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Chapitre 5 - Brouchoud.ch

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5.1
Chapitre 5
FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES RECIPROQUES,
LOGARITHMES, EXPONENTIELLES ET HYPERBOLIQUES
5.0
RAPPELS
Fonction injective
Un fonction est injective si tout élément de son ensemble d’arrivée est l’image d’au plus un élément de son
ensemble de départ.
En pratique, une fonction est injective si elle ne prend jamais deux fois la même valeur,
x1 ≠ x2
⇒
f ( x1 ) ≠ f ( x2 ) , et aucune droite horizontale ne coupe le graphe de la fonction plus d’une
fois.
Fonction réciproque
Soit une fonction injective de domaine de définition A et d’ensemble image B.
f :A
→
x

B
y = f ( x)
La fonction réciproque de domaine de définition B est
définie par
f −1 ( y ) = x
⇔
y = f ( x) .
f −1 : B
→
y

x
A
B
f
y
A
x = f −1 ( y )
Le fait qu’on doive échanger x et y pour obtenir la fonction réciproque intervient aussi quand il s’agit d’obtenir
le graphe de f −1 à partir de celui de f. Puisque f ( a ) = b si et seulement si f −1 ( b ) = a , le point ( a;b )
appartient au graphe de f si et seulement si le point ( b;a ) appartient au graphe de f −1 . Or, les points
et ( b;a ) sont symétriques par rapport à la droite y = x .
y
y
(b ; a)
( a;b )
y=x
(a ; b)
O
x
O
x
f
Ainsi le graphe de f −1 s’obtient en prenant l’image symétrique par rapport à la droite y = x du graphe de f.
Les fonctions trigonométriques ne sont pas injectives et n’ont donc pas de fonctions réciproques. Toutefois, en
restreignant leur domaine de définition, on peut les rendre injectives et définir leurs réciproques.
LB, Niv 4 Sc
5.2
5.1
FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES RECIPROQUES
5.1.1 Fonction arcsinus
Définition
La fonction y = sin x , définie ∀x ∈ n’est pas injective, contrairement à la fonction y = sin x , définie sur
⎡ π π
l’intervalle restreint x ∈ ⎢ − ;
⎣ 2 2
⎤
⎥⎦ .
⎡ π π ⎤
On considère alors la restriction de la fonction sinus à l’intervalle ⎢ − ; ⎥ .
⎣ 2 2⎦
⎡ π π ⎤
f :⎢ − ; ⎥
⎣ 2 2⎦
x
→

[ − 1;1 ]
y = sin x
Cette application étant bijective, elle admet une application réciproque
y = sin x
⇔
f −1 . Par définition, on pose
x = arcsin y .
Ainsi, x est l’angle (arc) dont le sinus vaut y. En permutant les rôles de x et y, on obtient la définition de la
fonction arcsinus.
Comportement aux extrémités :
f −1 : [ − 1;1 ]
→
x

⎡ π π ⎤
⎢⎣ − 2 ; 2 ⎥⎦
y = arcsin x
et
f (1) =
f ( −1) = −
π
2
π
2
Dérivée
Soit
y = arcsin x
⇔
x = sin y .
En dérivant les deux membres de cette dernière égalité par rapport à x, on obtient
1 = y'cos y .
LB, Niv 4 Sc
5.3
1
.
cos y
D’où
y' =
Par ailleurs
cos y = ± 1− sin 2 y , ∀ y∈ .
⎡ π π⎤
Or, comme y ∈ ⎢ − ; ⎥ , on a cos y ≥ 0 .
⎣ 2 2⎦
1
1
y' =
=
On a donc
.
cos y
1− x 2
Ainsi
cos y = ± 1− x 2 .
Ainsi
cos y = + 1− x 2 .
d
1
arcsin x =
, −1 < x <1
dx
1− x 2
Finalement,
5.1.2 Fonction arccosinus
Définition
On considère la restriction de la fonction cosinus à l’intervalle [ 0; π ] .
f : [ 0; π
]
x
→
[ − 1;1 ]

y = cos x
Cette application étant bijective, elle admet une application réciproque f −1 définie par
f −1 : [ − 1;1 ]
→
x

Avec
x = cos y
⇔
Comportement aux extrémités :
f ( −1) = π
et
[ 0; π ]
y = arccos x
y = arccos x .
f (1) = 0
Dans un repère orthonormé, les représentations graphiques des fonctions sinus et arcsinus, cosinus et
arccosinus, sont bien symétriques par rapport à la droite d’équation y = x .
LB, Niv 4 Sc
5.4
Dérivée
1
Du triangle rectangle, on déduit la propriété
π
arccos x + arcsin x = .
2
x
En effet, en posant ϕ = arccos x , on a
⎛π
⎞
x = cosϕ = sin ⎜ − ϕ ⎟ .
⎝2
⎠
En prenant l’arcsinus des deux membres, on a
π
⎛ ⎛π
⎞⎞ π
arcsin x = arcsin ⎜ sin ⎜ − ϕ ⎟ ⎟ = − ϕ = − arccos x
⎠⎠ 2
⎝ ⎝2
2
Cette formule permet d’obtenir la fonction dérivée de arccos. En dérivant membre à membre :
d
d
1
arccos x = − arcsin x = −
, −1 < x <1
dx
dx
1− x 2
Remarque
On peut aussi déterminer la fonction dérivée de arccos par la même méthode que celle utilisée pour la fonction
dérivée de arcsin.
5.1.3 Fonction arctangente
Définition
⎤ π π ⎡
On considère la restriction de la fonction tangente à l’intervalle ⎥ − ; ⎢ .
⎦ 2 2 ⎣
⎤ π π ⎡
f :⎥ − ; ⎢
⎦ 2 2⎣
x
→


