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1es derivation problemes economiques - Pagesperso

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1ES
1
C
DERIVATION
PROBLEMES ECONOMIQUES
Un artisan fabrique des objets et vend toute sa production.
On appelle C(x) le coût total de fabrication et R(x) la recette totale exprimée en fonction du nombre x d’objets fabriqués.
C(x) et R(x) sont exprimés en euros.
Partie A :
Dans cette partie, la fonction R et la fonction C sont représentées respectivement par la droite ∆ et la courbe Γ données cidessous :
1)
2)
3)
4)
Quelle est la recette obtenue pour la vente de 30 objets ?
Quel est le prix de vente d’un objet ?
Quel est le cout total de fabrication de 30 objets ?
Pour quelles valeurs de x l’entreprise est-elle déficitaire ?
Partie B :
Dans cette partie, le prix de vente d’un objet varie en fonction de la quantité x produite et s’exprime en euros, par la relation
p(x) = 120 – x, où x appartient à l’intervalle [0 ; 60].
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
Déterminer en fonction de la quantité x produite, le montant de la recette totale R(x)
Le cout total de la production de x objets, exprimé en euros est : C(x) = -0,5x² + 70x + 450. Démontrer que le
bénéfice total obtenu pour la vente de x objets est :
B(x) = - 0,5x² + 50x – 450.
Déterminer B’(x) et dresser le tableau de variations de B sur [0 ; 60]. En déduire le nombre d’objets qu’il faut vendre
pour obtenir le bénéfice maximal.
Déterminer les valeurs de x pour lesquelles l’entreprise est déficitaire.
B(x)
Soit g(x) =
le bénéfice moyen pour la vente de x objets. Calculer g’(x).
x
En déduire le tableau de variations de g.
Tracer la courbe du bénéfice moyen sur l’intervalle [0 ; 60]
Le bénéfice maximal moyen correspond-il au bénéfice maximal ? Quelle production conseilleriez-vous à cet
artisan ? Argumenter.
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DERIVATION
PROBLEMES ECONOMIQUES
Un article commençant à moins se vendre, le directeur commercial décide d’en arrêter la production lorsque le nombre
d’articles vendus par trimestre atteindra 200.
Il s’agit d’estimer la date de cet arrêt en considérant que la fonction f suivante donne une bonne approximation de
l’évolution du nombre d’articles vendus par trimestre.
On considère la fonction f définie sur l’intervalle [ 0 ; 12 ] par : f(x) = - 5x² + 70x + 35.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
Calculer f’(x) où f’ est la dérivée de la fonction f.
Résoudre l’équation f’(x) = 0.
Tracer la courbe C représentative de la fonction f dans un repère orthogonal.
Echelles En abscisses 2 cm pour 1 unité. En ordonnées 5 cm pour 100 unités.
Tracer dans le repère précédent la droite D d’équation y = 200.
Par lecture graphique, indiquer quelles semblent être les coordonnées des points d’intersection de la droite D avec
la courbe C. Laisser les traits de construction apparents.
Pour vérifier les abscisses des points d’intersection, montrer qu’on est amenés à résoudre l’équation
- 5x² + 70x – 165 = 0. Résoudre cette équation.
ième
On considère que le nombre f(x) défini au 1. peut représenter le nombre d’articles vendus au cours du x
trimestre, où x est un nombre entier compris entre 0 et 12. Le directeur commercial ayant fixé une valeur limite de
200 articles. Indiquer à partir de quel trimestre l’entreprise doit envisager de cesser la production.
3
Une entreprise fabrique et vend chaque jour un nombre x d’objets.
Chaque objet est vendu 100 euros. Le coût de production unitaire U(x) exprime le coût de production par objet produit.
900
pour x appartenant à l’intervalle I=[10 ; 100].
On a déterminé qu’il est égal à U(x) = x − 10 +
x
1) Etudier la fonction U sur I. Tracer sa courbe C (unités : 1cm pour 5 objets / 1cm pour 10 €).
2) Déterminer pour quelle production le cout unitaire est le plus bas. Déterminer alors le bénéfice de l’entreprise.
3) Déterminer graphiquement le nombre d’objets que l’on doit fabriquer et vendre pour avoir un coût de production
unitaire inférieur ou égal à 80 €.
4) Montrer que le bénéfice global de l’entreprise est B(x) = -x² + 110x - 900. Déterminer son sens de variation sur I et
déterminer la production pour avoir un bénéfice maximal. Quel est ce bénéfice?
4
C
Dans une grande surface, un samedi, le nombre de clients N(t) présents dans le magasin en fonction de l’heure (t) est donné
par :
3
N(t) = -5 t + 225 t² - 3 240 t + 15 250 sur [10 ; 20]
1)
2)
3)
4)
5)
5
La fonction cout total C de fabrication d’un produit par une entreprise est donnée par :
3
C(q) = q – 14q² + 76q où q est le nombre d’unités fabriquées.
