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Array - SMAI

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Comportement asymptotique fort et faible
des estimateurs multilevel
Daphné GIORGI, LPMA – UPMC
Le paradigme multiniveaux (ou multilevel) a été introduit par Giles dans [1], puis étendu dans [2], pour
accélérer le calcul par simulation de Monte Carlo d’une quantité d’intérêt I0 = E(Y0 ), Y0 ∈ L2 (P)
lorsque l’on ne dispose que d’approximations biaisées Yh ∈ L2 (P), simulables avec un complexité κh = hκ ,
h ∈ {h/n, n ≥ 1}. Le but étant de tuer le biais sans faire exploser la variance. Les variables aléatoires
Yh sont supposées vérifier (soit pour R = 1 dans [1], soit pour un R ≥ 1 dans [2]) deux hypothèses: un
développement dit d’erreur faible
∃ α > 0, ck , R̄ ≥ 1,
E (Yh ) − E (Y0 ) =
R̄
X
ck hαk + o(hα(R̄+1) ),
(1)
k=1
pour un α > 0 (et c1 6= 0 si R = 1) et une vitesse d’approximation quadratique forte
∃ β > 0, V1 ≥ 0, kYh − Y0 k22 = E |Yh − Y0 |2 ≤ V1 hβ , (β ≥ 2α).
(2)
On construit alors l’estimateur M L2R, pour MultiLevel Richardson-Romberg, de profondeur R ≤ R̄ par
IπN
=
N
Ih,R,q
Nj N1
R
X
Wjα,R X
1 X
(1),k
(j),k
(j),k
Yh
+
Yhj − Yhj−1 ,
=
N1
Nj
j=2
k=1
k=1
avec Nj = dqj N e, hj = M hj−1 , j = 1 : R, où N est la taille de l’estimateur, (Wjα,R )j=1:R sont des poids
universels et π = (h, R, q1 , . . . , qR , M ) le jeu de paramètres de l’estimateur explicitement déterminés par
la résolution du problème de minimisation de la complèxité sous la contrainte kIπN − I0 k2 ≤ ε, la taille
N (ε) de la simulation découlant de cette optimisation. Lorsque (1) n’est établie que pour R̄ = 1, on
considère pour tout R ≥ 1 l’estimateur historique, dit M LM C, consistant à poser Wjα,R = 1.
Après avoir rappelé les performances précises de ces estimateurs en terme de complexité résultante en
fonction de β, tels qu’établis dans [1] et [2], nous énoncerons deux nouveau résultats (cf. [3]) :
N (ε ) p.s.
• Une loi forte des grands nombres Iπ(εkk) −→ I0 dès que la vitesse forte est vraie dans Lp , p ≥ 2, et
P p
k εk < +∞.
• Un théorème Central-Limite de la forme
Zε
2
2
p 1
∼ I0 + σY,2
εZ2ε + σY,1
N (ε)
N (ε) ε→0
Iπ(ε)
L
où Z ε = (Z1ε , Z2ε ) −→ N 0; I2
ε→0
NM L2R (ε) ∼ Cβ ε−2

1


 q



M
et
si β > 1,
log( 1ε )
q
1−β
2
2
α log(M )
si β = 1,
log( 1ε )
si β < 1

 1
log( 1ε )
et NM LM C (ε) ∼ Cβ ε−2
 − 1−β
ε 2α
ε→0
si β > 1,
si β = 1,
si β < 1.
Références
[1] M.B. Giles. Multilevel Monte Carlo path simulation. Oper. Res., 56(3):607-617, 2008.
[2] V. Lemaire, G. Pagès, Multilevel Richardson-Romberg extrapolation, to appear in Bernoulli, preprint LPMA 1603.
[3] D. Giorgi, V. Lemaire, G. Pagès. SLLN and CLT for weighted multilevel estimators, in progress.
Daphné GIORGI, LPMA – Université Pierre et Marie Curie (P6), 4, place Jussieu, 75252 PARIS Cedex 05
daphne.giorgi@upmc.fr
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