y = tan x
Cette application étant bijective, elle admet une application réciproque f −1 définie par
f −1 : 
→
x

x = tan y
Avec
Comportement aux extrémités :
Lim f ( x ) = −
x→−∞
⇔
π
et
2
⎤ π π ⎡
⎥⎦ − 2 ; 2 ⎢⎣
y = arctan x
y = arctan x .
Lim f ( x ) = +
x→+∞
π
2
LB, Niv 4 Sc
5.5
Dérivée
y = arctan x
On considère l’équivalence
⇔
x = tan y .
(
En dérivant membre à membre la deuxième égalité par rapport à x, on obtient : 1 = 1+ tan 2 y
D’où
dy
1
=
.
dx 1+ tan 2 y
dy
.
) dx
d
1
arctan x =
.
dx
1+ x 2
Soit
5.1.4 Fonction arccotangente
Définition
On considère la restriction de la fonction cotangente à l’intervalle ] 0; π
f : ] 0; π [
→

x
[.

y = cotan x
Cette application étant bijective, elle admet une application réciproque f −1 définie par
f −1 : 
→
x

x = cotan y
Avec
Comportement aux extrémités :
Lim f ( x ) = π
x→−∞
] 0; π [
y = arccotan x
⇔
et
y = arccotan x .
Lim f ( x ) = 0
x→+∞
Dérivée
Soit la propriété arctan x + arccotan x =
π
, ∀x ∈ .
2
Démonstration
_
Dans le triangle rectangle, tan α = x
π
Or
Donc
α +β + =π .
2
En dérivant membre à membre, on obtient :
Ainsi,
x
`
cotan β = x .
π
α +β = .
2
1
et
arctan x + arccotan x =
Soit
π
.
2
1
( arccotan x ) ' = − ( arctan x ) ' = − 1+ x 2 .
d
1
arccotan x = −
.
dx
1+ x 2
LB, Niv 4 Sc
5.6
5.1.5 Exercices
Problème 1
Simplifier les expressions suivantes.
1) tan ( arccos x )
2) sin ( arctan x )
3) cos ( 2 arctan x )
Problème 2
Dériver les fonctions suivantes.
1) y = ( arctan x )
2
2) y = arcsin ( 2x + 1)
4) y = arctan ( cosθ )
3) g ( x ) = 1− x 2 arccos x
5) y = x arcsin x + 1− x 2
Problème 3
Calculer y' si arctan ( xy ) = 1+ xy 2 .
Problème 4
⎛ x⎞
Si g ( x ) = x arcsin ⎜ ⎟ + 16 − x 2 , que vaut g' ( 2 ) ?
⎝ 4⎠
Problème 5
⎛ x⎞
Déterminer l’équation de la tangente à la courbe y = 3arccos ⎜ ⎟ au point ( 1; π ) .
⎝ 2⎠
Problème 6
a) On suppose que f est une fonction injective dérivable et que sa réciproque f −1 est aussi dérivable. Utiliser
'
1
la dérivation implicite pour montrer que f −1 ( x ) = ' −1
à condition que le dénominateur soit non
f f ( x)
( )
(
)
nul.
b) Si f ( 4 ) = 5 et f ' ( 4 ) =
2
, que vaut
3
( f ) (5) ?
−1 '
LB, Niv 4 Sc
5.7
5.2
FONCTIONS EXPONENTIELLES
5.2.1 Définitions et propriétés
Définition 1
Soit a ∈*+ − { 1 } . On appelle fonction exponentielle de base a, définie dans  , et on note exp a la fonction :
exp a : 
x
→
*+

ax
La fonction est appelée exponentielle parce que la variable x est en exposant. Elle ne doit pas être confondue
avec la fonction puissance dans laquelle la variable est la base. Ici la base a est une constante strictement
positive.
Les fonctions exponentielles sont utilisées pour modéliser des phénomènes naturels comme la croissance de la
population (avec a > 1) et la désintégration radioactive (avec 0 < a < 1 ).
Rappels et Commentaires
Si x = 0, alors a 0 = 1 .
a x = a⋅
a
⋅ a...⋅
a
1) Si x = n, avec n ∈ , alors
n facteurs
a− n =
2) Si x = - n, avec n ∈ , alors
1
an
p
( )
p
p
q
q
ax = a q = a p = a
3) Si x ∈, x = , avec p et q ∈ , alors
avec a > 0 si q est pair.
q
4) Si x ∈ , il est possible de démontrer qu’il existe, au prix d’une limite, un encadrement de x par deux
nombres rationnels satisfaisants les points précédents.
Théorème 1
Une fonction exponentielle de base a, définie dans  , est strictement croissante si a > 1 et strictement
décroissante si 0 < a < 1.
Démonstration
Soit a > 1 et f : 
→
*+
x

