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1 Analyse - berliozo

IntégréTéléchargement
MP2 - Exercices de revision
1
Z
1 Analyse
1.1 Integrabilite, CVD, inteZgrales
a parametres . . . . . . . . . . .
ZX
X
1.2 Series de fonctions,
=
. . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Series entieres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Algèbre
2.1 Reduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Espaces prehilbertiens reels et euclidiens . . . . . . . . . . . . .
2.3 Algebre generale, arithmetique . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Z
+∞
3x
sin3 (t)
3 sin(t)
Montrer, si x > 0, que
dt
=
dt, et en deduire la valeur
2
t
4t2
x
x
1 de I.
1
6:
2 Exercice
Soit f ∈ C 2 (IR+ , IR) telle que f 00 (x) == O(1/x3 ).
x→+∞
3
Montrer que f admet une asymptote ane vers +∞, ie qu'existent a, b ∈ IR
−−→ 0. (on commencera par remarquer que f 0 admet
4 tels que f(x) − (ax + b) x→+∞
4 une limite nie a en +∞)
5
7 Montrer que le resultat est faux si on remplace O(1/x3 ) par O(1/x2 ).
Exercice 7 :
x ∈]0, π[.
1
1.1
Analyse
1. Calculer, si t ∈ [0, 1[, Sn (t) =
Exercice 1 : Existence et valeur de
1
Exercice 2 :
]0, 1[.
Avec le changement x = sin2 (t), calculer
Z1
2. Calculer
dx
√
x3 x2 − 1
Etudier l'integrabilite de f : x 7→ √
Z1
Sn (t)dt et
x(1 − x)3/2
sur
f.
Exercice 3 : b ∈ C(IR , IR) est une fonction bornee.
Resoudre l'equation dierentielle y 0 − 2y = b sur IR+ , et montrer que cette
equation dierentielle admet une unique solution bornee.
Exercice 4 :
Soit f ∈ C 1 ([a, +∞[) telle que f(x) −−→ 0 et f 0 est
x→+∞
integrable surZ [a, +∞[.
+∞
f(t) sin(t)dt converge.
a
Z +∞
Z +∞
sin(t)
sin(t)
p
Etudier la convergence de
dt
,
et
dt.
tα
t − sin(t)
π
0
Z +∞
sin3 (t)
Exercice 5 : Existence de I =
dt.
t2
0
n→+∞
3. En deduire que
S.
0
∞
X
sin nx
converge et donner sa valeur.
n
n=1
Exercice 8 :
0
+
Montrer que
Z1
0
ln(x)
tp−1 sin(px) puis S(t) = lim Sn (t).
p=1
Intégrabilité, CVD, intégrales à paramètres
Z +∞
n
X
On pose, si x ≥ 0, f(x) =
Z +∞
ln(x2 + t2 )
1 + t2
0
dt.
1. Montrer que f(x) est bien deni (separer les cas x = 0 et x > 0).
2. A l'aide du changement u = 1/t, calculer f(0).
3. Montrer que f est C 1 sur ]0, +∞[ (domination pour x ∈ [a, b] ⊂ IR∗+ )
4. On a la decomposition,
1
x2 − 1
si x
6=
1,
1
(1 + t2 )(x2 + t2 )
=
1
1
−
.
1 + t2 x2 + t2
π
Montrer que f 0 (x) =
