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chapitre 2 : produit scalaire-orthogonalité

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Université Mohammed V – Agdal
Faculté des Sciences Juridiques,
Economiques et sociales
RABAT
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http://www.fsjesr.ac.ma
Filière de Sciences Économiques et de Gestion
Semestre
Module
Matière
Responsable de la matière
:
:
:
:
S4
M 16 (Méthodes Quantitatives IV)
Algèbre II
Salma DASSER
C
CH
HA
AP
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TR
RE
E 22 :: P
PR
RO
OD
DU
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CA
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LA
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RE
E--O
OR
RT
TH
HO
OG
GO
ON
NA
AL
LIIT
TÉ
É
1. Produit scalaire
Exercice 1.1
1) Parmi les applications suivantes définies de
vers , lesquelles sont des formes bilinéaires ? des produits
scalaires ?
, ,
,
, ,
4
9
2
2
2
, ,
, ,
4
2
,
3
, ,
,
, ,
3
4
5
, ,
, ,
13
6
2
2
,
, ,
,
, ,
2
5
2
3
, ,
, ,
2
,
2) Pour les formes bilinéaires, écrire la matrice dans la base canonique de
et retrouver les produits scalaires.
Exercice 1.2
1) Ecrire l’expression analytique de la forme bilinéaire associée à chacune des matrices suivantes :
1 0 2
1 0 2
1 0 2
1 0 2
0 5 0 ,
0 5 0 ,
0 5 0 ,
0 5 0 ,
1 0 4
2 0 3
2 0 4
2 0 5
1 1 1
2
1
1
2 1 1
1 1 1
1 1 0
1 1 1 ,
1 2
1 ,
1 2 1 ,
1 1 1
1
1 2
1 1 2
1 0 0
2) Parmi ces matrices, lesquelles définissent un produit scalaire ?
Exercice 1.3
1) Pour chacune des formes bilinéaires ci-dessous, écrire la matrice dans la base canonique de
,
2
2
2
,
,
2
2
2
,
2
2
2
2) Parmi ces formes bilinéaires, lesquelles sont-elles des produits scalaires sur
?
:
Exercice 1.4
Pour quelles valeurs du réel , la matrice définit-elle un produit scalaire ?
1
2
2
1 1
,
1
3
0
1
1 ,
0
2
1
1 1
Professeure Salma DASSER
1
1
1 1
0
0
Session printempsprintemps-été
1
[S4, Module M 16 : MQ IV, Matière : Algèbre II]
Exercices du chapitre 2 : Produit scalaire-orthogonalité
2. Orthogonalité
Exercice 2.1
1) Dans
muni du produit scalaire usuel, on considère les vecteurs :
a. Déterminer une base orthonormée du sous espace vectoriel
b. Déterminer le sous espace vectoriel & .
1,2, 1,1 et
!"#$ , %.
0,3,1, 1 .
muni du produit scalaire usuel, on considère les vecteurs :
3,1, 1,3 ,
1,1, 2,8 .
a. Déterminer une base orthonormée du sous espace vectoriel
!"#$ , %.
&
b. Déterminer le sous espace vectoriel
.
5,1,5, 7 et
2) Dans
Exercice 2.2
muni du produit scalaire usuel, on considère les vecteurs :
1,2, 1, 2 ,
5, 2, 5, 2 et
8,10, 10,4 .
a. Vérifier que ) $ , , , % est une base de .
b. Appliquer le procédé de Gram-Schmidt à la base ) pour construire une base orthonormée de
1) Dans
2) Dans
muni du produit scalaire usuel, on considère les vecteurs :
1,2,2 ,
1,3,1 , et
a. Vérifier que ) $ , , % est une base de .
b. Appliquer le procédé de Gram-Schmidt à la base ) pour construire une base orthonormée de
Exercice 2.3
1) Soit
2) Soit
le sous espace vectoriel de
engendré par les vecteurs :
1,0,2 et
a. Déterminer une base orthonormée de et une base orthonormée de & .
b. En déduire une base orthonormée de .
4, 1,0 .
le sous espace vectoriel de
engendré par les vecteurs :
1,0,1 et
a. Déterminer une base orthonormée de et une base orthonormée de & .
b. En déduire une base orthonormée de .
