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Système de particules pour l’équation de Keller Segel
Nicolas FOURNIER, LPMA, Université Paris 6
L’équation de Keller-Segel, motivée par des application en chimiotactisme, décrit la densité ft (x) de
particules de position x ∈ R2 à l’instant t ≥ 0 en chimiotaxie. Ell s’écrit
∂t ft (x) + χdivx ((K ? ft )(x)ft (x)) = ∆x ft (x),
(1)
où χ > 0 est un paramètre de sensibilité et où
K(x) =
−x
.
2π|x|2
(2)
Il est bien connu que cette équation est critique : les solutions (raisonnables) sont globales quand χ < 8π
et explosent quand χ > 8π.
Nous étudions un système de particules stochastiques assez naturel approchant cette équation. Ce sont
des mouvement browniens plans qui s’attirent suivant une force en 1/r. Nous montrons, dans le cas (très)
sous-critique où χ < 2π, de la compacité pour le système, et que tout point limite (quand le nombre de
particules tend vers l’infini) est solution (faible) de l’équation.
Dans le cas sur-critique, nous nous intéressons aussi, via le système de particules, à la manière dont des
amas se forment, sans avoir pour l’instant de résultats rigoureux.
Références
Nicolas FOURNIER, LPMA-UPMC, Case courrier 188, 4 place Jussieu, 75252 PARIS CEDEX 05
nicolas.fournier@upmc.fr
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