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CH1. Généralités sur la propagation des ondes

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GENERALITES SUR LA PROPAGATION DES ONDES MECANIQUES
CH1. Généralités sur la propagation des ondes mécaniques
1. Equation caractéristique de propagation
1.1.
Célérité d’une onde
Dans un milieu où une grandeur y est définie en tout point M , il y’a propagation d’une
onde lorsqu’une variation de
y produite en un point M 1 à l’instant t1 se répète
identiquement en tout autre point M à des instants t ultérieurs.
L’origine de l’onde est appelé source et la vitesse de l’onde, appelée célérité est :
x2 − x1
∆t
c=
1.2.
(1.1)
Equation de propagation
Si l’onde se propage vers les x positifs, elle est dite onde directe ou progressive :
 x
y (t , x) = f  t − 
 c
(1.2)
Cette équation traduit que le mouvement de M en x reproduit celui du point O avec un
x
retard τ = .
c
Si l’onde se propage vers les x positifs, elle est dite onde régressive ou rétrograde et se traduit
par :
 x
y (t , x) = g  t + 
 c
(1.3)
f et g sont des fonctions d’ondes et un même milieu peut propager simultanément une
onde directe et une onde indirecte de sorte que l’équation générale d’une onde est :
 x
 x
y (t , x) = f  t −  + g  t + 
 c
 c
Pr. Ali IDLIMAM
(1.4)
Page 1
GENERALITES SUR LA PROPAGATION DES ONDES MECANIQUES
En dérivant deux fois par rapport à t puis par rapport à x , on obtient :
2
∂2 y
2 ∂ y
=
c
∂t 2
∂x 2
(1.5)
Cette équation est connue sous le nom de l’équation de propagation de D’Alembert.
2. Superposition des ondes
L’équation de D’Alembert est linéaire ; ceci implique que si y1 et y2 sont deux solutions
particulières, y3 = y1 + y2 l’est aussi.
2.1.
Phénomènes d’interférences
2.1.1. Quelques définitions
Onde
Perturbation qui se propage dans un milieu élastique sans déplacement
de matière avec déplacement d’énergie.
Onde
Le sens de la perturbation est perpendiculaire au sens de la
transversale
propagation.
Exemple : Onde à la surface d’un liquide ; onde électromagnétique…
Onde
Le sens de la perturbation est parallèle au sens de la propagation.
longitudinale
Exemple : Ondes sonores ; ondes sismiques…
Longueur d’onde C’est la distance parcourue par l’onde pendant une période T
C’est la distance minimale qui s’épare deux points ayant le même état
λ
vibratoire. Elle s’exprime en m
Points vibrants Deux points vibrent en phase lorsque la distance qui les sépare est
en phase
égale à un entier de la longueur d’onde : ∆x = xi − x j = k λ
Points vibrants Deux points vibrent en opposition de phase lorsque la distance qui les
en opposition de sépare est égale à un demi-entier de la longueur d’onde :
phase
λ
∆x = xi − x j = ( 2k + 1)
2
2.1.2. Equation d’onde
Considérons une source S en train d’effectuer un mouvement harmonique. Son
élongation s’écrit :
yS (t ) = Ym sin ( ωt + ϕ )
(1.6)
 x
L’élongation d’un point M à la date t est égale à celle de la source à la date  t −  . Tous les
 c
points d’un milieu de propagation reproduisent le mouvement de la source avec un retard.
  x

 x
 x
yM (t ) = yS  t −  yM (t ) = yS  t −  = Ym sin ω  t −  + ϕ 
 c
 c
  c

Pr. Ali IDLIMAM
Page 2
GENERALITES SUR LA PROPAGATION DES ONDES MECANIQUES
 2π
yM (t ) = Ym sin 
T

 x
t −  +ϕ
 c

  t x

yM (t ) = Ym sin  2π  −  + ϕ 
 T λ 

(1.7)
L’équation (1.7) fait apparaitre une double périodicité, la périodicité temporelle T et la
périodicité spatiale λ .
3. Interférences mécaniques
En mécanique ondulatoire, on parle d'interférences lorsque deux ondes de même type se
rencontrent et interagissent l'une avec l'autre. Pour obtenir des interférences, il faut que
deux ondes de même fréquence et de même nature se superposent en un point M de
l’espace. Les sources créant ces deux ondes sont dites alors cohérentes.
Figure 1 : Figure d’interférence
Cette figure d'interférence est composée de lieux ou l'amplitude des vagues est maximum
et de lieux ou l'amplitude est quasi nulle.
L’interférence est un phénomène qui résulte de la superposition de deux ondes de même
nature et de même fréquence. Les sources émettrices de ces ondes doivent être cohérentes.
Deux sources d'ondes sont synchrones si elles sont en phase.
Deux sources d'ondes sont cohérentes si elles présentent une différence de phase
constante l'une par rapport à l'autre.
3.1.
Interférences dans un milieu à une dimension
3.1.1. Expérience de Melde
L'expérience de Melde consiste à exciter avec un diapason électrique de fréquence
variable l'extrémité d'une corde vibrante de longueur L. Le dispositif expérimental que l’on
va utiliser est constitué d’une corde tendue à l’aide d’une masse accrochée à une de ses
extrémités. De l’autre côté un vibreur fait osciller de point d’attache avec une amplitude très
faible.
Pr. Ali IDLIMAM
Page 3
GENERALITES SUR LA PROPAGATION DES ONDES MECANIQUES
Figure 2 : Expérience de Melde
La corde de Melde est une corde tendue fixée à ses deux extrémités (typiquement une
corde de guitare). Elle peut fonctionner
- en mode libre : on pince la corde et on la laisse ensuite vibrer. Compte tenu des
frottements avec l’air, la vibration s’atténue progressivement (exemple : corde de
guitare, de piano...).
- en mode forcé : on entretient les oscillations en fournissant de l’énergie. Cela permet
d’observer des oscillations entretenues, les pertes énergétiques liées au frottement
avec l’air étant compensées par l’apport d’énergie due au vibreur (exemple : corde
de violon, l’énergie étant fournie par le frottement de l’archet sur la corde).
On met en marche le vibreur et on n’observe, en général pas grand chose au départ.
Cependant si on modifie la fréquence du vibreur, on constate que pour certaines fréquences
une onde stationnaire apparaît : c’est le phénomène de résonance.
3.1.2. Nœuds et Ventres
Une onde stationnaire résulte de l’interférence entre deux ondes qui se propagent
suivant la même direction, mais en sens contraires: l’onde incidente issue de la source et
l’onde réfléchie qui prend naissance à l’extrémité fixe. Ces deux ondes ont même fréquence
et même amplitude.
Figure 3 : Interférences de deux ondes en M
La source A présente un mouvement d’élongation :
 2π 
y A = Ym sin 
t
 T 
En un point M de la corde se superposent deux mouvements :
Celui issu directement de A
  t L − x 
yi = Ym sin 2π  −

