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bilan

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4
La valeur de la vitesse d’une planète le long de sa trajectoire elliptique n’est donc pas constante, elle est
plus grande lorsque la planète est proche du Soleil et plus faible lorsqu’elle s’en éloigne.
2.3. Troisième loi de Kepler
DANS LA LUNE (REPONSES)
1. Etude avec les lois de Newton
2.3.1. Comment est calculé le ½ grand axe ? Vérifier par calcul
1.1. Faire le bilan des forces qui s’exercent sur le satellite (les forces exercées par les autres astres et les frottements liés à l’atmosphère
terrestre seront négligés).
C’est la moyenne de l’aphélie et du périhélie.
2.3.2. Remarque-t-on quelque chose de particulier pour les périodes ? Si oui l’exprimer.
La seule force s’exerçant sur le satellite est la force d’attraction gravitationnelle / exercée par la
Terre (les forces exercées par les autres astres et les frottements liés à l’atmosphère terrestre peuvent
être négligés).
Les périodes sont croissantes : plus la distance au Soleil est grande, plus la période de révolution est
grande
2.3.3. Mêmes questions pour la vitesse moyenne.
1.2. Exprimer cette(ces) force(s) en fonction des vecteurs unitaires du repère de Frenet.
/
= G×
×
Les vitesses sont décroissantes : plus la distance au Soleil est grande, plus la vitesse moyenne est faible.
×
2.3.4. Mêmes questions pour la masse
Pas de résultat généralisable pour les masses
1.3. Utiliser la 2ème loi de Newton pour déterminer les caractéristiques de l’accélération.
Dans le référentiel géocentrique par application de la 2
×
donc : / = .
Soit : G×
×
= .
loi de Newton, on obtient : ∑
×
d’où : =
×
ème
1.4. Compléter l’encadré du paragraphe 1.2.2. de la feuille de cours
=
.
2.3.5. Mêmes questions pour la vitesse équatoriale.
Pas de résultat généralisable pour les vitesses équatoriales
2.3.6. Compléter la phrase de préambule du paragraphe 2.3 de la feuille de cours.
Plus une planète est éloignée du Soleil, plus sa période de révolution est grande et plus sa vitesse est
faible
L’accélération est centripète (dirigée vers le centre), l’accélération tangentielle est nulle.
at = 0
×
a =a + a
a an =
2.3.7. Choisir parmi les relations suivantes celle qui convient
%
&
+
²
=
×
soit v² =
$
= 0 soit v = cte donc le mouvement est uniforme.
×
$
%"
=k
=k
&'
=k
k = cte
La longueur correspondant à un tour est : L = 2π×
×r
1.9. En utilisant la relation entre vitesse moyenne, longueur parcourue et durée, montrer que la période de révolution s’écrit : T = 2π
vitesse, longueur et durée sont liées par : ℓ = v×∆t
×
donc : T =
#×
×
si ℓ = L, alors ∆t = T
= 2π
1ère loi :
le cercle est une ellipse particulière, les deux foyers sont confondus et correspondent au
centre de l’astre central (la Terre)
le demi-grand axe correspond au rayon du cercle décrit par le satellite : a = r (avec r = RT + h)
3.2. Faire de même avec la phrase correspondant à la deuxième loi de Kepler.
2ème loi : elle implique dans le cas d’un mouvement circulaire que la vitesse est constante, donc le
mouvement est uniforme
3.3. En utilisant la troisième loi de Kepler et les résultats obtenus à partir des lois de Newton, montrer que :
1.8. Quelle est la longueur parcourue par un satellite pour un tour (révolution).
or v =
=k
3.1. Compléter la phrase du paragraphe 3 de la feuille de cours correspondant à la première loi de Kepler.
Dans l’approximation des trajectoires circulaires, le mouvement des satellites est uniforme.
Remarque :
. La vitesse est indépendante de la masse du satellite, elle dépend de la distance au centre de la Terre
(r = RT + h), plus cette distance est grande, plus la vitesse est faible.
