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Astrophysique I - La raie `a 21 cm de l`hydrog`ene

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Astrophysique
Formation Interuniversitaire de Physique
Option de L3
Ecole Normale Supérieure de Paris
Patrick Hennebelle
François Levrier
Deuxième TD - Corrigé
23 février 2016
I - La raie à 21 cm de l’hydrogène
Préambule : Coefficients d’Einstein, émissivité et coefficient d’absorption
En faisant l’hypothèse d’isotropie, la densité spectrale et volumique d’énergie uν et le nombre
nν de photons par intervalle de fréquence et par unité de volume sont liés par
uν = hνnν
On a par ailleurs la relation suivante entre l’intensité spécifique Iν et uν (voir TD 1) :
uν =
4π
Iν
c
donc
Iν =
hνcnν
4π
Cette dernière relation permet de réécrire l’équation d’évolution de Iν comme
hνc dnν
hν dnν
dIν
=
=
=E+S+A
ds
4π ds
4π dt
puisque ds = cdt, et donc comme un bilan sur le nombre de photons de fréquence ν à dν
près dans le champ de rayonnement. On peut alors calculer E, S et A (termes correspodant
respectivement à l’émission spontanée, à l’émission stimulée, et à l’absorption) en reliant la
variation de nν à celles des populations des niveaux pour chacun de ces processus, qui sont
liées entre elles par les coefficients d’Einstein.
Considérons tout d’abord l’émission spontanée (E) : chaque évènement de ce type provoque
l’apparition d’un photon et une désexcitation u → l. En termes du coefficient Aul , on a
dnl
|E = Aul nu
dt
Cependant, il convient de remarquer que cette équation tient compte de toutes les transitions
de type émission spontanée de u vers l, alors que l’énergie libérée dans cette désexcitation
- et qui est celle du photon émis - n’est pas exactement hν0 , mais hν ≃ hν0 , du fait de
l’élargissement des niveaux (voir la figure). Autrement dit, elle est intégrée sur la fréquence.
ν1
ν0
ν2
ν1 > ν0 > ν2
C’est donc l’intégrale sur la fréquence de la variation de nν associée à E qui est égale à la
variation de population du niveau inférieur du fait de l’émission spontanée :
Z
dnl
dnν
|E =
|E = Aul nu
dν
dt
dt
Pour déterminer la variation de nν , il faut faire apparaı̂tre une intégrale sur la fréquence
dans le membre de droite, ce qui se fait naturellement comme
Z
Z
Aul nu = Aul nu φ(ν)dν = Aul φ(ν)nu dν
en remarquant que ni Aul ni nu ne dépendent de la fréquence exacte ν du photon émis. On
a donc l’équation bilan sous forme intégrale :
Z
dnν
|E − Aul φ(ν)nu = 0
dν
dt
Physiquement, cela implique également la nullité de la quantité sous l’intégrale. En effet, la
dépendance en fréquence de dnν /dt est par définition donnée par la fonction de profil φ(ν) :
dnν
|E = kE φ(ν)
dt
et donc
0=
Z
Z
dnν
dν
|E − Aul φ(ν)nu = [kE − Aul nu ] φ(ν)dν = kE − Aul nu
dt
On en déduit la probabilité d’émission spontanée par intervalle de fréquence
dnν
|E = Aul φ(ν)nu
dt
et par conséquent le terme E cherché :
E=
dIν
hν dnν
hν
|E =
|E =
Aul φ(ν)nu
ds
4π dt
4π
En définitive, le coefficient d’Einstein Aul est donc “pondéré” par φ sur le profil de la raie.
On peut faire la même chose pour l’absorption (A) et pour l’émission stimulée (S) :
dnν
|A = −Blu φ(ν)uν nl
dt
⇒
dIν
hν dnν
hν
|A =
|A = − Blu φ(ν)uν nl
ds
4π dt
4π
dnν
dIν
hν dnν
hν
|S = Bul φ(ν)uν nu ⇒
|S =
|S =
Bul φ(ν)uν nu
dt
ds
4π dt
4π
Dans ces deux expressions, il convient de remarquer que la densité d’énergie du rayonnement
qui intervient est bien entendu uν , et non pas u, puisque l’on considère des transitions à la
fréquence exacte ν, interne au profil de la raie.
En sommant les trois contributions, on obtient :
dIν
hν
hν
hν
= Aul nu φ(ν) + Bul nu uν φ(ν) − Blu nl uν φ(ν)
ds
4π
4π
4π
On peut vérifier que cette équation est raisonnable en intégrant sur la fréquence pour obtenir
la variation de la densité n de photons liés à cette transition :
Z
Z
dnν
dnl
dn
= dν
= dν [Aul nu + Bul nu uν − Blu nl uν ] φ(ν) = Aul nu +Bul nu u−Blu nl u =
dt
dt
dt
ce qui est cohérent puisque le passage d’un atome ou d’une molécule de l’état u vers l’état
l s’accompagne de l’émission d’un photon et qu’on a donc dn = dnl = −dnu .