si x ∈ IR∗+ \{1}, et que le resultat reste valable
x+1
pour x = 1.
MP2 - Exercices de revision
2
5. Justier que ∀[a, b] ⊂ IR∗+ , ∀t ∈ [a, b], | ln(t)| ≤ | ln(a)| + | ln(b)|.
Montrer que f est continue sur [0, 1], puis calculer f(x) pour x ≥ 0.
La formule de Leibniz donne-t-elle f 0 (0)?
Exercice 9 :
1. Pour x ∈ IR, demontrer l'existence de f(x) =
Z1
0
cos2 (xy)
p
1 − y2
dy.
2. Montrer que f est C ∞ .
3. Etudier la limite de f en +∞.
4. Si s > 0, montrer l'existence de L(s) =
Z +∞
X
2. Montrer que la serie de fonction
fn converge normalement sur [a, +∞[
si a > 0, ne converge pas normalement sur [0, +∞[, et converge uniformement sur [0, +∞[. (pour CVU, ||Rn ||∞,IR+ ...)
Qu'en deduire sur f?
3. lim f(x) = ?
x→+∞
4. Montrer que f est C 1 sur IR∗+ . (CVNSTS)
xn sin(nx)
.
n
X
1. A l'aide d'une transformation d'Abel, montrer que la serie
un converge
Exercice 12 : Pour n ∈ IN∗ et x ∈ [−1, 1] on pose un (x) =
f(x)e−xs dx (transformee de
0
Laplace de f).
Montrer que L est C ∞ .
1. Montrer que f(x) est denie si x ∈ IR+ .
uniformement sur [−1, 1] vers une fonction continue, f.
n
5. Determiner la limite puis un equivalent de L en +∞.
2. Justier la derivabilite de f sur ] − 1, 1[ et calculer f 0 (x). En deduire f(x).
Exercice 10 :
3. En deduire la valeur de
1. Justier la denition de f : x ∈ IR 7→
Z
IR
eixt
dt.
(1 + t2 )2
Z
ixt
IR
e
dt et g : x ∈ IR 7→
1 + t2
n=1
Exercice 13 : En utilisant
1.
3. Etablir une relation entre g (x) et f(x).
0
x→+∞
5. A l'aide d'une equation dierentielle, determiner les expressions de g puis
f sur ]0, +∞[ puis sur IR. (resolution de l'ED avec DSE)
Séries de fonctions,
XZ
=
ZX
(−1) e
x+n
0
n=1
dt
.
eit − 2
+∞
X
k=1
(−1)
√
− kt
ke
√
k
.
+
Montrer que
Z f est denie, continue et integrable sur IR .
+∞
X
(−1)n e−
On pose f(x) =
x+n
n=1
2.
Z 2π
+∞
X
t
1
π2
dt
.
(on
admettra
=
)
1 + et
n2
6
Exercice 14 : Soit f(t) =
√
√
n − nx
Z +∞
0
4. Montrer que f est continue et que f(x) −−→ 0.
Exercice 11 :
+∞
X
1
=
un si |u| < 1, calculer :
1−u
n=0
2. Montrer que g est C 2 .
1.2
∞
X
sin n
.
n
nx
. On notera fn (x) =
Calculer
+∞
f.
0
Montrer que f est C ∞ sur IR∗+ .
Exercice 15 : On admet la formule d'Euler :
MP2 - Exercices de revision
3
X
1
cos(πx)
1
∀x ∈ IR\ZZ, + 2x
=π
.
x
x2 − k2
sin(πx)
k=1
∞
X
1
.
On pose ζ : x 7→
nx
+∞
1. an =
n
X
X
X
1
ln(n)xn et
an xn .
. Rayon de convergence de
