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- Gilles de Truchis

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MÉTHODES ET INSTRUMENTS DE LA
FINANCE
Master 1 MBFA
2015-2016
Gilles de Truchis
gilles.detruchis@gmail.com
Site : www.varennes-ecofin.com/
LES CHAPITRES DU COURS
4.1 Les variables aléatoires
1. Généralités
2. Introduction
2.1 Quelques définitions
2.2 L’intermédiation financière
2.3 Le système financier
5. La finance en avenir incertain
5.1 L’utilité espérée
5.2 Les fonctions d’utilité
5.3 L’utilité de Markowitz
5.4 La théorie du portefeuille
2.4 Un peu de théorie financière
6. Statistique, probabilité et économétrie
2.5 Agents et comportements
6.1 Variables aléatoires et convergence
3. La finance en avenir certain
6.2 Le Théorème Central Limite
3.1 Rappels sur les taux
6.3 La notion d’estimateur
3.2 Un peu de mathématiques financières
6.4 L’estimation des modèles linéaires
4. Rappels statistiques
7. Conclusion
2
GÉNÉRALITÉS
Généralités
ORGANISATION DU COURS
I Le cours est organisé en 12 séances de 2h
I Le cours s’articule autour de cinq chapitres
I
I
I
I
I
Introduction
La finance en avenir certain
Rappels statistiques
La finance en avenir incertain
Statistique, probabilité et économétrie
I Objectif
I Poser (ou rappeler) un savoir de base pour les enseignements plus
spécialisés du Master
I
I
I
I
Économie des intermédiaires financiers
Gestion de portefeuilles
Économétrie financière
Calcul actuariel
I Les séances seront ponctuées de quelques applications pratiques
I Exercices
4
Généralités
OUVRAGES DE RÉFÉRENCES
5
Généralités
OUVRAGES DE RÉFÉRENCES
6
Généralités
OUVRAGES DE RÉFÉRENCES
7
Généralités
ÉVALUATION
I Partiel de 2h
I Questions de cours
I
I
I
⇒
Concepts généraux
Définitions de bases
Réflexion sur l’actualité économique et financière
Comprendre et proposer une analyse critique de l’environnement
économique est crucial dans le monde de l’entreprise
I Exercices techniques
I Apprendre par cœur n’est pas recommandé
⇒ Comprendre la logique des exercices faits en cours
⇒ Mobiliser son savoir pour résoudre des problèmes inédits
8
INTRODUCTION
Introduction
Quelques définitions
PLAN
4.1 Les variables aléatoires
1. Généralités
2. Introduction
2.1 Quelques définitions
2.2 L’intermédiation financière
2.3 Le système financier
5. La finance en avenir incertain
5.1 L’utilité espérée
5.2 Les fonctions d’utilité
5.3 L’utilité de Markowitz
5.4 La théorie du portefeuille
2.4 Un peu de théorie financière
6. Statistique, probabilité et économétrie
2.5 Agents et comportements
6.1 Variables aléatoires et convergence
3. La finance en avenir certain
6.2 Le Théorème Central Limite
3.1 Rappels sur les taux
6.3 La notion d’estimateur
3.2 Un peu de mathématiques financières
6.4 L’estimation des modèles linéaires
4. Rappels statistiques
7. Conclusion
10
Introduction
Quelques définitions
UN PEU DE FINANCE D'ENTREPRISE...
I Pour vivre une entreprise a besoin de capitaux
I
I
I
I
Financement du besoin en fonds de roulement (BFR)
Investissement productif
Investissement en R&D
...
I L’entreprise va donc intervenir sur le marché des capitaux
⇒ Comme vendeuse ou acheteuse ?
I Deux visions possibles :
I L’entreprise peut acheter des capitaux
I L’entreprise peut vendre des titres financiers
11
Introduction
Quelques définitions
L'ENTREPRISE COMME ACHETEUSE DE CAPITAUX
L’entreprise va opérer sur le marché des capitaux comme acheteuse
I La matière première est l’argent
I Le prix de cette matière première est le taux d’intérêt
I Les acteurs du marché sont
I les entreprises
I les banques
I les intermédiaires financiers (si montage d’opérations financières
complexes)
I L'objectif de l'entreprise est alors de minimiser le coût des
capitaux collectés
12
Introduction
Quelques définitions
L'ENTREPRISE COMME VENDEUSE DE TITRES
L’entreprise va opérer sur le marché des titres financiers
I Sur ce marché l’entreprise n’est plus acheteuse mais vendeuse
⇒ offre de titres = demande de capitaux
⇒ demande de titres = offre de capitaux
I Sur ce marché, le prix est la valeur du titre financier échangé
I L'entreprise cherche donc à maximiser un prix de vente
13
Introduction
Quelques définitions
UN MÊME MARCHÉ POUR DEUX VISIONS
Lien entre les deux visions
Minimiser un coût de financement revient à maximiser la valeur du titre
correspondant à ce financement
Quelle vision adopter ?
I Le choix de l’ouvrage de référence est celui des titres financiers
I Minimisation des coûts = risque de comportements déviants
⇒ dettes versus capitaux propres
⇒ négligence du facteur risque
⇒ court terme versus long terme : myopie
14
Introduction
Quelques définitions
L'ÉMISSION DE TITRES FINANCIERS
I Qu’est-ce qu’un titre financier ?
⇒ C’est un contrat : le titre confère à son détenteur un droit sur une
chronique de flux financiers futurs
I En vendant un tel contrat à un prix x, l’entreprise va collecter une
ressources financière d’un montant x
⇒ L'entreprise émet des titres
I En achetant un tel contrat, un investisseur va récupérer des flux
financiers dans le futurs
⇒ L'investisseur souscrit les titres
15
Introduction
Quelques définitions
LE RISQUE ET LES TITRES FINANCIERS
I La dimension temporelle d’un titre est très importante
I Flux financiers futurs ⇒ engendre un risque
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
risque de marché
risque de crédit
risque de liquidité
risque opérationnel
risque légal
...
I Le risque est présent même pour les meilleures signatures
⇒ événements imprévisibles : guerres, catastrophes naturelles, ...
I L’analyse du risque est donc crucial en finance
16
Introduction
Quelques définitions
APERÇU DES TYPES DE RISQUES
I Le risque de marché
⇒ risque que la variation d’un prix (ou autres facteurs de marché)
entraîne des pertes pour le souscripteur
I Le risque de crédit
⇒ risque que l’entreprise n’honore pas ces obligations
I Le risque de liquidité
⇒ risque de ne pas pouvoir se détacher d’un titre financier
I Le risque opérationnel
⇒ risque lié à l’erreur humaine (fraude, problème informatique...)
I Le risque légal
⇒ risque lié au cadre juridique (contrat mal spécifié, modification
réglementaire...)
17
Introduction
Quelques définitions
LES TITRES FINANCIERS
On distingue diverses catégories de titres financiers
I Les titres de dette
⇒ L'obligation : il s’agit d’un titre de créance négociable représentant
une fraction d’un emprunt émis par une entreprise (ou autres...)
⇒ Le certificat de dépôt : il s’agit d’un titre de créance négociable
représentant une fraction d’un emprunt à court terme (1 jours à 1 an)
émis par une entreprise (ou autres...)
Risque et titres de dette
La rémunération des titres de dette est fixée contractuellement, désindexée des résultats de l’entreprise, généralement fixe et parfois indexée
sur un taux (e.g. inflation)
18
Introduction
Quelques définitions
LES TITRES FINANCIERS
I Les titres en actions
⇒ La notion de capitaux propres : il s’agit des fonds définitivement
apportés par les actionnaires au lancement de l’entreprise et
ultérieurement lors d’opérations d’augmentation du capital.
⇒ L’action : une action est un titre qui confère à son détenteur la
propriété d’une partie des capitaux propres d’une société ainsi qu’un
certain nombre de droits sociaux
Risque et titres en actions
L’actionnaire n’est pas assuré d’une chronique de flux certaine (dividendes)
car il est lié au destin de l’entreprise. En revanche, il bénéficie des droits
sociaux attachés à l’action et peut céder le titre pour quitter l’aventure.
19
Introduction
Quelques définitions
LES TITRES FINANCIERS
I Les titres hybrides
⇒ Un titre hybride est une classe de titre mélangeant les
caractéristiques des deux catégories de titres précédentes
I Il existe deux sous-classes de titres hybrides :
I Les titres donnant accès au capital : bons de souscription, obligations
convertibles, obligations remboursables en actions...
I Les actions de préférences : certificats d’investissement, actions à
dividende prioritaires...
I Les options
⇒ Une option est un titre conférant le droit et non l’obligation, d’acheter
ou de vendre un actif à un prix convenu et pendant (option américaine)
ou à l’échéance (option européenne) d’une période définie au préalable.
20
Introduction
Quelques définitions
LES MARCHÉS FINANCIERS
Le marché primaire
I L’émission de nouveaux titres par une entreprise s’effectue sur le
marché primaire
I Une entreprise va intervenir sur ce marché lors
I d’augmentation de capital : émission d’actions
I de placement d’emprunt obligataire : émission d’obligations
I d’émissions de titre plus complexes...
I Le marché primaire est le marché du neuf qui confronte l’entreprise
aux investisseurs
I La revente des titres s’effectue en revanche sur le marché
secondaire
21
Introduction
Quelques définitions
LES MARCHÉS FINANCIERS
Le marché secondaire
I Selon son type, un titre va posséder une échéance allant
I du court terme pour un certificat de dépôt
I à l’éternité pour une action qui ne possède pas d’échéance
I Or, la capacité d’un investisseur à se séparer d’un titre est liée au
risque de liquidité
I Le marché secondaire permet de répondre à ce besoin de liquidité
I Il s’agit d’un marché de l’occasion, indépendant de l’émetteur
I Néanmoins, les caractéristiques des titres échangés ne varient pas
22
Introduction
Quelques définitions
LES MARCHÉS FINANCIERS
Les marchés dérivés
I Il s’agit de marchés sur lesquels s’échangent des produits dont la
valeur dépend d’un autre produit appelé sous-jacent
I Illustration :
I Soit une entreprise produisant un bien à partir d’une matière première
I L’entreprise emprunte pour l’achat de la matière première
I La matière première est achetée en $ sur le marché mondiale
I La production est vendue à l’international pour l’essentiel
⇒ Exposition au risque de taux
⇒ Exposition au risque de fluctuation du prix de la matière première
⇒ Exposition au risque de change (transactions internationales)
I Les marchés dérivés vont permettre de gérer indépendamment ces
risques
⇒ e.g. utilisation d’un Swap de taux (échange de deux chroniques de flux)
⇒ e.g. utilisation d’un contrat Futures (échange à échéance)
⇒ e.g. utilisation d’une Option sur devise (droit d’acheter à un prix fixé)
23
Introduction
Quelques définitions
LA VALORISATION
Une fois émis, que deviennent les titres ?
I Une fois sur le marché secondaire, un titre financier va être
I échangé un très grand nombre de fois
I utilisé comme sous-jacent pour des produits dérivés
I ...
I Le titre reste lié avec son émetteur
I par les flux de trésorerie qu’il garantit (e.g. obligation)
I par les dividendes qu’il génère (e.g. actions)
⇒ Si l’entreprise obtient de mauvais résultats, les titres se déprécieront
24
Introduction
Quelques définitions
LA VALORISATION
I L’entreprise doit donc transformer au mieux l’activité économique en
flux financiers stables
I afin d’atteindre les taux de rentabilité espérés des investisseurs
I afin de garantir la qualité de la signature de l’entreprise
I afin de valoriser au mieux la valeur des titres émis
⇒ afin d’assurer la pérennité de l’entreprise tout en gagnant la confiance
des investisseurs et du marché
⇒ Comprendre le rôle des marchés financiers et le comportement des
investisseurs est donc indispensable
25
Introduction
L’intermédiation financière
PLAN
4.1 Les variables aléatoires
1. Généralités
2. Introduction
2.1 Quelques définitions
2.2 L’intermédiation financière
2.3 Le système financier
5. La finance en avenir incertain
5.1 L’utilité espérée
5.2 Les fonctions d’utilité
5.3 L’utilité de Markowitz
5.4 La théorie du portefeuille
2.4 Un peu de théorie financière
6. Statistique, probabilité et économétrie
2.5 Agents et comportements
6.1 Variables aléatoires et convergence
3. La finance en avenir certain
6.2 Le Théorème Central Limite
3.1 Rappels sur les taux
6.3 La notion d’estimateur
3.2 Un peu de mathématiques financières
6.4 L’estimation des modèles linéaires
4. Rappels statistiques
7. Conclusion
26
Introduction
L’intermédiation financière
LE RÔLE DES MARCHÉS FINANCIERS
Le schéma ci-dessous résume sommairement le rôle premier des
marchés
Excédents
de financement
Système financier
Besoins
de financement
On distingue :
I la finance directe
I e.g. souscription d’un actionnaire à une augmentation de capital par
l’intermédiaire d’un courtier
⇒ Pour ce type d’intermédiaire, seules les commissions apparaissent au
compte de résultat
I la finance indirecte
I e.g. un intermédiaire financier souscrit aux titres émis ...
I ... puis émet à son tour des titres à destination des épargnants
⇒ on parle d’effet de transmutation
27
Introduction
L’intermédiation financière
L'INTERMÉDIATION FINANCIÈRE
La finance indirecte fait donc intervenir des acteurs financiers tels que
I des banques
I e.g. les dépôts bancaires sur compte courant servent de
contre-parties pour des crédits aux entreprises
I des institutions financières (IF)
I e.g. suite à une souscription à un contrat d’assurance-vie, les fonds
seront généralement placés sur le marché obligataire
⇒ Ces acteurs du marché jouent un rôle d'intermédiation financière
28
Introduction
L’intermédiation financière
L'INTERMÉDIATION FINANCIÈRE
I A l’inverse des courtiers, les opérations d’intermédiation financière
apparaissent dans les comptes des banques et des IF
Bilan
Emplois
Ressources
Agents à besoins
de financement
Agents à excédents
de financement
Comptes de résultat
Charges
Produits
Résultat
29
Introduction
L’intermédiation financière
LA DÉSINTERMÉDIATION FINANCIÈRE
I Depuis les années 2000 une ère de désintermédiation s’est amorcée
Financement par marchés de capitaux et bancaire dans le monde
23%
20%
14%
20%
18%
45%
1980
16%
44%
1990
26%
32%
25%
21%
22%
24%
21%
14%
19%
33%
30%
33%
2000
2010
2012
Type de financement
Actions
Obligations d’Etat
Dettes privées
Bancaire
Source: McKinsey & Company 2013
30
Introduction
L’intermédiation financière
LA DÉSINTERMÉDIATION FINANCIÈRE
I L’économie de l’endettement
I
I
I
I
Avant la fin des années 70, le système financier était peu “développé”
Le financement des entreprises par émission de titres faible
Les sources de financement étaient essentiellement les banques
Système avantageux si l’inflation est élevée car taux réels ≤ 0
I L’effet pervers de l’inflation
Durant les années 70 l’inflation fut élevée...
... et cela a révélé les effets pervers de l’inflation
spoliation de l’épargne
L’épargnant se détourne alors des banques
Les banques ont recourt à la banque centrale pour compenser le faible
niveau d’épargne
⇒ création monétaire qui entretient l’inflation
I
I
⇒
I
I
I Vers une économie de marchés financiers
I L’entreprise de grande taille va alors chercher à capter directement
l’épargne
I L’économie bancaire répond essentiellement aux PME et aux
particuliers
31
Introduction
L’intermédiation financière
LE DÉVELOPPEMENT DES MARCHÉS FINANCIERS
7,000
Top 10 des places boursières selon le nombre de sociétés cotées en 2002 et 2013
2002
2013
6,000
5,000
4,000
3,000
2,000
1,000
0
Malaysie Euronext
Corée
Australie
UK
Japon
Canada
Chine
USA
Inde
Source : World Federation of Exchanges members
32
Introduction
L’intermédiation financière
LE DÉVELOPPEMENT DES MARCHÉS FINANCIERS
Top 10 des places bousières selon la capitalisation des sociétés côtées en 2002 et 2013
14,000
12,000
(en US$ M)
2002
2013
10,000
8,000
6,000
4,000
2,000
0
National Bombay
Stock
SE
Exchange
India
Toronto Shanghai Euronext London Hong Kong Tokyo
SE
SE
Group
NASDAQ
NYSE
Source: World Federation of Exchanges members
33
Introduction
L’intermédiation financière
LE DÉVELOPPEMENT DES MARCHÉS FINANCIERS
Volumes des transactions sur les places boursières dans le monde (en US$ M)
120,000
Actions
Obligations
100,000
80,000
60,000
40,000
20,000
0
1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013
Source: World Federation of Exchange members
34
Introduction
Le système financier
PLAN
4.1 Les variables aléatoires
1. Généralités
2. Introduction
2.1 Quelques définitions
2.2 L’intermédiation financière
2.3 Le système financier
5. La finance en avenir incertain
5.1 L’utilité espérée
5.2 Les fonctions d’utilité
5.3 L’utilité de Markowitz
5.4 La théorie du portefeuille
2.4 Un peu de théorie financière
6. Statistique, probabilité et économétrie
2.5 Agents et comportements
6.1 Variables aléatoires et convergence
3. La finance en avenir certain
6.2 Le Théorème Central Limite
3.1 Rappels sur les taux
6.3 La notion d’estimateur
3.2 Un peu de mathématiques financières
6.4 L’estimation des modèles linéaires
4. Rappels statistiques
7. Conclusion
35
Introduction
Le système financier
LES FONCTIONS DU SYSTÈME FINANCIER
R. Merton et Z. Bodie listent six fonctions pour un système financier :
I Fonction de règlement
I mise à disposition des individus de moyens de paiement : carte de
crédit, chèques, virements
I Fonction de financement
I mise en commun de fonds individuels afin de financer des projets de
grandes tailles
I Fonction d’épargne et endettement
I permet de répartir les ressources dans le temps, l’espace et les
différents secteurs économiques
36
Introduction
Le système financier
LES FONCTIONS DU SYSTÈME FINANCIER
I Fonction de gestion du risque
I Via des produits d’épargne collective, les intermédiaires permettent
une diversification des investissements
I Fonction d’information
I Une petit nombre d’intermédiaires redistribuent une information
difficile d’accès à des millions d’investisseurs pour un faible coût
I Fonction de réduction des conflits
I La présence de gestionnaires entre l’investisseur et l’acheteur permet
de limiter les conflits
37
Introduction
Le système financier
LE RÔLE DES BANQUES
Segmentation old school
I Banque commerciale
I collecte les ressources du public et prête aux entreprises
I Banque d’affaire
I apporte des conseils en fus-ac, en gestion de patrimoine et joue un
rôle d’intermédiaire pour le placement en action et obligataire
Le regroupement des banques commerciales et d’affaire en grand
conglomérat a engendré une nouvelle segmentation
I Banques de détail
I s’adresse aux particuliers et aux petites et moyennes entreprises :
intermédiation entre les agents avec un excèdent de financement et
ceux avec un besoin
I segment très concurrentiel avec peu de marges et une forte
diversification des micro-services
38
Introduction
Le système financier
LE RÔLE DES BANQUES
I Banque d’investissement
I accès au marché d’actions
I assistance aux grandes entreprises pour les opérations boursières
(introduction en bourse, augmentation de capital...)
I accès au marché obligataire
I assistance aux grandes entreprises pour les opérations de levée de dette
I conseil en fusions et acquisitions
I assistance aux grandes entreprises dans les opérations d’acquisition
I accès au financement bancaires
I offre aux grandes entreprises de crédits syndiqués (plusieurs banques
assurent le crédit), ligne bilatérales (emprunt direct à la banque),
financement structurés
I Banque de gestion d’actifs
I s’adresse aux particuliers fortunés et aux investisseurs institutionnels
39
Introduction
Un peu de théorie financière
PLAN
4.1 Les variables aléatoires
1. Généralités
2. Introduction
2.1 Quelques définitions
2.2 L’intermédiation financière
2.3 Le système financier
5. La finance en avenir incertain
5.1 L’utilité espérée
5.2 Les fonctions d’utilité
5.3 L’utilité de Markowitz
5.4 La théorie du portefeuille
2.4 Un peu de théorie financière
6. Statistique, probabilité et économétrie
2.5 Agents et comportements
6.1 Variables aléatoires et convergence
3. La finance en avenir certain
6.2 Le Théorème Central Limite
3.1 Rappels sur les taux
6.3 La notion d’estimateur
3.2 Un peu de mathématiques financières
6.4 L’estimation des modèles linéaires
4. Rappels statistiques
7. Conclusion
40
Introduction
Un peu de théorie financière
L'EFFICIENCE DES MARCHÉS EN THÉORIE
I Définition
I Un marché est dit efficient si le prix (des titres financiers qui s’y
échangent) reflète à tout moment l’ensemble de l’information
pertinente disponible
I Autrement dit
I Le prix intègre à chaque instant les conséquences des événements
I Le prix reflète également les anticipations sur les événements futurs
I Conséquence
I L’évolution du prix est imprévisible
⇒ tous les événements connus ou anticipés sont déjà intégrés dans le prix
I Dynamique du prix
I Seul un événement non-anticipé que nous appellerons choc sera à
l’origine des variations du prix
I La meilleur représentation de la dynamique du prix est donc le prix à la
période précédente + un choc aléatoire
⇒ On parle de marche aléatoire ou de marche au hasard
41
Introduction
Un peu de théorie financière
L'EFFICIENCE DES MARCHÉS DANS LA PRATIQUE
I L’efficience des marchés est une hypothèse (HEM)
I Valider ou invalider cette hypothèse anime la recherche en finance
I Ce débat sur la dynamique des prix fut mis à l’honneur en 2013
⇒ Nobel de E. Fama, P.L. Hansen et R. Shiller
I Les chartistes s’opposent à l’HEM
⇒ Efficacité de l’analyse technique ?
I L’HEM repose sur l’idée d’une information publique
⇒ Qu’en est-il de l’information leakage ?
I La présence d’une information privée n’invalide pas l’HEM si cette
information n’influence pas le prix
⇒ Si les autorités des marchés fonctionnent bien oui, sinon... ?
42
Introduction
Un peu de théorie financière
L'EFFICIENCE DES MARCHÉS DANS LA PRATIQUE
I Dans la pratique, les marchés peuvent expérimenter des degrés
d’efficience variables
I On peut supposer qu’un marché sera d’autant plus efficient que
I les coût de transactions seront faibles
⇒ la faiblesse des coûts de transaction permet un ajustement très rapide
du prix vers l’équilibre de marché
I le marché sera liquide
⇒ un actif qui s’échange facilement permettra une meilleure circulation de
l’information
I les investisseurs seront rationnels
⇒ en présence d’une nouvelle information, l’agent réagit de manière
cohérente et maximise son utilité
I A différentes fonctions d’utilité, on peut associer différents
comportements des agents
43
Introduction
Agents et comportements
PLAN
4.1 Les variables aléatoires
1. Généralités
2. Introduction
2.1 Quelques définitions
2.2 L’intermédiation financière
2.3 Le système financier
5. La finance en avenir incertain
5.1 L’utilité espérée
5.2 Les fonctions d’utilité
5.3 L’utilité de Markowitz
5.4 La théorie du portefeuille
2.4 Un peu de théorie financière
6. Statistique, probabilité et économétrie
2.5 Agents et comportements
6.1 Variables aléatoires et convergence
3. La finance en avenir certain
6.2 Le Théorème Central Limite
3.1 Rappels sur les taux
6.3 La notion d’estimateur
3.2 Un peu de mathématiques financières
6.4 L’estimation des modèles linéaires
4. Rappels statistiques
7. Conclusion
44
Introduction
Agents et comportements
LA COUVERTURE
I Le comportement de couverture (hedging) consiste à chercher une
protection contre un risque
I L’utilisation de produits dérivés peut permettre de se couvrir contre
un risque
I Une entreprise européenne qui exporte aux USA peut se couvrir en
vendant à terme du $
⇒ pour cela elle peut utiliser un swap de change (forex swap)
I Selon les marchés et les situations, les stratégies de couverture
peuvent devenir très complexes
45
Introduction
Agents et comportements
LA SPÉCULATION
I Le comportement de spéculation s’oppose à la couverture puisque
l’agent accepte le risque
I Les spéculateurs construisent souvent leurs anticipations sur des
convictions où de l’analyse technique du risque
I De ce comportement découle la devise Buy low, sell high, go golf !
