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(X, Y ), où X et Y sont indépendantes, de l

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Université Joseph Fourier
L3/MAP360
TP 6
Exercice 1. Simuler un échantillon du couple (X, Y ), où X et Y sont indépendantes,
de loi N (0, 1) de taille 5000.
√ Pour2 ρ = −0.95, −0.8, −0.5, 0, 0.5, 0.8, 0.95, en déduire un
échantillon de Z = ρX + 1 − ρ Y .
1. Représenter par des points dans le plan l’échantillon du couple (X, Z).
2. Vérifier graphiquement l’ajustement de l’échantillon de Z avec la loi N (0, 1)
(a) Représenter un histogramme des valeurs de l’échantillon. Superposer sur le
même graphique la densité de la loi.
(b) Représenter la fonction de répartition empirique de l’échantillon. Superposer
sur le même graphique la fonction de répartition de la loi.
3. Vérifier graphiquement la convergence des covariances empiriques.
Exercice 2. NB : Les tailles d’échantillons à simuler sont fixées à 5000.
1. Pour (n = 10, p = 0.1), simuler un échantillon de la loi binomiale de paramètres
n et p. Représenter par un diagramme en barre triple, les fréquences empiriques
de l’échantillon en bleu, les probabilités théoriques des mêmes valeurs pour la
loi binomiale de paramètres n et p en rouge, et les probabilités théoriques des
mêmes valeurs pour la loi de Poisson de paramètre np en vert.
2. Pour (m = 10, n = 20, k = 5), simuler un échantillon de la loi hypergéométrique
de paramètres (m, n, k) (attention, il s’agit ici du paramétrage de R). Représenter par un diagramme en barre triple, les fréquences empiriques de l’échantillon
en bleu, les probabilités théoriques des mêmes valeurs pour la loi hypergéométrique de paramètres (m, n, k) en rouge, et les probabilités théoriques des mêmes
valeurs pour la loi binomiale de paramètres k et m/(m + n) en vert.
3. Pour (n = 10, p = 0.5), simuler un échantillon x de la loi binomiale
q de paramètres n et p. Calculer l’échantillon centré-réduit xcr = (x − np)/ np(1 − p).
Représenter un histogramme des valeurs de xcr. Superposer sur le même graphique la densité de la loi normale N (0, 1). Représenter la fonction de répartition
empirique de xcr. Superposer sur le même graphique la fonction de répartition
de la loi normale N (0, 1).
1
4. Pour n = 10, simuler un échantillon x de la loi du chi-deux à n degrés de
liberté. Représenter un histogramme des valeurs de x en bleu. Superposer sur le
même graphique la densité de la loi du chi-deux à n degrés de liberté en rouge.
Superposer sur le même graphique la densité de la loi normale N (n, 2n) en vert.
Représenter la fonction de répartition empirique de x en bleu. Superposer sur
le même graphique la fonction de répartition de la loi du chi-deux à n degrés de
liberté en rouge. Superposer sur le même graphique la fonction de répartition
de la loi normale N (n, 2n) en vert.
5. Pour (a = 10, λ = 2), simuler un échantillon x de la loi gamma de paramètres
a et λ. Représenter un histogramme des valeurs de x en bleu. Superposer sur
le même graphique la densité de la loi gamma de paramètres a et λ en rouge.
Superposer sur le même graphique la densité de la loi normale N (a/λ, a/λ2 ) en
vert. Représenter la fonction de répartition empirique de x en bleu. Superposer
sur le même graphique la fonction de répartition de la loi gamma de paramètres
a et λ en rouge, de la loinormale N (a/λ, a/λ2 ) en vert.
2
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