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(2) CORRECTION - Podcast – Science

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Première ES
1
Chap. 8
−
−
2
Feuille d’exercices (2)
Exercice 3.
a) Pour obtenir le coût de production moyen Vn , il suffit de diviser
Un par le nombre n de paires de chaussures.
Un
1, 5 n + 300
Ainsi, pour tout entier n ⩾ 1,
Vn =
=
= 1, 5 +
n
n
b) U1 = 301, 5 ; U2 = 303 ; U3 = 304, 5 ; U4 = 306 ; U5 = 307, 5 ; U6
V1 = 301, 5 ; V2 = 151, 5 ; V3 = 101, 5 ; V4 = 76, 5 ; V5 = 61, 5 ; V6
CORRECTION
Fonctions de références
Exercice 1.
1) f (x) = m x + p avec m = 2 et p = 1. Or m = 2 > 0 donc
g(x) = a
√
x − β + γ avec a = − 4 < 0. Donc
f est croissante sur R+
g est décroissante sur R+
Si x augmente, alors l’offre augmente (f ↗) et la demande diminue (g ↘).
2) Le prix est de 50 e donc
l’offre de la société est de 1 100 jeux.
Variations de f (x) = 1, 5 x + 300
Signe de Un+1 − Un
f est croissante sur [1; +∞[ car 1, 5 > 0.
Un+1 − Un = 1, 5 (n + 1) + 300 − (1, 5 n +
= 1, 5
1, 5
n+1, 5+
300) = 300−
1, 5
n−
300
(Un ) est donc croissante.
1, 5 > 0 donc
Si la demande est de 900 jeux, alors le prix sera de 160 e.
f (x) = g(x)
√
4b)
√
2x + 1 = 25 − 4 x
√
4 x = 24 − 2x
√
x = 6 − 0, 5 x
⇔
⇔
⇔
x = (6 − 0, 5 x)
⇔
Variations de g(x) = 1, 5 +
x = 6 − 0, 5 x
2
et 6 − 0, 5 x ⩾ 0
⇔
x = 62 − 2 × 6 × 0, 5 x + (0, 5x)2 et 6 ⩾ 0, 5 x
⇔
x = 36 − 6 x + 0, 25 x2 et 12 ⩾ x
⇔
0 = 0, 25 x2 − 7x + 36
et
3
2b) Par lecture graphique, on constate que si
Pensez à simplifier vos fractions à
l’aide de la touche Frac de votre
calculatrice.
x
11
E(G) =
−
3
12
R(x) = x × A(x)
x = 100 e alors R(x) est maximal.
2
− 0, 4 x − 85 = 0 ⇔ x = − 212, 5
x
0
− 0, 4 x − 85
(x − 100)
2
R(x) − 850 000
100
−
150
−
+
0
+
−
0
−
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(Vn ) est décroissante.
Probabilité
Le nombre de cas au total est
égale à 60 + 120 + 180 = 360○ .
3a) = ( − 0, 4 x − 85) (x − 100) = (− 0, 4 x − 85) (x2 − 200 x + 10 000)
= − 0, 4 x3 + 80 x2 − 4 000 x − 85 x2 + 17 000 x − 850 000
= − 0, 4 x3 − 5 x2 + 13 000 x − 850 000 = R(x) − 850 000
3b)
Donc
Exercice 4. L’objectif de cet exercice est de faire un calcul d’espérance donc faites
un tableau comme vous en avez eu l’habitude de le faire en cours.
11 750 abonnés
2a) Un abonnement coûte x e et il y a A(x) abonnements donc
300
300
1,
5 −
− =
1,
5 +
Vn+1 − Vn = n+1
n
300n − 300 (n + 1)
− 300
=
< 0
n (n + 1)
n (n + 1)
(Vn ) est donc décroissante.
12 ⩾ x
(Un ) est croissante.
Signe de Vn+1 − Vn
−1
) < 0.
x2
Donc g est décroissante sur [1; +∞[.
le prix d’équilibre est d’environ 68 e
Exercice 2.
1) A(50) = − 0, 4 × 502 − 5 × 50 + 13 000 =
300
x
Calculer g ′ (x) = 0 + 300 × (
4c) À l’aide de ma calculatrice, je trouve : ∆ = 13 ; x1 ≈ 21, 2 et x2 ≈ 6, 8
On oublie x1 car 12 ⩾ x et donc
300
n
= 309
= 51, 5
d) Nous avons des suites explicites donc deux méthodes à notre disposition :
3) La demande est de 900 jeux donc g(x) = 9 . À résoudre pour trouver le prix x.
√
√
√
g(x) = 9 ⇔ 25 − 4 x = 9 ⇔ 16 = 4 x ⇔ 4 = x ⇔ x = 16 et 4 ⩾ 0.
4a)
le coût total
c) (Un ) semble croissante. (Vn ) semble décroissante.
x = 5 . L’énoncé nous demande de déterminer f (x).
f (5) = 2 × 5 + 1 = 11 donc
Sens de variations d’une suite
2b) E(G) = 0 ⇔
Couleur
Verte
Jaune
Rouge
gi
−2
180 1
=
360 2
0, 50
60
1
=
360 6
1
12
x
120 1
=
360 3
x
3
P (G = gi )
gi × P (G = gi )
−1
x
11
x
11
11
=
⇔ 3×
= 3×
⇔ x =
⇔
3
12
12
4
3
x = 2, 75 e
3c) On a R(100) − 850 000 = 0
Donc
R(100) = 850 000
On a pour tout x, R(x) − 850 000 ⩽ 0
Donc pour tout x, R(x) ⩽ 850 000
Pour un prix de 100 e, la recette
maximale est donc de 850 000 e.
Exercice 5.
1) On veut P (A) = 3 P (B) alors P (A)+P (B) = 1 ⇔ 4 P (B) = 1 ⇔ P (B) = 1/4 = 0, 25
3a) P (« Benoît gagne 2 − 0 ») = P (BBB) + P (BBA) = 0, 015625+0, 046875 = 0, 0625
3b) P (« Alban gagne ») = P (AAA) + P (AAB) + P (ABA) + P (BAA)
Page 1/1
= 0, 421875 + 0, 140625 + 0, 140625 + 0, 140625 =
0, 84375
1ère ES - (8) Fonctions de référence - Feuille d’exercices (2) - Correction
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