#×
&
3. Newton et Kepler
1.7. Compléter l’encadré et la remarque du paragraphe 1.2.3. de la feuille de cours.
soit T =
%'
=k
Pour toutes les planètes du système solaire le rapportentre le carré de la période de révolution T et le
cube de la longueur a du demi-grand axe est constant.
.
Par identification au résultat de la question 1.4.
&"
2.3.9. Compléter le paragraphe 2.3. de la feuille de cours.
.
1.6. En utilisant l’identification avec les résultats du paragraphe 1.2.2. (étude dynamique), montrer que la valeur de la vitesse est : v =
×
%
=k
α = 2 et β = 3
Dans le repère de Frenet, pour un mouvement circulaire, le vecteur accélération s’écrit :
.
&'
2.3.8. En déduire la valeur à associer à α et celle à associer à β.
1.5. Rappeler les coordonnées, dans le repère de Frenet, du vecteur accélération pour un mouvement circulaire.
=
%
=k
²×
×
= 2π
×
×
"
donc : 2π×r = v×T
$
2. Les lois de Kepler
2.1. Première loi de Kepler
2.1.1. Compléter le paragraphe 2.1. de la feuille de cours.
Dans le référentiel héliocentrique, la trajectoire du centre d’une planète est une ellipse dont le centre
du Soleil est l’un des foyers.
Remarque :
. La distance planète-Soleil n’est pas constante, la position la plus proche du Soleil est le périhélie, la
plus éloignée est l’aphélie.
2.1.2. La vitesse de la planète le long de sa trajectoire est-elle constante ?
La vitesse n’est pas constante tout au long de la trajectoire
2.1.3. Où est-elle la plus rapide ? Où est-elle la plus lente ?
$
=k
donc :
$
%'
"
=
()²
×
=k
Les lois de Newton ont conduit à : T = 2π
×
$
donc : T² = 4π²×
×
$
soit :
$
=
3.4. Compléter avec les unités qui conviennent le deuxième encadré du paragraphe 3 de la feuille de cours.
*#²
×
M : masse de l’astre central en kg
r : distance entre le centre de l’astre et le centre du satellite en m
T : période de révolution du satellite en s
3.5. Compléter la phrase de la remarque de ce paragraphe.
. Le rapport dépend de la masse M de l’astre central mais est indépendant de la masse du satellite
4. Une balance dans l’Univers
4.1. Masse du Soleil
4.1. En admettant que les trajectoires des planètes sont des cercles dans le référentiel héliocentrique, déterminer la masse du Soleil.
Dans le référentiel héliocentrique, en considérant que les trajectoires des planètes sont quasiment
circulaires, connaissant les rayons et les périodes (feuille de calcul).
En utilisant la 3ème loi de Kepler :
$
=
*#²
×
donc : MS =
= 3,99×
×10-20 j²/km3
Elle est plus rapide au voisinage du périhélie et plus lente au voisinage de l’aphélie
2.2. Deuxième loi de Kepler
2.2.1. Retrouve-t-on les " conclusions " sur la vitesse du paragraphe précédent ?
4.2.1. Rechercher les caractéristiques du mouvement de la Lune autour de la Terre.
Oui ce sont les mêmes conclusions
Demi grand-axe (donc rayon de l’orbite) : 384 399 km
2.2.2. Compléter le paragraphe 2.2 de la feuille de cours.
4.2.2. Retrouver à partir de ces données la masse de la Terre.
Le segment [S,P] qui relie le centre su Soleil au centre de la planète balaie des aires égales pendant
des durées égales.
En procédant comme au 4.1. : MT =
*#²×
×
$
×
d’où : MS = 1,99×1030 kg.
La moyenne des valeurs donne :
4.2. Masse de la Terre
$
*#²× $
Période de révolution : 27,321 582 jours
*#²×($,*$--×./$ )$
soit : MS = 1,13×./4..×(
3,$ .5, × *×$1//)
= 6,0×
×1024 kg
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