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Ch12 exercices corrigés

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n°63 page 212
1) ABCDEFGH est un cube donc l'arête [HG] est perpendiculaire à la face
ADHE ; et comme [HA] est sur la face ADHE, [HA] est donc
perpendiculaire à [HG] donc AHG est rectangle en H.
2) Voici les étapes de la construction :
* tracer en vraie grandeur un carré ADHE avec AD = 5 cm ; on a donc
[AH] en vraie grandeur sans calcul.
* tracer la perpendiculaire à [AH] qui passe par H.
* sur cette droite, placer un point G tel que GH = 5 cm
* tracer le segment [GA] pour obtenir AHG
3) [AH] étant une diagonale du carré ADHE, ADH est rectangle en D
donc, d'après le théorème de Pythagore, AH²=AD²+DH²
donc AH²=2×(5 cm)²=2×25 cm²=50 cm² donc AH= √ 50 cm
Par ailleurs, on a montré que AHG est rectangle en H
donc, d'après le théorème de Pythagore, AG²=AH²+HG²
on a vu que AH²=50 cm²
donc AG²=50 cm²+(5 cm)²=50 cm²+25 cm²=75 cm²
donc AG= √ 75 cm
AH
On sait que AHG est rectangle en H donc cos( ̂
HAG )=
AG
ce qui donne cos( ̂
HAG )=
donc ̂
HAG =Acs(
√ 50 = √ 2×25 = 5×√ 2 = √ 2
√ 75 √ 3×25 5×√ 3 √ 3
√ 2 ) ≈ 35,3° (arrondi au dixième)
√3
Exercice 1 page 236
1) [SD] étant la hauteur de la pyramide SABCD, [SD] est perpendiculaire
à la base ABCD et comme [CD] est dans la base, [SD] est perpendiculaire
à [CD] donc SDC est rectangle en D.
De même, SDA est rectangle en D, SDB est rectangle en D.
Enfin, ABCD est un rectangle donc ADC est rectangle en D et DCB est
rectangle en C.
2) [SD] étant la hauteur de la pyramide SABCD, SD est la distance du
point S au plan de la base ABCD donc SD est plus petite que chaque
distance SA, SB et SC.
3) Le volume d'une pyramide est obtenu en prenant le tiers du produit de
la hauteur par l'aire de la base.
ABCD étant un rectangle, le volume de la pyramide SABCD est donc
SD×AB×BC 5 cm×4 cm×3 cm
donné par
=
=20 cm³.
3
3
Exercice 2 page 236
1) A étant un point du cercle de centre O et de rayon 3 cm, OA=3 cm.
Par ailleurs, S étant le sommet du cône dont la base est ce cercle, [AS]
est une génératrice du cône.
2) [OS] étant la hauteur du cône, [OS] est perpendiculaire à la base donc
à [OA] donc AOS est rectangle en O donc, d'après le théorème de
Pythagore, OS²=AS²−OA²=(7 cm)²−(3 cm)²=49 cm²−9 cm²=40 cm²
donc OS= √ 40 cm = 2 √ 10 cm ≈ 6,3 mm
3) Le volume d'un cône est le tiers du produit de sa hauteur par l'aire de
sa base, ce qui donne
OS×π×OA² 2 √ 10cm×π×(3 cm)² 2 √ 10×π×9 cm²
=
=
= 6 π √ 10 cm³
3
3
3
la calculatrice donne environ 59,608 cm³ (arrondi au mm³).
n°1 page 241
n°3 page 241
* OA = OB = 4 cm car A et B sont sur
sphère de centre O et de rayon 4 cm.
* OC = OD = 4 cm car C et D sont sur
cette sphère.
c1 qui est un grand cercle de la
c2 qui est aussi un grand cercle de
* AB < 8 cm car [CD] est une corde du cercle c1 de diamètre 8 cm et on
sait qu'une corde est plus petite que le diamètre
* CD = 8 cm car [CD] est un diamètre du grand cercle c2
* on ne peut déterminer OF et OE car on ne dispose d'aucune information
concernant ces points ; par exemple, ils peuvent être loin derrière la
sphère…
n°2 page 261
Voici les différentes
perspective.
sections
demandées
en
représentation
en
Le point B n'appartient ni à la boule, ni à la sphère car il est à l'extérieur
de cette boule.