k
n≥1
k=1
On pose f : x ∈] − 1, 1[7→
n=1
+∞
X
n≥1
+∞
X
ln(n)xn et g : x ∈] − 1, 1[7→
n=1
an xn .
n=1
1. Montrer que ζ est denie et continue sur D = {z ∈ CI | Re(z) > 1}.
2. Calculer g(x) (produit de Cauchy)
2. Montrer que ζ est C ∞ sur ]1, +∞[.
3. Montrer que f(x) − g(x) ==− O(1/(1 − x)), et determiner un equivalent
x→1
en 1− de f.
3. Determiner la limite de ζ en +∞.
Exercice 20 :
4. A l'aide d'un encadrement integral determiner un equivalent simple de
ζ(x) quand x → 1− .
On note, si r > 0, Dr = {z ∈ CI | |z| < r} et Cr = {z ∈ CI | |z| = r}.On
X
2n
convient
que D∞ = CI .
5. Justier que ζ est bornee sur [2, +∞[ et que, si |x| < 1,
ζ(2n)x
n≥1
converge.
On pose ∀x ∈] − 1, 1[, g(x) =
+∞
X
2n
ζ(2n)x
On se xe R ∈ IR∗+ ∪ {∞} et f : x ∈ DR 7→
.
π π
7. En utilisant cotan(x) − 2cotan(2x), montrer que ∀ x ∈ ] − , [, tan x =
2 2
∞
X
2(4n − 1)
ζ(2n)x2n−1 .
π2n
n=1
Séries entières
Exercice 16
X : Soit (an ) veriant ∀n ≥ 1, an+1 − 2an + an−1 = n(−1) .
En utilisant
an xn , calculer an en fonction de n, a0 , et a1 .
n
n≥1
Rayon de convergence et calcul de la somme de
X
n≥1
Exercice 19 :
1. Representation integrale des coecients.
Montrer que, si p ∈ IN et r ∈ [0, R[,
Z 2π
f(reit )e−ipt dt = 2πap rp .
0
2. Theoreme de Liouville.
Si R = +∞ et f est bornee sur CI , montrer que f est constante.
(montrer que p ≥ 1 =⇒ ap = 0)
3. Representation integrale de f.
Z
1 2π reit
r ∈ [0, R[ et |w| < r. Montrer que f(w) =
f(reit )dt.
2π 0 reit − w
+∞ X
reit
w p
On pourra partir de it
=
.
re − w
reit
p=0
2n − 1
Exercice 18 : Convergence et somme de
(le rayon de
convergence de la serie entiere est donc suppose ≥ R)
6. Montrer que ∀x ∈] − 1, 1[\{0}, 2g(x) = 1 − πxcotan(πx). (justier une
1
)
interversion de sommation. On rappelle que cotan =
tan
Exercice 17 :
X 2n + 1
xn−1 .
an xn .
n=0
n=1
1.3
+∞
X
(−1)n−1
.
2n(2n + 1)(2n + 2)
4. Principe du maximum.
On justiera l'existence des extrema donnes.
|w| < r < R.
MP2 - Exercices de revision
4
r
max |f|.
r − |w| Cr
(b) Montrer que |f(w)| ≤ max |f|. (on pourra appliquer, avec justica-
(a) Montrer que |f(w)| ≤
Cr
tion, le resultat precedent a fp , et faire tendre p vers +∞.)
Ainsi max |f(z)| = max |f(z)| ie que le maximum de |f| sur le
|z|≤r
|z|=r
disque ferme de centre 0 et de rayon r est atteint sur le bord du
disque.
2
2.1
21
P = X2 + X.
:
−1
P(A) =  3
3
1
3
Exercice 22