ax
Soit x1 , x2 ∈ tels que x1 < x2 . Alors x2 − x1 > 0 ou x2 − x1 ∈*+ .
Puisque a > 1,
a x2 −x1 > 1
a x2
>1
a x1
a x2 > a x1
LB, Niv 4 Sc
5.8
∀x1 , x2 ∈ | x1 < x2
Conclusion :
⇒
f ( x1 ) < f ( x2 )
et la fonction est croissante.
Théorème 2 – Lois des exposants
Soit a ∈*+ et x1 , x2 ∈ .
1) a x1 ⋅ a x2 = a x1 +x2
3)
(a )
5) a
a− x =
En particulier :
x1 x2
x1
x2
=
x2
2) a x1 −x2 =
= a x1⋅x2
4)
a x1
a x2
( ab )x = a x ⋅b x
a x1
1
.
ax
Théorème 3
Une fonction exponentielle de base a, a ∈*+ − { 1 } , définie sur  , est une bijection continue de  sur *+ .
Limites particulières
Les limites suivantes résultent des considérations qui précèdent.
⎧⎪ 0 si 0 < a < 1
1) Lim a x = ⎨
x→+∞
⎪⎩ +∞ si a > 1
⎧⎪ +∞ si 0 < a < 1
2) Lim a x = ⎨
x→−∞
⎪⎩ 0 si a > 1
5.2.2 L’exponentielle de base e
De toutes les bases possibles pour la fonction exponentielle, il en est une qui convient particulièrement au
calcul différentiel et intégral. Du choix de la base a dépend la pente de la tangente au point fixe
( 0;1 ) d’intersection de l’exponentielle avec l’axe Oy. Certaines formules de dérivation et d’intégration sont
grandement simplifiées si la pente de la tangente à y = a x en
( 0;1 )
vaut exactement l’unité. Une telle valeur
de a existe et elle est notée e (Leonhard Euler, CH, 1707-1783).
La fonction exponentielle de base
n
⎛ 1⎞
e = Lim ⎜ 1+ ⎟ , est définie par
n→+∞ ⎝
n⎠
exp e :

→
*+
x

ex
Elle est strictement croissante sur
 , car e > 1.
Autres notations, exp , exp e .
Remarques
1) e0 = 1
LB, Niv 4 Sc
5.9
5.2.3 Dérivée de l’exponentielle de base a
Dérivée de la fonction exponentielle f ( x ) = a x à partir de la définition de la dérivée.
f ( x + h) − f ( x)
d x
a x+h − a x
ah − 1
ah − 1
a = Lim
= Lim
= Lim a x
= a x Lim
h→0
h→0
h→0
h→0
dx
h
h
h
h
ah − 1
= f '( 0 ) .
h→0
h
Par conséquent, si la fonction exponentielle f ( x ) = a x est dérivable en 0, elle est dérivable partout ailleurs et
Or Lim
f '( x ) = a x f '( 0 )
ah − 1
= f ' ( 0 ) existent quelque soit a ∈*+ − { 1 } . Cependant, parmi
h→0
h
toutes les bases a possibles, il en est une qui présente une importance particulière avec f ' ( 0 ) = 1 lorsque a = e,
On peut montrer que les limites Lim
avec Lim
h→0
eh − 1
= f '( 0 ) = 1 .
h
Dérivée de l’exponentielle de base e
Géométriquement, de toutes les fonctions exponentielles f ( x ) = a x possibles, la fonction f ( x ) = e x est celle
dont la tangente au point fixe ( 0;1 ) a une pente f ' ( 0 ) exactement égale à 1. Ainsi,
d x
e = ex
dx
La fonction exponentielle f ( x ) = e x possède donc la propriété d’être sa propre dérivée. En chaque point de la
courbe, la pente de la tangente est égale à l’ordonnée du point.
Par ailleurs,
d2 x
e = e x > 0, ∀x ∈ . L’exponentielle est donc toujours située au-dessus de ses tangentes.
dx 2
LB, Niv 4 Sc
5.10
5.3
FONCTIONS LOGARITHMIQUES
5.3.1 Définitions et propriétés
Définition 1
La fonction exponentielle de base a, a ∈*+ − { 1 } est une bijection de  sur *+ . Ainsi, quel que soit x ∈*+ ,
il existe un et un seul y ∈ tel que a y = x .
Définition 2
Soit a ∈*+ − { 1 } . On appelle logarithme de base a de x et l’on note log a x , le nombre réel y tel que a y = x .
y = log a x
⇔
ay = x
Remarques
•
Le logarithme de base a d’un nombre x strictement positif est donc la puissance y à laquelle il faut
élever a pour obtenir ce nombre. log a x n’a de sens que si x ∈*+ .
•
Le logarithme de base 10 de x, appelé logarithme décimal de x, est le plus souvent noté log x au lieu
de log10 x .
Exemples
•
log 2 8 = 3
car
23 = 8
•
log10 0.01 = −2
car
10 −2 = 0.01
•
log 1
1
=4
16
2
car
1
⎛ 1⎞
⎜⎝ ⎟⎠ =
2
16
4
La fonction exponentielle étant bijective, elle admet une fonction réciproque définie comme suit.
Définition 3
Soit a ∈*+ − { 1 } . On appelle fonction logarithme de base a et l’on note log a x , la fonction réciproque de la
fonction exponentielle de base a.
log a : *+
x
→