λ  
 T
Pr. Ali IDLIMAM
(1.8)
Celui réfléchi par l’obstacle fixe B
  t L+x

yr = Ym sin 2π  −
 +π 
λ  
 T
Page 4
GENERALITES SUR LA PROPAGATION DES ONDES MECANIQUES
Lors de la réflexion, l’élongation change de
signe, ce qui revient mathématiquement à
ajouter π à la phase.
L’élongation résultante du point M est : yM = yi + yr
  t L − x 
  t L+ x

yM = yi + yr ⇒ yM = Ym sin 2π  −
  + Ym sin 2π  −
+π 
λ 
λ  
 T
 T
  t L π
x π

yM = 2Ym sin 2π  −  +  .cos  2π − 
 λ 2
 T λ  2
π
x
  t L π 


Or : cos  α −  = sin α ⇒ yM = 2Ym sin  2π  .sin 2π  −  + 
2

 λ
 T λ  2
t
x



Soit : yM = A sin  2π + ϕ  avec A = 2Ym sin  2π  , dépendant de la position du point M.
 T

 λ
Les nœuds se trouvent dans des positions tel que :
x
x
λ

sin  2π  = 0 ⇔ 2π = kπ ⇔ x = k
2
λ
 λ
Les ventres se trouvent dans des positions tel que :
x
x
π
λ

sin  2π  = ±1 ⇔ 2π = ( 2k '+ 1) ⇔ x = ( 2k '+ 1)
2
4
λ
 λ
Figure 4 : Aspect de la corde pour le mode
Figure 5 : distance nœud-nœud et nœudpropre du rang 5
ventre
Aux ventres ces deux ondes arrivent constamment en phase: il y a interférence
constructive. L’amplitude résultante est égale à la somme des amplitudes des ondes
composantes.
Aux nœuds ces deux ondes arrivent constamment en opposition de phase: il y a
interférence destructive. L’amplitude résultante est égale à la différence des amplitudes
des ondes composantes, donc elle est nulle.
Lorsque nous observons la corde l’aide d’un stroboscope, nous voyons son mouvement
au ralenti. La corde oscille autour de sa position d’équilibre. Sur la figure ci-dessous, sont
représentées quelques positions de la corde.
Pr. Ali IDLIMAM
Page 5
GENERALITES SUR LA PROPAGATION DES ONDES MECANIQUES
Figure 6 : Aspect stroboscopique de la corde
Tous les points du premier fuseau montent ensemble puis descendent ensemble : ils
vibrent en phase. De même pour les deux autres fuseaux. Mais les points du deuxième
fuseau sont en opposition de phase avec ceux du premier : ils descendent quand les
premiers montent et réciproquement. Ceux du troisième fuseau vibrent en phase avec ceux
du premier et en opposition de phase avec ceux du deuxième ; Et ainsi de suite s’il y avait
plus de fuseaux.
3.1.3. Comparaison entre onde progressive et stationnaire
Les ondes progressives incidente et réfléchie s’écrivent :
  t L − x 
yi = Ym sin 2π  −