7

1. A =
6
6
−1
 Resoudre
Soit A ∈ M3 (IR) ayant pour valeurs propres 1, −2, 2, et
1. Montrer que An peut s'ecrire sous la forme : An = αn A2 + βn A + γn I3
avec αn , βn , γn ∈ IR.
l'equation algebrique matricielle
1  d'inconnue A ∈ M3 (IR) avec P = X2 puis
3
:

2 −5
2 −4  est-elle diagonalisable?
1 −3

a
2. Trigonaliser A sous la forme  0
0
0
b
0
0
1 .

b
3. Determiner la dimension du commutant de A.

−1
2
−1
−4 4
Exercice 23 : Soit A =  2
1. Calculer An .
Exercice 24 :
n ∈ IN.
3. En deduire les coecients αn , βn , γn .
Réduction
−1

x(t)
dX
3. Soit X(t) =  y(t) . Resoudre
= AX.
dt
z(t)
2. On considere le polyn^ome P = αn X2 + βn X + γn .
Montrer que : P(1) = 1, P(2) = 2n , P(−2) = (−2)n .
Algèbre
Exercice


Exercice 25 :
a1

 0

 ..
 .

 .
 ..

A
a2
a3
...
.
.
.
..
..
.
..
..
..
.
..
..
..
.
an
=

1








0
..
.
..
.
0
...
0
..
.
..
.
..
.
...
0
.. 
. 
...
..
..
..

.


et B
0 

.
.
0
=

1 
1

.. 
. 


a3 , avec ∀i, ai ∈ K.



.
. a2
0 . . . . . . 0 a1
A quelle condition A et B sont-elles semblables dans Mn (K)?
Exercice 26 : Soit A ∈ Mn (CI ) et M =

1
−1 .
3
1
..
.
..
.
In
−A
A
In
.
1. Determiner Sp(M) en fonction de Sp(A2 ) et les espaces propres de M.
2. CNS pour que M soit diagonalisable?

Exercice 27 : A ∈ Mn (IR) verie A5 = A + In . Montrer que det(A) > 0.
−2
2. Soit U0 =  4  et (Un ) deni par la relation : Un+1 = AUn . Calculer
Exercice 28 :
Soit E un CI -ev de dimension nie. f, g ∈ L(E)
1
sont tels que f ◦ g − g ◦ f = αf, avec α 6= 0.
Un en fonction de n.

