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MP
Sciences de l’Ingénieur
Corrigé DS de SI en MP, octobre 14
Exercice 1
Soit un anneau de masse « m », de rayon « R »
et d’épaisseur négligeable.
On note
la densité linéique de masse.

1. Déterminer la matrice d’inertie en O.
2. Déterminer la matrice d’inertie en A tel que

OA  R.x .
A 0 0
I O (S )   0 B 0 


 0 0 C 
0
0
 S( y 2  z 2 ).dm


2
2
I O ( S )  
0
(
x

z
).
dm
0
S

2
2

0
0
S( x  y ).dm
0
0
 S y 2 .dm


2
I O ( S )   0
0
S x .dm

2
2
 0
0
S( x  y ).dm
m   .2 .R
C  S ( x 2  y 2 ).dm   R 2 . .R.d R 3 .  d R 3 . .2 .R  m.R 2
S
2
C
0
0  m.R 2
 2
 
I O (S )   0 C
0   0
2

 0
0 C  0

 
S
0
m.R 2
0
2
0 

0 

m.R 2 

1/9
MP
Sciences de l’Ingénieur

OA  R.x
2
0
0
I A ( S )  I O ( S )  0 m.R 2

0
0
0
0  m.R 2


3.m.R 2
0  0
2
 
2
m.R   0
0



0 

2.m.R 2 

0
Exercice 2
Soit une plaque de masse « m », de longueur
« a » et de largeur « b ».On note
la
densité surfacique de masse.

1. Déterminer la matrice d’inertie en G.
2. Déterminer la matrice d’inertie de cette
plaque à l’extrémité A tel que
a  b 
GA  .x  . y
2
2
0
0
 S ( y 2  z 2 ).dm


2
2
I G ( S )  
0
(
x

z
).
dm
0
S

2
2

0
0
S ( x  y ).dm
0
0
 S y 2 .dm


2
I G ( S )  
0
x
.
dm
0
S

2
2

0
0
S ( x  y ).dm 
m   .a.b
3
a
2
 .b.a 3 m.a 2
x 

S x .dm  S x . .b.dx  .b.  a 
3
12
12
  2
2
2
2/9
MP
Sciences de l’Ingénieur
 m.b
 12

I G (S )   0

 0

2



0


m.(a 2  b 2 ) 

12
0
0
m.a 2
12
0
a  b 
GA  .x  . y
2
2
2
 m.b
 4
 m.a.b
I A ( S )  I G ( S )  
4

 0


m.a.b
42
m.a
4
0
2
 m.b
 3
 m.a.b
I A ( S )  I G ( S )  
4

 0


m.a.b
4
m.a 2
3
0



0


m.(a 2  b 2 ) 

4
0



0


2
2
m.( a  b ) 

3
0
Exercice 3
Problème posé : On se propose de calculer les
équations de mouvement d’une éolienne.
L’éolienne étudiée est composée de 3 solides :


  
R
(
A
,
x
Le solide (0) appelé bâti sur lequel est fixé le repère 0
0 , y0 , z0 ) .
  
R
(
A
,
x
, y1 , z1 ) .
Le bras oscillant (1) sur lequel est fixé le repère 1
1
3/9
MP
Sciences de l’Ingénieur
 L’hélice (2) sur lequel est fixé le repère
  
R2 (G2 , x 2 , y 2 , z 2 )
Le bras (1) est animé d’un mouvement de rotation d’axe
au bâti (0).
 
z1  z 0
et
 
 
( x0 , x1 )  ( y0 , y1 )  

( A, z 0 ) et d’angle 
L’hélice (2) est animée d’un mouvement de rotation d’axe
rapport au bras (1).

(G2 , x1 ) et d’angle 

  
 
x2  x1 , ( y1 , y 2 )  ( z1 , z 2 )   , et AG2  L.x1
Le bras (1), de centre d’inertie A, de
masse m1, a un opérateur d’inertie en A
  
dans la base ( x1 , y1 , z1 ) :
par rapport
 A1
I A (1)   0

 E1
0
B1
0
par
 E1 
0 

C1  ( x , y , z )
1
1
1
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Sciences de l’Ingénieur
L’hélice (2), de centre d’inertie G2, de
masse m2, a un opérateur d’inertie en G2
  
dans la base ( x 2 , y 2 , z 2 ) :
 A2
I G ( 2)   0

 0
2
0
B2
0
0
0

C2  ( x , y ,z )
2
2
2
Action du vent sur l’hélice (2) :