log a x
La fonction réciproque d’une fonction continue croissante (resp. décroissante) étant une fonction continue
croissante (resp. décroissante), on peut énoncer le théorème suivant.
Théorème 1
La fonction logarithmique de base a, a ∈*+ − { 1 } , est une bijection continue de *+ sur  . Elle est
strictement croissante sur *+ si a > 1 et strictement décroissante si 0 < a < 1.
LB, Niv 4 Sc
5.11
Limites particulières
Les limites suivantes résultent des considérations qui précèdent.
⎧⎪ +∞ si 0 < a < 1
1) Lim log a x = ⎨
x→ 0
−∞ si a > 1
>
⎩⎪
⎧⎪ −∞ si 0 < a < 1
2) Lim log a x = ⎨
x→+∞
+∞ si a > 1
⎩⎪
Représentation graphique
Dans un repère orthonormé, les représentations graphiques des fonctions exponentielles et logarithmiques de
base a sont symétriques par rapport à la bissectrice des quadrants I et III.
LB, Niv 4 Sc
5.12
Propriétés des logarithmes
Les propriétés suivantes résultent de la définition du log de base a, où a ∈*+ − { 1 } .
1) log a 1 = 0
2) log a a = 1
3) a loga x = x
4) log a a x = x
Théorème 2
Soit a ∈*+ − { 1 } . Les propriétés suivantes découlent des propriétés de l’exponentielle.
1) log a ( xy ) = log a x + log a y
⎛ 1⎞
2) log a ⎜ ⎟ = − log a y
⎝ y⎠
⎛ x⎞
3) log a ⎜ ⎟ = log a x − log a y
⎝ y⎠
Démonstrations
4) log a ( x ) = n ⋅ log a x
u = log a x
On pose
et
n
v = log a y .
Par définition
x = au
1’) xy = a u ⋅ a v = a u+v
Soit alors,
log a ( xy ) = log a a u+v = u + v = log a x + log a y
2’)
1 1
=
= a− v
y av
Soit alors,
⎛ 1⎞
log a ⎜ ⎟ = log a a − v = −v = − log a y
⎝ y⎠
3’)
x au
=
= a u−v
y av
Soit alors,
⎛ x⎞
log a ⎜ ⎟ = log a a u−v = u − v = log a x − log a y
⎝ y⎠
Soit alors,
log a x n = log a a un = un = n ⋅ log a x
( )
4’) x n = a u
n
= a un
et
y = av .
( )
(
)
( )
5.3.2 Changement de base
Soit
(
)
log a x = log a b logb x = log b x ⋅ log a b .
Si x = a, alors
Finalement,
1
= log a b .
log b a
log a x
log b x =
log a b
log a x
= log a b
log b x
Ainsi
log a x =
ou
log b x
.
log b a
5.3.3 Le logarithme naturel ou népérien de base e
De toutes les bases possibles pour la fonction logarithme, il en est une qui convient particulièrement au calcul
différentiel et intégral. Du choix de la base a dépend la pente de la tangente au point fixe ( 1;0 ) d’intersection
du logarithme avec l’axe Ox. Certaines formules de dérivation et d’intégration sont grandement simplifiées si
la pente de la tangente à y = log a x en ( 1;0 ) vaut exactement l’unité. Une telle valeur de a existe et
correspond au logarithme naturel ou népérien, de base notée e (John Neper ou Napier, Ecosse, 1550-1617).
y = log e x = ln x
Remarques
1) ln e x = x, ∀x ∈
( )
4) ln xy = ln x + ln y
Formule de changement de base :
⇔
e y = x, ∀x ∈*+
2) eln x = x, ∀x ∈*+
5) ln
x
= ln x − ln y
y
log a x =
3) ln e = 1
6) ln x r = r ⋅ ln x
ln x
, ∀a ∈*+ − {1} , ∀x ∈*+
ln a
LB, Niv 4 Sc
5.13
5.3.4 Dérivées des fonctions logarithmes et exponentielles de base a
Dérivée de l’exponentielle de base a
Soit
( )
a x = eln a
On a alors,
x
= e x ln a .
( )
d x d x ln a
a = e = ln a e x ln a = ln a eln a
dx
dx
x
.
d x
a = a x ln a
dx
Ainsi
d x
e = ex
dx
En particulier (§5.2.3), si a = e, alors ln e = 1 et
Dérivée des logarithmes de base a et e
Soit
y = log a x ,
alors
x = ay
Or
a = eln a .
Donc
x = e y ln a
1=
Dérivation implicite des deux membres par rapport à x :
Ainsi
d y ln a
d
dy
e = e y ln a
( y ln a ) = ey ln a ln a
dx
dx
dx
dy d
1
1
1
= log a x = y ln a
=
= y
ln a y
dx dx
e ln a
a
ln a
e
ln a
( )
d
1
log a x =
dx
x ln a
Finalement
d
1
ln x =
dx
x
En particulier, si a = e, alors ln e = 1 et
La fonction ln x est strictement croissante sur *+ . En effet, sa dérivée 1 / x est positive ∀x ∈*+ . Par ailleurs,