Le point C appartient à la boule mais pas à la sphère car il est à
l'intérieur de la boule.
Pour le point D, d > 3cm car il est à l'extérieur de la boule.
Pour le point E, d < 3cm car il est à l'intérieur de la boule.
F est un point de la sphère et donc de la boule.
G est le point O : il appartient à la boule mais pas à la sphère.
n°4 page 241
1) Puisque [AB] et [CD] sont des diamètres de la sphère s de centre O,
ils se coupent en O : il suffit donc de tracer les deux segments ; le point
O est l'intersection de ces deux segments.
2) À vous de vous exercer ;-) Il y a une petite erreur dans l'énoncé car il
y a plusieurs grands cercles qui passent par E.
3) Il suffit de tracer le symétrique de E par rapport à O : c'est le point
F puisque O est le milieu du diamètre [EF]. D'ailleurs, cela peut vous
aider pour tracer un grand cercle qui passe par E.
n°5 page 241
L'aire d'une sphère est obtenue en multipliant 4 fois le nombre
carré du rayon de cette sphère.
a) avec R = 9,1 cm,
π par le
a(sphère) = 4π × (9,1 cm)² = 331,24 π cm² ≈ 1040,6 cm² (arrondi au
dixième)
b) avec R = 34 cm,
a(sphère) = 4π × (34 cm)² = 4 624 π cm² ≈ 14 526,7 cm² (arrondi au
dixième)
n°6 page 241
Le volume d'une boule est obtenu en prenant les quatre tiers du produit
de π par le cube du rayon de cette boule.
a) avec R = 6 dm,
4×π×(6 dm )3
v(boule) =
=288 π dm³ ≈ 905 dm³ (arrondi à l'unité)
3
b) avec R = 38 cm,
4×π×(38 cm )3 219 488
v(boule) =
=
π cm³ ≈ 230 dm³ (arrondi à l'unité)
3
3
n°17 page 243
1) H étant le centre de la section par le plan p, (OH) est perpendiculaire
au plan p et comme M est un point du plan p, (OH) est perpendiculaire à
(HM) donc OHM est rectangle en H
2) On connaît OH=4,3cm et HM=6,2cm (rayon de la boule)
On trace [OH] puis la perpendiculaire à [OH] passant par H puis on place
un point M sur cette perpendiculaire à 6,2cm du point H.
3) OHM est rectangle en H donc, d'après le théorème de Pythagore,
OM²=OH²+HM²=(4,3cm)²+(6,2cm)²=18,49cm²+38,44cm²=56,93cm²
donc R = OM = √ 56,96 cm ≈ 7,5 cm (arrondi au mm)
n°9 page 242
L'aire d'une sphère est obtenue en multipliant 4 fois le nombre π par le
carré du rayon de cette sphère donc pour la coupole qui a la forme d'une
demi-sphère, il suffit de remplacer 4 par 2 dans cette formule.
a(coupole) = 2π×(18 m)² = 648π m² ≈ 2 035,75 m² (arrondi au
centième)
n°19 page 243
A et B étant sur la boule de centre O, on a OA=OB=5cm (car le diamètre
de la boule est 10cm) donc AOB est isocèle en O donc, pour le triangle
AOB, la hauteur issue de O est aussi la médiatrice de [AB] donc O 1 est le
milieu de [AB] et AOO1 est rectangle en O1
donc, d'après le théorème de Pythagore, OA²=OO1²+AO1²
on a OA=5cm et AO1=AB÷2=5cm÷2=2,5cm
OO1²=(5cm)²−(2,5cm)²=25cm²−6,25cm²=18,75cm²
donc h=OO1= √ 18,75 cm ≈ 4,3 cm (arrondi au dixième)
On doit donc réaliser la découpe à environ 4,3cm (arrondi au mm) du
centre de la boule.
n°5 page 261
1) Le plan (HGF) étant parallèle à l'arête [BC] du pavé droit, la section
EFGH est donc un rectangle.