I Si ce comportement peut avoir des effets néfastes, par d’autres
aspects, il est utile au bon fonctionnement du marché
⇒ e.g. un agent recherchant une couverture va pouvoir trouver une
contrepartie grâce au spéculateur
I Lorsque les spéculateurs dominent un marché par leur nombre, on
parle de marché spéculatif
I Ce type de marché peut conduire à des dynamiques
auto-entretenues et in fine, dégénérer en bulle spéculative
⇒ En éclatant la bulle peut déstabiliser le système et créer une crise
financière
46
Introduction
Agents et comportements
L'ARBITRAGE
I L'arbitrage consiste à exploiter les anomalies du marché pour
dégager un profit tout en éliminant le risque
I Exemple
I Un arbitragiste constate que le prix de l’or au comptant (spot) est
inférieur au cours à terme
I Il a donc intérêt à acheter de l’or aujourd’hui et à le vendre sur le
marché à terme à l’aide d’un contrat Futures
I L’arbitragiste réalise un profit immédiat et sans risque si :
I l’opération couvre le coût de l’emprunt pour acheter l’or
+ le coup de stockage de l’or sur la durée du contrat
I Par ses opérations, l’arbitragiste entraîne
I une pression à la hausse du prix sur le cours spot
I une pression à la baisse sur le cours à terme
⇒ opérations en faveur de l’HEM
47
LA FINANCE EN AVENIR CERTAIN
La finance en avenir certain
Rappels sur les taux
PLAN
4.1 Les variables aléatoires
1. Généralités
2. Introduction
2.1 Quelques définitions
2.2 L’intermédiation financière
2.3 Le système financier
5. La finance en avenir incertain
5.1 L’utilité espérée
5.2 Les fonctions d’utilité
5.3 L’utilité de Markowitz
5.4 La théorie du portefeuille
2.4 Un peu de théorie financière
6. Statistique, probabilité et économétrie
2.5 Agents et comportements
6.1 Variables aléatoires et convergence
3. La finance en avenir certain
6.2 Le Théorème Central Limite
3.1 Rappels sur les taux
6.3 La notion d’estimateur
3.2 Un peu de mathématiques financières
6.4 L’estimation des modèles linéaires
4. Rappels statistiques
7. Conclusion
49
La finance en avenir certain
Rappels sur les taux
FLUX DE TRÉSORERIE
I Une opération d’investissement ou de souscription est définie par
l’échéancier des flux qu’elle génère
I Un flux de trésorerie est une somme d’argent transférée d’un agent à
un autre
I flux positif : encaissement
I flux négatif : décaissement
I L’investisseur est rémunéré par un taux d’intérêt qui défini la
rentabilité du placement
I Pour le souscripteur, le taux d’intérêt est un coût
I Le taux d’intérêt est défini pour une unité de temps : e.g. l’année
50
La finance en avenir certain
Rappels sur les taux
CHRONIQUE DE FLUX
Exemple
I Soit un emprunt de 100 en t = 0
I On considère des remboursements annuels
I de 0, 20, 30, 115
I en t = 1, 2, 3, 4
115
Prêteur
20
0
30
t
1
2
3
4
1
2
3
4
-100
100
0
-20
Emprunteur
t
-30
-115
51
La finance en avenir certain
Rappels sur les taux
OPÉRATION À DEUX FLUX
Soit une opération sur une période allant de t = 0 à t = 1
I On note
I
I
⇒
I
C le capital prêté en 0
F le flux final : remboursement de C et intérêts
I =F −C
r dénotera le taux d’intérêt, dit taux proportionnel
C
Emprunteur
1
t
0
F = -(C + I) = -C(1 + r)
52
La finance en avenir certain
Rappels sur les taux
OPÉRATION À DEUX FLUX SUR N PÉRIODES
Soit une opération sur une période de six mois
Emprunteur
C
1
2
n-1
n
t
0
F
I Pour un taux défini mensuellement on aura n = 6
I Pour calculer les intérêts deux méthodes possibles :
I la méthode des intérêts simples (propotionnels)
I la méthode des intérêts composés (capitalisés)
53
La finance en avenir certain
Rappels sur les taux
LES INTÉRÊTS SIMPLES
Soit un emprunt d’un capital C au taux r entre t = 0 et t = n
I
⇒
I
⇒
Si on a un remboursement de C et I en t = n
I est proportionnel à r et on a I = C × r × n
On a donc F = −(C + C × r × n) = −C (1 + r × n)
le taux r est qualifié de taux proportionnel
Emprunteur
C
n
0
0
0
0
0
0
t
0
F = -C(1 + nr)
54
La finance en avenir certain
Rappels sur les taux
CONVENTION DE DURÉES
Il est fréquent que la durée de l’opération ne soit pas un entier au regard
de la référence du taux : n ∈ R
I Pour calculer la durée de l’opération, notée T , il existe 6= conventions
⇒ la convention exact/exact : T = Nj/Na
I Nj la durée de l’opération en jours
I Na le nombre de jours exact dans l’année
⇒ convention exact/360 : T = Nj/360
I cette approche augmente artificiellement la durée et les intérêts
⇒ convention souvent utilisée quand T < 1
⇒ convention 30/360
I cette approche présume des mois de 30 jours
⇒ convention exact/365
I cette approche omet les années bissextiles
55
La finance en avenir certain
Rappels sur les taux
EXEMPLE : INTÉRÊTS SIMPLES
Soit un emprunt d’un capital C = 1000 sur une durée de 6 mois avec
r = 5% (annuel)
I L’emprunt démarre au 1/01 et s’achève au 30/06 et l’année n’est pas
bissextile : sur combien de jours court l’emprunt ?
56
La finance en avenir certain
Rappels sur les taux
EXEMPLE : INTÉRÊTS SIMPLES
Soit un emprunt d’un capital C = 1000 sur une durée de 6 mois avec
r = 5% (annuel)
I L’emprunt démarre au 1/01 et s’achève au 30/06 et l’année n’est pas
bissextile : sur combien de jours court l’emprunt ?
I Nj = 181
I Quelle est la durée en convention exact/exact ?
56
La finance en avenir certain
Rappels sur les taux
EXEMPLE : INTÉRÊTS SIMPLES
Soit un emprunt d’un capital C = 1000 sur une durée de 6 mois avec
r = 5% (annuel)
I L’emprunt démarre au 1/01 et s’achève au 30/06 et l’année n’est pas
bissextile : sur combien de jours court l’emprunt ?
I Nj = 181
I Quelle est la durée en convention exact/exact ?
I T = 181/365 = 0.49589
I Quel est le montant des intérêts ?
56
La finance en avenir certain
Rappels sur les taux
EXEMPLE : INTÉRÊTS SIMPLES
Soit un emprunt d’un capital C = 1000 sur une durée de 6 mois avec
r = 5% (annuel)
I L’emprunt démarre au 1/01 et s’achève au 30/06 et l’année n’est pas
bissextile : sur combien de jours court l’emprunt ?
I Nj = 181
I Quelle est la durée en convention exact/exact ?
I T = 181/365 = 0.49589
I Quel est le montant des intérêts ?
I I = 1000 × (181/365) × 5% = 24.79
56
La finance en avenir certain
Rappels sur les taux
LES INTÉRÊTS COMPOSÉS
Soit un emprunt d’un capital C au taux r entre t = 0 et t = n
I A présent, les intérêts sont calculés à la fin de chaque périodes puis
ajoutés au capital
⇒ les intérêts sont capitalisés et produisent des intérêts au taux r
I Pour une opération d’une période (n = 1) on a alors :
I −C en période 0
I +C (1 + r) en période 1
I Pour une opération sur deux périodes (n = 2) on a alors :
I −C en période 0
I rien en période 1
I [C (1 + r)](1 + r) = C (1 + r)2 en période 2
57
La finance en avenir certain
Rappels sur les taux
LES INTÉRÊTS COMPOSÉS
En poursuivant cette logique pour une opération sur n périodes on a
+C(1 + r)
0
n
-C
n
t
Prêteur
I Avec une durée non entière on a F = C (1 + r)T
I Pour les intérêts on a I = C (1 + r)T − C = C (1 + r)T − 1
I Comme r est associé à une capitalisation, on parle de taux actuariel
58
La finance en avenir certain
Rappels sur les taux
EXEMPLE : INTÉRÊTS COMPOSÉS
Soit un capital de 1000e capitalisés au taux de 7% annuel
I Au terme 10,25ans quelle flux produisent-ils ?
59
La finance en avenir certain
Rappels sur les taux
EXEMPLE : INTÉRÊTS COMPOSÉS
Soit un capital de 1000e capitalisés au taux de 7% annuel
I Au terme 10,25ans quelle flux produisent-ils ?
I 1000 × (1.07)10.25 = 2000, 71
I Quel montant d’intérêt I produisent-ils ?
59
La finance en avenir certain
Rappels sur les taux
EXEMPLE : INTÉRÊTS COMPOSÉS
Soit un capital de 1000e capitalisés au taux de 7% annuel
I Au terme 10,25ans quelle flux produisent-ils ?
I 1000 × (1.07)10.25 = 2000, 71
I Quel montant d’intérêt I produisent-ils ?
I 1000, 71
I Capitalisé trimestriellement sur la même durée, combien obtient-on
pour I ?
59
La finance en avenir certain
Rappels sur les taux
EXEMPLE : INTÉRÊTS COMPOSÉS
Soit un capital de 1000e capitalisés au taux de 7% annuel
I Au terme 10,25ans quelle flux produisent-ils ?
I 1000 × (1.07)10.25 = 2000, 71
I Quel montant d’intérêt I produisent-ils ?
I 1000, 71
I Capitalisé trimestriellement sur la même durée, combien obtient-on
pour I ?
I Le taux est alors 7/4% = 1.75 par trimestre sur 41 trimestres et
produit I = 1036.63
I Comment expliquer ce résultat ?
59
La finance en avenir certain
Rappels sur les taux
EXEMPLE : INTÉRÊTS COMPOSÉS
Soit un capital de 1000e capitalisés au taux de 7% annuel
I Au terme 10,25ans quelle flux produisent-ils ?
I 1000 × (1.07)10.25 = 2000, 71
I Quel montant d’intérêt I produisent-ils ?
I 1000, 71
I Capitalisé trimestriellement sur la même durée, combien obtient-on
pour I ?
I Le taux est alors 7/4% = 1.75 par trimestre sur 41 trimestres et
produit I = 1036.63
I Comment expliquer ce résultat ?
I Contrairement aux intérêts simples, le fait que le taux soit annuel ou
trimestriel modifie les flux de trésorerie et donc le montant des
intérêts
59
La finance en avenir certain
Rappels sur les taux
VALEUR ACQUISE ET VALEUR PRÉSENTE
I La valeur acquise ou valeur future (VF) est le montant final
(C + I ) récupéré par le prêteur à échéance
I Si r est proportionnel : F = C (1 + rT )
I Si r est actuariel : F = C (1 + r)T
I Inversement, la valeur présente ou valeur actuelle (VA) est
donnée par
I Si r est proportionnel :
C=
I Si r est actuariel :
C=
F
1 + rT
F
(1 + r)T
60
La finance en avenir certain
Rappels sur les taux
VALEUR ACQUISE ET VALEUR PRÉSENTE
VA : L’actualistation va convertir une valeur future en une valeur
d’aujourd’hui
VF : La capitalisation va projeter une valeur d’aujourd’hui en valeurs
futures
Capitalisation
F0
Fn
Actualisation
t
61
La finance en avenir certain
Rappels sur les taux
TAUX DE RENDEMENT
I Le taux de rendement peut être déduit des valeurs acquise et
présente
I Si r est proportionnel :
rp =
I Si r est actuariel :
ra =
F −C
C ×T
F
C
1/T
−1
I Nous verrons par la suite que ra est un taux de rentabilité interne
62
La finance en avenir certain
Rappels sur les taux
MODALITÉ DE PAIEMENTS : POST-COMPTÉS
Les intérêts peuvent être payés en fin ou en début de période
I Dans le premier cas on parle de taux post-compté
I Exemple : soit un emprunt à intérêts post-comptés sur 60 jours avec
I C = 1000e
I un taux annuel proportionnel base 360 de r = 3.5%
⇒ le flux final est alors de ?
63
La finance en avenir certain
Rappels sur les taux
MODALITÉ DE PAIEMENTS : POST-COMPTÉS
Les intérêts peuvent être payés en fin ou en début de période
I Dans le premier cas on parle de taux post-compté
I Exemple : soit un emprunt à intérêts post-comptés sur 60 jours avec
I C = 1000e
I un taux annuel proportionnel base 360 de r = 3.5%
⇒ le flux final est alors de ?
−1000(1 + 3.5% ×
60
) = −1005.83
360
C(1 + Tr)
0
T
-C
Prêteur
t
63
La finance en avenir certain
Rappels sur les taux
MODALITÉ DE PAIEMENTS : PRÉCOMPTÉS
I Dans le deuxième cas on parle de taux précompté
⇒ Le flux initiale est d’un montant égal à C diminué des intérêts I
I Il faut donc calculer le montant des intérêts I
I Méthode du taux d'escompte : on applique le taux r prorata temporis
et on a donc F = C − rCT = C (1 − rT )
I Méthode du taux in fine : les intérêts sont réduits pour compenser le
fait qu’ils sont payés d’avance
⇒ On considère F = C /(1 + rT ) et on a donc
I = C − C /(1 + rT ) = CrT /(1 + rT )
C
0
T
-F = -(C-I)
Prêteur
t
64
La finance en avenir certain
Rappels sur les taux
MODALITÉ DE PAIEMENTS : PRÉCOMPTÉS
I Exemple 1 : soit un emprunt à intérêts post-comptés sur 60 jours
I C = 1000
I un taux d'escompte annuel r = 3.5% sur une base 360
⇒ Le montant des intérêts est donc de
65
La finance en avenir certain
Rappels sur les taux
MODALITÉ DE PAIEMENTS : PRÉCOMPTÉS
I Exemple 1 : soit un emprunt à intérêts post-comptés sur 60 jours
I C = 1000
I un taux d'escompte annuel r = 3.5% sur une base 360
⇒ Le montant des intérêts est donc de
⇒ I = 1000 × 3.5% × 60/360 = 5.83
⇒ Le flux initial est alors de
65
La finance en avenir certain
Rappels sur les taux
MODALITÉ DE PAIEMENTS : PRÉCOMPTÉS
I Exemple 1 : soit un emprunt à intérêts post-comptés sur 60 jours
I C = 1000
I un taux d'escompte annuel r = 3.5% sur une base 360
⇒ Le montant des intérêts est donc de
⇒ I = 1000 × 3.5% × 60/360 = 5.83
⇒ Le flux initial est alors de
⇒ F = −(1000 − 5.83) = −994.17
I Exemple 2 : soit un emprunt à intérêts post-comptés sur 60 jours
I C = 1000
I un taux in fine annuel r = 3.5% sur une base 360
⇒ Le montant des intérêts est donc de
65
La finance en avenir certain
Rappels sur les taux
MODALITÉ DE PAIEMENTS : PRÉCOMPTÉS
I Exemple 1 : soit un emprunt à intérêts post-comptés sur 60 jours
I C = 1000
I un taux d'escompte annuel r = 3.5% sur une base 360
⇒ Le montant des intérêts est donc de
⇒ I = 1000 × 3.5% × 60/360 = 5.83
⇒ Le flux initial est alors de
⇒ F = −(1000 − 5.83) = −994.17
I Exemple 2 : soit un emprunt à intérêts post-comptés sur 60 jours
I C = 1000
I un taux in fine annuel r = 3.5% sur une base 360
⇒ Le montant des intérêts est donc de
I =
1000 × 3.5% × 60/360
= 5.80
1 + 3.5% × 60/360
⇒ Le flux initial est alors de F = −(1000 − 5.80) = −994.20
⇒ légèrement plus favorable à l’emprunteur car taux in fine
65
La finance en avenir certain
Rappels sur les taux
LES TAUX DANS LA PRATIQUE
Durée
Type d’opération
Base de calcul intérêts
Base de calcul durée
Opérations bancaires
Simples avec taux
d’escompte ou in fine
exact/exact ou exact/360
Court terme:
T < 1 an
Opérations de marché Simples avec taux
in fine
Moyen et long
terme: T > 1 an
Toutes opérations
Composés i.e.
taux actuariel
exact/360
exact/exact ou exact/365
ou 30/360
66
La finance en avenir certain
Rappels sur les taux
FRÉQUENCES DES VERSEMENTS
I Jusqu’à présent, on a supposé r annuel et un flux terminal
⇒ Dans la pratique, les fréquences de versements sont diverses
I Avec une taux annuel de 6%, 1e donne 1,06e en 1 an
I Voici l’évolution d’1e capitalisé mensuellement à 6%
t=0
1/12
2/12
3/12
4/12
5/12
6/12
7/12
8/12
9/12
10/12
11/12
1 an
1€
1.005
1.010
1.015
1.020
1.025
1.030
1.036
1.040
1.046
1.051
1.056
1.062
I Comment comparer 2 taux avec des fréquences différentes ?
⇒ Formule d’équivalence pour ramener tout à une fréquence annuelle
I On cherche donc quel taux annuel donnerait 1,062e au bout d’1 an
⇒ 1 + req = 1.062 ⇒ req = 0.062 = 6.2%
67
La finance en avenir certain
Rappels sur les taux
FORMULE DU TAUX ÉQUIVALENT
I Pour n versements par an, le calcul du taux équivalent est ainsi
donné
r n
req = 1 +
−1
n
I Exemple : est-ce plus intéressant de placer 1e au taux de 8%
mensuel ou au taux de 8.1% semestriel ?
68
La finance en avenir certain
Rappels sur les taux
FORMULE DU TAUX ÉQUIVALENT
I Pour n versements par an, le calcul du taux équivalent est ainsi
donné
r n
req = 1 +
−1
n
I Exemple : est-ce plus intéressant de placer 1e au taux de 8%
mensuel ou au taux de 8.1% semestriel ?
⇒ Pour la capitalisation mensuelle on obtient
0.08 12
req = 1 +
− 1 = 0.0830 = 8.3%
12
⇒ Pour la capitalisation semestrielle on obtient
0.081 2
req = 1 +
− 1 = 0.0826 = 8.26%
2
68
La finance en avenir certain
Rappels sur les taux
COMPORTEMENT DU TAUX ÉQUIVALENT
I Pour un taux donné (e.g. 6%) on voit que req augmente avec la
fréquence
Fréquence
n
Annuelle
1
Taux équivalent
6.00000%
Semestrielle
2
6.09000%
Trimestrielle
4
6.13614%
Mensuelle
12
6.16778%
Hebdomadaire
52
6.17998%
Quotidienne
365
6.18313%
I Comment se comporte req quand la fréquence tend vers ∞ ?
⇒ Il faut étudier la limite de la formule
r n
lim 1 +
−1
n→∞
n
69
La finance en avenir certain
Rappels sur les taux
TAUX ÉQUIVALENT ET CONVERGENCE
I Simplifions la formule en passant par l’exponentiel du log
r
r
r n
1+
− 1 = en ln(1+ n ) − eln(1) = en ln(1+ n ) − 1
n
I Or, ln(1 + x) ≈ x + o(x) avec o(x) les termes tendant vers 0 plus vite
que x dans le développement limité (DL) de ln(1 + x) autour de 0
x (1)
⇒ DL autour 0 : f (x) = f (0) + 1!
f (0) +
⇒ Pour ln(1 + x) on a effectivement :
x 2 (2)
(0)
2! f
+ ··· +
x n (n)
(0)
n! f
70
La finance en avenir certain
Rappels sur les taux
TAUX ÉQUIVALENT ET CONVERGENCE
I Simplifions la formule en passant par l’exponentiel du log
r
r
r n
1+
− 1 = en ln(1+ n ) − eln(1) = en ln(1+ n ) − 1
n
I Or, ln(1 + x) ≈ x + o(x) avec o(x) les termes tendant vers 0 plus vite
que x dans le développement limité (DL) de ln(1 + x) autour de 0
x (1)
⇒ DL autour 0 : f (x) = f (0) + 1!
f (0) +
⇒ Pour ln(1 + x) on a effectivement :
ln(1 + x) = 0 + x −
x 2 (2)
(0)
2! f
+ ··· +
x n (n)
(0)
n! f
x2
+ · · · + o(x)
2
I Il s’en suit que
r
(1 + r/n)n − 1 = en ln(1+ n ) − 1 = en
r
+o(n −1 )
n
− 1 = er+no(n
−1 )
−1
I La limite est alors simple à calculer :
lim er+no(n
n→∞
−1 )
= er − 1
⇒ Dans notre exemple on obtient alors req = e6% − 1 = 6.18365%
70
La finance en avenir certain
Rappels sur les taux
TAUX ÉQUIVALENT ET TEMPS CONTINU
I Supposons que la fréquence des versements tend vers ∞
I Cela revient à dire que la capitalisation opère en continu
⇒ On parle alors de capitalisation en temps continu
I Exemple : On place X euros sur 1 an au taux continu rc on aura
I (1 + req )X = erc X dans 1 an
I Exemple : On place X euros sur T années au taux continu rc on aura
I (1 + req )T X = erc ×T X dans 1 an
I De ce raisonnement on peut déduire la valeur future (VF) et la valeur
actuelle (VA)
F = Cerc ×T , C = Fe−rc ×T
71
La finance en avenir certain
Rappels sur les taux
TAUX CONTINUS
I Dans cette troisième base de calcul les intérêts sont alors calculés
pour tout intervalle (t, t + dt)
I Ces intérêts sont proportionnels
I au taux r
I à la valeur V (t) acquise en t
I à la durée dt
I Ils sont ajoutés à la valeur acquise qui augmente donc de
dV = rV (t)dt
I Il s’agit donc d’une équation différentielle dont la solution est
V (t) = V (0)ert = Cert
72
La finance en avenir certain
Rappels sur les taux
TAUX CONTINUS
I Cette équation différentielle traduit le fait que V (t) croît
exponentiellement au taux
1 dV
=r
V dt
I Pour un capital C placé entre 0 et T , la capitalisation en continu se
traduit par
I un flux final de F = CerT
⇒ une séquence de flux {−C , CerT }
I Dans la pratique, les taux continus ne servent pas
I Ils sont néanmoins très utilisés en théorie pour les avantages
mathématiques qu’ils apportent
73
La finance en avenir certain
Rappels sur les taux
FORMULES D'ÉQUIVALENCE
I Comment comparer deux taux avec des bases différentes ?
I Notations
I
I
I
I
I
taux continu (exact) : rc
taux actuariel : ra
taux proportionnel (in fine - exact) : rp1
taux proportionnel (in fine - 360) : rp2
taux précompté exact : re
I Pour une durée T donnée, les taux sont équivalent si
erc ×T = (1 + ra )T = 1 + rp1 T = 1 + rp2 T
Na
1
=
360
1 − re T
avec T = Nj/Na
74
La finance en avenir certain
Un peu de mathématiques financières
PLAN
4.1 Les variables aléatoires
1. Généralités
2. Introduction
2.1 Quelques définitions
2.2 L’intermédiation financière
2.3 Le système financier
5. La finance en avenir incertain
5.1 L’utilité espérée
5.2 Les fonctions d’utilité
5.3 L’utilité de Markowitz
5.4 La théorie du portefeuille
2.4 Un peu de théorie financière
6. Statistique, probabilité et économétrie
2.5 Agents et comportements
6.1 Variables aléatoires et convergence
3. La finance en avenir certain
6.2 Le Théorème Central Limite
3.1 Rappels sur les taux
6.3 La notion d’estimateur
3.2 Un peu de mathématiques financières
6.4 L’estimation des modèles linéaires
4. Rappels statistiques
7. Conclusion
75
La finance en avenir certain
Un peu de mathématiques financières
OPÉRATIONS MULTI-FLUX
I Soit une opération générant n flux F0 , Ft1 , Ft2 , · · · , Ftn
I Le nombre de flux est quelconques
I Ces flux peuvent intervenir à des instants quelconques
I Les flux ne sont pas forcément équidistants
I En ce plaçant du point de vue de l’investisseur
I le premier flux F0 sera toujours négatif...
I ... suivi de flux positifs F = Ft1 , Ft2 , · · · , Ftn
I L’opposé doit être considéré du point de vue de l’emprunteur
76
La finance en avenir certain
Un peu de mathématiques financières
ACTUALISATION
I On se place ici dans le cadre d’intérêts actualisés au taux r
I On cherche la VA d’une séquence de n flux à partir de l’instant
courant noté t = 0
I En étendant les résultats obtenus pour un flux unique on obtient
VAN (r) = F0 +
= F0 +
Ft1
Ft2
Ftn
+
+ ··· +
t
t
1
2
(1 + r)
(1 + r)
(1 + r)tn
n
X
Ft
i
i=1
(1 + r)ti
I Cette formule est également appelée valeur actuelle nette (VAN)
I nette car on défalque la mise de fonds initiale F0 < 0
I Si tous les flux sont identiques et équidistants on obtient
VAN (r) = F0 +
n
X
t=1
n
X
F
1
=
F
+
F
×
0
t
(1 + r)
(1 + r)t
t=1
77
La finance en avenir certain
Un peu de mathématiques financières
ACTUALISATION ET CAPITALISATION
I L’actualistation va convertir une valeur future en une valeur
d’aujourd’hui
I La capitalisation va projeter une valeur d’aujourd’hui en valeurs
futures
Capitalisation
x (1+r) n
F0
Fn
x
t
1
(1+r) n
Actualisation
78
La finance en avenir certain
Un peu de mathématiques financières
ACTUALISATION : ASYMPTOTIQUE
I L’étude des limites de VAN (r) est intéressante :
lim VAN (r) = +∞,
lim VAN (r) = F0 < 0
r→+∞
r→−1
I Remarquons graphiquement que la VAN s’annule pour une unique
valeur de r notée r ∗
VAN
VAN
Investissement
Emprunt
F0
-1
r*
-1
r*
r
r
F0
79
La finance en avenir certain
Un peu de mathématiques financières
ACTUALISATION : DÉVELOPPEMENT
I Dans le cas de flux identiques et équidistants, la formule se simplifie
I il s’agit d’un suite géométrique de raison 1/(1 + r) et qui nous donne
VAN (r) = F0 + F ×
n
X
t=1
1
1 − (1 + r)−n
=
F
+
F
×
0
(1 + r)t
r
I Proof : soit une suite géométrique de raison q et de premier terme a
I La somme des n premiers termes nous donne
Sn = a + aq + aq 2 + · · · + aq n−1
qSn = aq + aq 2 + aq 3 + · · · + aq n
I En soustrayant qSn à Sn il vient
Sn (1 − q) = a − aq n ⇒ Sn = a
1 − qn
1−q
I L’application de ce raisonnement à VAN (r) nous donne le résultat
80
La finance en avenir certain
Un peu de mathématiques financières
ACTUALISATION : EXEMPLE
I Soit un investissement de 1200e au taux r = 10%
I Les annuités sont de 360e pendant 10 ans
I La valeur présente des flux futurs est donnée par
81
La finance en avenir certain
Un peu de mathématiques financières
ACTUALISATION : EXEMPLE
I Soit un investissement de 1200e au taux r = 10%
I Les annuités sont de 360e pendant 10 ans
I La valeur présente des flux futurs est donnée par
VA(r) = F
10
X
t=1
1
1 − (1.1)−10
=
F
×
= F × 6.14457
(1.1)t
0.1
I La VAN est donc donnée par
81
La finance en avenir certain
Un peu de mathématiques financières
ACTUALISATION : EXEMPLE
I Soit un investissement de 1200e au taux r = 10%
I Les annuités sont de 360e pendant 10 ans
I La valeur présente des flux futurs est donnée par
VA(r) = F
10
X
t=1
1
1 − (1.1)−10
=
F
×
= F × 6.14457
(1.1)t
0.1
I La VAN est donc donnée par
VAN (r) = F0 + 360
n
X
t=1
1
= −1200 + 360 × 6.14457 = 1012.05
(1 + r)t
I Cela signifie que le gain net dégagé par l’investissement de 1200e
aujourd’hui est de 1012.05e
81
La finance en avenir certain
Un peu de mathématiques financières
ACTUALISATION : TEMPS CONTINU
I On a vu le calcul d’intérêt capitalisés sur la base d’un taux continu
I Pour un intervalle (t, t + dt)
I le flux est donnée par F (t)dt
I la valeur présente du flux est e−rT F (t)dt
I On en déduit alors la valeur présente pour toute la séquence, i.e. sur
(0, T )
Z T
VA(r) =
F(t)e−rt dt
0
82
La finance en avenir certain
Un peu de mathématiques financières
ACTUALISATION : EXEMPLE
I Soit un investissement engendrant un flux continu de 10e par unité
de temps sur 5 ans, actualisé au taux annuel de 10%
I D’après les formules d’équivalence, rc = ln(1 + ra ) = 9.53%
I En effet : erc T = (1 + ra )T ⇒ ln(erc T ) = T ln(1 + ra )
I D’après la formule d’actualisation en temps continu on a alors
83
La finance en avenir certain
Un peu de mathématiques financières
ACTUALISATION : EXEMPLE
I Soit un investissement engendrant un flux continu de 10e par unité
de temps sur 5 ans, actualisé au taux annuel de 10%
I D’après les formules d’équivalence, rc = ln(1 + ra ) = 9.53%
I En effet : erc T = (1 + ra )T ⇒ ln(erc T ) = T ln(1 + ra )
I D’après la formule d’actualisation en temps continu on a alors
VA(r) = 10
Z
5
e−0.0953t dt
0
5
1
−0.0953t
= 10 × −
e
0.0953
0
10
−0.0953×5
=
(1 − e
) = 39.77
0.0953
83
La finance en avenir certain
Un peu de mathématiques financières
TAUX ACTUARIEL : PRINCIPE
Dans le cadre d’une opération à deux flux :
I Nous avons introduit le taux de rentabilité interne (TRI) comme le
taux, pour un capital placé C , qui donne un flux terminal F en T
I Plus formellement il s’agit du taux r ∗ tel que F = C (1 + r ∗ )T ou
encore
F
−C +
=0
(1 + r ∗ )T
I r ∗ est également appelé taux de rentabilité actuariel (TRA) : taux
qui annule la valeur présente nette de l’échéancier
Dans le cadre d’une opération à n flux il s’agit du taux r ∗ définit tel que
VAN (r ∗ ) = F0 +
n
X
i=1
Fti
= 0, F0 < 0
(1 + r ∗ )ti
84
La finance en avenir certain
Un peu de mathématiques financières
TAUX ACTUARIEL : CALCUL
Ici F0 et F sont de même signe d’où le signe − devant F0
I Dans le cas général de flux divers et irréguliers, l’équation du TRA n’a
généralement pas de solution analytique
⇒ solution numérique
I Dans le cas d’une séquence à flux constant {−F0 , F , · · · , F }
−F0 +
n
X
t=1
F
1 − (1 + r ∗ )−n
F0
=
0
⇒
=
, F0 > 0
∗
t
∗
(1 + r )
r
F
I la valeur exacte de r ∗ peut être calculée
I Dans le cas d’une séquence à deux flux {−F0 , F}
−F0 +
F
F − F0
= 0 ⇒ r∗ =
∗
(1 + r )
F0
85
La finance en avenir certain
Un peu de mathématiques financières
TAUX ACTUARIEL : CALCUL
Ici F0 et F sont de même signe d’où le signe − devant F0
I Dans le cas d’une séquence infinie {−F0 , F, · · · , F + F0 }
0 = −F0 + F
n−1
X
i=1
1
F + F0
+
(1 + r ∗ )ti
(1 + r ∗ )n
n
X
1
F0
+
(1 + r ∗ )ti
(1 + r ∗ )n
i=1
1 − (1 + r ∗ )n
∗ −n
= −F0 1 − (1 + r )
+F
r∗
F
F
= −F0 + ∗ ⇒ r ∗ =
r
F0
= −F0 + F
86
La finance en avenir certain
Un peu de mathématiques financières
CHOIX D'INVESTISSEMENT : LA VAN
I La VAN est un critère de choix pour un investissement
VAN (r) = F0 +
n
X
i=1
Fti
=0
(1 + r)ti
I la VAN représente l’accroissement net de la valeur induite par
l’investissement
I On peut alors déduire deux règles constituant le critère de la VAN
1 un investissement ne doit être retenu que si sa VAN est positive
2 entre plusieurs investissement on doit retenir celui dont la VAN est la
plus grande
I Les graphiques du slide “actualisation asymptotique” montrent la
positivité et la négativité de la VAN en fonction de r
87
La finance en avenir certain
Un peu de mathématiques financières
CHOIX D'INVESTISSEMENT : LE TRI
I Le TRI représente également un critère
I l’investissement doit être accepté ssi le TRI qu’il génère est supérieur
au taux de rendement r exigé par l’investisseur
⇒ à l’équilibre, le TRI est identique au taux de rentabilité exigé
⇒ VAN = 0
VAN
r*
r
TRI
88
La finance en avenir certain
Un peu de mathématiques financières
LES LIMITES DU TRI
I Si les investissements sont mutuellement exclusifs, le TRI n’est pas
pertinent
I le TRI nous dit de choisir B
I pourtant B n’est préférable à A que pour r > rc
⇒ impossible de conclure juste avec le TRI et sans la VAN
I Le TRI est pourtant très utilisé car pas de choix à faire pour r
VAN
rc
B
TRI A
r
A
TRIB
89
La finance en avenir certain
Un peu de mathématiques financières
INFLATION ET TAUX RÉELS
I Jusqu’ici, le taux r était implicitement nominal (e courant)
I Mais dans un contexte inflationniste, qu’en est-il ?