d2
1
ln x = − 2 < 0, ∀x ∈*+ et le logarithme est toujours situé au-dessous de ses tangentes.
2
dx
x
Remarque
Les dérivées de ln x et e x peuvent être déduites l’une de l’autre en considérant la composition des fonctions.
Soit la composition des fonctions f et g suivantes, où f est la fonction exponentielle et g la fonction
logarithmique.
f
x
On a :
( g  f )( x ) = x
ex
x
( f  g )( x ) = x
g
→
ln e x
En dérivant membre à membre :
( g  f ) '( x ) = 1
Soit,
g' ⎡⎣ f ( x ) ⎤⎦ f ' ( x ) = 1
Donc
Ainsi,
f '( x ) = ex
Et
g
De même,
On a :
→
→
f
ln x
→
eln x
En dérivant membre à membre :
Soit,
1
f '( x ) = 1
ex
d x
e = ex .
dx
f ' ⎡⎣ g ( x ) ⎤⎦ g' ( x ) = 1
( f  g ) '( x ) = 1
Donc
eln x g' ( x ) = 1
LB, Niv 4 Sc
5.14
g' ( x ) =
Ainsi
1
1
=
ln x
e
x
d
1
ln x = .
dx
x
Et
5.3.5 Méthode de dérivation logarithmique
Le calcul des dérivées de fonctions compliquées où interviennent des produits, des quotients, des puissances,
ou des expressions du type ⎡⎣ f ( x ) ⎤⎦
préalablement aux logarithmes.
g( x )
, avec f ( x ) définie sur une partie de *+ , peut être simplifié en passant
Soit f une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I.
En prenant le logarithme, F ( x ) = ln ⎡⎣ f ( x ) ⎤⎦
F '( x ) =
En dérivant
f '( x )
f ( x)
Ainsi
f '( x ) = F '( x ) f ( x )
Application 1
x3 x2 + 1
( 3x + 2 )5
En prenant le logarithme des deux membres et en usant de ses propriétés, on a :
y=
ln y = ln
ln y =
(
4
)
x 3 x 2 + 1 − ln ( 3x + 2 ) = ln 4 x 3 + ln x 2 + 1 − ln ( 3x + 2 )
(
5
5
)
3
1
ln x + ln x 2 + 1 − 5 ln ( 3x + 2 )
4
2
En dérivant membre à membre :
Finalement,
4
dy
=
dx
4
1 dy
3
2x
15
=
+
−
2
y dx 4x 2 x + 1 3x + 2
(
)
x3 x2 + 1 ⎛ 3
x
15 ⎞
+ 2
−
⎟
5 ⎜
⎝
( 3x + 2 ) 4x x + 1 3x + 2 ⎠
Application 2
y=x
( )=
ln y = ln x
En prenant le logarithme
En dérivant membre à membre
Finalement
x
x
x ln x
1 dy
1
x
1
1
2 + ln x
=
ln x +
=
ln x +
=
y dx 2 x
x
2 x
x
2 x
d x
⎛ 2 + ln x ⎞
x =x x⎜
⎝ 2 x ⎟⎠
dx
5.3.6 Limites particulières relatives aux fonctions logarithmiques et exponentielles
Lorsque x → +∞ ces limites s’inspirent du fait le l’exponentielle l’emporte sur la fonction puissance qui
l’emporte sur le logarithme.
1) Lim
x→+∞
ln x
= 0 + , r ∈*+
xr
On pose x r = z
Lim
x→+∞
2)
( ln x ) p
Lim
x→+∞
xr
+
=0 ,
p,r ∈
*
+
ln x
ln z
= Lim
r
z→+∞
x
z
( ln x ) p
Lim
x→+∞
xr
x=z
alors
1
r
1
r
.
1
ln z
1
l
= Lim
= Lim = 0 +
r z→+∞ z Hosp r z→+∞ z
p
p
⎛ ln x ⎞
⎡
ln x ⎤
= Lim ⎜ r ⎟ = ⎢ Lim r ⎥ = 0 +
x→+∞
⎝ x p⎠
⎢⎣ x→+∞ x p ⎥⎦ (1)
LB, Niv 4 Sc
5.15
xr
= +∞,
x→+∞ ln x
( )p
3) Lim
4) Lim
x→+∞
xr
1
= Lim
= +∞
x→+∞ ln x
( ) p x→+∞ ( ln x ) p
xr
p,r ∈*+
Lim
ex
= +∞, r ∈*+
xr
On pose x = ln y . Si x → +∞ alors y → +∞ .
Lim
x→+∞
5) Lim
x→+∞
6) Lim
x→+∞
xr
= 0 + , r ∈*+
ex
( ln x ) p
e
x
= 0+ ,
ex
eln y
y
=
Lim
= +∞
r = Lim
r
y→+∞
y→+∞
x
( ln y )
( ln y )r
Inverse de 4).
p ∈*+
Lim
x→+∞
( ln x ) p
e
x
= Lim
( ln x ) p
x
x→+∞
x
= [0 ⋅ 0] = 0+
ex
1
On pose x = .
t
7) Lim x r ln x = 0 − , r ∈*+
x→ 0
>
1 1
− lnt
ln = Lim r = 0 −
r
x→ 0
t →+∞ t
t t →+∞ t
>
1
Idem, poser x = .
t
Lim x r ln x = Lim
8) Lim x r ( ln x ) = 0,
p
x→ 0
p,r ∈*+
>
9) Lim
ex − 1 ⎡ 0 ⎤
=⎢ ⎥=1
↑
x
⎣ 0 ⎦ Hosp
10) Lim
ln ( x + 1)
=1
x
x→ 0
x→ 0
Règle de l’Hospital.
n
1
x⎞
⎛
11) Lim (1+ kx ) k = Lim ⎜ 1+ ⎟ = e x
k→0
n→+∞ ⎝
n⎠
Lim
x→ 0
ln ( x + 1) ⎡ 0 ⎤
1
= ⎢ ⎥ = Lim
=1
↑
x→
0
x
x +1
⎣ 0 ⎦ Hosp
n
⎛ 1⎞
En particulier Lim ⎜ 1+ ⎟ = e .
n→+∞ ⎝
n⎠
Démonstration
(
Lim (1+ kx ) k = Lim eln(1+kx )
1
k→0
k→0
L = Lim e
x ln(1+kx )
kx
1
k
= Lim e
ln(1+kx )
k
k→0
Or , (voir 10), Lim
k→0
Donc L = e
)
x→ 0
x Lim
k→0
ln(1+kx )
kx
ln (1+ kx )
=1.
kx
= ex .
n
x⎞
1
⎛
Idem pour Lim ⎜ 1+ ⎟ = e x avec k = . Si k → 0 alors n → +∞ .