XV 2
 FV 2 

vent  2   


 YV 2
 M V 2 ( G2 )  G 2  Z
 V2
Action du vent sur le bras (1) :
Avec


CA  h.x1  a.z1
Action de la génératrice sur (2) :
LV 2 

MV2 
N V 2  en G 2 dans ( x , y ,z )
2
2
2


 FV 1   F . sin  .x0 

vent  1  

0

C



0
gen  2   


C.x1   . .x1  G
2
Q1
Justifier la forme des opérateurs d’inertie des solides (1) et (2).
Le solide (1) a le plan
 
( A, x1 , z1 ) comme plan de symétrie

 S x. y.dm
 S x.z.dm 
 S ( y 2  z 2 ).dm
2
2
I A (1)    S x. y.dm
 S y.z.dm 
S ( x  z ).dm
2
2
  S x.z.dm
 S y.z.dm
S ( x  y ).dm
0
 S x.z.dm 
 S( y 2  z 2 ).dm

2
2
I A (1)  
0
(
x

z
).
dm
0
S

2
2
  S x.z.dm
0
S( x  y ).dm
Le solide (2) a deux plans de symétrie 
Les produits d’inertie sont nuls
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MP
Q2
Sciences de l’Ingénieur
Déterminer au point A le torseur cinétique du solide (1) dans son mouvement par
rapport à (0).

 R (1 / 0) 
C (1 / 0)    c

 ( A,1 / 0)  A



Rc (1 / 0)  m2 .V ( A 1 / 0)  0
 A1


 ( A,1 / 0)  I A (1). (1 / 0)   0

  E1



 ( A,1 / 0)   E1 . .x1  C1 . .z 1
Q3
0
B1
0
 E1   0 
0  0 
 
C1   
Déterminer au point A le torseur dynamique du solide (1) dans son mouvement par
rapport à (0).

 Rd (1/0) 
D(1/0)   

 (A,1/0) A


Rd (1/0)  0

d 



 (A,1/0)   ( A,1 / 0)    E1 ..x1  E1 . 2 . y1  C1 ..z1
dt
Q4
Déterminer au point G2 le torseur cinétique du solide (2) dans son mouvement par
rapport à (0).


Rd (2/0)  m2 .L. . y1
0    
 A2 0




 (G 2 , 2 / 0)  I G 2 ( 2). ( 2 / 0)   0 B2 0   . sin  


 0 0 C 2   . cos  




 (G 2 ,2 / 0)  A2 . .x 2  B2 . . sin  . y 2  C 2 . . cos  .z 2
6/9
MP
Q5
Sciences de l’Ingénieur
Déterminer au point G2 le moment dynamique du solide (2) dans son mouvement par
rapport à (0) en projection sur

x1 .

d 
 (G2 ,2/0)   (G2 ,2 / 0) 
dt
On est en G2




 d (G2 ,2 / 0)    d (G2 ,2 / 0). x1   d . x1  

 . x1  
 
 . (G2 ,2 / 0)
dt
dt

0

 0  dt  R

d

 
 (G2 ,2 / 0)  


.
x

A
.



.
y
. (G2 ,2 / 0)

 1
2
1
dt

0






 (G2 ,2/0) . x1  A2 .   . y1 .B2 . .sin  . y2   . y1.C2 . . cos  .z2


 (G2 ,2/0) . x1  A2 .   2 .B2 .sin  . cos    2 .C2 . cos  .sin 


 (G2 ,2/0) . x1  A2 .   2 .sin  . cos  .(C2  B2 )
Q6
Appliquer le TMD (Théorème du Moment Dynamique) au solide (2) en projection sur

x1 . En déduire une première équation de mouvement.


 (G2 ,2/0) . x1  LV 2  .
A2 .   2 . sin  . cos  .(C 2  B2 )  LV 2   .
Q7
Expliquer la démarche de calcul pour obtenir la deuxième équation de mouvement.


 (A,1/0) . z1


 (A,2/0) . z1 .
On calcule
et

On applique le TMD à l’ensemble (1+2) en A en projection sur z1

 (A,1/0)  C1 .





(A,2/0)
.
z

(G
,2/0)
.
z
Pour
1 , on calcule d’abord
2
1
7/9
MP
Sciences de l’Ingénieur
Exercice 4 : Roue autonome (CCP MP 13)
Q1
0
TSol roues avant    0
Z
 N
0
XM

0
TSol roues arrière    0
Z
0 N ,Rf
 M
0 
 0

0 
TPoidsfauteuil    0
 M g
0 M ,Rf
S

0
0
0




G ,R
Q2
Les masses et inerties des roues motorisées sont négligeables, de plus, l’utilisateur et
le fauteuil se déplacent en ligne droite : il n’y a pas de mouvement de rotation.