I Soit une chronique de flux donnée par
F0 +
F1
F2
Fn
+
+ ··· +
2
1+r
(1 + r)
(1 + r)n
I Soit un taux d’inflation π et son impact sur les flux en e courant :
I F1 e dans une période auront le même pouvoir d’achat que
f1 = F1 (1 + π)−1 aujourd’hui
I ...
I Fn e dans une période auront le même pouvoir d’achat que
fn = Fn (1 + π)−n aujourd’hui
⇒ Ces flux successif représente des séquences en e constants
90
La finance en avenir certain
Un peu de mathématiques financières
INFLATION ET TAUX RÉELS
I On peut utiliser ces séquences pour ajuster la chronique de flux de la
dépréciation monétaire
I Soit un investissement de 1e sur une période accordé au taux
nominal r
⇒ On a donc la chronique suivante : (−1, 1 + r)
I Ajusté en termes réels on obtient :
1+r
−1,
1+π
I La rentabilité réelle de l’investissement est donc donnée par le TRI
de la séquence réelle :
1+r
k=
−1
1+π
91
La finance en avenir certain
Un peu de mathématiques financières
INFLATION ET TAUX RÉELS
I Pour de faibles valeurs de π, on trouve parfois l’approximation
k = r − π avec k le taux d’intérêt réel de l’investissement
I Exemple :
I Une entreprise emprunte X e en t = 1 et rembourse (1 + r)X en t = 2
I Les prix en t = 1 sont P1 et les prix en t = 2 sont P2
I En terme réel :
I le prêteur consent un prêt de X/P1 en t = 1
I le prêteur recevra un X/P2 en t = 2
⇒ Le taux de rendement réel est
(1 + r)X /P1
P1
k=
− 1 = (1 + r)
−1
X /P2
P2
or, P2 /P1 correspond à (1 + π) ce qui conduit à
1+r
1+k =
1+π
92
La finance en avenir certain
Un peu de mathématiques financières
ACTUALISATION ET INFLATION
I Soit un chronique de flux nominaux dont la VP(r) est
F1
F2
Fn
VP = F0 +
+
+ ··· +
2
1+r
(1 + r)
(1 + r)n
I De manière équivalente on peut écrire
F1 /(1 + π)
Fn /(1 + π)n
VP = F0 +
+ ··· +
(1 + r)/(1 + π)
(1 + r)n /(1 + π)n
I On voit alors apparaître f1 , f2 , · · · , fn
f1
fn
VP = F0 +
+ ··· +
n
(1 + r)/(1 + π)
(1 + r) /(1 + π)n
I On voit également que le taux réel apparaît
f1
fn
VP = F0 +
+ ··· +
1+k
(1 + k)n
⇒ La VP de F1 , F2 , · · · , Fn actualisée au taux r est également la VP
de f1 , f2 , · · · , fn actualisée au taux k
93
RAPPELS STATISTIQUES
Rappels statistiques
Les variables aléatoires
PLAN
4.1 Les variables aléatoires
1. Généralités
2. Introduction
2.1 Quelques définitions
2.2 L’intermédiation financière
2.3 Le système financier
5. La finance en avenir incertain
5.1 L’utilité espérée
5.2 Les fonctions d’utilité
5.3 L’utilité de Markowitz
5.4 La théorie du portefeuille
2.4 Un peu de théorie financière
6. Statistique, probabilité et économétrie
2.5 Agents et comportements
6.1 Variables aléatoires et convergence
3. La finance en avenir certain
6.2 Le Théorème Central Limite
3.1 Rappels sur les taux
6.3 La notion d’estimateur
3.2 Un peu de mathématiques financières
6.4 L’estimation des modèles linéaires
4. Rappels statistiques
7. Conclusion
95
Rappels statistiques
Les variables aléatoires
VARIABLES STATISTIQUES
I La statistique descriptive s’intéresse à l’étude des populations
I Une population est une ensemble d’unités statistiques
I On travaille souvent sur un échantillon de cette population
I On classe également souvent la population en sous-ensembles
I On parle alors de caractères ou variables statistiques
I Les valeurs possibles prises par ces variables sont des modalités
I On notera xi = x1 , x2 , . . . , xn une variable statistique
I On notera ci = c1 , c2 , . . . , cn les effectifs associés à chaque
modalité
n
X
ci = N
i=1
avec N la taille de la population
96
Rappels statistiques
Les variables aléatoires
LES MOYENNES
I Soit une variable statistique xi = x1 , x2 , . . . , xn
I Si ci = 1 ∀i, on a que n = N
I Moyenne arithmétique de la population :
x̄ =
n
1
1X
(x1 + x2 + . . . + xn ) =
xi
n
n
i=1
I Moyenne arithmétique pondérée de la population :
n
1
1 X
x̄ = (c1 x1 + c2 x2 + . . . + cn xn ) =
ci xi
N
N
i=1
97
Rappels statistiques
Les variables aléatoires
MESURES DE DISPERSION : LA VARIANCE ET L'ÉCART-TYPE
I La variance : de combien en moyenne on s’écarte de la moyenne
V (x) = σ 2 =
=
=
n
n
1 X
1 X
ci (xi − x̄)2 =
ci xi2 − 2xi x̄ + x̄ 2
N i=1
N i=1
n
n
n
1 X
1 X
1 X
ci xi2 − 2x̄
ci xi + x̄ 2
ci
N i=1
N i=1
N i=1
n
n
1 X
1 X
ci xi2 − 2x̄x̄ + x̄ 2 =
ci xi2 − x̄ 2
N i=1
N i=1
I L’écart type :
σ=
n
1 X
ci (xi − x̄)2
N
!1/2
i=1
I Si on travaille sur un échantillon et non la population entière, on
remplacera n −1 par n(n − 1)−1 pour le calcul de σ 2 et σ
98
Rappels statistiques
Les variables aléatoires
MOMENTS EMPIRIQUES
I Le moment empirique d’ordre r et d’origine α est donné par :
n
1 X
Mr =
ci (xi − α)r
N
i=1
I Le moment empirique ordinaires d’ordre r est donné par :
n
1 X r
mr =
ci xi
N
i=1
I Le moment empirique centré d’ordre r est donné par :
µr =
n
1 X
ci (xi − x̄)r
N
i=1
99
Rappels statistiques
Les variables aléatoires
MOMENTS ET DISTRIBUTION
I Les moments empiriques caractérisent l’allure d’une distribution
I Les moments centrés d’ordre 1 et 2 sont donc
I µ1 = m1 − m1 = 0
I µ2 = m2 − m12 = σ 2
I Le 3ème moment centré est le skewness :
µ3 = m3 + 2m33 − 3m1 m2
I Le skewness détermine l’asymétrie de la distribution
I Le 4ème moment centré est le kurtosis :
µ4 = m4 − 4m1 m3 + 6m12 m2 − 3m14
I Le kurtosis détermine l’aplatissement de la distribution
100
Rappels statistiques
Les variables aléatoires
MOMENTS ET DISTRIBUTION : ILLUSTRATION
Densité
Leptokurtique
Asymétrie négative
Asymétrie positive
Platikurtique
Mésokurtique
101
Rappels statistiques
Les variables aléatoires
COVARIANCE ET CORRÉLATION
I Soit deux variables xi = x1 , x2 , . . . , xr et yj = yj , yj , . . . , ys
I La covariance empirique entre xi et yj , est donnée par
cov(x, y) =
r
s
1 XX
cij (xi − x̄)(yj − ȳ)
c··
i=1 j=1
avec c·· le nombre d’observations ayant à la fois les modalités xi et yj
I La coefficient de corrélation de Pearson permet d’évaluer le degré de
dépendance linéaire entre deux variables
ρ(x, y) =
cov(x, y)
σ(x)σ(y)
I Il est borné entre −1 (dépendance négative parfaite) et +1
(dépendance positive parfaite)
I Un coefficient de zéro caractérise l’indépendance
102
Rappels statistiques
Les variables aléatoires
VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES
I Soit un espace probabilisé (Ω, F, Pr)
I Ω représente l’ensemble dénombrable des éventualités
I F représente les événements
I Pr représente une loi de probabilité
I Pr(A) donne la probabilité de l’événement A
I Une variable aléatoire discrète est une fonction application
X : Ω → X (Ω), avec X (Ω) un espace mesurable, telle que
Pr(X = xi ) = Pr ({ω ∈ Ω; X (ω) = xi })
I Pour X (Ω) ⊆ R, X est une variable aléatoire réelle
I Une série temporelle est une suite de variables aléatoires indexées
par le temps : {Xt }n1 , t ∈ N
I Pour alléger la notation on notera {Xt }n1 simplement Xt
I Si les éléments de xt ont tous la même loi de probabilité et sont
indépendants on parle de variable i. i. d.
103
Rappels statistiques
Les variables aléatoires
LOI D'UNE VARIABLE ALÉATOIRE DISCRÈTE
I Une variable aléatoire discrète est caractérisée par sa loi de
probabilité
I Il s’agit de l’application Pr(X = xi ) définie pour toutes les
réalisations xi ∈ X (Ω) avec
X
Pr(X = xi ) = 1
xi ∈X(Ω)
I A une loi de probabilité, on peut associer une fonction de masse
définie comme
fX (xi ) = Pr(X = xi ), ∀xi ∈ X (Ω)
I A une loi de probabilité, on peut également associer une fonction de
répartition définie comme
X
FX (x) = Pr(X ≤ x) =
Pr(X = xi ), ∀x ∈ R
xi ∈X(Ω), xi ≤x
104
Rappels statistiques
Les variables aléatoires
EXEMPLE DE LA LOI BINOMIALE
I La fonction de masse de la loi binomiale est donnée par
n xi
n
n!
n−xi
Pr(X = xi ) =
p (1 − p)
, ∀xi ∈ R+ ,
=
xi
x
x!(n − x)!
⇒ probabilité d’obtenir k “succès” après de n épreuves de Bernouilli
Fonction de répartition
0.15
p=0.5 and n=20
p=0.7 and n=20
p=0.5 and n=40
0.6
0.4
0.0
0.00
0.2
0.05
0.10
0.20
p=0.5 and n=20
p=0.7 and n=20
p=0.5 and n=40
0.8
0.25
1.0
Fonction de masse
0
10
20
30
40
0
10
20
30
40
I Planche de Galton : convergence d’une loi binomiale vers une loi
normale
105
Rappels statistiques
Les variables aléatoires
LES MOMENTS D'UNE VARIABLE DISCRÈTE
I On peut dériver les moments théoriques de loi de probabilité X
I Le moment ordinaire d’ordre k de X est donné par :
Z ∞
k
mk = E(X ) =
x k dFX (x)
−∞
I Le moment centré d’ordre k de x est donné par :
Z ∞
k k
µk = E X − E(X )
=
x − E(X ) dFX (x)
−∞
I Le moment d’ordre 2 (la variance) sera également noté V(X )
I Pour les moments centrés de X (Ω) = X1 , X2 , . . . , Xn on obtient
µk =
n
X
k
xi − E(X ) Pr(X = xi )
i=1
106
Rappels statistiques
Les variables aléatoires
LA GÉNÉRATRICE DE MOMENTS
I Les moments peuvent se calculer à partir d’une loi de distribution
grâce à la fonction génératrice des moments
I Pour une fonction de répartition FX (x) d’une variable discrète X , on a
Z ∞
n
X
MX (t) =
etx dFX (x) =
etxi Pr(X = xi )
−∞
i=1
I ... dont le développement en série donne
Z t2x 2
MX (t) =
1 + tx +
+ . . . dFX (x)
2!
R
I ... ce qui permet d’écrire
MX (t) = 1 + tm1 +
X
t 2 m2
tk
+ ... =
mk
2!
k!
∞
k=0
I La dérivée kème par rapport à t autour de 0 donne le moment d’ordre k
∂ k MX (t) mk =
∂t k
t=0
107
Rappels statistiques
Les variables aléatoires
VARIABLES ALÉATOIRES CONTINUES
I Soi un espace probabilisé (Ω, F, Pr)
I Ω représente l’ensemble non dénombrable des éventualités
I F représente les événements
I Pr représente une loi de probabilité
I Pr(A) donne la probabilité de l’événement A
I Une variable aléatoire continue est une fonction application
X : Ω → X (Ω), telle que pour tout intervalle I ∈ X (Ω),
Pr(X ∈ I ) = Pr ({ω ∈ Ω; X (ω) ∈ I })
108
Rappels statistiques
Les variables aléatoires
LOI D'UNE VARIABLE ALÉATOIRE CONTINUE
I Une variable continue se différencie d’une variable discrète
I En effet, la continuité implique que pour une réalisation particulière x
Pr(X = x) = 0, ∀x ∈ X (Ω)
I A la loi de probabilité de X on associe alors une fonction de densité
I Pour une variable réelle, i.e. X (Ω) ⊆ R, la fonction de densité fX (x)
de la loi de probabilité de X existe si :
I
I
I
I
fX (x) est définie sur le support X (Ω)
fX (x) est positive ou nulle
fX (x) est intégrable
∀(a, b) ∈ X (Ω), fX (x) est telle que
Pr(a ≤ X ≤ b) =
Z
a
b
fX (x)dx
I La fonction de répartition est définie comme
Z x
FX (x) = Pr(X ≤ x) =
fX (u)du, ∀x ∈ R
−∞
109
Rappels statistiques
Les variables aléatoires
EXEMPLE DE LA LOI NORMALE
I La fonction de densité de la loi normale est donnée par
!
1
1 x −µ 2
fX (x) = √ exp −
2
σ
σ 2π
Fonction de densité
1.0
µ= 0,
µ= 0,
µ= 0,
µ= −2,
0.8
1.0
σ2 = 0.2,
σ2 = 1.0,
σ2 = 5.0,
σ2 = 0.5,
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
Fonction de répartition
µ= 0,
µ= 0,
µ= 0,
µ= −2,
σ2 = 0.2,
σ2 = 1.0,
σ2 = 5.0,
σ2 = 0.5,
0.0
0.0
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
110
Rappels statistiques
Les variables aléatoires
LES MOMENTS D'UNE VARIABLE CONTINUE :
I Si xt est une variable aléatoire réelle continue
I Les 2 premiers moments ordinaires de X sont
Z ∞
Z ∞
E(X ) =
XfX (X )dX , V(X ) =
X 2 fX (X )dX
−∞
−∞
I Les moments centrés d’ordre r de la variable x sont ainsi donnés
Z ∞
µr =
(X − E(X ))r fX (X )dX
−∞
! Les moments n’existent pas toujours !
4
111
Rappels statistiques
Les variables aléatoires
DISTRIBUTIONS
I Il existe un très grand nombre de lois de probabilité
I Lois discrètes : Loi binomiale, Loi de Poisson, ...
I Lois continues : Loi du χ2 , Loi normale, Loi de Student, ...
0.25
Loi binomiale
Loi normale
Loi du
1.0
µ= 0,
µ= 0,
µ= 0,
µ= −2,
0.8
σ 2 = 0.2,
σ 2 = 1.0,
σ 2 = 5.0,
σ 2 = 0.5,
0.6
0.10
2
φµ,σ (x)
0.15
0.20
p=0.5 and n=20
p=0.7 and n=20
p=0.5 and n=40
0.4
-3
-2
-1
0.05
0.2
0.00
0.0
0
10
20
30
−5
40
Loi de Poisson
Loi de Student
0.4
0.4
0.35
0.35
0.3
0.3
0.25
0.25
0.2
0.2
0.15
0.15
k=1
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
Distribution de Dirac
1.2
1.0
k=2
k=5
k = 10
k = infinity
0.8
0.6
0.4
0.2
0.1
0.1
0.05
0.05
0
0
0.0
-0.2
-4
-2
0
2
4
-2
-1
0
1
2
112
LA FINANCE EN AVENIR INCERTAIN
La finance en avenir incertain
L’utilité espérée
PLAN
4.1 Les variables aléatoires
1. Généralités
2. Introduction
2.1 Quelques définitions
2.2 L’intermédiation financière
2.3 Le système financier
5. La finance en avenir incertain
5.1 L’utilité espérée
5.2 Les fonctions d’utilité
5.3 L’utilité de Markowitz
5.4 La théorie du portefeuille
2.4 Un peu de théorie financière
6. Statistique, probabilité et économétrie
2.5 Agents et comportements
6.1 Variables aléatoires et convergence
3. La finance en avenir certain
6.2 Le Théorème Central Limite
3.1 Rappels sur les taux
6.3 La notion d’estimateur
3.2 Un peu de mathématiques financières
6.4 L’estimation des modèles linéaires
4. Rappels statistiques
7. Conclusion
114
La finance en avenir incertain
L’utilité espérée
INTRODUCTION À LA THÉORIE DU CHOIX
I Du fait de l’imprévisibilité de la dynamique des actifs, les gains et les
pertes sont incertains
I Un investisseur doit donc faire des choix entre différentes
alternatives menant à des gains ou des pertes aléatoires
⇒ Comment déterminer la décision optimale pour un investisseur ?
I Pour simplifier notre vision de ce problème complexe, considérons
tout cela comme une loterie
I Soit, W̃ les variables aléatoires liées aux gains ou aux pertes
W̃ = (w1 , ..., wn )0
I Soit, P les probabilités associés à ces gains ou pertes
P = (p1 , ..., pn )0
115
La finance en avenir incertain
L’utilité espérée
UN PREMIER CRITÈRE
I Un premier raisonnement (simpliste) consiste à dire que l’attrait pour
cette loterie est uniquement déterminé par son espérance de gain
E(W̃ ) =
n
X
pi wi
i=1
I Avec un tel critère, un individu rationnel devrait toujours choisir la
loterie avec l’espérance de gain la plus élevée
I L’individu devrait même être indifférent entre une somme certaine
égale E(W̃ ) et une loterie dont le gain serait W̃
⇒ le prix pour participer à la loterie que l’individu est prêt à payer est
donc donné par E(W̃ ) = W̃
I Ces conclusions, et surtout ce dernier résultat, sont en fait
insatisfaisant
116
La finance en avenir incertain
L’utilité espérée
CONTRE-EXEMPLE
I Considérons une loterie X̃ donnant :
0
avec une proba de 1/2
X̃ =
20000 avec une proba de 1/2
(1)
I L’espérance de gain de cette loterie est donc :
117
La finance en avenir incertain
L’utilité espérée
CONTRE-EXEMPLE
I Considérons une loterie X̃ donnant :
0
avec une proba de 1/2
X̃ =
20000 avec une proba de 1/2
(1)
I L’espérance de gain de cette loterie est donc :
E(X̃ ) = 0.5 × 0 + 0.5 × 20000 = 10000
I Pourtant, la plupart des individus préfereront une somme certaine
de 10000e à X̃
⇒ l’utilité marginale de l’e supplémentaire décroit
I Pourquoi ? Considérerons que l’agent classe par ordre de priorité ces
projets
I Les premiers 10000e seront affectés au projet le plus utile
I Les prochains 10000e seront affectés à un projet un peu moins utile
⇒ L’utilité de 20000e est inférieur au double de l’utilité de 10000e
117
La finance en avenir incertain
L’utilité espérée
LE PARADOXE DE SAINT-PÉTERSBOURG
I Il s’agit d’un jeu : un dé tiré n fois jusqu’à ce qu’il tombe sur “face”
I La probabilité que n tirages aboutisse à l’évènement “face” est alors
n
1
2
I La loterie donne W̃ = 2n e
⇒ 2e si “face” après un tirage
⇒ 4e si “face” après deux tirages
⇒ ...
I L’espérance de gain est alors :
118
La finance en avenir incertain
L’utilité espérée
LE PARADOXE DE SAINT-PÉTERSBOURG
I Il s’agit d’un jeu : un dé tiré n fois jusqu’à ce qu’il tombe sur “face”
I La probabilité que n tirages aboutisse à l’évènement “face” est alors
n
1
2
I La loterie donne W̃ = 2n e
⇒ 2e si “face” après un tirage
⇒ 4e si “face” après deux tirages
⇒ ...
I L’espérance de gain est alors :
∞
X
1 n
E(W̃ ) =
2 =∞
2n
n=1
I Question : quel somme seriez-vous prêt à débourser pour jouer ?
118
La finance en avenir incertain
L’utilité espérée
L'UTILITÉ MARGINALE DÉCROISSANTE
⇒ Vous préférez une somme certaine W à une somme incertaine W̃
alors même que W < E(W̃ ) = ∞
I Ce comportement traduit votre aversion au risque
I Autrement dit, l’utilité marginale de l’euro supplémentaire décroît
avec la richesse
⇒ l’utilité de 2xe est plus faible que 2 fois l’utilité de xe
I Question : Comment tenir compte de ce comportement dans
l’évaluation de l’attrait d’une loterie ?
⇒ Réponse : En tenant compte de la fonction d’utilité de l’agent dans
le calcul de l’espérance
119
La finance en avenir incertain
L’utilité espérée
L'ESPÉRANCE DE L'UTILITÉ
I Considérons une fonction d’utilité U et supposons cette fonction
I croissante : l’utilité croît avec la richesse
I concave : l’utilité marginale décroît avec la richesse
I Choisissons e.g. la fonction logarithme : U (x) = ln(x)
I Reprenons le calcule précédent mais cette fois pour E[U (W̃ )] :
E(U (W̃ )) =
∞
∞
X
X
1
1
n
U
(2
)
=
ln(2n )
n
2
2n
n=1
n=1
I Après quelques calculs on obtient la somme certaine qui égalise W̃
⇒ le prix pour participer à la loterie que l’individu est prêt à payer est 4
120
La finance en avenir incertain
L’utilité espérée
DÉMONSTRATION
I On part de E(U (W̃ )) =
I Or,
n
n=1 2n
P∞
P∞
1
n=1 2n
ln(2n ) = ln(2)
est une suite proche de
n=0 x
P∞
n
n
n=1 2n
P∞
de limite 1/(1 − x)
I Quelle
de cette suite nous permet de retrouver
P∞ transformation
n
n=1 2n ?
121
La finance en avenir incertain
L’utilité espérée
DÉMONSTRATION
I On part de E(U (W̃ )) =
I Or,
n
n=1 2n
P∞
P∞
1
n=1 2n
ln(2n ) = ln(2)
est une suite proche de
n=0 x
P∞
n
n
n=1 2n
P∞
de limite 1/(1 − x)
I Quelle
de cette suite nous permet de retrouver
P∞ transformation
n
n=1 2n ?
I Essayons (∂suite/∂x)x ; on obtient
121
La finance en avenir incertain
L’utilité espérée
DÉMONSTRATION
I On part de E(U (W̃ )) =
I Or,
n
n=1 2n
P∞
P∞
1
n=1 2n
ln(2n ) = ln(2)
est une suite proche de
n=0 x
P∞
n
n
n=1 2n
P∞
de limite 1/(1 − x)
I Quelle
de cette suite nous permet de retrouver
P∞ transformation
n
n=1 2n ?