2) HKE est rectangle en K avec KE=15cm et HK=20cm
donc,
d'après
le
théorème
de
Pythagore,
HE²=HK²+KE²=(20cm)²+(15cm)²=400cm²+225cm²=625cm²
donc HE = √ 625 cm = 25 cm car 25×25=625
3) EFGH est un rectangle dont deux côtés consécutifs sont égaux car HE
= 25 cm et HG = 25 cm
donc EFGH est un carré.
n°7 page 262
1) OO'=AA'=BB'=6cm (la hauteur)
OA=OB=O'A'=O'B'=4cm (le rayon)
OH=2cm (la distance du plan p à l'axe du cylindre)
2) OA=OB donc AOB est isocèle en O
3) AOB est isocèle en O donc (OH) qui est la hauteur issue de O, est
aussi la médiatrice de [AB] donc H est le milieu de [AB]
4) On trace un cercle de centre O et de rayon 4 cm puis on trace un
rayon sur lequel on place le point H tel que OH=2cm puis on trace la
perpendiculaire à (OH) passant par H : elle coupe le cercle en A et B.
5) Le plan p étant parallèle à l'axe (OO') du cylindre, la section ABB'A'
est un rectangle.
6) On a AA'=6cm et on reporte la longueur AB à partir de la figure
obtenue à la partie 4). On trace alors le rectangle ABB'A' avec ces
dimensions.
n°8 page 262
1) On pourra faire une représentation en perspective analogue de celle
qui est proposée à l'exercice n°7 page 262.
2) Le plan p étant parallèle à l'axe (OO') du cylindre, la section ABB'A'
est un rectangle.
3) On a AA'=8cm (la hauteur du cylindre)
Pour AB, on reprends le raisonnement du n°7 page 262 : AOB est isocèle
en O (car AO=BO) et donc H est le milieu de [AB] avec OH = 1,8cm et
OAH rectangle en H
donc, d'après le théorème de Pythagore, OA²=OH²+AH²
donc AH² = (3,4cm)²−(1,8cm)² = 11,56cm²−3,24cm² = 8,32 cm²
donc AH = √ 8,32 cm ≈ 2,9 cm (arrondi au dixième)
On a donc AB = 2×AH ≈ 2×2,9 cm ≈ 5,8 cm (arrondi au dixième)
n°21 page 264
1) ABCD est un rectangle donc ABC est rectangle en B
donc, d'après le théorème de Pythagore, AC²=AB²+BC²=(8cm)²+(6cm)²
AC²=64cm²+36cm²=100cm²
donc AC = √ 100 cm = 10 cm car 10×10 = 100
H étant l'intersection des diagonales du rectangle ABCD, H est le milieu
de [AC] donc AH=AC÷2 =10cm ÷2 = 5 cm
2) SABCD est une pyramide de base le rectangle ABCD
donc v(SABCD) = SH×AB×BC÷3 = 12cm×8cm×6cm÷3 = 192 cm³
3) [SH] étant la hauteur de la pyramide SABCD, SAH est rectangle en H
donc, d'après le théorème de Pythagore, SA²=AH²+SH²
SA²=(5cm)²+(12cm)²=25cm²+144cm²=169cm²
donc SA = √ 169 cm = 13 cm car 13×13=169
SA '
3,25 cm
1
4) k =
=
=
SA
13 cm
4
AB
BC
On a donc A'B' =
=8cm÷4=2cm et B'C' =
=6cm÷4=1,5cm
4
4
v(SA'B'C'D') = k³×v(SABCD) = 0,25³×192cm³ = 3 cm³
1
5) soit k' le facteur de réduction : on a donc k'³=
puisque le volume
8
réduit est 8 fois plus petit que celui de la pyramide SABCD.
1
donc k' =
car 2³=8
2
SA
ainsi, SE =
= 13cm÷2 = 7,5 cm.
2
n°22 page 264
1) le volume du cône est obtenu avec la formule
π R 2× h
3
où h est la
hauteur et R le rayon de la base.
π R 2×h π (7cm)2 ×(12cm)
=
= 196 π cm³
3
3
SA '
3 cm
1
2) le facteur de réduction est k=
=
=
SA
12 cm 4
d'où le volume du petit cône :
k³× 196 π cm³=0,25³× 196 π cm³= 3,0625 π cm³≈10cm³(arrondi à l'unité).
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