λ  
 T
  t L+x

yr = Ym sin 2π  −
 +π 
λ  
 T
L’onde stationnaire s’écrit :
x
  t L π 

yM = 2Ym sin  2π  .sin 2π  −  + 
 λ
 T λ  2
Nous voyons immédiatement que dans l’onde progressive l’influence du temps et de
l’espace sont intimement liées dans un même facteur tandis que dans l’onde stationnaire
ces deux influences interviennent dans deux facteurs différents.
- Le facteur dépendant de la date montre que le mouvement de M est sinusoïdal de
2π
1
période T, de pulsation ω =
et de fréquence .
T
T
- Le terme dépendant de l’abscisse apparaît comme l’amplitude du mouvement
sinusoïdal de M.
Conclusion : Tous les points de la corde vibrent à la même pulsation ω mais avec des
amplitudes qui dépendent de leur position.
Pr. Ali IDLIMAM
Page 6
GENERALITES SUR LA PROPAGATION DES ONDES MECANIQUES
La corde présente un nombre entier de fuseaux :
L= p
λ
2
Donc si nous disposons d’une corde déterminée (de longueur, de masse linéique et de
tension données) pour observer l’onde stationnaire il faut ajuster la période temporelle (ou
fréquence ou pulsation) de l’onde :
λ
cT
L
L= p = p
⇒T = 2
2
2
pc
c
πc
f =p
et ω = p
2L
L
Dans ce modèle simple l’amplitude maximum est 2Ym , beaucoup plus faible que
l’amplitude observée, car nous avons négligé les réflexions successives qui ont pour effet de
c
renforcer l’onde stationnaire lorsque la fréquence du vibreur est f = p
.
2L
On peut conduire l’expérience de Melde avec une corde verticale. On retrouve bien sûr
les mêmes résultats mais cette disposition permet aussi de laisser l’extrémité basse libre de
vibrer. On y observe alors un ventre de déplacement. Et la longueur de la corde devient
égale à : L = p
λ
2
+
λ
4
= ( 2 p + 1)
λ
4
.
Remarque :
Tout système élastique limité dans l'espace peut être considéré comme oscillateur
mécanique présentant un nombre (presque) infini de fréquences propres.
Le système vibre avec amplitude maximale si la fréquence excitatrice correspond à l'une des
fréquences propres. (Il y a résonance!).
Figure 7 : Modes d’une onde stationnaire, ou harmoniques, sur une corde avec un nœud à
chaque extrémité.
Pr. Ali IDLIMAM
Page 7
GENERALITES SUR LA PROPAGATION DES ONDES MECANIQUES
3.2.
Interférences dans un milieu à deux dimension
3.2.1. Observations
Dans une cuve à ondes, un dispositif électromécanique, à deux bras vibreurs, permet de
frapper simultanément la surface de l’eau, générant ainsi deux ondes circulaires de même
fréquence réglable f. Ces deux ondes sont visualisables ci-dessous.
Dans la zone située entre les deux sources, et appelée champ d’interférences, les ondes
circulaires progressives se superposent pour donner des lignes ou franges fixes dans le
temps, alternativement claires et sombres.
3.2.2. Expérience de la cuve à ondes.
Figure 8 : cuve contenant de l’eau
Figure 9 : Interférence en M de deux ondes
issues de S1 et S2
A la surface libre du liquide on observe des rides fixes, bien nettes entre S1 et S2 . Elles ont
la forme d’arcs d’hyperboles dont les foyers sont S1 et S2 . On les appelle des lignes ou des
franges d’interférence. Elles disparaissent si l’une des pointes vibre sans toucher l’eau.
Pr. Ali IDLIMAM
Page 8
GENERALITES SUR LA PROPAGATION DES ONDES MECANIQUES
  t d 
L’onde venant de S1 impose au point M une élongation : y1 = Ym sin 2π  − 1  
  T λ 
  t d 
L’onde venant de S2 impose au point M une élongation : y1 = Ym sin 2π  − 2  
  T λ 
L’élongation résultante au point M lorsque les deux sources vibrent simultanément est
y = y1 + y2 .
Figure 10 : Rencontre de deux ondes
Cette observation illustre le principe de superposition des petits mouvements. Si deux ondes
mécaniques sinusoïdales, comme des vagues, se rencontrent, elle interférent. Prenons le cas
typique de deux ondes mécaniques identiques qui se propagent sur l'eau: leur amplitude
respective s'ajoute à tout moment lors de l'interférence des deux ondes.
a. Interférences constructives
L’amplitude du mouvement résultant est maximale et égale à 2 Ym aux points où les deux
vibrations sont en phase :
  t d 
  t d 
y1 = y2 ⇔ sin 2π  − 1   = sin 2π  − 2  
  T λ 
  T λ 
t d 
t d 
2π  − 1  = 2π  − 2  + 2kπ ⇔ d 2 − d1 = k λ
T λ 
T λ 
A chaque valeur de k, correspond une hyperbole. K=0 représente la médiatrice de S1S2 .
Figure 11 : Interférences constructives
Pr. Ali IDLIMAM
Page 9
GENERALITES SUR LA PROPAGATION DES ONDES MECANIQUES
b. Interférences destructives
L’amplitude du mouvement résultant est minimale ou nulle aux points ou les deux vibrations
sont en opposition de phase.
  t d 
  t d 
y1 = − y2 ⇔ sin  2π  − 1   = − sin  2π  − 2  
  T λ 
  T λ 
λ
t d 
t d 
2π  − 1  = 2π  − 2  + ( 2k '+ 1) π ⇔ d 2 − d1 = ( 2k '+ 1)
2
T λ 
T λ 
Figure 11 : Interférences constructives
Sur la figure ci-contre sont représentées les lignes de crêtes et de creux des ondes circulaires
générées par les deux sources S1 et S2, et ce, à un instant où les deux mouvements en S1 et S2