MP2 - Exercices de revision
5
1. Montrer que ∀k ∈ IN, fk ◦ g − g ◦ fk = kαfk .
2. A l'aide du polyn^ome minimal de f, montrer que f est nilpotent.
Exercice 29 : Soit A, B ∈ Mn (CI ) telle que AB = 0. Montrer qu'elles ont
un vecteur propre commun, puis qu'elles sont simultanement trigonalisables.
Exercice 30 : Soit A, B, C ∈ Mn (CI ) telle que AC = CA, BC = CB, et
AB = BA + C. Montrer qu'elles ont un vecteur propre commun, puis qu'elles
sont simultanement trigonalisables.
Exercice 31 :
Pour A ∈ Mn (CI ), on denit les applications ϕA et fA sur Mn (CI ) par :
∀M ∈ Mn (C
I ), ϕA (M) = Tr(AM)
et fA (M) = AM − MA
1. On note (Ei,j )1≤i,j≤n la base canonique de Mn (CI ). Pour A =
(ai,j )1≤i,j≤n , calculer ϕA (Ei,j ).
En deduire que θ : A ∈ Mn (CI ) 7→ ϕA est un isomorphisme de Mn (CI )
sur Mn (CI )∗ , l'ensemble des formes lineaires sur Mn (CI ).
2. Verier que si A et B sont deux matrices de Mn (CI ), alors on a
ϕB ◦ fA = ϕBA−AB .
3. Soit A une matrice nilpotente de Mn (CI ) et M une matrice de ker(fA ).
Montrer que AM est nilpotente.
En deduire que ker(fA ) ⊂ ker(ϕA ) puis qu'il existe une forme lineaire ψ
sur Mn (CI ) telle que ϕA = ψ ◦ fA
4. Montrer que A ∈ Mn (CI ) est nilpotente si et seulement si il existe une
matrice B ∈ Mn (CI ) telle que A = BA − AB.
Exercice 32 : Soient A, B ∈ Mn (CI ).
1. On suppose qu'il existe C ∈ GLn (CI ) telle que AC = CB. Justier que
Sp(A) = Sp(B) et que A est diagonalisable si et seulement si B l'est.
2. On suppose qu'il existe C ∈ Mn (K), C 6= 0, telle que AC = CB.
Si P ∈ K[X], montrer que P(A)C = CP(B). En deduire que A et B ont une
valeur propre commune.
3. Si A et B ont une valeur propre commune, montrer qu'il existe C ∈
Mn (K), C 6= 0, telle que AC = CB.
On cherchera C sous la forme C = Xt Y avec X, Y ∈ Mn,1 (CI ).
4. On suppose qu'il existe C ∈ Mn (K) de rang r telle que AC = CB. Montrer
que A et B ont r valeurs propres communes, comptees avec multiplicite.
On ecrira C sous la forme WJr T avec W, T inversibles, et on ecrira W −1 AW
et TBT −1 par blocs.
2.2
Espaces préhilbertiens réels et euclidiens
Exercice 33 :
X
X
On munit E = IRn [X] du produit scalaire : Pour P =
ai Xi et Q =
bi X i ,
< P, Q >=
X
i
i
ai bi . Soit H = {P ∈ E | P(1) = 0}.
i
1. Trouver une base orthonormale de H.
2. Calculer d(X, H).
Exercice 34 :
Zπ
Calculer le minimum sur IR2 de (a, b) 7→ (sin x − ax2 − bx)2 dx.
0
Exercice 35 :
Z1
1. Soit φ : IR → IR denie par φ(x1 , ..., xn ) = (1 + tx1 + ... + tn xn )2 dt.
0
Montrer que φ admet un minimum absolu et le calculer lorsque n = 3.
n
2. M^eme question avec φ(x1 , ..., xn ) =
Z +∞
e−t (1 + tx1 + ... + tn xn )2 dt.
0
Exercice 36 :
Soit E un espace euclidien de dimension 4, B = (e1 , ..., e4 ) une base orthonormee de E, et F le sev d'equations dans B :
x+y+z+t=0
x + 2y + 3z + 4t = 0
1. Trouver une base orthonormee de F.
2. Donner la matrice dans B de la projection orthogonale sur F.
MP2 - Exercices de revision
6
3. Calculer d(e1 , F).
2. Justier que B s'ecrit B = t PCP avec C ∈ S+
n (IR).
On munit IRn du produit scalaire usuel. Soit
H = {(x1 , . . . , xn ) ∈ IR | a1 x1 + ... + an xn = 0} o
u a1 , . . . , an sont des