I Essayons (∂suite/∂x)x ; on obtient
∞
X
nx n ,
et donc une limite de x/(1 − x)2 ,
|x| < 0
n=0
et pour x = 1/2 on trouve
n
n=1 2n
P∞
=2
I On a donc E(U (W̃ )) = 2 ln(2) = ln(4), i.e. 4e
121
La finance en avenir incertain
L’utilité espérée
LE CRITÈRE DE L'UTILITÉ ESPÉRÉE
I Un individu rationnel pourra alors utilisé l’utilité espérée comme
critère pour prendre une décision optimale
I Cette décision sera propre à l’individu car elle dépendra de son utilité
⇒ Pour une fonction U (x), une décision d dans le set des décisions D
menant à un gain aléatoire W̃ (d) sera donnée par la solution du
programme
max E[U (W̃ (d))]
d∈D
122
La finance en avenir incertain
L’utilité espérée
L'AXIOMATIQUE DE VON NEUMAN ET MORGENSTERN
I Les résultats précédent tiennent s’ils s’inscrivent dans un cadre
théorique bien précis de rationalité de l’individu
I Ce cadre est établit par une suite d'axiomes proposés par Von
Neuman et Morgenstern
I Définitions :
I Soit L l’ensemble des loteries
I Soit X , Y et Z des loteries simples et X , Y , Z ∈ L
I X et Y sont composites (non-simples), noté (X , Y ; q), si :
p
x1
p
xN
y1
1
q
X
N
p’
1
1-q
Y
p’
N
yN
123
La finance en avenir incertain
L’utilité espérée
L'AXIOMATIQUE DE VON NEUMAN ET MORGENSTERN
I Axiome 1 : comparabilité
I L’individu soit préfère X à Y : X Y
I soit préfère Y à X : Y X
I soit est indifférent entre X et Y : X ∼ Y
I Axiome 2 : transitivité
I Pour un individu rationnel, X < Y et Y < Z implique X < Z
I avec < signifiant la préférence ou l’indifférence
I Axiome 3 : réflexivité
I X <X ∀ X ∈L
I Axiome 4 : indépendance
I L’individu rationnel n’est concerné que par le résultat final et non par
la procédure d’attribution des lots (loterie simple ou composite)
124
La finance en avenir incertain
L’utilité espérée
L'AXIOMATIQUE DE VON NEUMAN ET MORGENSTERN
I Axiome 5 : continuité
I Pour X , Y , Z ∈ L avec X Z et X < Y < Z il existe un paramètre
q ∈ [0, 1] unique tel que (X , Z ; q) ∼ Y
I Axiome 6.1 : dominance
I Pour X = (x1 , x2 ; q) et Y = (x1 , x2 ; q 0 ) avec x1 > x2
I X Y si et seulement si q > q 0
I X ∼ Y si et seulement si q = q 0
I Axiome 6.2 : dominance
I Soit deux loteries composites L = (X , Y ; q) et L0 = (X , Z ; q)
I L L0 si et seulement si Y Z
I L ∼ L0 si et seulement si Y ∼ Z
125
La finance en avenir incertain
Les fonctions d’utilité
PLAN
4.1 Les variables aléatoires
1. Généralités
2. Introduction
2.1 Quelques définitions
2.2 L’intermédiation financière
2.3 Le système financier
5. La finance en avenir incertain
5.1 L’utilité espérée
5.2 Les fonctions d’utilité
5.3 L’utilité de Markowitz
5.4 La théorie du portefeuille
2.4 Un peu de théorie financière
6. Statistique, probabilité et économétrie
2.5 Agents et comportements
6.1 Variables aléatoires et convergence
3. La finance en avenir certain
6.2 Le Théorème Central Limite
3.1 Rappels sur les taux
6.3 La notion d’estimateur
3.2 Un peu de mathématiques financières
6.4 L’estimation des modèles linéaires
4. Rappels statistiques
7. Conclusion
126
La finance en avenir incertain
Les fonctions d’utilité
UTILITÉ ET AVERSION AU RISQUE
I Pour un minimum de réalisme, la fonction d’utilité U (x) doit refléter
I l’appétit pour la richesse
I mais également l’aversion au risque
I Pour s’assurer de cela, la fonction doit être dérivable deux fois avec :
∂U (x)
> 0,
∂x
∂ 2 U (x)
<0
∂x 2
I monotonie croissante : l’utilité croît avec la richesse
I concavité : l’utilité marginale décroît avec la richesse
I Question : Mais pourquoi la concavité traduit-elle l’aversion au
risque ?
127
La finance en avenir incertain
Les fonctions d’utilité
EQUIVALENT CERTAIN ET PRIME DE RISQUE
I Vous préférez payer 1 e ou jouer à pile ou face (W̃ ) ?
I face vous perdez 8e
I pile vous gagnez 10e
128
La finance en avenir incertain
Les fonctions d’utilité
EQUIVALENT CERTAIN ET PRIME DE RISQUE
I Vous préférez payer 1 e ou jouer à pile ou face (W̃ ) ?
I face vous perdez 8e
I pile vous gagnez 10e
I Pour certains, perdre 8e n’est pas effrayant ⇒ jeu
I Pour certains, perdre 8e est effrayant ⇒ -1e
I Certains sont indifférents entre -1e et la loterie
⇒ Cela implique d’attribuer un “coût” au risque : prime de risque
I Définition : prix que l’agent est prêt à payer pour s’affranchir du risque
⇒ Il existe une somme certaine c telle que vous êtes indifférent entre c
et E(W̃ ) : équivalent certain
128
La finance en avenir incertain
Les fonctions d’utilité
UTILITÉ ET AVERSION AU RISQUE
Illustration 1
I Soit une loterie qui génère W̃ avec
(
ω1 avec une proba de 1/2
W̃ =
ω2 avec une proba de 1/2
I On a donc E[W̃ ] = (ω1 + ω2 )/2. En considérant une utilité concave
on a
U (ω1 ) + U (ω2 )
E[U (W̃ )] =
2
I De ce résultat on peut déduire l’équivalent certain de W̃ noté c :
E[U (W̃ )] = U (c)
I Du fait de la concavité de U on a c < E[W̃ ] = (ω1 + ω2 )/2 et donc
E[U (W̃ )] = U (c) < U ((ω1 + ω2 )/2) = U [E(W̃ )]
129
La finance en avenir incertain
Les fonctions d’utilité
L'AVERSION AU RISQUE :
U(W)
U(w2)
U(E(W))
U(c) = E(U(W))
U(w1)
prime de
risque
W
w1
c
E(W)
w2
130
La finance en avenir incertain
Les fonctions d’utilité
LA NEUTRALITÉ FACE AU RISQUE :
U(W)
U(w2)
U(c) = E(U(W))
U(w1)
W
w1
E(W) = c
w2
131
La finance en avenir incertain
Les fonctions d’utilité
LES AMOUREUX DU RISQUE :
U(W)
U(w2)
U(c) = E(U(W))
U(E(W))
prime de
risque
U(w1)
W
w1
E(W)
c
w2
132
La finance en avenir incertain
Les fonctions d’utilité
CONCAVITÉ ET AVERSION AU RISQUE
U(W)
U(E(W))
U(E(W))
U(E(W))
U(c)
W
c
c
c
E(W)
133
La finance en avenir incertain
Les fonctions d’utilité
EQUIVALENT CERTAIN
I L’équivalent certain est donc le montant certain c qui procure la
même utilité que W̃
I On peut calculer c à condition que U (.) soit un bijection
I En effet, on sait que
U (c) = E(U (W̃ ))
| {z }
notons ce terme x
I On cherche la bijection reciproque U −1 (.) qui donne l’unique
antécédent c de la bijection U (.) tel que U (c) = x :
c = U −1 (x)
134
La finance en avenir incertain
Les fonctions d’utilité
EXEMPLES D'APPLICATION INVERSE
I Pour f (x) = x α la fonction réciproque est
135
La finance en avenir incertain
Les fonctions d’utilité
EXEMPLES D'APPLICATION INVERSE
I Pour f (x) = x α la fonction réciproque est
f −1 (x) = x 1/α
I Pour f (x) = ex la fonction réciproque est
135
La finance en avenir incertain
Les fonctions d’utilité
EXEMPLES D'APPLICATION INVERSE
I Pour f (x) = x α la fonction réciproque est
f −1 (x) = x 1/α
I Pour f (x) = ex la fonction réciproque est
f −1 (x) = ln(x)
I Pour f (x) = a x la fonction réciproque est
135
La finance en avenir incertain
Les fonctions d’utilité
EXEMPLES D'APPLICATION INVERSE
I Pour f (x) = x α la fonction réciproque est
f −1 (x) = x 1/α
I Pour f (x) = ex la fonction réciproque est
f −1 (x) = ln(x)
I Pour f (x) = a x la fonction réciproque est
f −1 (x) = lna (x)
135
La finance en avenir incertain
Les fonctions d’utilité
EXEMPLE DE PRIME DE RISQUE
I L’écart entre le gain espéré et l’équivalent certain = la prime de
risque
I Soit W̃ qui donne 25000e et 15000e avec des proba équivalentes
I L’espérance de gain est
136
La finance en avenir incertain
Les fonctions d’utilité
EXEMPLE DE PRIME DE RISQUE
I L’écart entre le gain espéré et l’équivalent certain = la prime de
risque
I Soit W̃ qui donne 25000e et 15000e avec des proba équivalentes
I L’espérance de gain est
1
1
25000 + 15000 = 20000
2
2
I Sous l’hypothèse d’une utilité logarithmique on aura :
E[W̃ ] =
136
La finance en avenir incertain
Les fonctions d’utilité
EXEMPLE DE PRIME DE RISQUE
I L’écart entre le gain espéré et l’équivalent certain = la prime de
risque
I Soit W̃ qui donne 25000e et 15000e avec des proba équivalentes
I L’espérance de gain est
1
1
25000 + 15000 = 20000
2
2
I Sous l’hypothèse d’une utilité logarithmique on aura :
1
1
E(U (W̃ )) = ln(25000) + ln(15000) = 9.871218
2
2
I Or, l’équivalent certain est de
E[W̃ ] =
136
La finance en avenir incertain
Les fonctions d’utilité
EXEMPLE DE PRIME DE RISQUE
I L’écart entre le gain espéré et l’équivalent certain = la prime de
risque
I Soit W̃ qui donne 25000e et 15000e avec des proba équivalentes
I L’espérance de gain est
1
1
25000 + 15000 = 20000
2
2
I Sous l’hypothèse d’une utilité logarithmique on aura :
1
1
E(U (W̃ )) = ln(25000) + ln(15000) = 9.871218
2
2
I Or, l’équivalent certain est de
E[W̃ ] =
ln−1 (9.871218) = e9.871218 = 19364, 92 ⇒ ln(19364, 92) = 9.871218
I La prime de risque est donc de π = 20000 − 19364, 92 = 635.08 > 0
⇒ Cette loterie incertaine W̃ a moins d’attrait qu’une somme certaine
égale à E[W̃ ] puisque c < E[W̃ ]
136
La finance en avenir incertain
Les fonctions d’utilité
UTILITÉ ET AVERSION AU RISQUE
I Soit un investisseur u possédant W0 = 10000e
I W0 est une richesse initiale certaine
I Mais u est confronté à une loterie ε̃ qui génère une incertitude sur W0 :
(
ε̃ =
−2000 avec p = 5/8
⇒ W0 + ε̃
4000 avec 1 − p = 3/8
(
8000 avec p = 5/8
14000 avec 1 − p = 3/8
I En supposant une log-utilité pour u, l’espérance de U (.) est :
137
La finance en avenir incertain
Les fonctions d’utilité
UTILITÉ ET AVERSION AU RISQUE
I Soit un investisseur u possédant W0 = 10000e
I W0 est une richesse initiale certaine
I Mais u est confronté à une loterie ε̃ qui génère une incertitude sur W0 :
(
ε̃ =
−2000 avec p = 5/8
⇒ W0 + ε̃
4000 avec 1 − p = 3/8
(
8000 avec p = 5/8
14000 avec 1 − p = 3/8
I En supposant une log-utilité pour u, l’espérance de U (.) est :
5
3
E(U (W0 + ε̃)) = ln(8000) + ln(14000) = 9.197053
8
8
On a donc W̃ = W0 + ε̃
I L’équivalent certain est alors
137
La finance en avenir incertain
Les fonctions d’utilité
UTILITÉ ET AVERSION AU RISQUE
I Soit un investisseur u possédant W0 = 10000e
I W0 est une richesse initiale certaine
I Mais u est confronté à une loterie ε̃ qui génère une incertitude sur W0 :
(
ε̃ =
−2000 avec p = 5/8
⇒ W0 + ε̃
4000 avec 1 − p = 3/8
(
8000 avec p = 5/8
14000 avec 1 − p = 3/8
I En supposant une log-utilité pour u, l’espérance de U (.) est :
5
3
E(U (W0 + ε̃)) = ln(8000) + ln(14000) = 9.197053
8
8
On a donc W̃ = W0 + ε̃
I L’équivalent certain est alors
c = e9.197053 = 9868.0026
I La prime de risque est alors
137
La finance en avenir incertain
Les fonctions d’utilité
UTILITÉ ET AVERSION AU RISQUE
I Soit un investisseur u possédant W0 = 10000e
I W0 est une richesse initiale certaine
I Mais u est confronté à une loterie ε̃ qui génère une incertitude sur W0 :
(
ε̃ =
−2000 avec p = 5/8
⇒ W0 + ε̃
4000 avec 1 − p = 3/8
(
8000 avec p = 5/8
14000 avec 1 − p = 3/8
I En supposant une log-utilité pour u, l’espérance de U (.) est :
5
3
E(U (W0 + ε̃)) = ln(8000) + ln(14000) = 9.197053
8
8
On a donc W̃ = W0 + ε̃
I L’équivalent certain est alors
c = e9.197053 = 9868.0026
I La prime de risque est alors
π = 10250 − 9868.0026 = 381.9974
137
La finance en avenir incertain
Les fonctions d’utilité
PRIX DE VENTE D'UNE LOTERIE
I L’équivalent certain révèlent que l’investisseur u est averse au risque
I Pour se débarrasser du risque, il serait prêt à vendre ε̃ mais combien ?
I Définition : Le prix de ventre pε de la partie aléatoire ε̃ de W̃ est le
prix minimal à partir duquel u est prêt à vendre ε̃
⇒ u cède une richesse incertaine W̃ = W0 + ε̃
⇒ il récupère une richesse certaine W = W0 + I u vendra au prix si
I U (W0 + ) ≥ E(U (W̃ )) = U (c)
I Si U (.) est monotone croissante, W0 + ≥ c ⇐⇒ ≥ c − W0
I D’après notre définition de pε cela veut dire que pε = c − W0
I Dans notre exemple, on obtient que
138
La finance en avenir incertain
Les fonctions d’utilité
PRIX DE VENTE D'UNE LOTERIE
I L’équivalent certain révèlent que l’investisseur u est averse au risque
I Pour se débarrasser du risque, il serait prêt à vendre ε̃ mais combien ?
I Définition : Le prix de ventre pε de la partie aléatoire ε̃ de W̃ est le
prix minimal à partir duquel u est prêt à vendre ε̃
⇒ u cède une richesse incertaine W̃ = W0 + ε̃
⇒ il récupère une richesse certaine W = W0 + I u vendra au prix si
I U (W0 + ) ≥ E(U (W̃ )) = U (c)
I Si U (.) est monotone croissante, W0 + ≥ c ⇐⇒ ≥ c − W0
I D’après notre définition de pε cela veut dire que pε = c − W0
I Dans notre exemple, on obtient que
pε = −131.9974
pε < 0 montre que u est prêts à payer pour se débarrasser du risque
138
La finance en avenir incertain
Les fonctions d’utilité
EXERCICE TYPE
I Soit un salarié doté d’une richesse initiale certaine W0
I la proba de perdre son job et de touché une allocation de α est de 1/5
I la proba de garder (
son job et de touché un salaire de ω est de 4/5
ε̃ =
α avec une proba de 1/5
ω avec une proba de 4/5
I Quel est l’espérance de W̃ = W0 + ε̃ ?
139
La finance en avenir incertain
Les fonctions d’utilité
EXERCICE TYPE
I Soit un salarié doté d’une richesse initiale certaine W0
I la proba de perdre son job et de touché une allocation de α est de 1/5
I la proba de garder (
son job et de touché un salaire de ω est de 4/5
ε̃ =
α avec une proba de 1/5
ω avec une proba de 4/5
I Quel est l’espérance de W̃ = W0 + ε̃ ?
I En supposant une log-utilité pour le salarié, quel est l’espérance de
l’utilité ?
139
La finance en avenir incertain
Les fonctions d’utilité
EXERCICE TYPE
I Soit un salarié doté d’une richesse initiale certaine W0
I la proba de perdre son job et de touché une allocation de α est de 1/5
I la proba de garder (
son job et de touché un salaire de ω est de 4/5
ε̃ =
α avec une proba de 1/5
ω avec une proba de 4/5
I Quel est l’espérance de W̃ = W0 + ε̃ ?
I En supposant une log-utilité pour le salarié, quel est l’espérance de
l’utilité ?
I Quel est l’équivalent certain du travailleur ?
139
La finance en avenir incertain
Les fonctions d’utilité
EXERCICE TYPE
I Soit un salarié doté d’une richesse initiale certaine W0
I la proba de perdre son job et de touché une allocation de α est de 1/5
I la proba de garder (
son job et de touché un salaire de ω est de 4/5
ε̃ =
α avec une proba de 1/5
ω avec une proba de 4/5
I Quel est l’espérance de W̃ = W0 + ε̃ ?
I En supposant une log-utilité pour le salarié, quel est l’espérance de
l’utilité ?
I Quel est l’équivalent certain du travailleur ?
I Combien l’employé serait-il prêt à payer pour éliminer le risque de
baisse de son revenu ?
139
La finance en avenir incertain
Les fonctions d’utilité
EXERCICE TYPE
I Soit un salarié doté d’une richesse initiale certaine W0
I la proba de perdre son job et de touché une allocation de α est de 1/5
I la proba de garder (
son job et de touché un salaire de ω est de 4/5
ε̃ =
α avec une proba de 1/5
ω avec une proba de 4/5
I Quel est l’espérance de W̃ = W0 + ε̃ ?
I En supposant une log-utilité pour le salarié, quel est l’espérance de
l’utilité ?
I Quel est l’équivalent certain du travailleur ?
I Combien l’employé serait-il prêt à payer pour éliminer le risque de
baisse de son revenu ?
I Refaire l’exercice pour α = 1400e, ω = 2160e et W0 = 6000e
139
La finance en avenir incertain
Les fonctions d’utilité
EXERCICE TYPE
I Soit un salarié doté d’une richesse initiale certaine W0
I la proba de perdre son job et de touché une allocation de α est de 1/5
I la proba de garder (
son job et de touché un salaire de ω est de 4/5
ε̃ =
α avec une proba de 1/5
ω avec une proba de 4/5
I Quel est l’espérance de W̃ = W0 + ε̃ ?
I En supposant une log-utilité pour le salarié, quel est l’espérance de
l’utilité ?
I Quel est l’équivalent certain du travailleur ?
I Combien l’employé serait-il prêt à payer pour éliminer le risque de
baisse de son revenu ?
I Refaire l’exercice pour α = 1400e, ω = 2160e et W0 = 6000e
I Refaire l’exercice pour α = 1400e, ω = 2160e et W0 = 0e
139
La finance en avenir incertain
Les fonctions d’utilité
EXERCICE TYPE
I Quel est l’espérance de W̃ = W0 + ε̃ ?
I E(W̃ ) = (α + W0 ) 15 + (ω + W0 ) 45
140
La finance en avenir incertain
Les fonctions d’utilité
EXERCICE TYPE
I Quel est l’espérance de W̃ = W0 + ε̃ ?
I E(W̃ ) = (α + W0 ) 15 + (ω + W0 ) 45
I En supposant une log-utilité pour le salarié, quel est l’espérance de
l’utilité ?
I E(U (W̃ )) = ln(α+W0 ) 15 +ln(ω+W0 ) 45 = ln((α+W0 )1/5 (ω+W0 )4/5 )
140
La finance en avenir incertain
Les fonctions d’utilité
EXERCICE TYPE
I Quel est l’espérance de W̃ = W0 + ε̃ ?
I E(W̃ ) = (α + W0 ) 15 + (ω + W0 ) 45
I En supposant une log-utilité pour le salarié, quel est l’espérance de
l’utilité ?
I E(U (W̃ )) = ln(α+W0 ) 15 +ln(ω+W0 ) 45 = ln((α+W0 )1/5 (ω+W0 )4/5 )
I Quel est l’équivalent certain du travailleur ?
I c = U −1 (E(U (W̃ ))) = exp(E(U (W̃ ))) = (α + W0 )1/5 (ω + W0 )4/5
140
La finance en avenir incertain
Les fonctions d’utilité
EXERCICE TYPE
I Quel est l’espérance de W̃ = W0 + ε̃ ?
I E(W̃ ) = (α + W0 ) 15 + (ω + W0 ) 45
I En supposant une log-utilité pour le salarié, quel est l’espérance de
l’utilité ?
I E(U (W̃ )) = ln(α+W0 ) 15 +ln(ω+W0 ) 45 = ln((α+W0 )1/5 (ω+W0 )4/5 )
I Quel est l’équivalent certain du travailleur ?
I c = U −1 (E(U (W̃ ))) = exp(E(U (W̃ ))) = (α + W0 )1/5 (ω + W0 )4/5
I Combien l’employé serait-il prêt à payer pour éliminer le risque de
baisse de son revenu ?
I π = E(W̃ ) − exp(E(U (W̃ )))
140
La finance en avenir incertain
Les fonctions d’utilité
EXERCICE TYPE
I Refaire l’exercice pour α = 1400e, ω = 2160e et W0 = 6000e
I E(W̃ ) = 8008 ; E(U (W̃ )) = 8.987447 ; c = 8001.998598 ; π = 6.001402
⇒ Interprétez la prime de risque
141
La finance en avenir incertain
Les fonctions d’utilité
EXERCICE TYPE
I Refaire l’exercice pour α = 1400e, ω = 2160e et W0 = 6000e
I E(W̃ ) = 8008 ; E(U (W̃ )) = 8.987447 ; c = 8001.998598 ; π = 6.001402
⇒ Interprétez la prime de risque
I Refaire l’exercice pour α = 1400e, ω = 2160e et W0 = 0e
I E(W̃ ) = 2008 ; E(U (W̃ )) = 7.591136 ; c = 1980.562756 ;
π = 27.437243
⇒ Interprétez la prime de risque
141
La finance en avenir incertain
Les fonctions d’utilité
FONDEMENT THÉORIQUE DE LA PRIME DE RISQUE
I Soit un agent dont l’utilité U (.) respecte U 0 (.) > 0 et U 00 (.) < 0
I L’agent dispose d’une richesse W̃ = W0 + ε̃ avec :
I W0 une richesse initiale certaine
I ε̃ i. i. d. (0, σε2 ) une loterie telle que E(W̃ ) = W0
I ε̃ est donc un aléa qui n’affecte pas E(W̃ ) mais réduit E(U (.))
⇒ un agent averse au risque sera prêt à payerune prime de risque π pour
éliminer l’incertitude dû à ε̃
I Le montant de cette prime de risque découle de l’équation
U (W0 − π)
|
{z
}
l’utilité de la richesse certaine net de la prime
=
E(U (W0 + ε̃))
l’utilité de la richesse aléatoire hors prime
142
La finance en avenir incertain
Les fonctions d’utilité
FONDEMENT THÉORIQUE DE LA PRIME DE RISQUE
I Un développement de Taylor par rapport à ε̃ et π nous donne :
143
La finance en avenir incertain
Les fonctions d’utilité
FONDEMENT THÉORIQUE DE LA PRIME DE RISQUE
I Un développement de Taylor par rapport à ε̃ et π nous donne :
1
U (W0 ) − πU 0 (W0 ) + o(π) = E U (W0 ) + ε̃U 0 (W0 ) + ε̃2 U 00 (W0 ) + o(ε̃2 )
2
1 2 00
= U (W0 ) + σε U (W0 ) + o(σε2 )
2
car ε̃ i. i. d. (0, σε2 )
I On observe alors que π est donnée par :
143
La finance en avenir incertain
Les fonctions d’utilité
FONDEMENT THÉORIQUE DE LA PRIME DE RISQUE
I Un développement de Taylor par rapport à ε̃ et π nous donne :
1
U (W0 ) − πU 0 (W0 ) + o(π) = E U (W0 ) + ε̃U 0 (W0 ) + ε̃2 U 00 (W0 ) + o(ε̃2 )
2
1 2 00
= U (W0 ) + σε U (W0 ) + o(σε2 )
2
car ε̃ i. i. d. (0, σε2 )
I On observe alors que π est donnée par :
π≈−
1 U 00 (W0 ) 2
σ
2 U 0 (W0 ) ε
I Ce résultat montre que la prime de risque dépend de
I l’intensité du risque σε2
00
(W0 )
I l’aversion au risque − UU 0 (W
0)
143
La finance en avenir incertain
Les fonctions d’utilité
MESURE DE L'AVERSION AU RISQUE
I Cette mesure de l'aversion au risque fut proposée par Arrow et Pratt
A(W0 ) = −
U 00 (W0 )
U 0 (W0 )
I Ce coefficient est positif car U 0 (W0 ) > 0 et U 00 (W0 ) < 0
I Une mesure relative existe également :
R(W0 ) = W0 A(W0 )
I On parle de tolérance absolue et relative au risque pour
1
1
et
A(W0 )
R(W0 )
144
La finance en avenir incertain
Les fonctions d’utilité
LES FONCTIONS TYPES : CARA
I Utilité à aversion absolue constante (CARA)
1
U (x) = − exp(−Ax)
A
(x)
⇒ Pour A > 0 on obtient − UU 0 (x)
= A car
00
145
La finance en avenir incertain
Les fonctions d’utilité
LES FONCTIONS TYPES : CARA
I Utilité à aversion absolue constante (CARA)
1
U (x) = − exp(−Ax)
A
(x)
⇒ Pour A > 0 on obtient − UU 0 (x)
= A car
00
−A exp(−Ax)
= −A
exp(−Ax)
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
145
La finance en avenir incertain
Les fonctions d’utilité
LES FONCTIONS TYPES : CRRA
I Utilité à aversion relative constante (CRRA)
1
U (x) =
x 1−R
1−R
(x)
⇒ Pour R ∈ R+ \1 on obtient −x UU 0 (x)
= R car
00
146
La finance en avenir incertain
Les fonctions d’utilité
LES FONCTIONS TYPES : CRRA
I Utilité à aversion relative constante (CRRA)
1
U (x) =
x 1−R
1−R
(x)
⇒ Pour R ∈ R+ \1 on obtient −x UU 0 (x)
= R car
00
−Rx −1−R
1
= −R
x −R
x
2.0
1.5
1.0
0.5
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
146
La finance en avenir incertain
Les fonctions d’utilité
LES FONCTIONS TYPES : CRRA - LN
I Utilité logarithmique (cas particulier de fonction CRRA)
U (x) = ln(x)
(x)
⇒ On obtient −x UU 0 (x)
= 1 car
00
147
La finance en avenir incertain
Les fonctions d’utilité
LES FONCTIONS TYPES : CRRA - LN
I Utilité logarithmique (cas particulier de fonction CRRA)
U (x) = ln(x)
(x)
⇒ On obtient −x UU 0 (x)
= 1 car
00
−x −2
1
=−
x −1
x
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
-1
-2
-3
-4
147
La finance en avenir incertain
Les fonctions d’utilité
LES FONCTIONS TYPES : QUADRATIQUE
I Utilité quadratique
U (x) = x − αx 2 ,
α>0
⇒ Attention, cette fonction n’est pas monotone
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.5
1.0
1.5
2.0
148
La finance en avenir incertain
Les fonctions d’utilité
LES FONCTIONS TYPES
I Utilité de type Hyperbolic Absolute Risk Aversion (HARA)
γ
x − θ 1−γ
x −θ
U (x) =
,
>0
1−γ
γ
γ
(x)
⇒ On obtient alors − UU 0 (x)
=
00
γ
x−θ
car
149
La finance en avenir incertain
Les fonctions d’utilité
LES FONCTIONS TYPES
I Utilité de type Hyperbolic Absolute Risk Aversion (HARA)
γ
x − θ 1−γ
x −θ
U (x) =
,
>0
1−γ
γ
γ
(x)
γ
⇒ On obtient alors − UU 0 (x)
= x−θ
car
x − θ −1−γ x − θ −γ
γ
−
/
=−
γ
γ
x −θ
00
1.4
1.2
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
I θ = 0 donne CRRA || θ = 0 et γ = 1 tend vers la CRRA logarithmique
I θ → −∞ tend vers la CARA || θ = 0 et γ = −1 donne la quadratique
149
La finance en avenir incertain
L’utilité de Markowitz
PLAN
4.1 Les variables aléatoires
1. Généralités
2. Introduction
2.1 Quelques définitions
2.2 L’intermédiation financière
2.3 Le système financier
5. La finance en avenir incertain
5.1 L’utilité espérée
5.2 Les fonctions d’utilité
5.3 L’utilité de Markowitz
5.4 La théorie du portefeuille
2.4 Un peu de théorie financière
6. Statistique, probabilité et économétrie
2.5 Agents et comportements
6.1 Variables aléatoires et convergence
3. La finance en avenir certain
6.2 Le Théorème Central Limite
3.1 Rappels sur les taux
6.3 La notion d’estimateur
3.2 Un peu de mathématiques financières
6.4 L’estimation des modèles linéaires
4. Rappels statistiques
7. Conclusion
150
La finance en avenir incertain
L’utilité de Markowitz
LE PARADOXE DE L'ASSURANCE
I Soit un individu u disposant d’une richesse certaine W0 et risquée ε̃
I u désire assurer ε̃ pour une valeur ν contre un éventuel sinistre
I le coût de l’assurance est une prime d’un montant βν avec 0 < β ≤ 1
I le sinistre survient avec une proba de p
I Soit un assureur a percevant la prime βν et payant des coûts fixes c
I
I
I
⇒
en cas de sinistre, a doit dédommager u pour un montant ν
en cas de sinistre, a obtient βν − ν − c
en absence de sinistre, a obtient βν − c
on suppose βν − c > 0 pour que a puisse dégager un profit
151
La finance en avenir incertain
L’utilité de Markowitz
LE PARADOXE DE L'ASSURANCE
I Formalisez les loteries de l’assuré et de l’assureur
I Calculer l’espérance de ces loteries
I Quel est le montant assuré ν qui maximise le critère de l’espérance
de l’assuré ?