>
n→+∞ ⎝
n⎠
n
n
x⎞
⎛
Idem pour Lim ⎜ 1+ ⎟ = e x . Si k → 0 alors n → −∞ .
<
n→−∞ ⎝
n⎠
n
n
n
x⎞
⎛
⎛ 1⎞
⎛ 1⎞
Ainsi Lim ⎜ 1+ ⎟ = e x , Lim ⎜ 1+ ⎟ = e , Lim ⎜ 1− ⎟ = e−1
n→ ±∞ ⎝
n→
±∞
n→
±∞
⎠
⎝
⎠
⎝ n⎠
n
n
ax
= +∞ , où a > 1 et r ∈* .
x→+∞ x r
Démonstration
12) Lim
1er cas) r ∈*−
a x ⎡ +∞ ⎤
= ⎢ + ⎥ = +∞
x→+∞ x r
⎣0 ⎦
Lim
LB, Niv 4 Sc
5.16
a x ⎡ +∞ ⎤
=⎢
x→+∞ x r
⎣ +∞ ⎥⎦
2ème cas) r ∈*+
Lim
lnt
. Si x → +∞ alors t → +∞ .
ln a
ax
t
t
r
Lim r = Lim
=+ ∞
r = ( ln a ) Lim
x→+∞ x
t→+∞
t→+∞ lnt
lnt
(
)r (3)
⎛
⎞
⎜⎝
⎟
ln a ⎠
On pose t = a x . Ainsi x =
r
13) Lim a x x = 0 + , où a > 1 et r ∈* .
x→−∞
Démonstration
2
ème
cas) r ∈
ax
r
1er cas) r ∈*−
Lim a x x = Lim
x→−∞
x→−∞
r
x
−r
⎡ 0+ ⎤
+
=⎢
⎥=0
+∞
⎣
⎦
+
Lim a x = ⎡⎣ 0 ⋅ +∞ ⎤⎦
x
*
+
x→−∞
On pose t = −x .
r
tr
=
t→+∞ a t
1
Lim a −t − t = Lim
t→+∞
ax
= +∞ , où a > 1 et
x→+∞ ln x
( )p
p ∈*+
14) Lim
= 0+
a t (12)
Lim
t→+∞ t r
ax
ax
xr
=
Lim
⋅
= +∞
En effet Lim
x→+∞ ln x
( ) p x→+∞ x r ( ln x ) p (12)&(3)
5.3.7 Exercices
Problème 1
Chercher une formule pour la fonction réciproque des fonctions suivantes.
2) y = ln ( x + 3)
1) f ( x ) = 1+ 2 + 3x
3) y =
ex
1+ 2e x
Problème 2
Calculer la valeur exacte des expressions suivantes.
⎛ 1⎞
1) log 5 125
2) ln ⎜ ⎟
3) log 2 6 + log 2 15 + log 2 20
⎝ e⎠
Problème 3
Ecrire les expressions suivantes avec un seul logarithme.
1
1) ln 5 + 5 ln 3
2) ln 1+ x 2 + ln x − lnsin x
2
Problème 4
Résoudre les équations suivantes.
(
4) e−2 ln 5
)
(
)
1) e5−3x = 10
2) e7−4 x = 6
3) ln ( 3x − 10 ) = 2
4) ln x 2 − 1 = 3
5) e2 x − 3e x + 2 = 0
6) 2 x−5 = 3
7) ln x + ln ( x − 1) = 1
8) ln ( ln x ) = 1
9) eax = Cebx , a ≠ b
Problème 5
Déterminer les dérivées des fonctions suivantes.
1) y = xe− kx
2) y = e x cos x
5) y = 2 sin π x
6) y = 2 3
9) y = log10 ( 2 + sin x )
10) f ( t ) =
3) y = 101−x
2
(
x2
4) y = ek tan
)
7) y = ln x 3 + 1
1+ lnt
1− lnt
11) f ( t ) = ln
( 2t + 1)3
( 3t − 1)4
x
8) y = ln ( sin x )
12) y = 2x log10 x
LB, Niv 4 Sc
5.17
(
13) y = ln e− x + xe− x
)
(
14) y = log 2 e− x cos π x
(
)
15) h ( x ) = ln x + x 2 − 1
)
(
)
16) y = ⎡⎣ ln 1+ e x ⎤⎦
2
Problème 6
Déterminer les dérivées première et seconde des fonctions suivantes.
1) y = eα x sin β x
2) y = ee
3) y = x 2 ln ( 2x )
x
4) y =
ln x
x2
Problème 7
Pour quelles valeurs de r la fonction y = erx satisfait-elle à l’équation différentielle y''− 4y'+ y = 0 ?
Problème 8
Déterminer la dérivée d’ordre 1000 de la fonction f ( x ) = xe− x .
Problème 9
Le mouvement d’un ressort soumis à un frottement ou à un amortissement (comme un amortisseur d’une
voiture) est souvent modélisé par le produit d’une exponentielle et d’un sinus ou d’un cosinus. On suppose que
le mouvement d’un point sur un tel ressort est
s ( t ) = 2e−1.5t sin 2π t
où s est mesuré en centimètres et t en secondes. Quelle est la vitesse du point au moment t ? Faire le graphique
des fonctions position et vitesse pour t compris entre 0 et 2.
Problème 10
1
où
est
p (t )
1+ ae− kt
proportion de la population au courant de la rumeur au moment t et où a et k sont des constantes positives.
a) Calculer Lim p ( t )
Dans certaines circonstances, une rumeur se répand selon l’équation
p (t ) =
la
t→+∞
b) Quelle est la vitesse de propagation de la rumeur ?
c) Dessiner p dans le cas a = 10, k = 0.5, le temps étant mesuré en heures. Sur la base du graphe, estimer le
temps qu’il faudra pour que 80% de la population ait pris connaissance de la rumeur.
Problème 11
Dériver f et déterminer son domaine de définition.
1) f ( x ) =
x
1− ln ( x − 1)
2) f ( x ) = ln ln ln x
Problème 12
a) Sur quel intervalle f ( x ) = x ln x est-elle croissante ?