reels donnes non tous nuls. Chercher la matrice dans la base canonique de la
projection orthogonale sur H.
Exercice 37 :
n
3. Montrer qu'il existe Q ∈ GLn (IR) telle que A = t QQ et B =
t
Qdiag(λ1 , ..., λn )Q, o
u λ1 , ..., λn sont les valeurs propres de C.
4. Une application : montrer que det(A) + det(B) ≤ det(A + B).
Exercice 43 : Soit A une matrice reelle symetrique et positive.
Exercice 38 : Caractérisation des parties finies d’un On note λ1 , ... , λn ses valeurs propres. Et (aij )1≤i,j≤n ses coecients.
espace euclidien
1. Montrer que les elements diagonaux de A sont positifs ou nuls.
Soit φ une application convexe de IR+ dans IR.
1. Si E est euclidien et (e1 , ..., en ) est une base de E, montrer qu'il existe
n
n
X
X
(y1 , ..., yn ) famille de E telle que pour tous i, j, < ei , yj >= 1 si i = j et
2.
Montrer
que
φ(
µ
x
)
≤
µi φ(xi ).
i i
0 si i 6= j, et que c'est une base de E. (rq : rien a voir avec Schmidt. On
i=1
i=1
peut utiliser le theoreme de Riesz)
ou les µi sont des reels positifs ou nuls, de somme egale a 1 tandis que les
xi sont des reels positifs ou nuls .
2. Soit P une partie de E euclidien. Montrer que P est nie ssi {< x, y >
| x, y ∈ P} est ni. (on pourra supposer, quitte a restreindre l'espace, que
E = vect(P), et se donner une base de E formee de vecteurs de P)
Exercice 39 : Soient u, v deux rotations de E euclidien de dimension 3.
Montrer que u ◦ v = v ◦ u ssi u et v ont m^eme axe ou sont des symetries par
rapport a deux droites orthogonales.
Exercice 40 : Soit u un automorphisme orthogonal de E euclidien.
1. On pose v = u − idE . Montrer que Ker(v) = (Im(v))⊥ .
2. Si x ∈ E et y est la projection orthogonale de x sur Ker(v) montrer que
ky −
n
1 X k
u (x)k −−→ 0.
n→+∞
n
k=0
Exercice 41 :
Soient A, B ∈ S+
n (IR). Montrer que 0 ≤ tr(AB) ≤ tr(A)tr(B).
On ecrira A = PD t P et B = PC t P avec P ∈ O(n) et D diagonale.
3. Montrer que:
n
X
φ(aii ) ≤
i=1
4. En deduire: det(A) ≤
n
X
φ(λi ).
i=1
n
Y
aii .
i=1
Exercice 44 : Matrice symétrique à coefficients positifs
M ∈ Sn (IR) est a coecients strictement positifs, de valeurs propres λ1 ≤ ... ≤
λn . IRn est muni du produit scalaire canonique et de la norme associee.
1. Si x ∈ IRn , montrer que < Mx, x >≤ λn kxk2 avec egalite si et seulement
si Mx = λn x. (l'hypothese sur les coecients de M n'a pas d'utilite ici)
2. Soit x = t (x1 , ..., xn ) ∈ IRn un vecteur propre de M associe a la valeur
propre λn .
On note x 0 = t (|x1 |, ..., |xn |).
Comparer < Mx, x > et < Mx 0 , x 0 >, et en deduire que x 0 est aussi
vecteur propre de M associe a la valeur propre λn .
Montrer que les xi sont tous de m^eme signe.
3. Montrer que Ker(M − λn In ) est de dimension 1.
Exercice 42 :
+
Soient A ∈ S++
n (IR) et B ∈ Sn (IR)
1. Montrer qu'il existe P ∈ GLn (IR) telle que A = PP.
On se xe P ainsi.
t
4. Soit λi 6= λn , et y = t (y1 , ..., yn ) un vecteur propre associe.
Montrer que |λi | < λn , et que les yi ne sont pas tous strictement de m^eme
signe. On pourra commencer par regarder | < My, y > |.
MP2 - Exercices de revision
7
Exercice 45 : Théorème de Courant et Fischer
Soit A ∈ Sn (IR). On note λ1 ≥ λ2 ≥ ... ≥ λn ses valeurs propres et (X1 , ..., Xn )