I Quel est le montant assuré ν qui maximise le critère de l’espérance
de l’assureur ?
I Pourquoi le critère de l’espérance n’est-il pas approprié ?
152
La finance en avenir incertain
L’utilité de Markowitz
LE PARADOXE DE L'ASSURANCE
I Formalisez les loteries de l’assuré et de l’assureur
I concernant l’assuré on trouve :
153
La finance en avenir incertain
L’utilité de Markowitz
LE PARADOXE DE L'ASSURANCE
I Formalisez les loteries de l’assuré et de l’assureur
I concernant l’assuré
on trouve :
(
W̃ =
W0 + (1 − β)ν avec une proba de p
W0 + ε̃ − βν avec une proba de 1 − p
I concernant l’assureur on trouve :
153
La finance en avenir incertain
L’utilité de Markowitz
LE PARADOXE DE L'ASSURANCE
I Formalisez les loteries de l’assuré et de l’assureur
I concernant l’assuré
on trouve :
(
W̃ =
W0 + (1 − β)ν avec une proba de p
W0 + ε̃ − βν avec une proba de 1 − p
I concernant l’assureur on trouve :
(
(β − 1)ν − c avec une proba de p
Π̃ =
βν − c avec une proba de 1 − p
153
La finance en avenir incertain
L’utilité de Markowitz
LE PARADOXE DE L'ASSURANCE
I Calculer l’espérance de ces loteries
I concernant l’assuré on trouve :
154
La finance en avenir incertain
L’utilité de Markowitz
LE PARADOXE DE L'ASSURANCE
I Calculer l’espérance de ces loteries
I concernant l’assuré on trouve :
E(W̃ ) = p W0 + (1 − β)ν + (1 − p) W0 + ε̃ − βν
= W0 + (1 − p)ε̃ + (p − β)ν
I concernant l’assureur on trouve :
154
La finance en avenir incertain
L’utilité de Markowitz
LE PARADOXE DE L'ASSURANCE
I Calculer l’espérance de ces loteries
I concernant l’assuré on trouve :
E(W̃ ) = p W0 + (1 − β)ν + (1 − p) W0 + ε̃ − βν
= W0 + (1 − p)ε̃ + (p − β)ν
I concernant l’assureur on trouve :
E(W̃ ) = p (β − 1)ν − c + (1 − p) βν − c
= (β − p)ν − c
154
La finance en avenir incertain
L’utilité de Markowitz
LE PARADOXE DE L'ASSURANCE
I Quel est le montant assuré ν qui maximise le critère de l’espérance
de l’assuré puis de l’assureur ?
I concernant l’assuré on a :
155
La finance en avenir incertain
L’utilité de Markowitz
LE PARADOXE DE L'ASSURANCE
I Quel est le montant assuré ν qui maximise le critère de l’espérance
de l’assuré puis de l’assureur ?
I concernant l’assuré on a :
max E[W̃ (ν)] = W0 + (1 − p)ε̃ + (p − β)ν
0≤ν≤ε̃
I comme E[.] dépend linéairement de ν, l’analyse de ∂E[.]/∂ν est simple
155
La finance en avenir incertain
L’utilité de Markowitz
LE PARADOXE DE L'ASSURANCE
I Quel est le montant assuré ν qui maximise le critère de l’espérance
de l’assuré puis de l’assureur ?
I concernant l’assuré on a :
max E[W̃ (ν)] = W0 + (1 − p)ε̃ + (p − β)ν
0≤ν≤ε̃
I comme E[.] dépend linéairement de ν, l’analyse de ∂E[.]/∂ν est simple
I si p < β, ∂E[.]/∂ν < 0 et la demande d’assurance est ν = 0
I si p = β, ∂E[.]/∂ν = 0 et la demande d’assurance est ν ∈ [0, ε̃]
I si p > β, ∂E[.]/∂ν < 0 et la demande d’assurance est ν = ε̃
⇒ L’individu u a donc intérêt à s’assurer uniquement si p > β pour un
montant ν = ε̃
155
La finance en avenir incertain
L’utilité de Markowitz
LE PARADOXE DE L'ASSURANCE
I Quel est le montant assuré ν qui maximise le critère de l’espérance
de l’assuré puis de l’assureur ?
I concernant l’assureur on a :
156
La finance en avenir incertain
L’utilité de Markowitz
LE PARADOXE DE L'ASSURANCE
I Quel est le montant assuré ν qui maximise le critère de l’espérance
de l’assuré puis de l’assureur ?
I concernant l’assureur on a :
max E[Π̃(ν)] = (β − p)ν − c
0≤ν≤ε̃
I comme E[.] dépend linéairement de ν, l’analyse de ∂E[.]/∂ν est simple
156
La finance en avenir incertain
L’utilité de Markowitz
LE PARADOXE DE L'ASSURANCE
I Quel est le montant assuré ν qui maximise le critère de l’espérance
de l’assuré puis de l’assureur ?
I concernant l’assureur on a :
max E[Π̃(ν)] = (β − p)ν − c
0≤ν≤ε̃
I comme E[.] dépend linéairement de ν, l’analyse de ∂E[.]/∂ν est simple
I si p < β, E[.] > 0 si
(β − p)ν − c > 0
et l’offre d’assurance est ν = ε̃
I si p = β, E[.] < 0 car c > 0 et l’offre d’assurance est ν = 0
I si p > β, ∂E[.]/∂ν < 0 et l’offre d’assurance est ν = 0
⇒ L’assureur a a donc intérêt à assurer uniquement si p < β pour un
montant ν = ε̃
⇒ Le critère E[.] ne permet donc pas d’établir un marché de l’assurance
156
La finance en avenir incertain
L’utilité de Markowitz
LE PARADOXE DE L'ASSURANCE
E[W(ν)]
E[W(ν)]
Demande d’assurance
max
Pa
sd
max
em
ar
ch
és
ip
Offre d’assurance
Pa
sd
em
arc
hé
max
<β
Indétermination si p = β
ed
nd
ma
’as
r
su
ip
es
c
an
>β
fre
Of
0
si
p
si p
>β
<β
s
d’a
ε
ν
Pas de marché si p = β car c > 0 et donc E[W(ν)]<0
De
0
ce
ran
su
max
ε
ν
157
La finance en avenir incertain
L’utilité de Markowitz
LE CRITÈRE ESPÉRANCE-VARIANCE
I Outre le critère d’utilité espérée, le critère espérance-variance
(MV) est également très utilisé
I Le critère MV associe au risque, la variance de W̃ , notée V(W̃ )
⇒ la variance caractérise la dispersion d’une distribution autour de son
espérance
⇒ Une décision d dans le set des décisions D menant à un gain
aléatoire W̃ (d) sera alors donnée par la solution du programme
max f E[W̃ (d)], V[W̃ (d)]
d∈D
I On supposera
∂f (.)
> 0,
∂E[W̃ (d)]
∂f (.)
<0
∂V[W̃ (d)]
158
La finance en avenir incertain
L’utilité de Markowitz
LES LIMITES DU CRITÈRE ESPÉRANCE-VARIANCE
I Ce critère impose une même sensibilité au risque de gain et de perte
I Il s’applique donc pour des lois de distribution de la richesse
symétriques et échoue pour des lois asymétriques
Densité
b
a
0
E
W
159
La finance en avenir incertain
L’utilité de Markowitz
LES LIMITES DU CRITÈRE ESPÉRANCE-VARIANCE
I Pour pallier à ce problème il faudrait tenir compte de l’asymétrie de
la distribution
⇒ i.e. tenir compte de la positivité du skewness qui s’apparente à la
prudence de l’investisseur
I Il est également possible de s’intéresser aux moments d’ordre plus
élevés : e.g. le kurtosis, assimilé à la tempérance de l’investisseur
I Néanmoins, nous ne considérerons ici que des agents qui
I minimise le risque à espérance donnée :
min V[W̃ (d)] s.c. E[W̃ (d)] = E[W̃ (d ∗ )]
d∈D
I maximise le rendement à variance donnée
max E[W̃ (d)] s.c. V[W̃ (d)] = V[W̃ (d ∗ )]
d∈D
avec d la décision solution du programme max f (.)
∗
160
La finance en avenir incertain
L’utilité de Markowitz
ESPÉRANCE-VARIANCE ET UTILITÉ ESPÉRÉE
I Dans certains cas, le critère de l’UE revient à appliquer le critère EV
⇒ dépend de la forme de l’utilité et de la distribution de W̃
I Cas de l’utilité quadratique : U (W ) = W − αW 2
I Supposons E(W̃ ) = 0 donnée
⇒ min E(W̃ 2 ) ≡ min V(W̃ ) sous contrainte car
max E(W̃ ) − αE(W̃ 2 ) ≡ max 0 − αE(W̃ 2 )
I Cas d’une distribution Normale : W ∼ N (µ, σ)
I La distribution de W est déterminée par les deux premiers moments
⇒ Pour toute fonction d’utilité U , l’UE dépendra de deux paramètres :
E[U (W̃ )] = f E(W̃ ), V(W̃ )
161
La finance en avenir incertain
L’utilité de Markowitz
CRITÈRE EV ET UTILITÉ DE MARKOWITZ
I Soit un agent avec des préférences CARA : U (W̃ ) = − A1 exp(−AW̃ )
2 )
I La richesse incertaine de l’individu est W̃ ∼ N (m, σW
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
rappelons que si x ∼ N (m, σ 2 ), alors exp(x) = y ∼ log −N (m, σ 2 )
rappelons que e−Ax = e−A log(y)
rappelons que E(−A log(y)) = −AE(log(y)) = −Am
2
rappelons que V(−A log(y)) = A2 V(log(y)) = A2 σW
m+σ 2 /2
rappelons que E(y) = e
I Calculez l’utilité espérée de la richesse :
162
La finance en avenir incertain
L’utilité de Markowitz
CRITÈRE EV ET UTILITÉ DE MARKOWITZ
I Soit un agent avec des préférences CARA : U (W̃ ) = − A1 exp(−AW̃ )
2 )
I La richesse incertaine de l’individu est W̃ ∼ N (m, σW
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
rappelons que si x ∼ N (m, σ 2 ), alors exp(x) = y ∼ log −N (m, σ 2 )
rappelons que e−Ax = e−A log(y)
rappelons que E(−A log(y)) = −AE(log(y)) = −Am
2
rappelons que V(−A log(y)) = A2 V(log(y)) = A2 σW
m+σ 2 /2
rappelons que E(y) = e
I Calculez l’utilité espérée de la richesse :
1
E(U (W̃ )) = E(− exp(−AW̃ ))
A
1
= − E(exp(−AW̃ ))
A
1
1
2 2
2
= − e−Am+A σW /2 = − e−A(m−AσW /2)
A
A
162
La finance en avenir incertain
L’utilité de Markowitz
CRITÈRE EV ET UTILITÉ DE MARKOWITZ
I Comme il s’agit d’une fonction monotone croissante, toute
transformation croissante préservera les préfèrences
⇒ Considérons ici une application inverse, g −1 (.) et laissons de côté le
terme en dehors de l’espérance :
163
La finance en avenir incertain
L’utilité de Markowitz
CRITÈRE EV ET UTILITÉ DE MARKOWITZ
I Comme il s’agit d’une fonction monotone croissante, toute
transformation croissante préservera les préfèrences
⇒ Considérons ici une application inverse, g −1 (.) et laissons de côté le
terme en dehors de l’espérance :
A
g −1 (E(U (W̃ ))) = −A E(W̃ ) − V(W̃ )
2
= f E(W̃ ), V(W̃ )
⇒ On voit ainsi qu’en présence d’une richesse normalement distribuée,
le critère de l’utilité espérée revient à utiliser le critère EV
163
La finance en avenir incertain
L’utilité de Markowitz
L'UTILITÉ DE MARKOWITZ
I Dans la pratique, la forme fonctionnelle du critère EV est la suivante :
UM (W̃ ) = f E[W̃ (d)], V[W̃ (d)] = E(W̃ ) − kV(W̃ )
avec k le coefficient d’aversion au risque
⇒ On parle d’utilité de Markowitz
I Pour k > 0, UM (W̃ ) reflète l’aversion au risque
I Pour k = 0, UM (W̃ ) devient le critère d’espérance (risque-neutre)
I Pour k > 0, UM (W̃ ) reflète le goût pour le risque
164
La finance en avenir incertain
L’utilité de Markowitz
LE PARADOXE DE L'ASSURANCE ET LE CRITÈRE E-V
I Repartons des loteries
I concernant l’assuré on avait :
(
W0 + (1 − β)ν avec une proba de p
W̃ =
W0 + ε̃ − βν avec une proba de 1 − p
⇒ concernant l’espérance, on avait E(W̃ ) = W0 + (1 − p)ε̃ + (p − β)ν
⇒ Calculez la variance pour l’assuré (voir rappel de stats)
165
La finance en avenir incertain
L’utilité de Markowitz
LE PARADOXE DE L'ASSURANCE ET LE CRITÈRE E-V
I Repartons des loteries
I concernant l’assuré on avait :
(
W0 + (1 − β)ν avec une proba de p
W̃ =
W0 + ε̃ − βν avec une proba de 1 − p
⇒ concernant l’espérance, on avait E(W̃ ) = W0 + (1 − p)ε̃ + (p − β)ν
⇒ Calculez la variance pour l’assuré (voir rappel de stats)
2
V[W̃ ] = p W0 + (1 − β)ν − W0 + (1 − p)ε̃ + (p − β)ν
2
+ (1 − p) W0 + ε̃ − βν − W0 + (1 − p)ε̃ + (p − β)ν
= p(1 − p)(ε̃ − ν)2
car
µk =
n
X
i=1
k
xi − E(X ) Pr(X = xi )
165
La finance en avenir incertain
L’utilité de Markowitz
LE PARADOXE DE L'ASSURANCE ET LE CRITÈRE E-V
I Interprétez V[W̃ ] = p(1 − p)(ε̃ − ν)2
166
La finance en avenir incertain
L’utilité de Markowitz
LE PARADOXE DE L'ASSURANCE ET LE CRITÈRE E-V
I Interprétez V[W̃ ] = p(1 − p)(ε̃ − ν)2
I le risque croît avec (ε̃ − ν)
⇒ Moins on s’assure, plus le risque est élevé
166
La finance en avenir incertain
L’utilité de Markowitz
LE PARADOXE DE L'ASSURANCE ET LE CRITÈRE E-V
I Interprétez V[W̃ ] = p(1 − p)(ε̃ − ν)2
I le risque croît avec (ε̃ − ν)
⇒ Moins on s’assure, plus le risque est élevé
I le risque est également fonction de p(1 − p) qui est quadratique
⇒ p(1 − p) atteint son maximum en p = 1/2 : incertitude maximale
I Étudiez l’utilité de Markowitz sous l’hypothèse p < β
⇒ Côté assureur, cette hypothèse garantit un profit > 0
166
La finance en avenir incertain
L’utilité de Markowitz
LE PARADOXE DE L'ASSURANCE ET LE CRITÈRE E-V
I Interprétez V[W̃ ] = p(1 − p)(ε̃ − ν)2
I le risque croît avec (ε̃ − ν)
⇒ Moins on s’assure, plus le risque est élevé
I le risque est également fonction de p(1 − p) qui est quadratique
⇒ p(1 − p) atteint son maximum en p = 1/2 : incertitude maximale
I Étudiez l’utilité de Markowitz sous l’hypothèse p < β
⇒ Côté assureur, cette hypothèse garantit un profit > 0
UM (W̃ ) = W0 + (1 − p)ε̃ + (p − β)ν − kp(1 − p)(ε̃ − ν)2
166
La finance en avenir incertain
L’utilité de Markowitz
LE PARADOXE DE L'ASSURANCE ET LE CRITÈRE E-V
I Interprétez V[W̃ ] = p(1 − p)(ε̃ − ν)2
I le risque croît avec (ε̃ − ν)
⇒ Moins on s’assure, plus le risque est élevé
I le risque est également fonction de p(1 − p) qui est quadratique
⇒ p(1 − p) atteint son maximum en p = 1/2 : incertitude maximale
I Étudiez l’utilité de Markowitz sous l’hypothèse p < β
⇒ Côté assureur, cette hypothèse garantit un profit > 0
UM (W̃ ) = W0 + (1 − p)ε̃ + (p − β)ν − kp(1 − p)(ε̃ − ν)2
I lorsque l’assuré aime le risque : k < 0
I lorsque l’assuré est neutre face au risque : k = 0
I lorsque l’assuré est averse au risque : k > 0
166
La finance en avenir incertain
L’utilité de Markowitz
LE PARADOXE DE L'ASSURANCE ET LE CRITÈRE E-V
I Si k < 0, UM est convexe en ν
I Si ν = 0 on obtient :
167
La finance en avenir incertain
L’utilité de Markowitz
LE PARADOXE DE L'ASSURANCE ET LE CRITÈRE E-V
I Si k < 0, UM est convexe en ν
I Si ν = 0 on obtient :
UM (ν = 0) = W0 + (1 − p)ε̃ − kp(1 − p)ε̃2
I Si ν = ε̃ on obtient :
167
La finance en avenir incertain
L’utilité de Markowitz
LE PARADOXE DE L'ASSURANCE ET LE CRITÈRE E-V
I Si k < 0, UM est convexe en ν
I Si ν = 0 on obtient :
UM (ν = 0) = W0 + (1 − p)ε̃ − kp(1 − p)ε̃2
I Si ν = ε̃ on obtient :
UM (ν = ε̃) = W0 + (1 − p)ε̃ − (p − β)ε̃
⇒ La différence des deux montre que UM (.) atteint son max en ν = 0
167
La finance en avenir incertain
L’utilité de Markowitz
LE PARADOXE DE L'ASSURANCE ET LE CRITÈRE E-V
I Si k < 0, UM est convexe en ν
I Si ν = 0 on obtient :
UM (ν = 0) = W0 + (1 − p)ε̃ − kp(1 − p)ε̃2
I Si ν = ε̃ on obtient :
UM (ν = ε̃) = W0 + (1 − p)ε̃ − (p − β)ε̃
⇒ La différence des deux montre que UM (.) atteint son max en ν = 0
UM (ν = 0) − UM (ν = ε̃) = −kp(1 − p)ε̃2 + (p − β)ε̃ > 0
⇒ Conclusion : l’individu qui aime le risque ne s’assure pas
I Si k = 0, le critère est celui de l’espérance étudié précédemment
167
La finance en avenir incertain
L’utilité de Markowitz
LE PARADOXE DE L'ASSURANCE ET LE CRITÈRE E-V
I Si k < 0, UM est convexe en ν
I Si ν = 0 on obtient :
UM (ν = 0) = W0 + (1 − p)ε̃ − kp(1 − p)ε̃2
I Si ν = ε̃ on obtient :
UM (ν = ε̃) = W0 + (1 − p)ε̃ − (p − β)ε̃
⇒ La différence des deux montre que UM (.) atteint son max en ν = 0
UM (ν = 0) − UM (ν = ε̃) = −kp(1 − p)ε̃2 + (p − β)ε̃ > 0
⇒ Conclusion : l’individu qui aime le risque ne s’assure pas
I Si k = 0, le critère est celui de l’espérance étudié précédemment
⇒ Conclusion : pas de marché de l’assurance dans ce cas
167
La finance en avenir incertain
L’utilité de Markowitz
LE PARADOXE DE L'ASSURANCE ET LE CRITÈRE E-V
I Si k > 0, étudions les FOC et les SOC pour trouver la solution
I La FOC nous donne :
168
La finance en avenir incertain
L’utilité de Markowitz
LE PARADOXE DE L'ASSURANCE ET LE CRITÈRE E-V
I Si k > 0, étudions les FOC et les SOC pour trouver la solution
I La FOC nous donne :
∂UM
= p − β + 2kp(1 − p)(ε̃ − ν)
∂ν
I La SOC nous donne :
168
La finance en avenir incertain
L’utilité de Markowitz
LE PARADOXE DE L'ASSURANCE ET LE CRITÈRE E-V
I Si k > 0, étudions les FOC et les SOC pour trouver la solution
I La FOC nous donne :
∂UM
= p − β + 2kp(1 − p)(ε̃ − ν)
∂ν
I La SOC nous donne :
∂ 2 UM
= −2kp(1 − p)
∂ν 2
⇒ UM est concave en ν (car
∂ 2 UM
∂ν 2
< 0) et admet donc un maximum
I En annulant la FOC on trouve :
168
La finance en avenir incertain
L’utilité de Markowitz
LE PARADOXE DE L'ASSURANCE ET LE CRITÈRE E-V
I Si k > 0, étudions les FOC et les SOC pour trouver la solution
I La FOC nous donne :
∂UM
= p − β + 2kp(1 − p)(ε̃ − ν)
∂ν
I La SOC nous donne :
∂ 2 UM
= −2kp(1 − p)
∂ν 2
⇒ UM est concave en ν (car
∂ 2 UM
∂ν 2
< 0) et admet donc un maximum
I En annulant la FOC on trouve :
∂UM
β−p
= 0 ⇒ ν ∗ = ε̃ −
∂ν
2kp(1 − p)
⇒ Conclusion : avec k 0 et 0 p < β, ν ∗ ∈ [0, ε̃] et il existe bien un
marché de l’assurance
168
La finance en avenir incertain
L’utilité de Markowitz
LE PARADOXE DE L'ASSURANCE
U M (W)
0.10
0.08
0.06
Le marché existe
p = 0.7
β = 0.8
ε = 0.5
k = 0.8
0.04
0.02
U M (W)
0.2
0.4
0.6
0.2
0.12
0.10
0.08
0.06
0.8
1.0
ν
U M (W)
0.14
Pas de marché
p = 0.7
β = 0.8
ε = 0.5
k = 0.2
0.2
0.4
0.1
p = 0.3
β = 0.8
ε = 0.5
k = 0.8
0.2
0.1
ε
0.6
0.8
ν
1.0
ν
0.4
0.6
0.8
1.0
Pas de marché
ε
169
La finance en avenir incertain
L’utilité de Markowitz
LE PARADOXE DE L'ASSURANCE ET LE CRITÈRE E-V
I Discutez la sensibilité de ν ∗ aux paramètres k, β et p
170
La finance en avenir incertain
L’utilité de Markowitz
LE PARADOXE DE L'ASSURANCE ET LE CRITÈRE E-V
I Discutez la sensibilité de ν ∗ aux paramètres k, β et p
I Quand l’aversion au risque augmente, ν ∗ augmente mais ν ∗ = ε̃
uniquement pour k → ∞
170
La finance en avenir incertain
L’utilité de Markowitz
LE PARADOXE DE L'ASSURANCE ET LE CRITÈRE E-V
I Discutez la sensibilité de ν ∗ aux paramètres k, β et p
I Quand l’aversion au risque augmente, ν ∗ augmente mais ν ∗ = ε̃
uniquement pour k → ∞
I Quand la prime d’assurance augmente, ν ∗ diminue ce qui semble
logique : plus s’assurer est coûteux, moins on s’assure
170
La finance en avenir incertain
L’utilité de Markowitz
LE PARADOXE DE L'ASSURANCE ET LE CRITÈRE E-V
I Discutez la sensibilité de ν ∗ aux paramètres k, β et p
I Quand l’aversion au risque augmente, ν ∗ augmente mais ν ∗ = ε̃
uniquement pour k → ∞
I Quand la prime d’assurance augmente, ν ∗ diminue ce qui semble
logique : plus s’assurer est coûteux, moins on s’assure
I L’effet de p est plus complexe donc étudions la dérivée :
170
La finance en avenir incertain
L’utilité de Markowitz
LE PARADOXE DE L'ASSURANCE ET LE CRITÈRE E-V
I Discutez la sensibilité de ν ∗ aux paramètres k, β et p
I Quand l’aversion au risque augmente, ν ∗ augmente mais ν ∗ = ε̃
uniquement pour k → ∞
I Quand la prime d’assurance augmente, ν ∗ diminue ce qui semble
logique : plus s’assurer est coûteux, moins on s’assure
I L’effet de p est plus complexe donc étudions la dérivée :
∂ν ∗
p2 − 2βp + β
(p − β)2 + β(1 − β)
=
=
>0
2
2
∂p
2kp (1 − p)
2kp2 (1 − p)2
⇒ Le résultat est intuitif : plus la probabilité de sinistre est élevée, plus
le montant assuré est élevé
170
La finance en avenir incertain
La théorie du portefeuille
PLAN
4.1 Les variables aléatoires
1. Généralités
2. Introduction
2.1 Quelques définitions
2.2 L’intermédiation financière
2.3 Le système financier
5. La finance en avenir incertain
5.1 L’utilité espérée
5.2 Les fonctions d’utilité
5.3 L’utilité de Markowitz
5.4 La théorie du portefeuille
2.4 Un peu de théorie financière
6. Statistique, probabilité et économétrie
2.5 Agents et comportements
6.1 Variables aléatoires et convergence
3. La finance en avenir certain
6.2 Le Théorème Central Limite
3.1 Rappels sur les taux
6.3 La notion d’estimateur
3.2 Un peu de mathématiques financières
6.4 L’estimation des modèles linéaires
4. Rappels statistiques
7. Conclusion
171
La finance en avenir incertain
La théorie du portefeuille
LE PORTEFEUILLE
I Quittons le marché de l’assurance pour les marchés financiers
I Suppons un investisseur cherchant à investir dans plusieurs titres
I Cela conduit l’agent à composer un portefeuille
I Pour simplifier on considérera que l’agent
I acquiert les titres en t = 0 pour une valeur de portefeuille de P0
I s’intéresse à la valeur terminale du portefeuille P1 en t = 1
I P1 comprend éventuellement des dividendes
I Dès lors, le taux de rentabilité du portefeuille sera donné par
R=
P1 − P0
P0
172
La finance en avenir incertain
La théorie du portefeuille
LES POSITIONS DE L'INVESTISSEUR
I Deux positions possible : position longue (achat) ou courte (vente)
I Cas d’une position longue
I achat de titres en t = 0 et menant à un patrimoine P1 en t = 1
⇒ séquence de flux de −P0 , +P1 = R
I Cas d’une position courte
I vente ou émission de titres en t = 0 et menant à −P1 en t = 1
⇒ séquence de flux de +P0 , −P1 = R
I Pourquoi −P1 ?