Pour rapprocher cette équation de l’équation de transfert sous la forme usuelle
dIν
= jν − κν Iν
ds
on utilise l’hypothèse d’isotropie pour remplacer uν par (4π/c)Iν , de sorte que
hν
hν
hν
dIν
= Aul nu φ(ν) + Bul nu Iν φ(ν) − Blu nl Iν φ(ν)
ds
4π
c
c
et on en tire que
jν = Aul nu
hν
φ(ν)
4π
et
hν
φ(ν) (Blu nl − Bul nu )
c
Il faut néanmoins remarquer qu’on a fait une hypothèse implicite dans le calcul, à savoir que
le profil d’émission (apparaissant avec Aul ) est le même que le profil d’absorption (apparaissant avec Bul et Blu ), ce qui est loin d’être toujours le cas, notamment s’il y a un changement
de fréquence entre les processus d’absorption et d’émission (exemple de la fluorescence).
κν =
1. La fonction source est définie par
Aul
hν
Aul nu φ(ν)
jν
A
n
c
c
Bul
ul u
4π
Sν =
=
=
=
hν
κν
4π (Blu nl − Bul nu )
4π Blu nl
φ(ν) (Blu nl − Bul nu )
−1
c
Bul nu
On remarque d’ores et déjà qu’elle ne dépend pas de la fréquence exacte ν, mais uniquement
des coefficients d’Einstein de la transition et des populations des niveaux impliqués. Avec
les relations d’Einstein, cela donne une forme semblable à une fonction de Planck
Sν =
2hν03
1
2
g u nl
c
−1
g l nu
Si l’on définit la température d’excitation Tx comme la température pour laquelle les populations nu et nl vérifient la statistique de Boltzmann 1
nu
gu
gu
∆E
hν0
=
=
exp −
exp −
nl
gl
kTx
gl
kTx
alors
gu gl
g u nl
=
exp
g l nu
gl gu
et
Sν =
2hν03
c2
exp
hν0
kTx
= exp
hν0
kTx
1
= Bν0 (Tx )
hν0
−1
kTx
La fonction source est constante sur le profil de la raie. C’est une conséquence directe de
l’hypothèse d’égalité des profils en émission et en absorption. En revanche, l’émissivité monochromatique jν et le coefficient d’absorption monochromatique κν dépendent eux de la
fréquence exacte ν, et cette dépendance est la même, à savoir φ(ν). En particulier, on a
hν
hν0
c2
c2 ν
hν0
jν
exp
− 1 Aul nu φ(ν) =
− 1 φ(ν),
=
Aul nu exp
κν =
Sν
2hν03
kTx
4π
8πν03
kTx
qu’on met plus volontiers sous la forme suivante (car en général nl > nu )
hν0
gu
c2 ν
1 − exp −
φ(ν).
Aul nl
κν =
8πν03
gl
kTx
2. La température d’excitation peut devenir négative dans certaines conditions pour lesquelles on observe une inversion de population, soit nu > nl , ou précisément nu /gu > nl /gl .
Cela peut arriver s’il existe un troisième niveau, d’énergie plus élevée que les deux autres,
facilement peuplé par différents mécanismes (collisions, rayonnement) et qui se désexcite
plus vite sur le niveau u que sur le niveau l. Cet effet est observable dans de nombreuses
sources radio, et est connu sous le nom de maser (pour Microwave Amplification by Stimulated Emission of Radiation). L’effet net est que le coefficient d’absorption κν devient
négatif, ce qui traduit une amplification, parfois très forte, du signal. On observe cet effet
notamment dans des raies de OH (découverte des masers astrophysiques en 1965), H2 O et
1. Il convient de remarquer que, dans des milieux non thermalisés, Tx n’a pas de raison d’être identique
à la température cinétique T , qu’il peut y avoir des températures d’excitation différentes pour différentes
raies, et qu’elles peuvent varier d’un point à l’autre. Néanmoins, pour une raie unique à une position donnée,
il est toujours possible de définir Tx .
SiO. Les températures de brillance observées (voir plus bas) sont souvent autour de 109 K
et peuvent atteindre 1012 K voire 1014 K.
Application : Mesure de la masse de gaz d’hydrogène d’une galaxie
3. La taille angulaire caractéristique du lobe d’une antenne de radiotélescope est donnée par
la relation vue au TD précédent :
λu1/2
λ
21 × 10−2
θbeam = ψ(λ) = 2asin
≃
=
≃ 5 × 10−3 rad ≃ 17.3′ .