une base orthonormee de IRn telle que ∀i, Xi est vecteur propre de A associee
a la valeur propre λi .
On pose Fk = vect(X1 , ..., Xk ), si k ∈ [[1, n]].
Si k ∈ [[1, n]], on note Ψk l'ensemble des sev de IRn de dimension k.
< AX, X >
(theoreme de Courant et
On veut montrer que λk = max min
F∈Ψk X∈F\{0}
kXk2
Fischer).
1. Que vaut
< AXk , Xk >
, k ∈ [[1, n]]?
kXk k2
2. Montrer que ∀X
∈
Fk \{0},
< AX, X >
kXk2
≥
λk et determiner
1. Soient a1 , ..., an ∈ [−1, 1].
Notant que diag(a1 , ..., an )
=
1 − a1
diag(−1, a2 , ..., an ) +
2
1 + a1
diag(1, a2 , ..., an ).
2
Montrer que conv(Dn ) = {diag(a1 , ..., an ) | ∀i, ai ∈ [−1, 1]}.
2. Si M ∈ conv(On (IR)), montrer que | M|| ≤ 1.
3. Decomposition polaire.
Soit M ∈ GLn (IR).
(a) Montrer que t MM est symetrique a valeurs propres positives, puis
qu'existe S ∈ Sn (IR) telle que S2 =t MM.
(b) Montrer qu'existe U ∈ On (IR) telle que M = US.
On admettra qu'une telle decomposition reste valable pour une matrice
non inversible.
< AX, X >
.
kXk2
X∈Fk \{0}
min
3. Soit F ∈ Ψk .
(a) Montrer que dim(F ∩ vect(Xk , Xk+1 , ..., Xn )) ≥ 1.
(b) Si X ∈ F ∩ vect(Xk , Xk+1 , ..., Xn ) est non nul, montrer que
< AX, X >
≤ λk .
2
4. Soit S ∈ Sn (IR) telle que ∀λ ∈ Sp(S), |λ| ≤ 1. Montrer que S ∈
conv(On (IR)).
5. Montrer que conv(On (IR)) = {M ∈ Mn (IR) | | M|| ≤ 1}
kXk
2.3 Algèbre générale, arithmétique
4. Conclure.
Exercice 47 :
Exercice 46 : Barycentres de matrices
Si E est un IR-ev (dans la suite on s'interesse a E = Mn (IR)), on appelle Soit G un groupe ni additif (donc commutatif) et A, B deux parties de G.
barycentre de x1 , ..., xp ∈ E tout element de E de la forme
sont des reels positifs veriant
p
X
p
X
i=1
λi = 1.
λi xi o
u les λi
1. Montrer que si card(A) + card(B) > card(G), alors A + B = G. (A + B =
{x + y | (x, y) ∈ A × B})
On montrera que, si x ∈ G, {x − a | a ∈ A} ∩ B 6= ∅.
2. Soit H = {x ∈ G ; A = x + A}. Montrer que H est un sous-groupe de G.
Si P est une partie de E on appelle enveloppe convexe de P, et on note
(x + A = {x + y | y ∈ A})
conv(P) l'ensemble des barycentres d'un nombre ni (variable et quelconque)
3. Montrer que card(A + B) = card(A) si et seulement si il existe b ∈ G tel
d'elements de P.
que B ⊂ b + H.
On pose Dn = {diag(a1 , ..., an ) | ∀i, ai ∈ {−1, 1}}.
n
IR est muni du produit scalaire canonique et de la norme associee.
Exercice 48 :
Si M ∈ Mn (IR), | M|| =
sup
kMxk.
Soit G un groupe n'ayant qu'un nombre ni de sous-groupes. Montrer que G
x ∈ IRn
est ni.
et kxk = 1
i=1
MP2 - Exercices de revision
8
On commencera par montrer que tout element de G est d'ordre ni.
Exercice 49 :
Soit G un groupe ni. On note Z = {x ∈ G | ∀y ∈ G, xy = yx} le centre de G,
C = {(x, y) ∈ G2 | xy = yx}, et, si x ∈ G, Cx = {y ∈ G | xy = yx}.
1. Verier que Z et Cx , x ∈ G, sont des sous-groupes de G.
2. Si card(G)/card(Z) est premier, montrer que G est commutatif.
On suppose desormais G non commutatif.
4. q est
un
entier > 0 non divisible par p, et k ∈ IN. Montrer que
k
vp Cp
= 0.
pk q
5. n ∈ IN, n ≥ 2. Montrer que p divise tous les Ckn , k = 1, ..., n − 1, si et
seulement si n est une puissance de p.
Exercice 52 :
Si n ∈ IN∗ , montrer que n(n + 1) n'est pas le carre d'un entier.
Idem avec n(n + 1)(n + 2).