1, 1,2 .
2,3,0, 1 ,
.
0,12,6 .
.
Exercice 2.4
1) Dans
muni du produit scalaire usuel, on considère le sous espace vectoriel :
$ , , *, # +
/
* # 0 !#
2
3* 4#
a. Déterminer une base orthonormée de et une base orthonormée de & .
b. En déduire une base orthonormée de .
0%
2) Dans
muni du produit scalaire usuel, on considère le sous espace vectoriel :
$ , , *, # +
/
* # 0 !#
* 0%
a. Déterminer une base orthonormée de et de & .
b. En déduire une base orthonormée de .
3) Dans
muni du produit scalaire usuel, on considère le sous espace vectoriel :
$ , , *, # +
/
* # 0 !#
2* 3#
&
a. Déterminer une base orthonormée de et de
.
b. En déduire une base orthonormée de .
Professeure Salma DASSER
0%
Session printempsprintemps-été
2
[S4, Module M 16 : MQ IV, Matière : Algèbre II]
Exercices du chapitre 2 : Produit scalaire-orthogonalité
3. Droites – plans
Exercice 3.1
muni du produit scalaire usuel, on considère le plan d’équation - :
* 0 1
d’équations / : 0
et Δ : 6
2
3*.
2
* 0
1) Les droites / et Δ sont-elles contenues dans le plan - ?
2) Déterminer
a. l’intersection de chacune des deux droites avec le plan - .
b. l’intersection des deux droites.
c. -& , / & et Δ& .
3
Dans
Exercice 3.2
muni du produit scalaire usuel, on considère le plan d’équation - :
2
3
4* 01
d’équations / : 0
et Δ :
*.
2
3* 0
Reprendre les questions de l’exercice précédent.
Dans
Exercice 3.3
Dans
muni du produit scalaire usuel, on considère le plan d’équation - :
1) Déterminer -& .
2) Déterminer une base orthonormée de - et de -& .
Exercice 3.4
On considère les deux plans de
: - :
2
3* 0 !# -3 :
3
1) l’intersection des deux plans P et P .
2) une base orthonormée de P et de P5.
3) P & et P 3 & .
4) une base orthonormée de P et une base orthonormée de P 3 & .
Exercice 3.5
- :
On considère les deux plans de
:
Reprendre les questions de l’exercice précédent.
2
Professeure Salma DASSER
3*
0 !# -5 : 2
2*
*
2*
0 et les droites
*
0 et les droites
0
0. Déterminer :
3
4*
0
Session printempsprintemps-été
3
[S4, Module M 16 : MQ IV, Matière : Algèbre II]
Exercices du chapitre 2 : Produit scalaire-orthogonalité
4. Image et noyau d’une matrice
Exercice 4.1
Pour chacune des matrices :
1
0
2
0 2
5 0 ,
0 4
1 1
1 1
1 1
1
1 ,
1
3
1
0
1
2
1
0
1 ,
3
1 1
1 1
1 0
1) Déterminer une base de Im A et une base de ker A .
?@!A > B& .
2) Vérifier que <= >
Exercice 4.2
Parmi les systèmes linéaires >. D
(1) >
(2) >
(3) >
1 0
0 1
2 0
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 0
3
1
1
(4) >
(5) >
(6) >
2
1
1
1
1
1
(7) >
1
1
1
1
F1G !# E
2
1
F0 G
1
1
0 ,E
0
1
F1G !# E
1
1
F0 G
1
1
3
1
1
2
1
1
1
1
1
F 1G !# E
1
1
1 ,E
3
1
1 ,E
2
1
1 ,E
3
1
1 ,E
1
2 1
1 1 ,
1 2
3
1
1
1
3
1
1
1
3
2
F2G
2
1
F 1 G !# E
2
1
F 1 G !# E
2
2
F1G !# E
0
1
2
1
E , lesquels sont compatibles ?
2
0 ,E
4
1
1 ,E
1
1
0
1
E et >. D
1
0 ,
0
1
F1G !# E
1
1
F1 G
1
1
F1 G
1
1
F0 G
1
2
F2G
2
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