I vente à découvert : vente en t = 0 d’un titre que l’on possède pas et
qu’on emprunte pour la période et qui sera rendu en t = 1 après achat
I émission du titre : le titre est émis au prix P0 impliquant en t = 1 une
valeur de marché pour cette dette de P1
I vente simple : vente en t = 0 d’un titre que l’on possède et impliquant
une valeur manquante au portefeuille de P1 en t = 1
173
La finance en avenir incertain
La théorie du portefeuille
LE PORTEFEUILLE EFFICIENT
I A l’aide du critère Espérance-Variance, on peut définir un
portefeuille efficient
I La notion de portefeuille efficient est introduite par Markowitz
I Un portefeuille efficient est un portefeuille caractérisé par
I une espérance de rentabilité maximum à variance de rentabilité
donnée
I ou une variance de rentabilité minimum à espérance de rentabilité
donnée
I Le cas le plus simple est celui d’un portefeuille contenant deux titres
2
I Titre A : rentabilité aléatoire RA d’espérance µA et de variance σA
2
I Titre B : rentabilité aléatoire RB d’espérance µB et de variance σB
I La covariance des rentabilités est donnée par σAB = cov(RA , RB )
174
La finance en avenir incertain
La théorie du portefeuille
LE PORTEFEUILLE À DEUX TITRES
I La composition du portefeuille nécessite l’investissement d’une
somme S (normalisons à 1e pour simplifier) dans les titres A et B
I La fraction de l’euro investie dans A est de x (1 − x pour B)
I Avec Rp la rentabilité du portefeuille, la valeur de ce dernier est donc
1 + Rp = x(1 + RA ) + (1 − x)(1 + RB ) = 1 + xRA + (1 − x)RB
I On voit alors immédiatement que Rp = xRA + (1 − x)RB
I On en déduit alors
I µp = xµA + (1 − x)µB
2
2
I σp2 = x 2 σA
+ (1 − x)2 σB
+ 2x(1 − x)σAB
175
La finance en avenir incertain
La théorie du portefeuille
EXEMPLE DE PORTEFEUILLE À DEUX TITRES
I Soit un portefeuille P composé a 2/3 d’un actif A et 1/3 d’un actif B
I soit une rentabilité espérée de 12% pour A et de 18% pour B
I soit σA = σB = 40% et ρAB = 0.5 (corrélation de Pearson)
I Quelle est l’espérance et l’écart type du portefeuille ?
176
La finance en avenir incertain
La théorie du portefeuille
EXEMPLE DE PORTEFEUILLE À DEUX TITRES
I Soit un portefeuille P composé a 2/3 d’un actif A et 1/3 d’un actif B
I soit une rentabilité espérée de 12% pour A et de 18% pour B
I soit σA = σB = 40% et ρAB = 0.5 (corrélation de Pearson)
I Quelle est l’espérance et l’écart type du portefeuille ?
I µP = (2/3 × 12) + (1/3 × 18) = 14%
I D’après la formule de ρAB , on sait que σAB = ρAB σA σB = 0.08 ⇒
2
2
2
1
2 1
2
2
σP =
× (0.4) +
× (0.4)2 + 2 × × × 0.08 = 0.12444
3
3
3 3
I On a donc σP = 0.353
I Qu’observez-vous ?
176
La finance en avenir incertain
La théorie du portefeuille
EXEMPLE DE PORTEFEUILLE À DEUX TITRES
I Soit un portefeuille P composé a 2/3 d’un actif A et 1/3 d’un actif B
I soit une rentabilité espérée de 12% pour A et de 18% pour B
I soit σA = σB = 40% et ρAB = 0.5 (corrélation de Pearson)
I Quelle est l’espérance et l’écart type du portefeuille ?
I µP = (2/3 × 12) + (1/3 × 18) = 14%
I D’après la formule de ρAB , on sait que σAB = ρAB σA σB = 0.08 ⇒
2
2
2
1
2 1
2
2
σP =
× (0.4) +
× (0.4)2 + 2 × × × 0.08 = 0.12444
3
3
3 3
I On a donc σP = 0.353
I Qu’observez-vous ?
I L’écart-type de la rentabilité de P est inférieur à la moyenne des
écart-types des rentabilités de A et B
⇒ cette réduction du risque est le fruit de la diversification
176
La finance en avenir incertain
La théorie du portefeuille
PORTEFEUILLE EFFICIENT
I Dans l’exercice précédent, x était fixé (x = 2/3)
⇒ Le portefeuille P(x = 2/3) en résultant donnait : µP = 14% pour un
risque σP = 0.353
I La question compte pour notre investisseur est alors la suivante :
⇒ Existe-t-il un portefeuille P(x = x ∗ ) avec x ∗ tel que
I µ∗P > µP
∗
I σP
< σP
I Plus généralement, la question du portefeuille efficient est la
suivante
⇒ Existe-t-il un portefeuille optimale au sens de l’utilité de Markowitz
max f (E[P(x)], V[P(x)]) ,
x∈X
∂f (.)
> 0,
∂E[P(x)]
∂f (.)
<0
∂V[P(x)]
177
La finance en avenir incertain
La théorie du portefeuille
REPRÉSENTATION DES PORTEFEUILLES
I Il est possible de représenter le problème du portefeuille efficient
graphiquement
I On sait que l’agent cherche à
I minimiser le risque à espérance donnée :
min V[W̃ (d)] s.c. E[W̃ (d)] = E[W̃ (d ∗ )]
d∈D
I maximiser le rendement à variance donnée
max E[W̃ (d)] s.c. V[W̃ (d)] = V[W̃ (d ∗ )]
d∈D
avec d la décision solution du programme max f (.)
∗
I Faisons varier x dans les équations
µp = xµA + (1 − x)µB ,
2
2
σp2 = x 2 σA
+ (1 − x)2 σB
+ 2x(1 − x)σAB
⇒ On obtient alors en ensemble de portefeuilles représentant les
combinaisons possible d’actifs A et B
178
La finance en avenir incertain
La théorie du portefeuille
REPRÉSENTATION DES PORTEFEUILLES À DEUX TITRES
µP
-1 < ρAB < 1
B
µP = µB
µP = µA
Portefeuille court sur A
A
Portefeuille court sur B
σP = σA
σP = σB
σP
I A rentabilité (variance) donnée, tous les portefeuilles minimisant
(maximisant) la variance (rentabilité) sont dits efficients
179
La finance en avenir incertain
La théorie du portefeuille
REPRÉSENTATION DES PORTEFEUILLES À DEUX TITRES
µP
-1 < ρAB < 1
B
µP = µB
µP = µA
Portefeuille court sur A
A
Portefeuille court sur B
σP = σA
I
I
I
I
I
σP = σB
σP
Point A : portefeuille composé uniquement de l’actif A
Point B : portefeuille composé uniquement de l’actif B
A gauche de A : 1 − x < 0 ⇒ ventes à découvert de B
A droite de B : x < 0 ⇒ ventes à découvert de A
Si ventes à découvert interdites : segment AB uniquement
180
La finance en avenir incertain
La théorie du portefeuille
PORTEFEUILLES À DEUX TITRES PARFAITEMENT CORRÉLÉS
µ
ρAB = 1
B
A
C
σ
I Si ρAB = 1 la relation entre µp et σp est linéaire car
µp = xµA + (1 − x)µB ,
σp = xσA + (1 − x)σB
I Cette corrélation parfaite donne naissance au point C
⇒ revient à prendre une position courte sur B (1 − x < 0) tel que le
risque est entièrement éliminé de P : au point C , σP = 0
181
La finance en avenir incertain
La théorie du portefeuille
DEUX TITRES PARFAITEMENT NÉGATIVEMENT CORRÉLÉS
µ
B
ρAB = -1
C
A
σ
I Si ρAB = −1, µp = xµA + (1 − x)µB et x = σB /(σA + σB ) car
2
2
2 2
σp2 = x 2 σA
+ (1 − x)2 σB
− 2x(1 − x)σA
σB = (xσA − (1 − x)σB )2
I Cette corrélation parfaite donne naissance au point C
⇒ revient à prendre une position longue sur A etB pour obtenir une
diversification parfaite puisque le risque est entièrement éliminé
182
La finance en avenir incertain
La théorie du portefeuille
L'ACTIF SANS RISQUE
I Les meilleurs signatures ne sont pas exemptes à 100% de risque
I Cependant, la probabilité de faillite de certains états est
relativement négligeable
⇒ détenir des bons du trésors de ces états revient à détenir un actif
sans risque
I L’actif sans risque produit une rentabilité certaine au taux sans
risque noté rf
I Le taux sans risque va représenter la base de la rentabilité exigée
de tout titre financier
I La rentabilité exigée correspond en effet à rf plus une prime de
risque proportionnel au risque systématique
I Le risque systématique est le risque non diversifiable car corrélé au
marché lui même
183
La finance en avenir incertain
La théorie du portefeuille
PORTEFEUILLES AVEC UN ACTIF SANS RISQUE
µ
ρAB = 0
RA = rf
B
A
σ
I Si l’actif A est sans risque, σA = 0 et donc ρAB = 0 et
2
σp2 = (1 − x)2 σB
184
La finance en avenir incertain
La théorie du portefeuille
LE PORTEFEUILLE À N TITRES SANS ACTIF SANS RISQUE
I La généralisation à N titres conduits à deux scénarios
⇒ absence d’actif sans risque & présence d’actif sans risque
µP
µPA
µPB
PA
PB
σPA = σPB
σP
185
La finance en avenir incertain
La théorie du portefeuille
LE PORTEFEUILLE À N TITRES AVEC 1 ACTIF SANS RISQUE
I Soit un actif sans risque proposant un taux de rendement rf
I Soit un portefeuille k composé de N actifs risqués
I ce portefeuille propose un rendement moyen µk pour une variance σk2
I Soit un portefeuille efficient T composé de N actifs risqués
2
I ce portefeuille propose un rendement moyen µT pour une variance σT
I Supposons un nouveau portefeuille composite P constitué
I de l’actif sans risque dans une proportion 1 − x
I du portefeuille k dans une proportion x
⇒ sachant que σp = xσk , µp est alors
σp
σp
σp
µp = xµk + (1 − x)rf =
µk + (1 −
)rf = rf + (µk − rf )
σk
σk
σk
I Le théorème de séparation en deux fonds de Tobin et Markowitz
⇒ Tous les portefeuilles efficients peuvent être vus comme des
combinaisons de l’actif sans risque et T
186
La finance en avenir incertain
La théorie du portefeuille
LE PORTEFEUILLE À N TITRES AVEC 1 ACTIF SANS RISQUE
I La généralisation à N titres conduits à deux scénarios
µ
µT
µP
Portefeuille risqué
Portefeuille composite
Actif sans risque
Portefeuille risqué efficient
k
T
P
rf
T’
σP = x σk
σk
σ
187
La finance en avenir incertain
La théorie du portefeuille
PRINCIPE DE DIVERSIFICATION
I Soit P un portefeuille composé de N actifs alloués selon les poids
x1 , x2 , · · · , xN normalisés à 1
I La rentabilité du portefeuille est donc RP =
PN
i=1 xi Ri
I Comme pour le portefeuille à 2 titres, le risque de P va dépendre
I de la variance de l’actif i : σi
I de la covariance avec le reste du portefeuille P : cov(Ri , Rp )
⇒ L’impacte de i sur P sera très différent selon le signe de cov(Ri , Rp )
I si cov(Ri , Rp ) < 0, les baisses (hausses) de P seront compensées par
les hausses (baisses) de i
I si cov(Ri , Rp ) > 0, les baisses (hausses) de P seront accentuées par
les baisses (hausses) de i
188
La finance en avenir incertain
La théorie du portefeuille
PORTEFEUILLE EFFICIENT
I Existe-t-il un portefeuille optimale au sens de l’utilité de Markowitz
max f (E[P(x)], V[P(x)]) ,
x∈X
∂f (.)
> 0,
∂E[P(x)]
∂f (.)
<0
∂V[P(x)]
⇒ Après l’analyse graphique passons à une analyse analytique
I repartons de P composé de 2 actifs : A et B en porportion x et 1 − x
I le rendement de P est donné : Rp = xRA + (1 − x)RB
⇒ µp = E(Rp ) = xµA + (1 − x)µB
2
2
⇒ σp2 = E(Rp2 ) − E(Rp )2 = x 2 σA
+ (1 − x)2 σB
+ 2x(1 − x)σAB
I Pour quel x la variance de P est-elle minimale ?
189
La finance en avenir incertain
La théorie du portefeuille
PORTEFEUILLE EFFICIENT
I Solution :
∂σp2
=0
∂x
I La dérivée nous donne
∂σp2
2
2
2
= 2xσA
+ 2xσB
− 2σB
+ 2σA σB ρAB − 4xσA σB ρAB
∂x
I En annulant la dérivée on obtient alors :
x=
2 −σ σ ρ
σB
A B AB
2
2
σA + σB − 2σA σB ρAB
190
La finance en avenir incertain
La théorie du portefeuille
EXERCICE : PORTEFEUILLE EFFICIENT
I Soit une action A proposant de manière équiprobable
RA = {0%, 5%, 15%, 40%}
I Soit une action B proposant de manière équiprobable
RB = {30%, 40%, 0%, −10%}
I Calculez l’espérance, la variance et l’écart-type de chaque action
191
La finance en avenir incertain
La théorie du portefeuille
EXERCICE : PORTEFEUILLE EFFICIENT
I Soit une action A proposant de manière équiprobable
RA = {0%, 5%, 15%, 40%}
I Soit une action B proposant de manière équiprobable
RB = {30%, 40%, 0%, −10%}
I Calculez l’espérance, la variance et l’écart-type de chaque action
I µA = E(RA ) = 14 0% + 14 5% + 14 15% + 14 40% = 15%
I µB = E(RB ) = 14 30% + 14 40% + 14 0% − 14 10% = 15%
2
I σA
= V(RA ) = 14 0%2 + 14 5%2 + 14 15%2 + 14 40%2 −15%2 = 0.02375%
2
I σB
= V(RB ) = 14 30%2 + 14 40%2 + 14 0%2 − 14 10%2 −15%2 = 0.0425%
I σA = 0.1541
I σB = 0.2062
191
La finance en avenir incertain
La théorie du portefeuille
EXERCICE : PORTEFEUILLE EFFICIENT
I Calculez la covariance et la corrélation entre RA et RB
I Rappel :
XX
σxy =
xi yj Pr(X = xi ||Y = yj ) − E(X )E(Y )
i=1 j=1
192
La finance en avenir incertain
La théorie du portefeuille
EXERCICE : PORTEFEUILLE EFFICIENT
I Calculez la covariance et la corrélation entre RA et RB
I Rappel :
XX
σxy =
xi yj Pr(X = xi ||Y = yj ) − E(X )E(Y )
i=1 j=1
I σAB = 14 0% × 30% + 5% × 40% + 15% × 0% − 40% × 10% − 15%2 =
−0.0275
I ρAB =
σAB
σA σB
=
−0.0275
0.1541×0.2062
= −0.8656
I Soit un portefeuille P équipondéré (x = 0.5) composé de A et B
⇒ Calculez l’espérance, la variance et l’écart-type de P
192
La finance en avenir incertain
La théorie du portefeuille
EXERCICE : PORTEFEUILLE EFFICIENT
I Calculez la covariance et la corrélation entre RA et RB
I Rappel :
XX
σxy =
xi yj Pr(X = xi ||Y = yj ) − E(X )E(Y )
i=1 j=1
I σAB = 14 0% × 30% + 5% × 40% + 15% × 0% − 40% × 10% − 15%2 =
−0.0275
I ρAB =
σAB
σA σB
=
−0.0275
0.1541×0.2062
= −0.8656
I Soit un portefeuille P équipondéré (x = 0.5) composé de A et B
⇒ Calculez l’espérance, la variance et l’écart-type de P
I µP = 15 µA + 15 µB
2
2
2
2
2
I σP
= 12 σA
+ 12 σB
+ 2 12 12 σAB = 0.0028125
I σP = 0.053 < σA < σB
192
La finance en avenir incertain
La théorie du portefeuille
EXERCICE : PORTEFEUILLE EFFICIENT
I Calculez la composition de portefeuille qui minimise la variance
I Rappel :
∂σp2
σ 2 − σA σB ρAB
= 0 ⇒ x∗ = 2 B 2
∂x
σA + σB − 2σA σB ρAB
193
La finance en avenir incertain
La théorie du portefeuille
EXERCICE : PORTEFEUILLE EFFICIENT
I Calculez la composition de portefeuille qui minimise la variance
I Rappel :
∂σp2
σ 2 − σA σB ρAB
= 0 ⇒ x∗ = 2 B 2
∂x
σA + σB − 2σA σB ρAB
I On obtient
x∗ =
2
σA
2
σB
− σA σB ρAB
= 0.57732
2 − 2σ σ ρ
+ σB
A B AB
I Refaire l’exercice avec x ∗
193
La finance en avenir incertain
La théorie du portefeuille
EXERCICE : PORTEFEUILLE EFFICIENT
I Calculez la composition de portefeuille qui minimise la variance
I Rappel :
∂σp2
σ 2 − σA σB ρAB
= 0 ⇒ x∗ = 2 B 2
∂x
σA + σB − 2σA σB ρAB
I On obtient
x∗ =
2
σA
2
σB
− σA σB ρAB
= 0.57732
2 − 2σ σ ρ
+ σB
A B AB
I Refaire l’exercice avec x ∗
I On obtient
(x ∗ )
σP
(x=0.5)
= 0.0456906 < σP
< σA < σB
193
La finance en avenir incertain
La théorie du portefeuille
LE MODÈLE DE MARCHÉ (SHARPE)
I Soit N actifs de rentabilité R1 , R2 , · · · , RN
I Supposons que Ri est le résultat
I d’une incertitude imputable à la conjoncture économique et donc
commune à tous les actifs i
⇒ on notera Rm cette composante de rentabilité commune
I d’une incertitude propre à chaque actif i et donc idiosyncratique
⇒ on notera εi cette composante de rentabilité idiosyncratique
194
La finance en avenir incertain
La théorie du portefeuille
LE MODÈLE DE MARCHÉ (SHARPE)
⇒ Pour tout titre i, on peut alors décrire sa rentabilité ainsi :
Ri = µi + βi (Rm − µm ) + εi
I On suppose εi ∼ i. i. d. (0, σε2 ) et comme la rentabilité de marché est
centrée
I µi correspond à l’espérance de rentabilité de l’actif i
I βi représente la sensibilité de Ri aux variations de Rm
I on parle de bêta du titre i
I βi Rm correspond au risque systématique (non diversifiable)
I εi représente le risque idiosyncratique (diversifiable) de l’actif
195
La finance en avenir incertain
La théorie du portefeuille
LE MODÈLE DE MARCHÉ (SHARPE)
I Pour le portefeuille P on obtient donc
RP = (x1 µ1 , · · · , xN µN ) + (x1 β1 , · · · , xN βN )(Rm − µm ) + (x1 ε1 , · · · , xN εN )
I On a donc RP = µP + βP (Rm − µm ) + εP
I L’hypothèse εi ∼ i. i. d. (0, σε2 ) et E(εP Rm ) = 0 permet d’obtenir
2
σP2 = βP2 σR
+ σε2
m
2 est alors la variance systématique de P (diversifiable)
I βP2 σR
m
I σε2 est alors la variance idiosyncratique de P (non diversifiable)
196
La finance en avenir incertain
La théorie du portefeuille
LE MODÈLE DE MARCHÉ : EXEMPLE
I Soit N titres et σRm = 20% et σε = 50%, ∀i
I Pour βi = 0.9, ∀i, calculez
I la variance systématique de chaque actif i
I la variance idiosyncratique de chaque actif i
I la variance de chaque actif i à l’aide du modèle de marché
I Soit un portefeuille équi-pondéré de N titres
I Calculez
I le bêta de portefeuille
I la variance idiosyncratique du portefeuille
I la variance systématique du portefeuille
I Discutez le risque spécifique pour N = 1, N = 10, N = 100
197
La finance en avenir incertain
La théorie du portefeuille
LE MODÈLE DE MARCHÉ : EXEMPLE
I Pour βi = 0.9, ∀i :
2
I la variance systématique de i est βi2 σR
= 0.92 × 0.04 = 0.0324
m
2
I la variance idiosyncratique de i est σε = 0.52
2
I la variance de chaque actif i est σi2 = βi2 σR
+ σε2 = 0.2824
m
I Concernant le portefeuille
I
I
I
I
PN
le bêta est βP = N −1 i=1 βi = 0.9
la variance idiosyncratique est var(εP ) = σε2P = 0.25N −1
2 2
la variance systématique est βP
σRm = 0.92 × 0.04 = 0.0324
2
2 2
la variance du portefeuille est σP = βP
σRm + σε2P
I Discutez le risque spécifique pour N = 1, N = 8, N = 60
198
La finance en avenir incertain
La théorie du portefeuille
LE MODÈLE DE MARCHÉ : EXEMPLE
I Pour βi = 0.9, ∀i :
2
I la variance systématique de i est βi2 σR
= 0.92 × 0.04 = 0.0324
m
2
I la variance idiosyncratique de i est σε = 0.52
2
I la variance de chaque actif i est σi2 = βi2 σR
+ σε2 = 0.2824
m
I Concernant le portefeuille
I
I
I
I
PN
le bêta est βP = N −1 i=1 βi = 0.9
la variance idiosyncratique est var(εP ) = σε2P = 0.25N −1
2 2
la variance systématique est βP
σRm = 0.92 × 0.04 = 0.0324
2
2 2
la variance du portefeuille est σP = βP
σRm + σε2P
I Discutez le risque spécifique pour N = 1, N = 8, N = 60
I N = 1 : σε2P = 0.25 0.0324
I N = 8 : σε2P = 0.03125 < 0.0324
I N = 60 : σε2P = 0.00417 0.0324
198
STATISTIQUE, PROBABILITÉ ET
ÉCONOMÉTRIE
Statistique, probabilité et économétrie
Variables aléatoires et convergence
PLAN
4.1 Les variables aléatoires
1. Généralités
2. Introduction
2.1 Quelques définitions
2.2 L’intermédiation financière
2.3 Le système financier
5. La finance en avenir incertain
5.1 L’utilité espérée
5.2 Les fonctions d’utilité
5.3 L’utilité de Markowitz
5.4 La théorie du portefeuille
2.4 Un peu de théorie financière
6. Statistique, probabilité et économétrie
2.5 Agents et comportements
6.1 Variables aléatoires et convergence
3. La finance en avenir certain
6.2 Le Théorème Central Limite
3.1 Rappels sur les taux
6.3 La notion d’estimateur
3.2 Un peu de mathématiques financières
6.4 L’estimation des modèles linéaires
4. Rappels statistiques
7. Conclusion
200
Statistique, probabilité et économétrie
Variables aléatoires et convergence
L'ÉCONOMÉTRIE
I L’économétrie a pour objectif la mesure des phénomènes
économiques
I L’économétrie s’inscrit à la frontières de plusieurs disciplines
I La théorie économique
I La statistique et les probabilités
I L’informatique
I L’économètre cherche ainsi
I à développer des outils statistiques...
I ... afin d’analyser les phénomènes économiques...
I ... et ainsi valider ou invalider la théorie économique
I La nature aléatoire des phénomènes économiques nécessite
I de développer des estimateurs
⇒ statistiques permettant d’évaluer les paramètres inconnus d’un modèle
I de développer des tests statistiques
⇒ statistiques permettant de valider ou invalider une hypothèse
statistique concernant des paramètres
201
Statistique, probabilité et économétrie
Variables aléatoires et convergence
LES CONCEPTS DE CONVERGENCES
I Soit Xi une fonction de n variables aléatoire
Xn = f (Y1 , . . . , Yn )
I L’étude du comportement de Xn quand n → ∞ est crucial en
économétrie
I f (.) sera souvent un estimateur
I L’étude de ce comportement limite repose sur différentes notions de
convergence
I convergence presque sûre
I convergence en probabilité
I convergence en moyenne quadratique
I convergence en loi
202
Statistique, probabilité et économétrie
Variables aléatoires et convergence
CONVERGENCE PRESQUE SÛRE
I Implications : quand n → ∞, Xn tend de façon certaine vers une
constante (i.e. un variable aléatoire générée)
Définition
xn converge presque sûrement vers une constante c si,
Pr lim Xn = c = 1
n→∞
a.s.