Exercice 53 :
3. card(G)/card(Z) ≥ ?
5
8
4. Montrer que card(C) ≤ card(G)2 .
Exercice 50 :
Soit G un groupe ni de neutre 1 tel que ∀x ∈ G, x2 = 1.
1. Montrer que G est commutatif
Quel est le dernier chire de 7
77
77
77
?
Exercice 54 : Soit a ∈ IN premier a 10.
1. Montrer que a4 ≡ 1[10].
2. Montrer que pour tout entier k ∈ IN, a4×10 ≡ 1[10k+1 ].
k
2. Soit H = {e1 , ..., en } une partie de G de cardinal minimal telle que < H >= 3. En deduire qu'il existe un nombre x ∈ IN tel que x3 se termine par
G.
123456789 en base 10.
Montrer que q : (ε1 , ..., εn ) ∈ {0, 1}n 7→ eε11 ...eεnn est une bijection de
Exercice 55 :
{0, 1}n dans G.
Pour n ∈ IN∗ , on note dn le nombre de diviseurs positifs de n.
Montrer que G est isomorphe a (ZZ/2ZZ)n .
Exercice 51 :
Dans la suite, Cpn =
n!
designe un coecient binomial.
p!(n − p)!
p est un nombre premier. Si n ∈ IN∗ , vp (n) designe la valuation en p
de n, ie la puissance a laquelle appara^t p dans la factorisation de n :
n = pvp (n) m avec n ∧ m = 1.
1. Si n, m ∈ IN∗ , vp (nm) = ?. Si n, m ∈ IN∗ et m divise n, vp (n/m) = ?
2. On pose θ(i, j) =
+∞
1 si pi divise j . Que vaut X θ(i, j)?
0 sinon
i=1
3. Montrer que vp (n!) =
+∞
X
k=1
E(n/pk ).
1. Montrer que si n = ab avec a ∧ b = 1, alors dn = da db .
2. Montrer que n est un carre parfait si et seulement si dn est impair.
3. Montrer que :
Y
d=
√
dn
n
.
d|n
n
X
4. Montrer que
k=1
dk =
quand n → +∞.
n
X
E(n/k), et donner un equivalent de cette somme
k=1
Exercice 56 :
Montrer qu'il y a une innite de nombres premiers p tels que p ≡ −1[4].
Exercice 57 :
MP2 - Exercices de revision
9
1. Montrer que tout entier > 6 peut s'ecrire a + b ou a, b ≥ 2 et a ∧ b = 1.
2. Soit (pn )n∈IN la suite croissante des nombres premiers. (p1 = 2, p2 =
3, p3 = 5, ...)
Montrer que pour n ≥ 3, p1 p2 ...pn ≥ pn+1 + pn+2 .
Exercice 58 :
1. Dresser la liste des cubes dans ZZ/13ZZ.
2. Soient x, y, z ∈ ZZ tels que 5x3 + 11y3 + 13z3 = 0. Montrer que 13 divise
x, y, z.
3. Quelles sont les solutions entieres de 5x3 + 11y3 + 13z3 = 13?
Exercice 59 :
1. p est premier. Montrer que tout element de ZZ/pZZ est somme de deux
carres. (regarder, si k ∈ ZZ/pZZ, {a2 | a ∈ ZZ/pZZ}, et {k − a2 | a ∈ ZZ/pZZ})
2. n est un produit de nombres premiers distincts deux a deux. Montrer que
tout element de ZZ/nZZ est somme de deux carres.
3. Pour n = 9 et n = 25, regarder si tout element de ZZ/nZZ est somme de
deux carres.
Exercice 60 :
est la classe de x dans ZZ/pZZ.
p est un nombre premier ≥ 3. Si x ∈ ZZ, x
Un element a ∈ ZZ/pZZ est un carre si et seulement si il existe b ∈ ZZ/pZZ tel
que b2 = a.
1. Jutier que dans ZZ/pZZ, x2 = y2 ⇐⇒ x = ±y. Montrer que le nombre
p+1
de carres de ZZ/pZZ est
.
2
2. Montrer que, si x ∈ (ZZ/pZZ)∗ , x est un carre si et seulement si x(p−1)/2 =
1.
On utilisera que si P est un polyn^ome de K[X] de degre d, avec K = ZZ/pZZ,
alors P a au plus d racines dans K.
3. A quelle condition necessaire et susante (sur p) −1 est-il un carre dans
ZZ/pZZ?
4. Soit n ∈ IN et p ≥ 3 un diviseur premier de n2 + 1. Montrer que p ≡ 1[4].
5. En deduire qu'il y a une innite de nombres premiers de la forme 4k + 1.
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