πD
D
×43
La taille du disque de gaz Hi de la galaxie UGC 11707 est de 8′ , elle est donc non résolue
(plus petite que le lobe), de sorte que l’antenne est sensible au flux total de la source (exprimé ici en Janskys), et non à sa distribution de brillance.
4. La raie en question est une raie radio centimétrique. Si l’on calcule le rapport x = hν0 /kT
pour les températures données on trouve
x=
6.63 10−34 × 1.42 109
6.82 10−2
hν0
=
=
kT
1.38 10−23 × T
T
soit x = 1.36 10−3 à T = 50 K et x = 6.82 10−6 à T = 10000 K. On est donc toujours dans
le domaine x ≪ 1 où l’on peut appliquer l’approximation de Rayleigh-Jeans.
5. Puisque le milieu est thermalisé, on a Ts = T > 50 K et on peut applique l’approximation
de Rayleigh-Jeans à Ts dans la formule du 2. (Tx = Ts par convention)
hν0
c2 ν
gu
gu hν0
c2 ν
1
−
exp
−
φ(ν)
≃
A
n
Aul nl
φ(ν).
κν =
ul
l
3
3
8πν0
gl
kTs
8πν0
gl kTs
On utilise ensuite le fait 2 que gu = 3 et gl = 1 :
κν =
3c2 hν
Aul nl φ(ν).
8πν02 kTs
D’autre part le rapport des populations donne
nu
gu
gu
hν0
≃
=
exp −
= 3.
nl
gl
kTs
gl
On a donc, en introduisant la densité totale des atomes d’hydrogène nH
nH = nu + nl = 4nl
⇒
κν =
3c2 hν
Aul nH φ(ν).
32πν02 kTs
Quant à la profondeur optique, elle est définie par l’intégrale de κν sur la ligne de visée
Z
Z
3c2 hν
3c2 hν
τν = κν ds =
Aul nH φ(ν)ds =
Aul NH φ(ν)
2
32πν0 kTs
32πν02 kTs
2. Le nombre d’états pour un nombre quantique hyperfin F est 2F + 1, or F (l) = 0 et F (u) = 1.
en introduisant la densité de colonne d’hydrogène atomique neutre NH . On a fait ici l’hypothèse d’un milieu homogène, de sorte que Ts et φ ne dépendent pas de la position s.
6. La température de brillance est définie par Iν = Bν [Tb (ν)]. La solution générale de
l’équation de transfert est
Z τν
′
0 −τν
Sν e−τ dτ ′ .
+
Iν = Iν e
0
On fait l’hypothèse qu’il n’y a pas de radiation de fond, donc le premier terme disparaı̂t :
Z τν
′
Sν e−τ dτ ′ .
Iν =
0
Comme le milieu est homogène, on peut sortir la fonction source et intégrer :
Iν = Sν 1 − e−τν .
En termes de températures, on peut écrire Iν = Bν [Tb (ν)], par définition, et Sν = Bν0 (Ts )
(voir la question 1.), donc
2hν 3
c2
2kTs ν02
2kTs ν02 τν
1
−τν
= Bν0 (Ts ) 1 − e−τν ≃
≃
1
−
e
hν
c2
c2
exp
−1
kTb (ν)
puisque la température de spin et la fréquence ν0 autorisent d’appliquer l’approximation de
Rayleigh-Jeans à Bν0 (Ts ) et que d’autre part on fait l’hypothèse que la raie est optiquement
mince (τν ≪ 1). On a donc
3c2
3c2 hν
kTs ν02
1
A
N
φ(ν)
=
×
Aul NH φ(ν).
≃
ul
H
hν
hν 3
32πν02 kTs
32πν 2
−1
exp
kTb (ν)
7. La largeur du profil d’émission Hi est δν ≃ 1 MHz et donc φ(ν) ≃ 10−6 Hz−1 . Avec la
densité de colonne typique donnée, on a
y=
3c2
3 × (3 108 )2
Aul NH φ(ν) ≃
× 2.85 10−15 × 1025 × 10−6 ≃ 38.
2
32πν
32 × 3.14 × (1.42 109 )2
On en déduit que
Tb (ν) =
hν
k
hνy
1
3hc2
≃
=
Aul NH φ(ν)
1
k
32πkν
ln 1 +
y
ce qui revient à écrire l’approximation de Rayleigh-Jeans pour la température de brillance.