 G, S / R0    G, roues motorisées / R0    G , fauteuil  utilisateur / R0   0
Q3
M S .aG, S / R0   M S .xt . x f
Rappel :
1
0 ,
X M  MS g sin   MS xt 





2 
ZN  ZM  MS g cos   0


M G Solrouesavant  y f  GN  Z N z f  y f   h z f  e x f  Z N z f  y f  e Z N


 

M G Solroues arrièret  y f  GM  X M x f  Z M z f  y f   h z f  l x f  X M x f  Z M z f  y f   h X M  l Z M
3 
Q4
 e ZN  h X M  l ZM  0
A la limite du glissement, on a d’après la loi de Coulomb :
Rappel :   0
4 
X M  f ZM
On a donc le système d’équations suivant :
e  2   3   e  l  h f  ZM  eMS g cos 
AN : on a alors tan  
12
100

f e cos  
xt   g sin  
e  l  hf 

D’où :
pour une pente de 12%, d’où   6 ,8
x  4 ,15 m.s 2
Q5
Système isolé : les deux roues motorisées (La masse et l’inertie des roues négligées)
Théorème du moment statique en projection sur l’axe Of , yf :


M Of Sol roues arrièret  yf  M Of motoréduct eurs  roues arrièret  yf  0





M Of Sol roues arrièret  yf  Of M  X M xf  Z M zf  yf   R zf  X M xf  yf  R X M
avec X M  f ZM
On a donc : 5  2Cm  R f Z M  0 ,
On avait précédemment trouvé :
R
Cm  MS xt   g sin 
1 f ZM  MS g sin  MS xt   2 Cm  MS xt   g sin 
2
R
8/9
MP
Sciences de l’Ingénieur
Cm  160 Nm
Application numérique dans le cas du glissement : x  4 ,15 m.s 2
Q6
« Chaque moteur fournit 70 Nm au maximum » et on trouve qu’il faut un couple de
160 Nm pour que le fauteuil patine sur une pente de béton mouillé de 12%.
Les moteurs étant incapables de fournir ce couple élevé, le fauteuil ne patinera pas.
2 
ZN  ZM  MS g cos   0 et
5
2Cm  R f Z M  0 d’où :
Z N  M S g cos   Z M  M S g cos  
2Cm
 1461  1778 [ N ]
Rf
ZN  317 N
Ce qui est impossible : ZN ne peut être que positif s’il y a contact entre la roue avant et le sol
ou nul s’il n’y a pas contact avec le sol.
Donc, le fauteuil n’est pas en équilibre quand le couple moteur est de 160 Nm et quand il est
à la limite du glissement sur une pente à 12% de béton mouillé : le fauteuil bascule.
D’où la nécessité de limiter le couple moteur pour empêcher le basculement.
Q7
On a maintenant le système d’équations suivant avec Cm=70 Nm
1
X M  MS g sin  MS xt 
5 
2Cm  R X M  0
2 
ZN  ZM  MS g cos   0
X M  350 N
2Cm
xt  
 g sin 
R MS
Application numérique : xt   1,17 m.s 2
Le fauteuil ne glissera pas sur une pente de béton mouillé de 12% puisque Cm<160 Nm.
On cherche à présent ZN pour vérifier qu’il y a contact entre la roue avant et le sol.
2 
ZN  ZM  MS g cos 
3 
 e ZN  l ZM  h X M
l  2  3   e  l  ZN  eMS g cos   h X M
l MS g cos   h
On a donc :
ZN 
avec
2CM
R
el
5
XM 
2Cm
R
Application numérique : ZN  137 N
Le fauteuil ne bascule pas puisque ZN  0 , les roues avant sont en contact avec le sol.
On peut vérifier qu’on n’a pas glissement en M :
e  2  3  e  l  ZM  eMS g cos   h X M
e MS g cos   h
ZM 
2CM
R
el
Application numérique : ZM  1324 N
D’après la loi de Coulomb, on n’a pas glissement en M si : X M  f Z M
Le coefficient de frottement f des roues sur une rampe de béton mouillé de pente 12% est
f  0,45 .
On a bien : 350  0 ,45 1324 .
Le fauteuil ne glisse pas sur une rampe de béton mouillé dont la pente est 12%. .
Ce cas de figure étant le cas le plus défavorable, les moteurs mis en place sur le fauteuil
permettent de respecter les normes d’accès aux bâtiments.
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