présentent simultanément une amplitude maximale. La longueur d’onde commune λ des
ondes est de 1 cm.
Les cercles en trait plein, de centre S1 et S2 et de rayons λ , 2 λ , 3 λ représentent les lignes
de crêtes.
Les cercles en trait pointillé, de centre S1 et S2 et de rayons
λ 3λ 5λ
, , ... représentent les
2 2 2
lignes de creux, décalées des précédentes d’une demi-longueur d’onde.
Pr. Ali IDLIMAM
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GENERALITES SUR LA PROPAGATION DES ONDES MECANIQUES
Figure 12 : Lignes ventrales et nodales
des courbes en noir continu, appelées hyperboles ventrales v qui relient entre eux les
points de rencontre de deux crêtes ou de deux creux provenant de chaque source; les lignes
ventrales sont en fait des couloirs dans lesquels les ondes se propagent vers l'extérieur avec
des crêtes et des creux d'amplitude double, couloirs délimités par les lignes nodales d'eau
immobile.
L'ensemble de ces lignes hyperboliques de mouvement et de repos constitue les franges
d'interférence et forme une figure d'interférence. En fait les hyperboles ventrales et nodales
sont les nœuds et les ventres d'ondes stationnaires suivant une direction qui se propagent
dans une direction perpendiculaire à la première.
Définition géométrique de l’hyperbole
L'hyperbole est une courbe comportant deux branches H1 et H2 telles que la différence des
distances de chacun de leurs points à deux points fixes est constante.
Ces points fixes F1 et F2 sont les foyers de l'hyperbole; en tout point P d'une branche, on a :
F1 P − F2 P = cste
4. Construction de la figure d’interférences
Pr. Ali IDLIMAM
Page 11
GENERALITES SUR LA PROPAGATION DES ONDES MECANIQUES
Choisissons pour la distance S1S2 un multiple de
λ
2
. On prépare la figure en traçant des
cercles concentriques de centres S1 et S2 , et de rayons
λ
λ
, 3
λ
, etc. Puis on cherche,
2
2
2
pour k = 0 , des points faciles à repérer qui correspondent à la condition d’interférence
constructive d 2 -d1 =0 . On relie ces points par une courbe pour obtenir une frange
d’amplitude maximale. C’est la médiatrice de S1S2 .
On procède de même pour k=1 et on trace la frange d’amplitude maximale correspondant
à k=1 . De même pour k = -1, k = 2, k = -2 , etc.
On obtient ainsi toutes les franges d’amplitude maximale.
On obtient également toutes les franges d’amplitude minimale en procédant de même
pour les valeurs de k’.
Pr. Ali IDLIMAM
, 2
Page 12
GENERALITES SUR LA PROPAGATION DES ONDES MECANIQUES
Figure 13 : Techniques de construction d’une figure d’interférence
5. Effet Doppler
Quelles sont les sensations auditives que vous percevez lors de l'approche puis de
l'éloignement d'une ambulance?
Lorsqu'une ambulance se rapproche de vous le son est aigu et le niveau sonore est de plus
en plus élevé. Par contre lorsque l'ambulance s'éloigne le son est plus grave que lorsque
qu'elle s'approche et le niveau sonore est de plus en plus faible.
Une onde mécanique ou électromagnétique de fréquence au repos f eq est perçue avec :
Pr. Ali IDLIMAM
Page 13
GENERALITES SUR LA PROPAGATION DES ONDES MECANIQUES
• Une fréquence f a plus élevée lorsqu'elle s'approche du lieu de réception : f a ≻ f eq
• Une fréquence f e plus faible lorsqu'elle s'éloigne du lieu de réception : f e ≺ f eq
Cette effet est appelé l'effet Doppler
L'effet Doppler est utilisé, entre autre ; dans les radars automatiques pour déterminer les
vitesses des véhicules.
5.1.
Démonstration de l'effet Doppler
Soit une source se déplaçant avec une vitesse v en direction de l'observateur. Elle émet des
ondes périodiques de période T se propageant avec une célérité c .
A l'instant t1 = 0 , l'onde est émet la première période, elle se trouve à une distance d1 de
l'observateur. Celui ci la reçoit à l'instant t2 =
d1
c
A l'instant t3 = T , l'onde émet une seconde période. La source a parcourue une
distance d2 = v.t3 . Elle se trouve donc à une distance d3 = d1 − d 2 = d1 − vT de l'observateur.
L'observateur reçoit cette seconde onde à l'instant t4 = T +
d3
d − vT
=T + 1
c
c
Pour l'observateur la période de l'onde perçue n'est plus T
d − vT d1
vT
− =T −
mais : T ' = t4 − t2 = T + 1
c
c
c
 v
T ' = T 1 −  ≺ T
 c
La fréquence f ' du son reçu est plus aigu que celle émise par la source au repos car :
f '=
1
≻ f
T'
De la même manière lorsque la source s'éloigne la période T '' de l'onde est :
 v
T '' = T 1 +  ≻ T
 c
La fréquence f '' du son reçu est plus grave que celle de la source au repos car:
f '' =
1
≺ f , alors la longueur d'onde de l'onde reçu lors de l'éloignement est plus grande.
T ''
f ' ≻ f , alors la longueur d’onde de l’onde reçu lors de l’approche est plus petite.
Pr. Ali IDLIMAM
Page 14
GENERALITES SUR LA PROPAGATION DES ONDES MECANIQUES
Figure 14 : Effet Doppler
La valeur de la différence entre les 2 fréquences f A ou f B et la fréquence de l'émetteur au
repos f E , permet de calculer la vitesse v de déplacement de l'objet:
 f −f 
v = c A E 
 fA 
 f − fB 
v = c E

