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B. A.

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Mat1748: DGD du 24 février 2016
(1) Répondez par V ou F et justifiez votre réponse.
(a) Les ensembles A = Z et B = {Z} satisfont {A} ∈ {B}.
(b) Si A et B sont des ensembles satisfaisant {A} ∈ {B}, alors A ∈ B.
(c) Il existe un ensemble A qui satisfait la condition :
Quel que soit
l’ensemble B, on a A ∈ ℘B.
(d) Soit A = ∅, {∅}, ∅, {∅} ;
alors chaque
élément de A estun sous-ensemble de A.
(e) Soit A = ∅, {∅}, ∅, {∅} ; alors A ⊆ ℘A.
(f) ( 32 , 52 ) ∈ (0, 1) × [1, 43 ] (Remarque : ( 23 , 52 ) est une paire ordonnée et non pas
un intervalle ; cependant, (0, 1) et [1, 43 ] sont des intervalles.)
(g) N × N ∈ ℘(Z × R)
(2) Quels sont les ensembles
10
\
2
[n , (n + 3) ] et
n=0
10
[
[n , (n + 3)2 ] ?
n=0
Soit U un ensemble.
Si A est un sous-ensemble de U , l’ensemble U \ A est appelé le complément de A dans U . Les
gens utilisent plusieurs notations pour le complément d’un ensemble ; par exemple on peut
écrire A = U \ A, ou encore Ac = U \ A.
Dans la table suivante, A, B, C sont des sous-ensembles de U .
Identité
A∪∅=A
A∩U =A
A∩∅=∅
A∪U =U
A∪A=A
A∩A=A
A∪B =B∪A
A∩B =B∩A
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
Nom ou commentaire
∅ est neutre pour ∪
U est neutre pour ∩
∅ est “absorbant” pour ∩
U est “absorbant” pour ∪
Idempotence
Idempotence
Commutativité de ∪
Commutativité de ∩
Associativité de ∪
Associativité de ∩
Distributivité de ∩ sur ∪
Distributivité de ∪ sur ∩
A∪A=U
A∩A=∅
Complémentarité
A=A
A∪B =A∩B
A∩B =A∪B
Loi de De Morgan
Loi de De Morgan
Notons aussi que si A, B sont des sous-ensembles de U alors
1
A\B =A∩B .
2
(3) Soient A, B, C des sous-ensembles de U . Utilisez les identités du tableau ci-dessus
pour prouver :
(a) A ∪ (B \ C) = A ∩ B ∩ C (b) A \ (B \ C) = (A \ B) ∪ (A ∩ C)
(4) Trouvez un exemple d’ensembles A, B, C pour lesquels on a :
A \ (B \ C) 6= (A \ B) \ C.
(5) Si A, B sont des ensembles alors on définit l’ensemble A4B, appelé la différence
déf
symétrique de A et B, par : A4B = (A \ B) ∪ (B \ A).
(a) Calculez A4A et A4∅. Si A est un sous-ensemble de U , calculez A4U .
(b) Démontrez l’identité : A4B = (A ∪ B) \ (A ∩ B)
(c) Démontrez l’associativité de 4 : (A4B)4C = A4(B4C)
(6) Voici quelques tentatives de définitions de fonctions. Dans chaque cas, dites si oui
ou non on a bien défini une fonction.
(a) f : Z → Z, f (x) = x/2
(b) f : Z → Q, x 7→ x/2
(c) f : ℘R → ℘Z, f (X) = X ∩ Z
(d) f : ℘R → ℘Z, X 7→ X ∩ N
(e) f : R → R, f (a) = le nombre x ∈ R qui satisfait x2 + ax − 1 = 0
(f) f : R → R, a 7→ le plus petit x ∈ R satisfaisant x2 + ax − 1 = 0
(g) f : R → R, f (a) = le plus petit x ∈ [0, 5] satisfaisant x2 + ax − 1 = 0
(h) f : R → R, a 7→ le plus petit x ∈ R satisfaisant x2 + 3ax + 1 = 0
(i) f : R → ℘R, f (a) = {x ∈ R | x2 + 3ax + 1 = 0}
(j) f : R → R, f (a) = le nombre x ∈ R qui satisfait (a − 1)(x − 1) = 1
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