b) Sur quel intervalle est-elle convexe ?
Problème 13
Dériver les fonctions suivantes par la méthode logarithmique.
1) y =
sin 2 x tan 4 x
(x
4) y = x
2
)
+1
2
x
2) y =
4
x2 + 1
x2 − 1
5) y = ( sin x )
ln x
3) y = ( cos x )
x
⎛ 1⎞
6) f ( x ) = ⎜ 1+ ⎟
⎝
x⎠
x
Problème 14
Démontrer les propriétés suivantes du logarithme naturel en considérant sa dérivée.
1) ln ( xy ) = ln x + ln y
2) ln x r = r ln x
3) ln
x
= ln x − ln y
y
LB, Niv 4 Sc
5.18
5.4
FONCTIONS HYPERBOLIQUES
5.4.1 Définitions
e x + e− x
2
e x − e− x
sinh x =
2
sinh x
tanh x =
=
cosh x
cosh x
coth x =
=
sinh x
, ∀x ∈
cosh x =
Cosinus hyperbolique
Sinus hyperbolique
Tangente hyperbolique
Cotangente hyperbolique
, ∀x ∈
e x − e− x e2 x − 1
=
e x + e− x e2 x + 1
e x + e− x e2 x + 1
=
e x − e− x e2 x − 1
, ∀x ∈
, ∀x ∈*
5.4.2 Propriétés
1) cosh x + sinh x = e x
2) cosh x − sinh x = e− x
3) cosh ( −x ) = cosh ( x ) Fct. paire.
4) sinh ( −x ) = − sinh ( x ) Fct. impaire.
5) tanh ( −x ) = − tanh ( x ) Fct. impaire.
6) coth ( −x ) = − coth ( x ) Fct. impaire.
7) cosh 2 x − sinh 2 x = 1
8) 1− tanh 2 x =
9) coth 2 x − 1 =
11) cosh x =
1
sinh 2 x
10) sinh x =
1
cosh 2 x
tanh x
1− tanh 2 x
1
1− tanh 2 x
5.4.3 Fonctions dérivées
1)
d
d ⎛ e x + e− x ⎞ e x − e− x
cosh x = ⎜
=
= sinh x
dx
dx ⎝ 2 ⎟⎠
2
2)
d
sinh x = cosh x
dx
3)
d
1
tanh x =
= 1− tanh 2 x
dx
cosh 2 x
4)
d
−1
coth x =
= 1− coth 2 x
dx
sinh 2 x
5.4.4 Caractéristiques et comportement aux extrémités
Fonction sinh x
Définition
f ( x ) = sinh x =
Comportement aux extrémités
e x − e− x
2
Fonction impaire définie ∀x ∈
lim sinh x = ±∞
x→±∞
Variations et extrema
f ' ( x ) = cosh x > 0
Courbure et inflexion
f '' ( x ) = sinh x
Fonction strictement croissante ∀x ∈
f '' ( x ) = 0 ⇒ sinh x = 0 ⇒ x = 0
Point d’inflexion O ( 0;0 ) Pente de la tangente en O : mO = cosh 0 = 1
Fonction cosh x
Définition
f ( x ) = cosh x =
e x + e− x
2
Fonction paire définie ∀x ∈
LB, Niv 4 Sc
5.19
lim cosh x = +∞
Comportement aux extrémités
Variations et extrema
Courbure et inflexion
x→±∞
f ' ( x ) = sinh x
f '' ( x ) = cosh x > 0
f ' ( x ) = 0 ⇒ sinh x = 0 ⇒ x = 0
Minimum en O ( 0;1)
La courbe au dessus de ses tangentes, ∀x ∈
Remarque
Les graphes des fonctions sinh et cosh sont asymptotes curvilignes l’un de l’autre lorsque x → +∞ , en effet
lim ( cosh x − sinh x ) = lim e− x = 0 .
x→+∞
x→+∞
Fonction tanh x
Définition
f ( x ) = tanh x =
sinh x e2 x − 1
=
cosh x e2 x + 1
Fonction impaire définie ∀x ∈
lim tanh x = −1 Asymptote horizontale d’équation y = -1.
Comportement aux extrémités
x→−∞
lim tanh x = +1 Asymptote horizontale d’équation y = +1.
x→+∞
1
>0
cosh 2 x
Fonction strictement croissante ∀x ∈
2sinh x
cosh 3 x
f '' ( x ) = 0 ⇒ sinh x = 0 ⇒ x = 0
Variations et extrema
f '( x ) =
Courbure et inflexion
f '' ( x ) = −
Point d’inflexion O ( 0;0 ) Pente de la tangente en O : mO =
1
=1
cosh 2 0
Fonction coth x
Définition
f ( x ) = coth x =
Comportement aux extrémités
cosh x e2 x + 1
=
sinh x e2 x − 1
Fonction impaire définie ∀x ∈*
lim coth x = ±1 Asymptotes horizontales d’équation y = ±1.
x→±∞
lim coth x = +∞ Asymptote verticale d’équation x = 0.
x→ 0
>
lim coth x = −∞ Asymptote verticale d’équation x = 0.
x→ 0
<
LB, Niv 4 Sc
5.20
Variations et extrema
f '( x ) =
−1
<0
sinh 2 x
Courbure et inflexion
f '' ( x ) =
2 cosh x
sinh 3 x
Fonction strictement décroissante ∀x ∈*
∃ Pt. d’inflexion
5.4.5 Autres propriétés des fonctions hyperboliques
1) sinh ( x + y ) = sinh x cosh y + cosh x sinh y
tanh x + tanh y
3) tanh ( x + y ) =
1+ tanh x tanh y
sinh x =
2 tanh
2) cosh ( x + y ) = cosh x cosh y + sinh x sinh y
sinh 2x = 2sinh x cosh x
4) cosh 2x = cosh 2 x + sinh 2 x
2 tanh x
tanh 2x =
1+ tanh 2 x