 fB 
vitesse de déplacement de l'objet
v m.s −1
(
)
f A ( Hz )
fréquence de l'onde perçu au point A (l'objet s'en approche)
f B ( Hz )
fréquence de l'onde perçue au point B (l'objet s'en éloigne)
f E ( Hz )
fréquence de l'onde émise par la source
c ( m.s −1 )
célérité de l'onde dans le milieu de propagation
5.2.
L'effet Doppler Fizeau en astronomie
A partir des travaux de C Doppler, M Fizeau postule en 1848 que si une étoile ou une
galaxie s'éloigne ou s'approche de la Terre on doit observer un décalage de ses raies
d'absorption. La mesure de ce décalage permettrait de calculer la vitesse radiale de l'étoile
(vitesse à laquelle l'astre s'approche ou s'éloigne de la Terre). Les calculateurs récents ont
permis de vérifier son hypothèse.
Les longueurs d'onde correspondant aux raies noires du spectre d'absorption des
éléments présents dans l'atmosphère de l'étoile:
• diminuent si l'étoile se rapproche
• augmente si elle s'éloigne.
Voici le spectre d'absorption de l'hydrogène si la source est fixe par rapport au récepteur,
puis si la source est en mouvement. La source s'éloigne ou se rapproche de l'objet?
Pr. Ali IDLIMAM
Page 15
GENERALITES SUR LA PROPAGATION DES ONDES MECANIQUES
Figure 15 : Spectre d’absorption de l’hydrogène
L'objet s'éloigne car les longueurs d'onde correspondant aux raies noires de la source en
mouvement sont plus grandes que celle du spectre de référence (source fixe).
L'astronome anglais W. Huggins en 1868 mesura le décalage des raies de l'hydrogène dans le
spectre de Sirius et en déduisit que Sirius s'éloigne du Soleil avec une vitesse de l'ordre
de 45 km.s -1 .
6. Applications
Un instrument de musique se modélise par une cavité de longueur l fermée à une extrémité
et ouverte à l’autre. La vitesse du son dans l’air est c = 340 m.s −1 .
1.
Quelle doit être la longueur du tuyau pour que la plus faible fréquence d’une onde
stationnaire soit f1 = 440 Hz (La4).
2.
Quelle fréquence f 2 immédiatement supérieure peut exister ?
Donner l’expression générale de toutes les fréquences possibles des ondes
stationnaires pouvant s’établir dans cet instrument.
3.
Solution :
1. L’extrémité fermée correspond à un ventre de pression, l’extrémité ouverte à un nœud.
On a, pour le mode fondamental :
l=
λ1
4
=
c
c
= 19,3 cm avec f1 = .
4 f1
4l
Pr. Ali IDLIMAM
Page 16
GENERALITES SUR LA PROPAGATION DES ONDES MECANIQUES
2.
Pour le deuxième mode : l =
λ2
4
+
λ2
2
=
3λ2 3c
=
4
4 f2
3c
= 3 f1 .
4l
3. de manière générale, on écrira pour la fréquence f n :
λ
λ
λ
c
l = n + ( n − 1) n = ( 2n − 1) n = ( 2n − 1)
avec n ∈ N *
4
2
4
4 fn
c
D’où : f n = ( 2n − 1) = ( 2n − 1) f1
4l
Ainsi : f 2 = 3 f1 , f 3 = 5 f1 etc…
Les fréquences propres correspondent seulement aux fréquences multiples impaires de la
fréquence fondamentale f 0 : le spectre du son produit par ce tuyau ne comportera donc pas
d’harmoniques paires.
On peut vérifier facilement qu’un tuyau ouvert à ses deux extrémités est l’équivalent
λ 