Comme la largeur relative de la raie est très faible,
1 MHz
δν
≃
≃ 7.10−4 ,
ν
1420 MHz
les fréquences ν pour lesquelles φ n’est pas négligeable sont toutes sensiblement égales à
ν0 , ce qui simplifie l’intégration sur ν pour obtenir l’émission totale - en n’oubliant pas que
Tb (ν) dépend de la fréquence :
Z
Z
Z
φ(ν)
δ(ν − ν0 )
3c2 h
3c2 h
3c2 h
Aul NH
dν ≃
Aul NH
dν =
Aul NH ,
Tb (ν)dν =
32πk
ν
32πk
ν
32πν0 k
où δ désigne la distribution de Dirac. On a donc
Z
32πν0 k
NH = 2
Tb (ν)dν.
3c hAul
8. Les radioastronomes utilisent souvent la vitesse relative v en lieu et place de la fréquence,
les deux étant reliées par l’effet Doppler (v > 0 pour un objet s’éloignant de nous) :
r
c+v
ν0
=
.
ν
c−v
Dans cette expression, ν0 est la fréquence dans le référentiel de la source, et ν est la fréquence
dans le référentiel de l’observateur. Aux faibles vitesses considérées ici, on peut se contenter
de l’approximation classique
v
ν0
v
ν0
⇒ dν = − dv.
≃1+
⇒ ν ≃ ν0 1 −
ν
c
c
c
Le signe − est compensé par l’interversion des bornes de l’intégration et on peut écrire
Z
32πν02 k
NH = 3
Tb (v)dv.
3c hAul
En remplaçant par les valeurs numériques fournies, on a
Z
Z
NH
Tb (v)dv
32 × 3.14 × (1.42 × 109 )2 × 1.38 × 10−23
Tb (v)dv
19
≃
1.82
×
10
=
−1
−2
8
3
−34
−15
m
3 × (3 × 10 ) × 6.62 × 10
× 2.85 × 10
K.m.s
K.m.s−1
ce qui donne bien la relation demandée en utilisant les unités non SI proposées pour la
densité de colonne NH et la vitesse v
Z
Z
NH
Tb (v)dv
Tb (v) × 103 dv
18
−4 NH
−4
19
=
1.82
10
.
=
10
≃
10
×
1.82
×
10
cm−2
m−2
K.km.s−1
K.km.s−1
9. Le décalage vers le rouge est défini par la formule
1
ν
=
ν0
1+z
⇒
z=
ν0
−1
ν
Sur le spectre, la fréquence centrale du signal est approximativement 1416.2 MHz, soit
z=
4.2
1420.4
−1=
≃ 3 10−3 .
1416.2
1416.2
La vitesse relative est donnée par
ν
0
− 1 = cz
v≃c
ν
⇒
v ≃ 890 km.s−1 .
On peut d’ailleurs lire directement cette valeur sur l’axe inférieur de la figure. La loi de
Hubble v = H0 D donne alors la distance
D=
v
890
=
≃ 13.2 Mpc.
H0
67.4
Pour obtenir la masse de gaz Hi de cette galaxie, il faut estimer l’intégrale de la densité
spectrale de flux sur le profil de la raie. On le fait via la valeur moyenne de Fν , soit hFν i ≃
0.35 Jy et la largeur en vitesse ∆v ≃ 200 km.s−1 , ce qui donne
Z
Fν dv
−1
−1 ≃ hFν i × ∆v ≃ 70 Jy.km.s
Jy.km.s
et donc, avec la formule donnée,
MH ≃ 2.9 109 M⊙ .
C’est une valeur comparable à la masse de gaz d’hydrogène atomique neutre dans notre
propre Galaxie (MH ≃ 4 − 8 × 109 M⊙ ).
10. L’élargissement thermique de la raie Hi est lié à la distribution Gaussienne des vitesses
r
kT
v2
1
exp − 2
avec σth =
f (v) = √
.
2σth
m
2πσth
Pour de l’hydrogène atomique neutre, m = mH et la dispersion thermique des vitesses est
√
σth ≃ 90 T m.s−1
donc σth ≃ 630 m.s−1 à 50 K et σth ≃ 9 km.s−1 à 10000 K. Or la raie émise par UGC
11707 n’a d’une part pas un profil Gaussien, et d’autre part sa largeur est bien plus grande,
de l’ordre de 200 km.s−1 . Il faut donc lui chercher une autre cause. On peut penser à une
dispersion macroscopique des vitesses, de type turbulente, mais celle-ci est également trop
faible 3 . En réalité, le profil de la raie est un double pic caractéristique des systèmes en
rotation. Ceci est confirmé par des observations à plus haute résolution angulaire (voir la
figure ci-après), qui permettent de montrer que les différentes parties de la galaxie n’émettent
pas aux mêmes fréquences. La vitesse de rotation est ici de l’ordre de 100 km.s−1 .
3. Elle dépend de l’échelle, mais pour des nuages à haute latitude Galactique, elle est de l’ordre de
30 km.s−1 .
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