x
2
x
2
x
1+ tanh 2
2
cosh x =
2 x
1− tanh
2
1− tanh 2
5)
7) tanh
x 1
= ( cosh x − 1)
2 2
x 1
cosh 2 = ( cosh x + 1)
2 2
sinh 2
6)
x cosh x − 1
sinh x
=
=
2
sinh x
cosh x + 1
8) Formule de Moivre
( cosh x + sinh x )n = cosh nx + sinh nx
n
n
En effet, ( cosh x + sinh x ) = ( e x ) ,
∀n ∈
LB, Niv 4 Sc
5.21
5.5
FONCTIONS HYPERBOLIQUES RECIPROQUES
5.5.1 Fonction argcosh
 + → [1;+ ∞[
x  cosh x
Soit la fonction bijective f :
y = cosh x ⇔ x = arg cosh y
[1;+ ∞[
Fonction réciproque f −1 :
→ +
x  arg cosh x
Les représentations graphiques de f et f −1 sont symétriques par rapport à la droite d’équation y = x.
Fonction dérivée y = arg cosh x ⇔
1
.
1 = y'sinh y . Soit y' =
sinh y
Or cosh 2 y − sinh 2 y = 1 .
Donc
x = cosh y . En dérivant les deux membres par rapport à x, on obtient
Comme y ∈ +
1
1
y' =
=
.
sinh y
x2 − 1
Ainsi sinh y = ± cosh 2 y − 1 .
sinh y = + cosh 2 y − 1 = x 2 − 1
et
d
arg cosh x =
dx
Finalement
1
x2 − 1
⇒ sinh y ≥ 0 .
, x >1
5.5.2 Fonction argsinh
Soit la fonction bijective f :
 → 
x  sinh x
Fonction réciproque f −1 :
 → 
x  argsinh x
y = argsinh x ⇔ x = sinh y
d
argsinh x =
dx
Fonction dérivée
1
x2 + 1
5.5.3 Fonctions argtanh et argcotanh
Soit la fonction bijective f :  →
]−1;1[
Fonction réciproque f −1 : ]−1;1[ → 
x  tanh x
x  arg tanh x
y = arg tanh x ⇔ x = tanh y
d
1
arg tanh x =
dx
1− x 2
Fonction dérivée
Soit la fonction bijective f : * →
]−∞;− 1[ ∪ ]1;+ ∞[
x  coth x
, x <1
Réciproque f −1 : ]−∞;− 1[ ∪ ]1;+ ∞[ → *
x  arg coth x
LB, Niv 4 Sc
5.22
y = arg coth x ⇔ x = coth y
d
1
arg coth x =
dx
1− x 2
Fonction dérivée
, x >1
5.5.4 Relations entre fonctions logarithmiques et hyperboliques réciproques
Soit
y = arg cosh x
, x ∈[1;+ ∞[ .
x = cosh y
x=
e y + e− y
2
2x = e y + e− y
2x = e y +
1
ey
e2 y − 2xe y + 1 = 0
Solutions de l’équation du second degré en y :
ey = x ± x 2 − 1
Par définition de y = arg cosh x , on a y ≥ 0 ⇒ e y ≥ 1 .
Si
x − x2 − 1 ≥ 1
alors
x 2 − 2x + 1 ≥ x 2 − 1
x − 1 ≥ x 2 − 1 . Avec x ≥ 1 ,
−2x ≥ −2 , soit x ≤ 1 , ce qui contredit l’hypothèse x ≥ 1 .
On obtient
On peut montrer alors que e y = x + x 2 − 1 est la solution acceptable.
Ainsi, finalement
On établit de même
(
argsinh x = ln ( x +
)
x + 1)
arg cosh x = ln x + x 2 − 1
2
, x ≥1
, ∀x ∈
arg tanh x =
1 ⎛ 1+ x ⎞
ln ⎜
⎟
2 ⎝ 1− x ⎠
,
x <1
arg coth x =
1 ⎛ x + 1⎞
ln ⎜
⎟
2 ⎝ x − 1⎠
,
x >1
LB, Niv 4 Sc
5.23
5.5.5 Exercices
Problème 1
A partir de e x = cosh x + sinh x et e− x = cosh x − sinh x , établir les formules donnant
1) cosh ( x + y )
2) sinh ( x + y )
3) tanh ( x + y )
Problème 2
Montrer que cosh ( 2x ) = cosh 2 x + sinh 2 x = 2sinh 2 x + 1 = 2 cosh 2 x − 1 .
cosh ( 2x ) + 1
cosh ( 2x ) − 1
et sinh 2 x =
.
2
2
En déduire des primitives de cosh 2 x et sinh 2 x .
En tirer cosh 2 x =
Problème 3
(
Etablir l’égalité argsinh x = ln x + 1+ x 2
).
Problème 4
Montrer que cosh ( argsinh x ) = 1+ x 2 et sinh ( arg cosh x ) = x 2 − 1 .
En déduire que tanh ( argsinh x ) =
x
1+ x 2
et tanh ( arg cosh x ) =
x2 − 1
.
x
Problème 5
Calculer les primitives suivantes. 1) F ( x ) = ∫ x 2 − 1 dx
2) F ( x ) = ∫ x 2 + 1 dx
Problème 6
⎛ p + q⎞
⎛ p − q⎞
⎛ p + q⎞
⎛ p − q⎞
⋅ cosh ⎜
= cosh p + cosh q et 2sinh ⎜
⋅sinh ⎜
= cosh p − cosh q .
Montrer que 2 cosh ⎜
⎝ 2 ⎟⎠
⎝ 2 ⎟⎠
⎝ 2 ⎟⎠
⎝ 2 ⎟⎠
Par analogie, trouver les formules pour sinh p + sinh q et sinh p − sinh q .
Problème 7
Résoudre les équations suivantes
1) sinh ( 2x ) + sinh x = 0
2) cosh ( 2x ) = 3sinh x
3) cosh 2 x − 4 sinh x + 2 = 0
Problème 8
Etudier les fonctions suivantes.
1) f ( x ) = ln ( tanh x )
2) f ( x ) = argsinh
x
1+ x
2
3) f ( x ) = arg tanh
x +1
x−2
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