acoustique de la corde de Melde  L = n n  : les fréquences possibles seront donc de la
2

c
= nf1 .
forme : f n = n
2L
Idem pour un tuyau fermé à ses deux extrémités.
on en déduit : f 2 =
7. Exercices
Exercice1.
Par quelle force faut-il tendre une corde de longueur 0,5 m et de masse 0,8 g pour que le
son fondamental émis soit le la de fréquence 220 Hz ?
Pr. Ali IDLIMAM
Page 17
GENERALITES SUR LA PROPAGATION DES ONDES MECANIQUES
Quelles sont les fréquences des deux premiers harmoniques après le son fondamental émis
par cette corde dans les mêmes conditions ?
Réponse : F = 77, 44 N , f1 = 440 Hz , f 2 = 660 Hz
Exercice 2.
La corde ré d’une guitare a pour fréquence fondamentale 293,7 Hz; la corde sol voisine
vibre à 392 Hz. La longueur des parties vibrantes des deux cordes est 65 cm. On souhaite
raccourcir la partie vibrante de l’une des deux cordes de manière qu’elle sonne à la même
fréquence que l’autre.
a. Quelle corde faut-il raccourcir ?
b. De combien faut-il la raccourcir ?
c. Quelle est la longueur d’onde de la vibration sonore produite alors par les deux cordes?
(La célérité du son dans l’air est 340 m.s −1 ).
Réponse : a. raccourcir Ré, b. ∆l = 16, 3 cm , λ = 86, 7 cm
Exercice 3.
Les équations d’onde de deux ondes voyageant en sens contraire sur une corde sont :
y1 ( x, t ) = 0,03.sin π (10t + 2 x )  et y2 ( x, t ) = 0, 03.sin π (10t − 2 x )  (toutes les grandeurs
sont indiquées en unités SI).
a. Déterminer la longueur d’onde et la période.
b. Ecrire l’équation d’onde de l’onde stationnaire qui résulte de la superposition des deux
ondes.
c. Trouver la position des deux nœuds les plus près de x = 0 (pour x ≻ 0 ).
d. Trouver la position des deux ventres les plus près de x = 0 (pour x ≻ 0 ).
e. Trouver l’amplitude A à x =
λ
.
8
Réponse : a. λ = 0,1 m , T = 0, 2 s , b. yM ( x, t ) = 0, 06.cos ( 2π x ) sin (10π t ) , c. x = 0, 25 m et
x = 0, 75 m , d. x = 0,5 m et x = 1 m , e. A = 3 2 cm .
Exercice 4.
Un vibreur S1 est animé d'un mouvement oscillatoire sinusoïdal vertical de fréquence 30 Hz
et d'amplitude 2 cm. A la date t = 0, il passe par sa position la plus basse.
a. Déterminer l'équation horaire de S1 dans un repère Oy orienté vers le haut.
b. S1 est relié à une corde élastique horizontale de longueur 56 cm sur laquelle prend
naissance une onde qui progresse à la célérité de 2,4 m.s -1 . Déterminer l'équation du
mouvement d'un point M situé à la distance de x = 20 cm de S1 . Comparer l'état
vibratoire de S1 et de M.
c. A l'autre extrémité de la corde se trouve un deuxième vibreur S2 , identique à S1 mais
qui passe par sa position la plus haute à la date t = 0. Écrire l'équation horaire de S2 .
d. Comment peut-on qualifier les 2 sources S1 et S2 ? Peuvent-elles donner naissance à un
phénomène d'interférences?
e. Écrire l'équation horaire du mouvement du même point M qu'en b) sous l'effet de
l'onde progressive issue de S2. Comparer l'état vibratoire de S2 et de M.
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GENERALITES SUR LA PROPAGATION DES ONDES MECANIQUES
f. Quel est l'état vibratoire du point M sous l'effet des ondes issues de S1 et S2
ensemble?
π
11π 