I Notation mathématique : Xn −→ c
I Explications : Comme Xn tend vers une valeur constante de
manière certaine, sa distribution asymptotique est une masse
ponctuelle
203
Statistique, probabilité et économétrie
Variables aléatoires et convergence
CONVERGENCE PRESQUE SÛRE : ILLUSTRATION
Densité
Densité
n petit
n grand
c
204
Statistique, probabilité et économétrie
Variables aléatoires et convergence
CONVERGENCE EN PROBABILITÉ
I Implications : quand n → ∞, Xn tend vers une constante
Définition
Xn converge en probabilité vers une constante c, si pour toute valeur de
> 0,
lim Pr (|Xn − c| > ) = 0
n→∞
p
plim
I Notation mathématique : Xn −→ c ou −→ Xn = c
I Explications : La convergence en probabilité n’est pas stricte comme
la convergence presque sûre et on parle également de convergence
au sens faible. Par conséquent, Xn convergence asymptotique vers
une quantité aléatoire dont la densité est très concentrée autour de c
205
Statistique, probabilité et économétrie
Variables aléatoires et convergence
CONVERGENCE EN PROBABILITÉ : ILLUSTRATION
Densité
Densité
ε grand
c-ε
c
c+ε
ε petit
c
206
Statistique, probabilité et économétrie
Variables aléatoires et convergence
CONVERGENCE EN MOYENNE QUADRATIQUE
I Implications : quand n → ∞, Xn tend vers une constante
Définition
Xn converge en moyenne quadratique vers une constante c, si E |Xn |2 <
∞ et si pour toute valeur de γ > 0,
E |Xn − c|2 < γ
m.s.
I Notation mathématique : Xn −→ c
I Explications : Xn converge en moyenne quadratique si sa
distribution est centrée sur c, i.e. E(Xn ) = c et si sa variance tend
vers 0 asymptotique, impliquant une densité très concentrée autour
de c
207
Statistique, probabilité et économétrie
Variables aléatoires et convergence
CONVERGENCE EN LOI
I Implications : quand n → ∞, Xn tend vers une autre variable
aléatoire et dont la distribution est asymptotique équivalente
Définition
Soit Fn (.) la fonction de répartition de Xn . Xn converge en loi vers une
variable aléatoire X définie sur un support X (Ω) et ayant pour fonction
de répartition F (.) si,
lim Fn (z) = F (z), ∀z ∈ X (Ω)
n→∞
d
d
I Notation mathématique : Xn −→ X ou Xn −→ L
I Explications : Asymptotiquement la distribution de Xn est donc
identique à celle de X , ce qui implique des fonctions de densité et de
répartition identiques : Xn et X sont identiquement distribuées
208
Statistique, probabilité et économétrie
Variables aléatoires et convergence
CONVERGENCE EN LOI : ILLUSTRATION
Densité
Densité
n petit
n grand
densité de x
densité de xn
c-ε
c
c+ε
c
209
Statistique, probabilité et économétrie
Variables aléatoires et convergence
LA LOI FAIBLE DES GRANDS NOMBRES
I Implications : il s’agit d’un théorème portant sur une séquence de
variables aléatoires i. i. d.
Théorème de Khintchine
Pour une séquence de variables aléatoires i. i. d. , Xt = X1 , . . . , Xn , la
moyenne empirique de ces variables converge en probabilité vers l’espérance de Xt
n
1X
p
X̄ =
Xt −→ E(Xt )
n
t=1
I Notes : Il existe une version forte de cette loi (théorème de
Kolmogorov) qui démontre que
n
1X
a.s.
X̄ =
Xt −→ E(Xt )
n
t=1
210
Statistique, probabilité et économétrie
Le Théorème Central Limite
PLAN
4.1 Les variables aléatoires
1. Généralités
2. Introduction
2.1 Quelques définitions
2.2 L’intermédiation financière
2.3 Le système financier
5. La finance en avenir incertain
5.1 L’utilité espérée
5.2 Les fonctions d’utilité
5.3 L’utilité de Markowitz
5.4 La théorie du portefeuille
2.4 Un peu de théorie financière
6. Statistique, probabilité et économétrie
2.5 Agents et comportements
6.1 Variables aléatoires et convergence
3. La finance en avenir certain
6.2 Le Théorème Central Limite
3.1 Rappels sur les taux
6.3 La notion d’estimateur
3.2 Un peu de mathématiques financières
6.4 L’estimation des modèles linéaires
4. Rappels statistiques
7. Conclusion
211
Statistique, probabilité et économétrie
Le Théorème Central Limite
VERS UN THÉORÈME DE LA LIMITE CENTRÉE
I Soit une séquence i. i. d. , Xt = X1 , . . . , Xn de moyenne X̄
a.s.
I D’après la loi forte des grands nombres, X̄ −→ E(Xt ) si n → ∞
I la distribution asymptotique de X̄ est dégénérée
⇒ Comment construire une statistique inférentielle ?
I La logique consiste à opérer une transformation de X̄ tel que
d
T(X̄ ) −→ L
avec L une distribution non dégénérée
I Cette transformation sera généralement de la forme
√
T(X̄ ) = n X̄ − E(Xt )
212
Statistique, probabilité et économétrie
Le Théorème Central Limite
POURQUOI UNE TELLE TRANSFORMATION ?
I Pour simplifier supposons E(Xt ) = 0 et T(X̄ ) = n α X̄
I Comme Xt ∼ i. i. d. , E(Xt ) = 0, V(Xt ) = σ 2 et
Cov(Xi , Xj ) = 0, i 6= j
I On en déduit alors
2
E n α X̄ = n α E (x̄) = 0 , V n α X̄ = n 2α−1 σX
I Car :
!
!
n
n
X
1X
1
V(X̄ ) = V
Xi = 2 V
Xi
n
n
i=1
i=1


n
n n−1
X
X
1 X
= 2
V(Xi ) + 2
Cov(Xi , Xj )
n
i=1
1
= 2
n
n
X
i=1
i=1 j=i+1
n
nσ 2
σ2
1 X 2
V(Xi ) = 2
σX = 2X = X
n
n
n
i=1
213
Statistique, probabilité et économétrie
Le Théorème Central Limite
LA VITESSE DE CONVERGENCE
I Pour α ≥ 0 considérons trois cas
I α > 1/2 et donc 2α − 1 > 0
lim V n α X̄ = σ 2 lim n 2α−1 = ∞
n→∞
n→∞
I α < 1/2 et donc 2α − 1 < 0
lim V n α X̄ = σ 2 lim n 2α−1 = 0
n→∞
n→∞
I α = 1/2 et donc 2α − 1 = 0
lim V n α X̄ = σ 2 lim n 2α−1 = σ 2
n→∞
n→∞
√
⇒ La normalisation n préserve la variance de Xt
⇒ On dit que X̄ − E(Xt ) converge à la vitesse n −1/2
214
Statistique, probabilité et économétrie
Le Théorème Central Limite
LE THÉORÈME CENTRAL LIMITE
Théorème
Soit une séquence i. i. d. , Xt = X1 , . . . , Xn d’espérance E(Xt ) = m et
de variance finies V(Xt ) = σ 2 . D’après le théorème central limite de
Lindeberg-Levy,
d
√
n X̄ − m −→ N (0, σ 2 )
I D’autres théorèmes centraux limites existes et relâchent des
hypothèses du TCL de Lindeberg-Levy
I
I
I
I
TCL de Lindeberg-Feller
TCL de Lyapounov
TCL pour martingales
TCL pour processus mélangeants
215
Statistique, probabilité et économétrie
Le Théorème Central Limite
LA DISTRIBUTION ASYMPTOTIQUE
I Soit une séquence i. i. d. , Xt = X1 , . . . , Xn convergeant en loi vers
X , une variable ayant pour fonction de répartition F (.)
d
Xn −→ LX
I F(.) est donc la fonction de répartition de la distribution
asymptotique de Xn
I Dans le cadre du TCL, supposons
√
d
n (Xn − m) −→ N (0, σ 2 )
d
I Peut-on en conclure que Xn −→ N (m, σ 2 /n) ?
⇒ En fait, on peut uniquement dire que
a.a.d
Xn −→ N (m, σ 2 /n)
et que Vasy (Xn ) = σ 2 /n et Easy (Xn ) = m
216
Statistique, probabilité et économétrie
Le Théorème Central Limite
THÉORÈME DE SLUTSKY
I A partir du TCL se déclinent de nombreux théorèmes
I Pour revenir à la notion d’estimateur, voici un théorème très utile :
Théorème de Slutsky
Soit Xt = X1 , . . . , Xn et Yt = Y1 , . . . , Yn deux séquences de variables
p
d
aléatoires telles que Xt −→ X et Yt −→ c 6= 0. Alors,
d
Xt + Yt −→ X + c,
d
d
Xt Yt −→ Xc,
Xt d X
−→
Yt
c
p
I En supposant que Xt −→ N (m, σ 2 ) et que Yt −→ 2, le théorème nous
apprend que
Xt d
−→ N (m/2, σ 2 /4)
Yt
217
Statistique, probabilité et économétrie
Le Théorème Central Limite
MÉTHODE DELTA
Méthode delta
Soit Yt = Y1 , . . . , Yn une séquence aléatoire telle que
√
d
n(Yt − µ) −→ N (0, σ 2 )
Si g(.) est une fonction continue, continûment différentiable et ne dépendant pas de n, alors
√
d
n g(Yt ) − g(µ) −→ N 0,
!2 !
∂g(x) σ2
∂x µ
I Rappelons que ∂g(x)/∂x|µ est la dérivée partielle de g(x) au point µ
218
Statistique, probabilité et économétrie
Le Théorème Central Limite
MÉTHODE DELTA : EXEMPLE
I Soit une séquence de variables aléatoires Xn avec
√
nXn ∼ N (0, 1)
I On cherche à connaître la distribution asymptotique de
g(Xn ) = exp(Xn )
I L’application de la méthode delta nécessite de calculer
I g(µ = E(Xn ))
I (∂g(Xn )/∂Xn )2 × (σ2 = V(Xn )) au voisinage de µ
I On obtient
219
Statistique, probabilité et économétrie
Le Théorème Central Limite
MÉTHODE DELTA : EXEMPLE
I Soit une séquence de variables aléatoires Xn avec
√
nXn ∼ N (0, 1)
I On cherche à connaître la distribution asymptotique de
g(Xn ) = exp(Xn )
I L’application de la méthode delta nécessite de calculer
I g(µ = E(Xn ))
I (∂g(Xn )/∂Xn )2 × (σ2 = V(Xn )) au voisinage de µ
I On obtient
I g(µ) = g(0) = exp(0) = 1
I Pour la dérivée :
!2
∂g(Xn ) = exp(µ) = 1
∂Xn µ
I On en déduit donc que
√
d
n(exp(Xn ) − 1) −→ N (0, 1)
219
Statistique, probabilité et économétrie
La notion d’estimateur
PLAN
4.1 Les variables aléatoires
1. Généralités
2. Introduction
2.1 Quelques définitions
2.2 L’intermédiation financière
2.3 Le système financier
5. La finance en avenir incertain
5.1 L’utilité espérée
5.2 Les fonctions d’utilité
5.3 L’utilité de Markowitz
5.4 La théorie du portefeuille
2.4 Un peu de théorie financière
6. Statistique, probabilité et économétrie
2.5 Agents et comportements
6.1 Variables aléatoires et convergence
3. La finance en avenir certain
6.2 Le Théorème Central Limite
3.1 Rappels sur les taux
6.3 La notion d’estimateur
3.2 Un peu de mathématiques financières
6.4 L’estimation des modèles linéaires
4. Rappels statistiques
7. Conclusion
220
Statistique, probabilité et économétrie
La notion d’estimateur
PRINCIPE GÉNÉRAL
Intuition
Un estimateur est un outil statistique qui permet de révéler de l’information sur les paramètres d’intérêt d’une population à partir d’un échantillon de variables aléatoires
I Soit X une caractéristique aléatoire d’une population
I Supposons X
I définie sur un espace probabilisé (X (Ω), F, Pr)
I continue et dont la fonction de densité dépend d’un paramètre θ
fX (x; θ),
∀x ∈ X (Ω)
⇒ θ est inconnu est on cherche donc à l'estimer
221
Statistique, probabilité et économétrie
La notion d’estimateur
L'ESTIMATEUR
I Pour estimer θ on dispose d’un échantillon Xt = X1 , . . . , Xn
I On suppose Xt ∼ i. i. d.
Définition
Un estimateur du paramètre θ est une fonction des variables aléatoires
Xt = X1 , . . . , Xn de l’échantillon. Il est noté
θ̂ = g(X1 , . . . , Xn )
I Construire un estimateur :
I il s’agit trouver une fonction g(.) qui combine les Xt de sorte à révéler
de l’information sur θ
I comme g(.) est une fonction de variables aléatoires, θ est une variable
aléatoire
222
Statistique, probabilité et économétrie
La notion d’estimateur
EXEMPLE D'ESTIMATEUR
I Les statistiques descriptives comme la moyenne et la variance
empirique sont des exemples simples d’estimateur
I Soit Xt = X1 , . . . , Xn ∼ i. i. d. avec Xt ∼ N (m, σ 2 ) ∀t
⇒ Il s’en suit que
X̄ =
n
1X
1
Xt = (X1 + . . . + xn ) = g(X1 , . . . , Xn )
n t=1
n
est bien un estimateur
I Si on cherche à estimer m, la question est de savoir si X̄ est un bon
estimateur
I D’après le théorème de Khintchine nous savons que la condition
d’indépendance nous assure que
X̄ =
n
1X
p
Xt −→ E(Xt )
n t=1
223
Statistique, probabilité et économétrie
La notion d’estimateur
DISTRIBUTION D'ÉCHANTILLONNAGE ET RÉALISATIONS
Définition
La distribution d’un estimateur θ̂ est nommée distribution d’échantillonnage.
Une réalisation de l’estimateur θ̂ associée à une réalisation de l’échantillon, notée x1 , . . . , xn , correspond à une estimation du paramètre θ, qui
sera notée θ̂x
I Soit un échantillon Xi = X1 , X2 avec Xi ∼ N (µ, σ 2 )
I Il s’en suit que µ̂ = (X1 +, X2 )/2 est un estimateur de µ et que
µ̂ ∼ N (µ, σ 2 /2)
I Supposons à présent les réalisations (x1 , x2 ) = (10, 4). Il s’en suit
que
10 + 4
µ̂x =
=7
2
⇒ Distinction entre estimateur (VA) et estimation (réalisations)
224
Statistique, probabilité et économétrie
La notion d’estimateur
PROPRIÉTÉS EN ÉCHANTILLON FINI
Dans la pratique, un estimateur opère sur une taille d’échantillon finie
Définition
La distribution à distance finie d’un estimateur θ̂ correspond à la distribution valable pour toute valeur de la taille de l’échantillon n ∈ N. On a
donc θ̂ ∼ L(n), ∀n ∈ N
I Soit Xt = X1 , . . . , Xn ∼ i. i. d. avec Xt ∼ N (µ, σ 2 ) ∀t
I On a vu que µ̂ ∼ N (µ, σ 2 /n) et que V(µ̂) = σ 2 /n
I On montre également que E(µ̂) = µ car
!
n
n
1X
1X
n×µ
E(µ̂) = E
Xt =
E(Xt ) =
=µ
n
n
n
t=1
t=1
225
Statistique, probabilité et économétrie
La notion d’estimateur
PERFORMANCE D'UN ESTIMATEUR
I Théoriquement, il est rarement aussi simple d’analyser la
distribution à distance finie car
I La fonction g(.) est souvent complexe et dériver la distribution devient
impossible
I La distribution des variables X1 , . . . , Xn est souvent inconnue
I Mais alors comment évaluer les performances d'un estimateur ?
⇒ A l’aide des moments de θ̂
Définitions biais et de la variance
Le premier moment de θ̂ détermine son biais. L’estimateur θ̂ d’un paramètre θ est non biaisé si E(θ̂) = θ
Le second moment de θ̂ détermine sa précision. Pour un paramètre θ
à estimer, un estimateur sans biais θ̂1 est plus précis qu’un estimateur
sans biais θ̂2 si V(θ̂1 ) < V(θ̂2 )
226
Statistique, probabilité et économétrie
La notion d’estimateur
ESTIMATEUR OPTIMAL
Optimalité
Un estimateur optimal au sens de l'erreur quadratique est un estimateur sans biais qui possède la variance la plus faible parmi tous les estimateurs sans biais
I Théoriquement, démontrer l’optimalité peut s’avérer insoluble
I Solution : montrer que la variance de θ̂ atteint une borne d'efficacité
Borne de Cramer-Rao
Soit Xt = X1 , . . . , Xn ∼ i. i. d. possédant une fonction de densité (de
masse si X discrète) régulière. On peut alors montrer que
V(θ̂) ≥ In−1 (θ0 )
où In (θ0 ) est l'information de Fisher évalué en θ0 , la vrai valeur de θ
227
Statistique, probabilité et économétrie
La notion d’estimateur
PROPRIÉTÉS ASYMPTOTIQUES : CONVERGENCE
Une alternative à l’analyse de la distribution exacte est l’étude des
propriétés asymptotiques
Convergence
Un estimateur θ̂n est convergent au sens faible s’il converge en probap
bilité vers la vraie valeur du paramètre : θ̂n −→ θ0 , n → ∞
I Soit Xt = X1 , . . . , Xn ∼ i. i. d. (µ, σ 2 ) ∀t
I On a vu que E(µ̂) = µ : µ̂ est sans biais
I µ̂ est même convergent au sens fort car
n
1 X
σ2
lim V(µ̂) = lim 2
V(Xt ) = lim 2 = 0
n→∞
n→∞ n
n→∞ n
t=1
a.s.
⇒ distribution dégénérée car µ̂n −→ µ
228
Statistique, probabilité et économétrie
La notion d’estimateur
PROPRIÉTÉS ASYMPTOTIQUES : DISTRIBUTION
Distribution asymptotique
La distribution asymptotique d’un estimateur θ̂n correspond à sa distribution valable uniquement pour une taille d’échantillon n très grande
I Soit Xt = X1 , . . . , Xn ∼ i. i. d. (µ, σ 2 ) ∀t
I On a vu que µ̂n a une distribution dégénérée quand n → ∞
I Cependant, l’application du TCL nous permet de montrer que
√
d
n(µ̂n − µ) −→ N (0, σ 2 )
I On peut également montrer que
a.a.d
µ̂n −→ N (µ,
σ2
)
n
229
Statistique, probabilité et économétrie
La notion d’estimateur
ESTIMATION PONCTUELLE ET INCERTITUDE
I Dans la pratique, on procédera à des estimations ponctuelle
I réalisation de θ̂ que l’on note θ̂(x) = g(x1 , . . . , xn )
I Une estimation ponctuelle ne rend pas compte de l'incertitude liée à
l'estimation
Définition
Un intervalle de confiance sur le paramètre θ pour un niveau de risque
de α ∈ (0, 1) est un encadrement du type
Pr(A ≤ θ ≤ B) = 1 − α
avec A et B des variables aléatoires, fonctions de X1 , . . . , Xn
I Dans la pratique cet intervalle sera noté IC1−α = [a; b]
I a et b étant des réalisations de A et B, IC1−α est une réalisation
I e.g. pour α = 5% et IC0.95 = [1, 2; 1, 5]
⇒ on dira que θ a 95% de chance d’être entre 1,2 et 1,5
230
Statistique, probabilité et économétrie
La notion d’estimateur
INTERVALLE DE CONFIANCE : MÉTHODOLOGIE
I Méthodologie pour construire un intervalle de confiance :
1 On construit un estimateur sans biais et convergent dont on connait la
loi exacte ou asymptotique
2 On transforme la variable θ̂ afin que la loi de la variable transformée
ne dépende plus de paramètres inconnus
⇒ e.g. la z-transformée :
θ̂ − E(θ̂)
θ̂ − θ
h(θ̂, θ) = z = q
=q
V(θ̂)
V(θ̂)
3 On construit l'encadrement Pr(c ≤ h(θ̂, θ) ≤ d) = 1 − α avec d > c
4 Pour A = f (θ̂, c, d) et B = g(θ̂, c, d) des variables aléatoires on
construit
Pr(f (θ̂, c, d) ≤ θ ≤ g(θ̂, c, d)) = Pr(A ≤ θ ≤ B) = 1 − α
h
i
5 L’IC réalisé donne alors IC1−α = f (θ̂(x)); g(θ̂(x)) = [a; b]
231
Statistique, probabilité et économétrie
La notion d’estimateur
INTERVALLE DE CONFIANCE : EXEMPLE
I Soit Xt = X1 , . . . , Xn ∼ i. i. d. avec Xt ∼ N (µ, σ 2 = 6.25)
1 Supposons ici que X̄ = 4, 3
p
I D’après le théorème de Khintchine X̄ −→ µ
I De plus, on a montré que X̄ ∼ N (µ, σ 2 /n)
2 La z-transformée de X̄ nous donne
X̄ − E(X̄ )
X̄ − µ
h(θ̂, θ) = p
=
∼ N (0, 1)
σ/n
V(X̄ )
3 On construit un encadrement
X̄ − µ
Pr c ≤
≤d =1−α
σ/n
avec c = Φ−1 (α/2), d = Φ−1 (1 − α/2) et Φ(.) la fonction de
répartition de la loi normale centrée réduite
232
Statistique, probabilité et économétrie
La notion d’estimateur
INTERVALLE DE CONFIANCE : EXEMPLE
I Suite de la méthodologie...
4 De l’étape 3 on déduit
σ
α
σ
α
1 − α = Pr
Φ−1
− X̄ ≤ −µ ≤ Φ−1 1 −
− X̄
2 n
2 n
σ
α
σ
α
= Pr X̄ − Φ−1 1 −
≤ µ ≤ X̄ − Φ−1
n
2
n
2
σ −1 α
σ −1 α = Pr X̄ − Φ
1−
≤ µ ≤ X̄ + Φ
1−
n
2
n
2
en multipliant par −1 et en utilisant la symétrie de la loi normale
5 Pour α = 0, 05, n = 10, σ 2 = 6, 25 et x̄ = 4, 3 on obtient alors
σ
α
σ
α IC0.95 = Pr x̄ − Φ−1 1 −
; x̄ + Φ−1 1 −
n
2
n
2
!
√
√
6.25 −1
6.25 −1
= Pr 4.3 −
Φ (0.975); 4.3 +
Φ (0.975)
10
10
= [3.81; 4.79]
233
Statistique, probabilité et économétrie
L’estimation des modèles linéaires
PLAN
4.1 Les variables aléatoires
1. Généralités
2. Introduction
2.1 Quelques définitions
2.2 L’intermédiation financière
2.3 Le système financier
5. La finance en avenir incertain
5.1 L’utilité espérée
5.2 Les fonctions d’utilité
5.3 L’utilité de Markowitz
5.4 La théorie du portefeuille
2.4 Un peu de théorie financière
6. Statistique, probabilité et économétrie
2.5 Agents et comportements
6.1 Variables aléatoires et convergence
3. La finance en avenir certain
6.2 Le Théorème Central Limite
3.1 Rappels sur les taux
6.3 La notion d’estimateur
3.2 Un peu de mathématiques financières
6.4 L’estimation des modèles linéaires
4. Rappels statistiques
7. Conclusion
234
Statistique, probabilité et économétrie
L’estimation des modèles linéaires
LE MODÈLE LINÉAIRE
I Soit un modèle liant deux variables aléatoires Xt = X1 , . . . , Xn et
Yt = Y1 , . . . , Yn via une fonction
Yt = g(θ; Xt )
Définition
Un modèle est linéaire dans les variables si la dérivée de Yt par rapport
à Xt est indépendante de Xt
I Exemple de modèle linéaire simple :
Yt = α + βXt
I Exemple de modèle linéarisable simple :
Yt = α + βXt2
⇒ non linéaire en Yt et Xt mais linéaire en log Yt et log Xt
235
Statistique, probabilité et économétrie
L’estimation des modèles linéaires
LE MODÈLE LINÉAIRE
I Soit un modèle liant deux variables aléatoires Xt = X1 , . . . , Xn et
Yt = Y1 , . . . , Yn via une fonction dépendant de paramètre
Yt = g(α, β; Xt )
I Exemple de modèle linéaire simple :
Yt = α + βXt
I Exemples de modèles non-linéaires :
Yt = α + β 2 Xt2 ou Yt = α +
β
Xt
α
Note
Par la suite nous dirons qu’un modèle est linéaire s’il est linéaire dans
les paramètres et au moins linéarisable dans les variables
236
Statistique, probabilité et économétrie
L’estimation des modèles linéaires
NUAGE DE POINTS ET DÉPENDANCE LINÉAIRE
I Soit deux variables aléatoires Xt et Yt et leurs réalisations xt et yt
I En couplant pour chaque t les valeurs correspondantes des
réalisations de x et y on obtient des coordonnées : zt = (xt , yt )
⇒ En traçant chaque point on obtient un nuage
x
y
I La forme du nuage donne une première idée de la dépendance qu’il
existe entre xt et yt
237
Statistique, probabilité et économétrie
L’estimation des modèles linéaires
LE MODÈLE LINÉAIRE DANS LA PARTIQUE
I Pour analyser la dépendance, cherchons le modèle qui représentera
le mieux l’allure du nuage
⇒ On utilise pour cela le concept de droite de régression
I On cherche une droite ŷt qui, sans passer par l’ensemble des points,
représente le mieux l’allure du nuage
⇒ Pour chaque t, il existe donc un écart entre yt et la droite ŷt
εt = yt − ŷt
I Au plus les écarts seront faibles, au mieux la droite représentera le
nuage
⇒ On cherche donc une droite qui minimise les écarts εt
I Comment trouver l'équation d'une telle droite ?
