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1 Une étude d`intégrale 2 Factorielle et fonction Gamma d

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Devoir libre n◦ 3
(b) Montrer que In −−→ Γ (x). (CVD)
n→+∞
nx n!
.
n→+∞ x(x + 1)...(x + n)
(c) En déduire que Γ (x) = lim
1
Une étude d'intégrale
Soit f : x 7→
Z +∞
0
−xt
e
p
t(t + 1)
3. Une caractérisation de la fonction Gamma.
dt.
(a) Montrer que Γ est C 2 , et log-convexe, ie ln(Γ ) est convexe.
1. Montrer que le domaine de dénition de f est IR∗+ .
On va établir une réciproque:
On se donne f : IR∗+ → IR∗+ vériant : ∀x > 0, f(x + 1) = xf(x),
f(1) = 1, et ln(f) est convexe. On veut montrer que f = Γ .
2. Etudier la convergence de f(x) quand x → +∞. (CVD)
3. A l'aide du changement de variable u = xt déterminer un équivalent de
f(x) quand x → +∞.
Z
On admettra
+∞
0
(b) Vérier que, si x, y > 0 et t ∈ [0, 1], f(tx + (1 − t)y) ≤ f(x)t f(y)1−t .
(c) n ∈ IN, x, y > 0, t ∈ [0, 1], et z = tx + (1 − t)y.
Montrer que
√
e−u
√ du = π.
u
4. Montrer que f est C ∞ sur IR∗+ .
2
z(z+1)...(z+n)f(z) ≤ (x(x+1)...(x+n))t (y(y+1)...(y+n))1−t f(x)t f(y)1−t
puis que
Factorielle et fonction Gamma d'Euler
t 1−t
f(x)
f(y)
f(z)
≤
Γ (z)
Γ (x)
Γ (y)
f
Qu'en déduire dire sur ln
?
Γ
f
. Calculer g(x + 1) − g(x) et conclure.
(d) Notons g = ln
Γ
1. Fonction GammaZ +∞
d'Euler. Lien avec la factorielle.
On pose Γ : x 7→
tx−1 e−t dt.
0
(a) Montrer que le domaine de dénition de Γ est IR∗+ .
(b) Montrer que Γ (x + 1) = xΓ (x), et que, si n ∈ IN, Γ (n + 1) = n!.
2. Formule d'Euler pour la fonction Gamma
Zn
t
1−
n
n
x > 0 est xé. Si n ∈ IN , on pose In =
t
dt.
0

n
t
 x−1
t
1−
si t ∈]0, n]
∗
On pose Ψn : t ∈ IR+ 7→
.
n

0 si t > n
Z +∞
Ainsi In =
Ψn .
∗
x−1
3
Etude de
+∞
X
lim
(f(x2n ) − f(x2n+1 ))
x→1
n=0
f est une fonction C 2 de [0, 1] dans IR telle que f(0) = 0.
On pose, si x ∈]0, 1[ et t ∈ IR, hx (t) = f(x2t ) − f(x2t+1 ).
0
(a) Montrer que ∀t ∈] − 1, +∞[, ln(1 + t) ≤ t.
Partout, x désigne un élément de ]0, 1[.
1
1. Justier l'existence de ||f 0 ||∞ = sup |f 0 |.
[0,1]
En majorant |hx (n)| (IAF), montrer que
X
1. Montrer que, si k ∈ IN∗ alors la série
On pose g(x) =
+∞
X
n≥0
+∞
X
2. Justier qu'il existe un entier n0 tel que |un | < 1 pour tout n ≥ n0 .
n=0
Z +∞
On note alors, pour k ≥ 1, U(k) =
f(u)
2. Montrer que u 7→
est intégrable sur ]0, 1] et que
f(x2t )dt =
u
0
Z1
−1
f(u)
du.
2 ln(x) 0 u
Z +∞
Z1
−1
f(u)
3. Montrer que hx est intégrable sur [0, +∞[ et
hx =
du.
2 ln(x) x u
0
+∞
0
Cx2n (1 − x)| ln(x)|,
n0
X
Déterminer lim g(x).
x
En utilisant le théorème d'interpolation de Lagrange, en déduire |up | < 1
pour tout p ≤ n0 .
5. Montrer que (un )n∈IN est nulle.
puis que g(x) −
f(u)
du quand x → 1.
u
x→1−
4
∀k ≥ 1,
+∞
X
ukn = 0 =⇒ (un ) = 0
n=0
Soit (un )n∈IN une suite complexe telle que la série
convergente.
X
p=n0 +1
P(uh )ukh .
h=0
x→1
Z1
ukp
4. Déterminer, pour P ∈ CI [X] xé, la limite quand k tend vers +∞ de
hx (t)dt −−→− 0.
6. Si f(1) 6= 0, déterminer un équivalent de
+∞
X
k→+∞
(hx (t) − hx (n))dt, si n ∈ IN.
≤
ukp et R(k) =
3. Pour 5/2 (les 3/2 admettront le résultat) : Montrer que lim R(k) = 0
k→+∞
(double limite).
Pour tous : lim U(k) = ?
n
5. ZMontrer que |In (x)|
n0
X
p=0
4. n ∈ IN. Calculer hx0 (t), et montrer qu'il existe une constante C indépendante de n, t, x telle que : ∀x ∈]0, 1[, ∀t ∈ [n, n + 1], |hx0 (t)| ≤
Cx2n (1 − x)| ln(x)|. (utiliser l'IAF pour f 0 )
On pose In (x) =
ukn = 0
n=0
(f(x2n ) − f(x2n+1 )).
Z n+1
ukn converge.
On suppose jusqu'à la n de l'exercice que, pour tout entier k ≥ 1, on a
hx (n) est absolument
n≥0
convergente.
X
un est absolument
n≥0
2
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