Réponse : a. yS1 (t ) = 0, 02.sin  60π t −  , b. yM1 (0, 2; t ) = 0, 02.sin  60π t −
 , S1 et M
2
2 


π

vibrent en phase, c. yS2 (t ) = 0, 02.sin  60π t +  , d. S1 et S2 en opposition de phase donc
2

17π 

cohérentes, e. yM 2 (0, 2; t ) = 0, 02.sin  60π t −
 , S2 et M vibrent en phase, f.
2 

yM (0, 2; t ) = 0 ⇒ M est un nœud.
Exercices
I.
Représenter graphiquement, une onde plane progressive harmonique de période T et
de longueur d'onde λ se propageant dans une direction arbitraire u ;
a. A un instant t fixé.
b. En différents points dans un même plan d'onde, en fonction du temps
Réponse :
II.
Ondes à la surface de l’eau
En un point O de la surface de l’eau d’une cuve à onde, une source ponctuelle produit des
oscillations sinusoïdales verticales d’amplitude a et de fréquence N. Des ondes entretenues
de formes circulaires se propagent à la surface de l’eau avec la célérité v (Fig 1). Les bords
de la cuve à ondes sont tels qu’ils absorbent les ondes progressives provenant de S. On
néglige tout amortissement des ondes.
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GENERALITES SUR LA PROPAGATION DES ONDES MECANIQUES
Fig. 1
1. Indiquer sommairement comment faut-il procéder pour observer des rides circulaires
apparemment immobiles.
2. La distance entre les deux points A et B appartenant chacun à une crête circulaire est : d =
24 mm. En déduire la valeur de la longueur d’onde .
3. La sinusoïde traduisant l’élongation verticale YM(t) d’un point M de la surface de l’eau
situé à la distance d’ du point O, est donnée par la Fig 2.
Fig. 2
Déduire de la figure 2 la sinusoïde traduisant l’évolution de l’élongation verticale YO(t) du
point O ; puis s’y appuyer pour établir l’expression de YO(t).
4. Calculer la célérité v.
5. Etablir l’expression de YM(t).
8. Travaux pratiques
8.1.
Corde vibrante
On étudie les modes propres d'une corde pour différentes tensions à fréquence imposée
par un vibreur alimenté par le secteur (220 V, 50 Hz).
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GENERALITES SUR LA PROPAGATION DES ONDES MECANIQUES
On se propose de vérifier la relation des cordes vibrantes pour vérifier que la corde est un
milieu non dispersif :
λ=
1
N
T
λ: longueur d'onde
µ
N: fréquence de vibration de la corde
T: tension de la corde
µ: masse linéique de la corde
II.2. Manipulation
•
•
•
Placer le vibreur de Melde dans le prolongement de la corde horizontale tendue à
l'aide d'une masse marquée m.
Faire varier la longueur de la corde de façon à obtenir une amplitude de déplacement
maximale et noter la longueur d'onde de résonance correspondant à la masse m.
Recommencer la manipulation pour différentes valeurs de la masse m.
Précautions à prendre lors des mesures
Un nœud doit être ponctuel et garder son amplitude et ses coordonnées spatiales
constants en permanence.
Il est conseillé de relever des mesures seulement lorsque l'onde est polarisée
rectilignement.
A l'aide du stroboscope, mesurer la fréquence de vibration de la corde. La comparer à
celle du secteur.
Représenter λ = f
( m ) . Commenter et en déduire la masse linéique de la corde
utilisée.
Rappeler ce qu’est un milieu non dispersif. La corde est-elle un milieu non dispersif?
Nous considérons une corde tendue entre un vibreur et une poulie. Le vibreur
communique à l’extrémité S un mouvement sinusoïdale d’amplitude a et de période T.
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GENERALITES SUR LA PROPAGATION DES ONDES MECANIQUES
Cours :
1. Rappeler ce qu’est un milieu dispersif et donner des exemples,
2. Pourquoi y’a-t-il un nœud à chaque extrémité de la corde ?
3. Définir la longueur d’onde λ et donner la longueur SO en fonction deλ.
Expérience :
1. Manipuler avec une masse marquée de 200 g,
2. Mesurer la fréquence f par stroboscopie,
3. Mesurer la longueur d’onde λ et calculer la vitesse de propagation v,
4. Comparer avec la valeur théorique de la vitesse de propagation des ondes au sein d’une
corde après avoir déterminer la masse linéique de la corde par pesée.
5. Calculer les incertitudes sur la vitesse de propagation (prendre ∆λ=2 mm et ∆f=2 Hz) et
écrire v sous une forme scientifique précise.
8.2.
Célérité des ultrasons dans l’air
Les ultrasons sont des ondes longitudinales de dilatation-compression qui, dans l’air sont
inaudibles par l’être humain. Ils ne se distinguent des sons que par leurs gammes de
fréquences.
Montage expérimental
1. Réaliser le montage ci contre, avec les réglages nécessaires :
- Signal sinusoïdal de fréquence f=40 kHz
- Amplitude maximale (level)
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GENERALITES SUR LA PROPAGATION DES ONDES MECANIQUES
2. Déterminer, en utilisant le mode XY de l’oscilloscope, et en justifiant avec soin, une
estimation de la célérité v des ultrasons à la température de la salle.
3. Calculer ∆c et écrire c sous sa forme scientifique avec les incertitudes (Prendre
∆λ=0,2 mm et ∆f=10 Hz)
4. Comparer avec la valeur de la célérité des ondes ultrasonores dans l’air égale à
vth = γ.
R
.T avec : γ =1,4, R =8,31 (S.I), M =29 g.mol-1 et T la température de l’air
M
de la salle au moment de l’expérience et Calculer l’écart relatif E =
v-v th
entre la
v th
valeur expérimentale de v et la valeur théorique calculée par la formule donnée à la
température de la salle.
5. Les ondes ultrasonores s’amortissent-elles ? justifier votre réponse.
8.3.
Célérité des sons dans l’air
Le tube de Kundt est constitué d’un tube rigide dont une extrémité est fermée par un
haut- parleur. L’autre extrémité peut être fermée ou non et permet le passage d’une tige
équipée d’un micro pour mesurer la pression acoustique à l’intérieur du tube. L’onde sonore
est générée par un GBF relié au haut-parleur.
Le GBF délivre un signal sinusoïdal. Le micro est relié à un oscilloscope. On veille en rectifiant
l’amplitude du signal délivré par le GBF à ce que le signal mesuré reste sinusoïdal et ne
présente pas de distorsion.
Préliminaire :
Définir les mots suivants :
•
•
•
Interférences constructives
Onde longitudinale
Ventre de vibration
Expérience
• Relier le haut-parleur à la sortie du G.B.F. et à l'entrée YA de l'oscilloscope. Régler le
G.B.F. sur un signal sinusoïdal d'amplitude convenable (signal à peine audible)
• Alimenter l'amplificateur et relier sa sortie à l'entrée YB de l'oscilloscope.
• Visualiser les deux traces sur l'oscilloscope (mode DUAL), synchronisation
d’oscilloscope mise sur l’entrée YA.
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GENERALITES SUR LA PROPAGATION DES ONDES MECANIQUES
1. Remplir le tableau suivant :
N1=1,5 kHz
N2=2,5 kHz
N3=3,6 kHz
Nmoy=
λ 1=
λ 2=
λ 3=
λ moy=
C1=
C2=
C3=
Cmoy=
2. Calculer la vitesse du son dans l’air ainsi que les incertitudes absolues (prendre 2mm
pour ∆λ et 10Hz pour ∆N)
C
3. En déduire γ ( γ = p le rapport entre les chaleurs spécifiques à pression constante
Cv
et à volume constant : R=8,31 (S.I), θ = 25°C et M=29 g.mol-1)
R
.T
M
4. Comparer avec la valeur théorique donnée par les tables ( γ =1,4 pour l’air) et en
On donne : vth = γ.
déduire l’erreur sur la mesure.
Les ultrasons sont des ondes longitudinales de dilatation-compression qui, dans l’air sont
inaudibles par l’être humain. Ils ne se distinguent des sons que par leurs gammes de
fréquences.
On utilise deux transducteurs sur un dispositif de guidage gradué, l'un en émetteur (E),
l'autre en récepteur (R) en émettant soit une onde sinusoïdale.
8.4.
Les transducteurs à quartz
Réaliser le montage suivant (Utiliser une fréquence de l'ordre de 40 kHz)
Observez et identifiez à l’oscilloscope les signaux émis et reçus. Déplacez le transducteur
récepteur. Qu’observez vous et pourquoi ?