238
Statistique, probabilité et économétrie
L’estimation des modèles linéaires
LE MODÈLE DE RÉGRESSION SIMPLE
I Partons du modèle linéaire
yt = α + βxt + εt
I εt représente ici les écarts aussi appelés erreurs ou résidus
I Afin de minimiser ces erreurs, reformulons le modèle :
εt = yt − α − βxt
I Les erreurs pouvant être positives comme négatives, on cherche à
minimiser la somme des carrés des erreurs
S=
n
X
t=1
ε2t
n
X
=
(yt − α − βxt )2
t=1
239
Statistique, probabilité et économétrie
L’estimation des modèles linéaires
MÉTHODE DES MCO
I Afin de minimiser S on annule les dérivées partielles par rapport aux
paramètres α et β
n
X
∂S
= −2
(yt − α − βxt )xt = 0
∂β
t=1
∂S
= −2
∂α
n
X
(yt − α − βxt ) = 0
t=1
I En cassant les sommes on obtient le système suivant
n
X
yt xt
t=1
n
X
=β
yt = β
t=1
n
X
t=1
n
X
xt2
+α
n
X
xt
t=1
+n × α
t=1
240
Statistique, probabilité et économétrie
L’estimation des modèles linéaires
MÉTHODE DES MCO
I En divisant par n l’équation 2 on obtient α = ȳ − βx̄
I Puis en remplaçant dans 1 on obtient
n
X
t=1
yt xt = β
n
X
t=1
xt2 + (ȳ − βx̄)
n
n
1X X
=
xt
yt + β
n
t=1
t=1
n
X
xt
t=1
n
X
t=1
1
xt2 −
n
n
X
xt
!2 !
t=1
I D’après les formules de V(xt ) et Cov(yt , xt ), il vient que
nCov(yt , xt ) = βnV(xt ) et donc
β=
Cov(yt , xt )
V(xt )
I Il s’agit de la méthode des moindres carrés ordinaires (MCO)
241
Statistique, probabilité et économétrie
L’estimation des modèles linéaires
MÉTHODE DES MCO
I Nous obtenons donc l’équation de la droite de régression qui
minimise la somme des carrés des erreurs : ŷt = α + βxt
x
y
242
Statistique, probabilité et économétrie
L’estimation des modèles linéaires
COEFFICIENT DE DÉTERMINATION
I Il existe non pas un modèle linéaire mais une infinité
I e.g. on pourrait imaginer un modèle où α = 0
⇒ Comment apprécier la capacité d’un modèle à expliquer la
dépendance entre deux variables ?
I La variance de yt peut s’exprimer comme V(yt ) = V(ŷt ) + V(εt )
I V(ŷt ) représente la dispersion sur la droite de régression : la variance
de yt expliquée par la régression
I V(εt ) représente la dispersion autour de la droite de régression : la
variance de yt inexpliquée par la régression
⇒ Le coefficient de détermination permet de synthétiser cela
0 ≤ R2 =
V(ŷt )
V(εt )
=1−
≤1
V(yt )
V(yt )
I si V(ŷt ) explique totalement (nullement) V(yt ) on a R2 = 1 (R2 = 0)
243
Statistique, probabilité et économétrie
L’estimation des modèles linéaires
MESURE DE DÉPENDANCE
I Il existe un grand nombre de mesures de dépendance
Définition
Le coefficient de corrélation de Pearson est une mesure qui quantifie
le degré de dépendance entre deux variables. Cette mesure évalue la
proximité entre les points d’un nuage et ceux figurant sur la droite de
régression
Cov(yt , xt )
rxy =
σx σy
I Mathématiquement on a −1 ≤ rxy ≤ 1
I Il s’agit d’un coefficient de corrélation linéaire
I L’absence de corrélation linéaire n’est pas l’absence de corrélation
I La corrélation n’est pas la causalité
244
Statistique, probabilité et économétrie
L’estimation des modèles linéaires
SPHÉRICITÉ DES ERREURS
Afin de s’assurer que la méthode des MCO s’applique, plusieurs
hypothèses doivent être vérifiées
I Nullité de l’erreur moyenne
I En moyenne, le modèle est correctement spécifié :
E(εt ) = 0
I L’absence d’autocorrélation
I L’erreur en date t n’est pas corrélée avec l’erreur en date t + j :
E(εt εt+j ) = 0,
∀j 6= 0
245
Statistique, probabilité et économétrie
L’estimation des modèles linéaires
SPHÉRICITÉ DES ERREURS
Afin de s’assurer que la méthode des MCO s’applique, plusieurs
hypothèses doivent être vérifiées
I L’homoscédasticité des erreurs
I Pour tout échantillon, la variance est constante :
E(ε2t ) = σε2 ,
∀t
I La normalité des erreurs
I En vertu du TCL, le terme d’erreur est normalement distribué :
εt ∼ N (0, σε2 )
I L’absence d’autocorrélation permet de conclure que εt ∼ i. i. d.
246
Statistique, probabilité et économétrie
L’estimation des modèles linéaires
MÉTHODE DU MAXIMUM DE VRAISEMBLANCE
I Partons d’un exemple : soit un échantillon Xt = X1 , · · · , Xn ∼ P(θ)
I P(θ) dénote la distribution de Poisson de fonction de masse
Pr(Xi = x) =
exp(−θ)θx
, θ > 0, ∀x ∈ N
x!
I Soit une réalisation de l’échantillon xt = x1 , · · · , xn
I La probabilité d’observer cette réalisation est
Pr (X1 = x1 )∩, · · · , ∩(Xn = xn )
I L’indépendance des tirages donne l’équivalence avec le produit des
probabilités marginales
n
Y
Pr (X1 = x1 )∩, · · · , ∩(Xn = xn ) =
Pr(Xi = xi )
i=1
247
Statistique, probabilité et économétrie
L’estimation des modèles linéaires
L'ESTIMATEUR DU MAXIMUM DE VRAISEMBLANCE
I En remplaçant par la fonction de masse de la loi de Poisson on
obtient
Pn
n
Y
e−θ θxi
θ i=1 xi
−nθ Q
Pr (X1 = x1 )∩, · · · , ∩(Xn = xn ) =
=e
n
xi !
i=1 xi !
i=1
I Il s’agit donc d’une fonction dépendant de x1 , · · · , xn et de θ
I θ est un paramètre inconnu mais on observe x1 , · · · , xn
I Par la suite on notera :
Ln (θ; x1 , · · · , xn ) = Pr (X1 = x1 )∩, · · · , ∩(Xn = xn )
I Le principe du maximum de vraisemblance est le suivant :
I Trouver le θ qui maximise la probabilité d’apparition de x1 , · · · , xn
I L'estimateur du maximum de vraisemblance est donc :
θ̂ = arg max Ln (θ; x1 , · · · , xn )
θ∈R+
248
Statistique, probabilité et économétrie
L’estimation des modèles linéaires
L'ESTIMATEUR DU MAXIMUM DE LA LOG-VRAISEMBLANCE
I Dans le cas exemple reposant sur la loi de Poisson on a
Pn
θ i=1 xi
θ̂ = arg max e−nθ Qn
θ∈R+
i=1 xi !
I La formule est complexe et la présence d’un produit n’arrange rien
I Simplifions le programme de maximisation en considérant la
log-vraisemblance
θ̂ = arg max ln Ln (θ; x1 , · · · , xn )
θ∈R+
I Dans le cadre de notre exemple la log-vraisemblance est
ln Ln (θ; x1 , · · · , xn ) = −nθ + ln(θ)
n
X
i=1
xi − ln
n
Y
!
xi !
i=1
249
Statistique, probabilité et économétrie
L’estimation des modèles linéaires
CONDITIONS NÉCESSAIRE ET SUFFISANTE
I La condition nécessaire répond à la question
I Le problème admet-il une solution ?
⇒ Pour répondre on annule la dérivée première par rapport à θ
n
n
X
X
∂ ln Ln (θ; x1 , · · · , xn ) −1
−1
xi = 0 ⇐⇒ θ̂ = n
xi
= −n + θ̂
∂θ
θ̂
i=1
i=1
I Ici, la log vraisemblance est maximisée par la moyenne empirique
I La condition suffisante répond à la question
I Cette solution est-elle un maximum ?
⇒ Pour répondre on regarde le signe de la dérivée seconde par rapport à θ
n
X
∂ 2 ln Ln (θ; x1 , · · · , xn ) −2
=
−
θ̂
xi < 0
∂θ2
θ̂
i=1
I Négatif donc bien un maximum
250
Statistique, probabilité et économétrie
L’estimation des modèles linéaires
LOG-VRAISEMBLANCE GAUSSIENNE
I Dans l’exemple, il s’agissait de variables aléatoires discrètes
I Dans le cas de variables aléatoires continues, l’intuition est la même
I Néanmoins, on raisonnera sur la densité de la loi jointe des variables
Ln (θ; x1 , · · · , xn ) = fX1 ,··· ,Xn (x1 , · · · , xn ; θ)
I Soit une séquence Xn ∼ i. i. d. (µ, σ 2 ) selon une loi normale
I La densité de la loi normale implique 2 paramètres θ = (µ, σ 2 )0
Ln (θ; x1 , · · · , xn ) =
n
(x −µ)2
Y
√
− i
(σε 2π)−1 e 2σε2
i=1
Pn
2
i=1 (xi − µ)
=
−
2σε2
n
n
n
1 X
ln Ln (θ; x1 , · · · , xn ) = − ln(σε2 ) − ln(2π) − 2
(xi − µ)2
2
2
2σε
(2πσε2 )−n/2 exp
i=1
251
Statistique, probabilité et économétrie
L’estimation des modèles linéaires
L'ESTIMATEUR DU MAXIMUM DE VRAISEMBLANCE
I Estimateur du maximum de vraisemblance
θ̂ = arg max ln Ln (θ; x1 , · · · , xn )
θ∈R+
I Hypothèses
I θ = (µ, σ 2 )0 est identifiable : ∀θ∗ , θ avec θ∗ 6= θ, les lois jointes de
x1 , · · · , xn sont différentes
I Condition nécessaire du gradient :
∂ ln Ln (θ; x1 , · · · , xn ) gn (θ̂; x1 , · · · , xn ) =
=0
∂θ
θ̂
I Condition suffisante de la hessienne :
Hn (θ̂; x1 , · · · , xn ) =
∂ 2 ln Ln (θ; x1 , · · · , xn ) <0
∂θ2
θ̂
252
Statistique, probabilité et économétrie
L’estimation des modèles linéaires
CONDITION NÉCESSAIRE DU MLE GAUSSIEN
I Notons ln Ln (θ; x1 , · · · , xn ) = `n (θ; x) et commençons par le
gradient :
253
Statistique, probabilité et économétrie
L’estimation des modèles linéaires
CONDITION NÉCESSAIRE DU MLE GAUSSIEN
I Notons ln Ln (θ; x1 , · · · , xn ) = `n (θ; x) et commençons par le
gradient :

 

∂`n (θ;x)
1 Pn
(x
−
m)
i
2
i=1
∂m
σ
∂`n (θ; x) 
 

=
=
∂θ
n
1 Pn
2
∂`n (θ;x)
− 2σ2 + 2σ4 i=1 (xi − m)
∂σ 2


P
m̂ = n −1 ni=1 xi = x̄
∂`n (θ; x) 0

⇒
=
⇒ θ̂ = 
Pn
0
∂θ
2
−1
2
θ̂
σ̂ = n
i=1 (xi − x̄)
I Le programme de maximisation a donc P
une solution
n
I Les réalisations
m̂ = n −1 i=1 xi = x̄ et
Pn du ML sont
2
−1
2
σ̂ = n
i=1 (xi − x̄) (variance empirique non-corrigée)
Pn
I Les estimateurs
du ML sont m̂ = n −1 i=1 Xi = X̄ et
P
n
σ̂ 2 = n −1 i=1 (Xi − X̄ )2
253
Statistique, probabilité et économétrie
L’estimation des modèles linéaires
CONDITION SUFFISANTE DU MLE GAUSSIEN
I La solution est-elle bien un maximum ?
254
Statistique, probabilité et économétrie
L’estimation des modèles linéaires
CONDITION SUFFISANTE DU MLE GAUSSIEN
I La solution est-elle bien un maximum ?
∂ 2 `n (θ; x)
=
∂θ∂θ0
∂ 2 `n (θ;x)
∂m 2
∂ 2 `n (θ;x)
∂m∂σ 2
∂ 2 `n (θ;x)
∂m∂σ 2
∂ 2 `n (θ;x)
∂σ 4
!
I On obtient alors
254
Statistique, probabilité et économétrie
L’estimation des modèles linéaires
CONDITION SUFFISANTE DU MLE GAUSSIEN
I La solution est-elle bien un maximum ?
∂ 2 `n (θ; x)
=
∂θ∂θ0
∂ 2 `n (θ;x)
∂m 2
∂ 2 `n (θ;x)
∂m∂σ 2
∂ 2 `n (θ;x)
∂m∂σ 2
∂ 2 `n (θ;x)
∂σ 4
!
I On obtient alors
∂ 2 `n (θ; x) − σ̂n2
P
=
− σ̂14 ni=1 (xi − m̂)
∂θ∂θ0 θ̂
Pn
− σ̂14 P
i=1 (xi − m̂)
n
− σ̂16 ni=1 (xi − m̂)2
2σ̂ 4
P
I D’après l’étude du gradient, on sait que n × m̂ = ni=1 xi et donc
n
n
n
n
1 X
1 X
1
1 X
1 X
(x
−
m̂)
=
−
x
+
n
×
m̂
=
x
−
xi = 0
i
i
i
σ̂ 4
σ̂ 4
σ̂ 4
σ̂ 4
σ̂ 4
i=1
i=1
i=1
i=1
Pn
2
2
I De plus, n × σ̂ = i=1 (xi − m̂) , ce qui donne
n
n
− σ̂2
0
∂ 2 `n (θ; x) − σ̂2
0
=
=
2
n
0
− 2σ̂n 4
∂θ∂θ0 θ̂
0
− nσ̂σ̂6
2σ̂ 4
−
254
Statistique, probabilité et économétrie
L’estimation des modèles linéaires
CONDITION SUFFISANTE DU MLE GAUSSIEN
I Pour conclure, il faut montrer que la hessienne est définie négative
n
∂ 2 `n (θ; x) − σ̂2
0
=
0
− 2σ̂n 4
∂θ∂θ0 θ̂
I Pour cela on s’intéresse aux mineurs principaux, ∆1 et ∆2 . Le
premier mineur est
255
Statistique, probabilité et économétrie
L’estimation des modèles linéaires
CONDITION SUFFISANTE DU MLE GAUSSIEN
I Pour conclure, il faut montrer que la hessienne est définie négative
n
∂ 2 `n (θ; x) − σ̂2
0
=
0
− 2σ̂n 4
∂θ∂θ0 θ̂
I Pour cela on s’intéresse aux mineurs principaux, ∆1 et ∆2 . Le
premier mineur est
n
∆1 = − 2 < 0
σ̂
I Le second mineur est
255
Statistique, probabilité et économétrie
L’estimation des modèles linéaires
CONDITION SUFFISANTE DU MLE GAUSSIEN
I Pour conclure, il faut montrer que la hessienne est définie négative
n
∂ 2 `n (θ; x) − σ̂2
0
=
0
− 2σ̂n 4
∂θ∂θ0 θ̂
I Pour cela on s’intéresse aux mineurs principaux, ∆1 et ∆2 . Le
premier mineur est
n
∆1 = − 2 < 0
σ̂
I Le second mineur est
n
n
n
− σ̂2
0
∆2 = det
=− 2 ×− 4 −0>0
n
0
− 2σ̂4
σ̂
2σ̂
I Les mineurs principaux étant de signes opposés, la hessienne est bien
définie négative et la solution du programme est bien un maximum
255
Statistique, probabilité et économétrie
L’estimation des modèles linéaires
LE SCORE
I Le score ressemble au gradient mais en diffère pour la raison
suivante :
I Le gradient est déterministe car basé sur les réalisations :
∂`n (θ; x1 , · · · , xn )
∂θ
I Le score est une version stochastique du gradient car basé sur les
variables aléatoires :
Sn (θ; X ) =
∂`n (θ; X1 , · · · , Xn )
∂θ
I Le score étant une variable aléatoire, il convient de s’intéresser à ces
moments et notamment son espérance
I L’espérance nous intéresse afin de calculer la variance
I La variance nous intéresse car elle permet de calculer la matrice
d'information de Fisher
256
Statistique, probabilité et économétrie
L’estimation des modèles linéaires
LA HESSIENNE STOCHASTIQUE
I De même que pour le gradient, on peut considérer une version
stochastique de la hessienne
I La hessienne déterministe est basés sur les réalisations :
Hn (θ, x) =
∂ 2 `n (θ; x1 , · · · , xn )
∂θ∂θ0
I La hessienne stochastique est basés sur les variables aléatoires :
Hn (θ, X ) =
∂ 2 `n (θ; X1 , · · · , Xn )
∂θ∂θ0
I Le hessienne stochastique étant une variable aléatoire elle a des
moments :
I l’espérance de la hessienne nous permet de calculer la matrice
d'information de Fisher
257
Statistique, probabilité et économétrie
L’estimation des modèles linéaires
L'INFORMATION DE FISHER
I La matrice d'information de Fisher peut se calculer de plusieurs
manières
Information de Fisher
La quantité d’information de Fisher associée à l’échantillon est une
constante définie par la variance du score ou l’espérance de l’opposée
de la hessienne stochastique :
In (θ) = V(Sn (θ; X )) = E(Sn2 (θ; X )) − E(Sn (θ; X ))2
ou
In (θ) = E(−Hn (θ, X ))
258
Statistique, probabilité et économétrie
L’estimation des modèles linéaires
L'INFORMATION DE FISHER ET MLE GAUSSIEN
I Repartons du MLE Gaussien et calculons l’information de Fisher :
259
Statistique, probabilité et économétrie
L’estimation des modèles linéaires
L'INFORMATION DE FISHER ET MLE GAUSSIEN
I Repartons du MLE Gaussien et calculons l’information de Fisher :


1 Pn
(Xi − m)
2
i=1
σ
0

Sn (θ; X ) =
⇒ θ̂ = 
0
n
1 Pn
2
− 2σ2 + 2σ4 i=1 (Xi − m)
Hn (θ; X ) =
− σ14
n
Pn− σ2
i=1 (Xi − m)
Pn
− σ14 P
i=1 (Xi − m)
n
− σ16 ni=1 (Xi − m)2
2σ 4
I Les deux méthodes peuvent être utilisée. Par exemple :
In (θ) = E(−Hn (θ, X ))
n
1 Pn
(Xi − m)
2
4
i=1
σ
σ
P
P
=E 1
n
n
n
1
2
i=1 (Xi − m) − 2σ 4 + σ 6
i=1 (Xi − m)
σ4
259
Statistique, probabilité et économétrie
L’estimation des modèles linéaires
L'INFORMATION DE FISHER ET MLE GAUSSIEN
I Les quantités déterministe n’étant pas affectées par l’espérance on
obtient
260
Statistique, probabilité et économétrie
L’estimation des modèles linéaires
L'INFORMATION DE FISHER ET MLE GAUSSIEN
I Les quantités déterministe n’étant pas affectées par l’espérance on
obtient
n
1 Pn
E(X
−
m)
i
2
4
i=1
σ
In (θ) = 1 Pn σ
n
1 Pn
2
i=1 E(Xi − m) − 2σ 4 + σ 6
i=1 E((Xi − m) )
σ4
I Or, E(Xi ) = m donc E(Xi − m) = 0
I De plus, par définition, E(Xi − m)2 = σ 2 ce qui nous donne
n
0
2
σ
In (θ) =
0 2σn 4
I La borne informationnelle de Cramer-Rao définissant l’efficacité du
MLE Gaussien est donc :
260
Statistique, probabilité et économétrie
L’estimation des modèles linéaires
L'INFORMATION DE FISHER ET MLE GAUSSIEN
I Les quantités déterministe n’étant pas affectées par l’espérance on
obtient
n
1 Pn
E(X
−
m)
i
2
4
i=1
σ
In (θ) = 1 Pn σ
n
1 Pn
2
i=1 E(Xi − m) − 2σ 4 + σ 6
i=1 E((Xi − m) )
σ4
I Or, E(Xi ) = m donc E(Xi − m) = 0
I De plus, par définition, E(Xi − m)2 = σ 2 ce qui nous donne
n
0
2
σ
In (θ) =
0 2σn 4
I La borne informationnelle de Cramer-Rao définissant l’efficacité du
MLE Gaussien est donc :
!
σ02
0
In−1 (θ0 ) = n 2σ4
0
0
n
260
Statistique, probabilité et économétrie
L’estimation des modèles linéaires
PROPRIÉTÉ DE MAXIMUM DE VRAISEMBLANCE
I Commençons par poser 3 hypothèses dites de régularités
I Hypothèse 1 : la fonction de densité fX (θ; xi ) est trois fois
différentiable par rapport à θ et ses dérivées sont continues et finies
∀x, θ
I Hypothèse 2 : les espérances des dérivées première et seconde de
ln fX (θ; Xi ) par rapport à θ existent
I Hypothèse 3 : la vrai valeur de θ, i.e. θ0 , appartient à un ensemble
compact Θ
I Par ensemble compact il faut comprendre un ensemble fermé et petit
dont on ne peut s’échapper
261
Statistique, probabilité et économétrie
L’estimation des modèles linéaires
PROPRIÉTÉ DE MAXIMUM DE VRAISEMBLANCE
I Sous cet ensemble d’hypothèses il est possible de montrer
I que le MLE est convergent
p
θ̂ −→ θ0
I que le MLE est asymptotiquement efficace
V(θ̂) = In−1 (θ0 )
I que le MLE est asymptotiquement normalement distribué
√
d
n(θ̂ − θ0 ) −→ N (0, In−1 (θ0 ))
262
Statistique, probabilité et économétrie
L’estimation des modèles linéaires
MAXIMUM DE VRAISEMBLANCE CONDITIONNELLE
I Soit un modèle économétrique du type Yt = g(θ; Xt ) + εt
I Une approche par MLE nécessite de considérer la distribution
conditionnelle de Y sachant les réalisations de X
fY |X (y|x; θ)
Vraisemblance conditionnelle
Les fonctions de vraisemblance et log-vraisemblance conditionnelle
d’un échantillon {yt , xt }nt=1 sont définies par
Ln (θ; y|x) =
n
Y
t=1
fY |X (yt |xt ; θ), et `n (θ; y|x) =
n
X
t=1
ln fY |X (yt |xt ; θ)
263
Statistique, probabilité et économétrie
L’estimation des modèles linéaires
MLE ET MODÈLE DE RÉGRESSION LINÉAIRE
I Dans le cadre simple du modèle Yt = βXt + εt ∼ i. i. d.
I En supposant la normalité des erreurs, i.e. εt ∼ N (0, σ 2 ), si Xi = xi ,
on obtient que Yi |xi ∼ N (βxi , σ 2 )
I On obtient alors la densité conditionnelle de Yi suivante
!2
1
yi − βxi
fY |X (yt |xt ; θ) = √ exp −
, θ = (β, σ 2 )0
2σ
σ 2π
I Les fonctions de ML et log-ML conditionnelles sont alors
!2
1
yi − βxi
Ln (θ; y|x) = √ exp −
2σ
σ 2π
et
n
n
n
1 X
2
`n (θ; y|x) = − ln(σε ) − ln(2π) − 2
(yi − βxi )2
2
2
2σε
i=1
264
Statistique, probabilité et économétrie
L’estimation des modèles linéaires
EXERCICE TYPE
I Soit un échantillon (X1 , · · · , Xn ) ∼ i. i. d. selon une distribution
exponentielle de paramètre θ−1
I La fonction de densité d’une loi exponentielle est θ−1 exp(−θ−1 X )
I La log-vraisemblance de l’échantillon (x1 , · · · , xn ) est alors
265
Statistique, probabilité et économétrie
L’estimation des modèles linéaires
EXERCICE TYPE
I Soit un échantillon (X1 , · · · , Xn ) ∼ i. i. d. selon une distribution
exponentielle de paramètre θ−1
I La fonction de densité d’une loi exponentielle est θ−1 exp(−θ−1 X )
I La log-vraisemblance de l’échantillon (x1 , · · · , xn ) est alors
`n (θ; x) = −n ln(θ) − θ−1
n
X
xt
t=1
I L’estimateur du log-ML est alors
265
Statistique, probabilité et économétrie
L’estimation des modèles linéaires
EXERCICE TYPE
I Soit un échantillon (X1 , · · · , Xn ) ∼ i. i. d. selon une distribution
exponentielle de paramètre θ−1
I La fonction de densité d’une loi exponentielle est θ−1 exp(−θ−1 X )
I La log-vraisemblance de l’échantillon (x1 , · · · , xn ) est alors
`n (θ; x) = −n ln(θ) − θ−1
n
X
xt
t=1
I L’estimateur du log-ML est alors
n
n
X
∂`n (θ; x)
n
1 X
=− + 2
Xt = 0 ⇒ θ̂ = n −1
Xt
∂θ
θ
θ
t=1
t=1
I Sachant que la loi exponentielle de paramètre λ a pour espérance
λ−1 et pour variance λ−2 , E(Xt ) et V(Xt ) sont données par
265
Statistique, probabilité et économétrie
L’estimation des modèles linéaires
EXERCICE TYPE
I Soit un échantillon (X1 , · · · , Xn ) ∼ i. i. d. selon une distribution
exponentielle de paramètre θ−1
I La fonction de densité d’une loi exponentielle est θ−1 exp(−θ−1 X )
I La log-vraisemblance de l’échantillon (x1 , · · · , xn ) est alors
`n (θ; x) = −n ln(θ) − θ−1
n
X
xt
t=1
I L’estimateur du log-ML est alors
n
n
X
∂`n (θ; x)
n
1 X
=− + 2
Xt = 0 ⇒ θ̂ = n −1
Xt
∂θ
θ
θ
t=1
t=1
I Sachant que la loi exponentielle de paramètre λ a pour espérance
λ−1 et pour variance λ−2 , E(Xt ) et V(Xt ) sont données par
E(Xt ) = θ0 ,
V(Xt ) = θ02
265
Statistique, probabilité et économétrie
L’estimation des modèles linéaires
EXERCICE TYPE
I Calculez E(θ̂)
266
Statistique, probabilité et économétrie
L’estimation des modèles linéaires
EXERCICE TYPE
I Calculez E(θ̂)
n
n
X
X
n × θ0
−1
−1
E(θ̂) = E n
Xt = n
E(Xt ) =
= θ0
n
t=1
t=1
I Calculez V(θ̂)
266
Statistique, probabilité et économétrie
L’estimation des modèles linéaires
EXERCICE TYPE
I Calculez E(θ̂)
n
n
X
X
n × θ0
−1
−1
E(θ̂) = E n
Xt = n
E(Xt ) =
= θ0
n
t=1
t=1
I Calculez V(θ̂)
n
n
X
X
n × θ02
θ02
V(θ̂) = V n −1
Xt = n −2
V(Xt ) =
=
n2
n
t=1
t=1
I Que pouvez-vous conclure ?
266
Statistique, probabilité et économétrie
L’estimation des modèles linéaires
EXERCICE TYPE
I Calculez E(θ̂)
n
n
X
X
n × θ0
−1
−1
E(θ̂) = E n
Xt = n
E(Xt ) =
= θ0
n
t=1
t=1
I Calculez V(θ̂)
n
n
X
X
n × θ02
θ02
V(θ̂) = V n −1
Xt = n −2
V(Xt ) =
=
n2
n
t=1
t=1
I Que pouvez-vous conclure ?
I L’estimateur est sans biais et asymptotiquement convergent car
lim V(θ̂) = 0 et donc
n→∞
p
θ̂ −→ θ0
266
CONCLUSION
Conclusion
ET MAINTENANT...
I Bonnes révisions
268
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