur d’onde λ, de vecteur d’onde k, telle que le signal en O à
l’instant t est : s0(0,t) = A0 cos(ωt). La célérité des ondes sur la corde est notée c. On fait les hypothèses
simplificatrices suivantes :
- lorsqu’une onde incidente si arrive sur la poulie en x = L, l’onde réfléchie sr vérifie :
sr(L,t) = - r si(L,t), avec r un coefficient tel que : 0 < r < 1.
- lorsqu’une onde incidente s’i arrive sur le vibreur en x = 0, l’onde réfléchie s’r vérifie :
s’r(0,t) = - r’s’i(0,t), où r’ est un coefficient tel que : 0 < r’ < 1.
- Chaque onde créée par réflexion se propage sur la corde sans atténuation ni déformation.
2- Exprimer le signal s0(x,t).
3a- Montrer que le signal s1(x,t) qui apparait suite à une première réflexion de s0 sur la poulie est de la
forme : s1(x,t) = -rA0 cos(ωt + kx – 2kL)
3b- Exprimer de même le signal s2(x,t) qui apparait suite à la réflexion de s1 sur le vibreur, puis exprimer
le signal s3(x,t) qui apparait par réflexion de s2 sur la poulie.
4- Exprimer le déphasage entre s0(x,t) et s2(x,t). En déduire la relation entre L et λ pour que s0(x,t) et
s2(x,t) soient en phase. Que peut-on dire alors des signaux s1(x,t) et s3(x,t) ?
La relation entre L et λ est supposée réalisée dans la suite.
5a- Déduire des résultats précédents l’expression d’une onde progressive s2p(x,t) et d’une onde régressive
s2p+1(x,t) , avec p = 0, 1, 2 …
5b- Montrer que le signal résultant en un point sur la corde a pour expression :
1

s(x,t) = A0 ( (1− ′ ) cos( − ) − (1− ′ ) cos(ω + ) )
5c- En utilisant le résultat de la question 1, déduire l’amplitude maximale Amax (aux ventres de
déplacement) ainsi que l’amplitude minimale Amin du signal s(x,t).
6- Expérimentalement, on trouve

0
≈ 1 

0
≈ 10 . Calculer r et r’.
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