Relevez toutes les positions di (où i est un indice entier) du transducteur récepteur pour
lesquelles les signaux émis et reçus sont en phase et en opposition de phase. (maximum 10
points).
Déduisez de vos mesures la valeur moyenne de la longueur d’onde λ du signal. Connaissons
la fréquence f du signal, calculez la vitesse moyenne du son v dans l’air ainsi que l’incertitude
associée ∆v.
Tracez la courbe di en fonction de i et calculez à nouveau la longueur d’onde λ du signal puis
la vitesse v du son dans l’air.
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Page 24
GENERALITES SUR LA PROPAGATION DES ONDES MECANIQUES
Quelle méthode (4. ou 5.) de détermination de λ (et donc de calcul de v) vous semble la plus
précise ?
8.5.
Ondes à la surface de l’eau
a. Principe
On se propose d'étudier la variation de la longueur d'onde en fonction de la fréquence
d'excitation et de vérifier expérimentalement la relation de dispersion de Lord Kelvin
donnant la vitesse de phase des ondes à la surface d’un liquide :
 g λ 2π A   2π H 
vϕ = 
+
th
µλ   λ 
 2π
g : accélération de la pesanteur
A : coefficient de tension superficielle
µ : masse volumique
H : profondeur
b. Manipulation
Le dispositif expérimental se compose d'une cuve transparente et d'un dispositif de
projection. La génération des ondes à la surface de l'eau se fait par une colonne d'air mise en
vibration à la fréquence voulue à l'aide de la membrane d'un haut parleur. On observe des
rides formées par projection sur le dépoli. On peut aussi les projeter sur un écran en
enlevant le dépoli.
Remplir la cuve à l'aide de la pompe incorporée. Mesurer la profondeur de l'eau et s'assurer
de son uniformité en différents points de la cuve.
Faire varier la fréquence de vibration des ondes et mesurer la longueur d'onde
correspondante. On pourra utiliser différents systèmes d'ondes suivant que l'on est à haute
(11 à 36 Hz) ou basse (6 à 11 Hz) fréquence. Dans la gamme 11-36 Hz, un stroboscope
mécanique incorporé peut être utilisé.
Faire varier la profondeur et vérifier son influence sur la propagation des ondes.
c. Exploitation des mesures
• Tracer les variations de la longueur d’onde λ en fonction de la fréquence d’excitation
ν et conclure.
• Tracer les variations de la vitesse de phase vϕ en fonction de la longueur d’onde λ et
commenter.
• En utilisant les possibilités d’ajustement de courbes (fit) du logiciel mis à
disposition, ajuster la courbe théorique aux points expérimentaux en faisant varier le
coefficient de tension superficielle A. La loi théorique est-elle bien vérifiée ? Quelles
sont les différentes causes possibles des éventuels écarts ?
• En déduire un ordre de grandeur du coefficient de tension superficielle de l’eau à la
température de l’expérience.
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Page 25
GENERALITES SUR LA PROPAGATION DES ONDES MECANIQUES
Examen TP :
On se propose de déterminer la vitesse des ondes acoustiques dans l’air. Pour cela on dispose
du matériel suivant :
Matériel du laboratoire
Son nom
1. Faire un schéma du montage expérimental en indiquant les branchements
nécessaires.
2. Proposer une méthode simple de détermination de la vitesse du son dans l’air.
3. Evaluer les incertitudes sur les grandeurs à mesurer dans le cas ou : Vson = 340 m.s -1 ,
∆λ = 2 mm et ∆N = 10 Hz
9. Caractérisation d’un son émis par un diapason à l’aide de l’Ex. A. O
Les fréquences audibles par une oreille dite normale sont comprises entre 20 Hz et 20
kHz, ces valeurs évoluant d’un individu à l’autre et pour une même personne, avec l’âge.
Toutefois, on peut entendre des sons de fréquence très inférieure à 20 Hz.
Les ondes ultrasonores, de fréquences supérieures à 20 kHz, ne constituent pas un son
musical, du moins pour l’Homme !
Un son musical a trois caractéristiques :
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Page 26
GENERALITES SUR LA PROPAGATION DES ONDES MECANIQUES
- sa hauteur, caractérisée par sa fréquence f1 , appelée aussi fréquence fondamentale
- son timbre, auquel nos oreilles sont sensibles, qui en font un son plus ou moins
harmonieux, caractérisé par l’allure du signal sonore et/ou par son spectre
- son intensité, traduisant un son plus ou moins fort, caractérisée par son intensité sonore (I
en W .m −2 ) ou le niveau d’intensité sonore (L en dB), qui est accessible par une mesure au
sonomètre
9.1.
Son pur
L’enregistrement du son pur émis par un diapason conduit à un signal (une tension)
d’allure sinusoïdale ; la fréquence de ce signal est la fréquence du son ou sa hauteur.
L’intensité sonore est liée à l’amplitude du signal.
s (V)
2
1,5
1
0,5
0
-0,5
-1
-1,5
-2
2
4
6
8
10
t (ms)
9.2.
Son complexe
Un son complexe, émis par une voix, un instrument, ..., est un signal périodique dont
l’allure est quelconque (n’est pas sinusoïdale).
La période du
signal
permet
d’aboutir
à
la
fréquence du son
donc à sa hauteur.
T = 16,96/10 =
1,696 ms d’où f ≈
590 Hz.
Exemple : une note jouée à la flûte (ré4)
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Page 27
GENERALITES SUR LA PROPAGATION DES ONDES MECANIQUES
Fourier a montré que toute fonction périodique de fréquence f1 est la somme de fonctions
sinusoïdales de fréquence f1, f2, f3 , ...., multiples de f1.
Des logiciels permettent de réaliser une transformée de Fourier c'est-à-dire une
décomposition d’un signal périodique en somme de sinusoïdes ; le résultat apparaît sous
forme d’un spectre, c'est-à-dire d’un graphe « amplitude en fonction de la fréquence ».
Chaque sinusoïde est représentée par un pic dont l’abscisse est la fréquence.
SIGNAUX TEMPORELS
s1
1
0
-1
-2
s2
S1 = 2 sin(2πt×100)
1
0
S2 = 1,5 sin(2πt×200)
-1
s3
0,5
0
-0,5
-1
S3 = sin(2πt×50)
S
2
S = S1 + S2 + S3
0
-2
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
t (s)
SPECTRES
S1
1,5
1
0,5
S2
1
0,5
S3
0,5
S
1,5
1
0,5
50
100
150
200
250
300
350
f (Hz)
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Page 28
GENERALITES SUR LA PROPAGATION DES ONDES MECANIQUES
On retrouve dans S, signal somme, les fréquences des trois signaux ajoutés. Attention : si
l’amplitude est conservée, c’est parce qu’il n’y a pas de déphasage entre les trois signaux.
Etude pratique
9.3.
Pour enregistrer un son, il faut un microphone relié à une carte d’acquisition ou à un
oscilloscope à mémoire. Pour l’étudier, un logiciel de traitement suffit (les oscilloscopes
numériques possèdent l’outil «Analyse de Fourier »).
Grandeurs caractéristiques d'un son musical
•
•
•
•
Ouvrir Latispro et relier le microphone au canal EA1 de la carte et à la masse de celle-ci.
Choisir un balayage temporel avec une synchronisation seuil de 100 mV environ sur la
voie EA1, renommée s. Choisir une durée de 100 ms et environ 1000 points.
Lancer l’acquisition (F10) et frapper le diapason.
Dans Fichier Exportation, ajouter toutes les courbes, au format TXT, avec, entre les
données, Tabulation ; valider. Enregistrer dans le bureau, sous le nom diapason.
Quelle est l’allure de la courbe s(t) obtenue ? Déterminer la période du signal et en déduire
sa fréquence.
Dans le mode spectre apparaît le résultat de l’analyse de Fourier du signal sonore ;
superposer l’évolution temporelle (pour de bons résultats, il faut sélectionner un nombre
entier de périodes).
Déterminer, à l’aide du curseur réticule, l’abscisse du pic observé (ou choisir dans optionssuperposition, l’affichage des valeurs des harmoniques).
• Que représente cette valeur ?
• Le son émis par un diapason est appelé son pur ; proposer une définition d'un son pur.
• A quelle grandeur est liée l'intensité sonore ?
Analyse d’un son pur avec l’Ex A O
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