C(q)
On rappelle que le cout unitaire moyen est donné par Cm(q) =
où q est non nul et que la fonction coût marginal est la
q
dérivée C’ de la fonction C.
1)
2)
3)
a)
b)
c)
6
Soit N’ la fonction dérivée de N. Déterminer N’(t).
Résoudre N’(t) = 0.
Dresser le tableau de variation de N.
Déduire des résultats précédents l’heure à laquelle il faut prévoir un maximum de caissière pour fluidifier le
passage aux caisses.
Tracer la courbe représentative de la fonction N sur l’intervalle [10 ; 20].
Exprimer en fonction de q le cout moyen et le cout marginal, puis calculer le nombre q0 d’unités à fabriquer pour
que ces deux coûts soient égaux.
Montrer que Cm(q0) représente un minimum de la fonction cout moyen.
Le prix de vente de chacune des q unités fabriquées dépend de q suivant la relation : P(q) = 60 –q. On suppose
que l’entreprise vend toute sa production.
Calculer le bénéfice réalisé B(q)
En déduire l’intervalle [a ; b], a et b entiers, dans lequel doit se situer la production pour que l’entreprise soit
rentable.
Déterminer le nombre d’unités à fabriquer pour obtenir le bénéfice maximum.
Une usine fabrique et vend des sacs.
3
Le prix de vente est 38 € et le coût de fabrication de x exemplaires est donné par C(x) = 0.02x - 2.1x² + 74x + 80.
1)
2)
Exprimer le bénéfice obtenu pour la fabrication et la vente de x sacs.
Déterminer le nombre de sacs que doit fabriquer l’usine pour réaliser un bénéfice maximal.
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DERIVATION
PROBLEMES ECONOMIQUES
L’entreprise NORTRANS assure pour le compte d’un client, la gestion des stocks dans le cadre d’une prestation de transport
1250
élargie. Le coût de possession du stock est donné par la formule : g(n) =
où n est le nombre de commandes passées
n
dans l’année. Le coût de passation est de 50 € par commande.
1)
2)
8
C
50(x² − 25)
x²
a)
Déterminer f’(x) et montrer que l’on peut écrire f’(x) =
b)
c)
d)
Dresser le tableau de variations de f sur [2 ; 10]
Tracer la courbe de f.
Déterminer et tracer l’équation de la tangente à la courbe représentative de f au point d’abscisse x = 5.
Une entreprise fabrique des boites de rangement.
Soit q un nombre entier de centaines de boites fabriquées et vendues en un mois.
On admet que le bénéfice net en euros est donné par B(q) = - q² + 94q – 445.
Soit f la fonction définie sur [10 ; 70] par f(x) = -x² + 94x – 445.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
9
Exprimer le coût total de stockage C en fonction de n.
1250
Soit f la fonction définie sur [2 ; 10] par f(x) =
+ 50x .
x
Dresser le tableau de variation de f.
Déterminer les coordonnées du maximum de f.
Pour quelle quantité q l’entreprise réalise-t-elle un bénéfice maximal. Quelle est la valeur de ce bénéfice ?
Résoudre f(x) > 0.
Interpréter le résultat.
Résoudre f(x) = 1 500.
Interpréter le résultat.
Un article commençant à moins se vendre, le directeur commercial décide d’en arrêter la production lorsque le nombre
d’articles vendus par trimestre atteindra 200.
Il s’agit d’estimer la date de cet arrêt en considérant que la fonction f suivante donne une bonne approximation de
l’évolution du nombre d’articles vendus par trimestre.
On considère la fonction f définie sur l’intervalle [ 0 ; 12 ] par : f(x) = - 5x² + 70x + 35.
1)
2)
3)
10
Dresser le tableau de variation de f
Résoudre l’équation f(x) = 200
ième
On considère que le nombre f(x) peut représenter le nombre d’articles vendus au cours du x
trimestre, où x est
un nombre entier compris entre 0 et 12. Le directeur commercial ayant fixé une valeur limite de 200 articles.
Indiquer à partir de quel trimestre l’entreprise doit envisager de cesser la production.
Une entreprise fabrique pour une période donnée un produit.
Le coût total de production en euros est donné en fonction du nombre q d’articles fabriqués par :
C(q) = 2q² - 40q + 288 ; q appartenant à l’intervalle [10 ; 26]
Tous les articles fabriqués sont vendus au prix unitaire de 20 euros.
Le montant de la vente en euros est alors obtenu par la formule : V(q) = 20q.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Déterminer la recette en fonction de q.
Calculer la recette obtenue pour la fabrication de 17 articles. La fabrication de 17 articles est-elle rentable pour
l’entreprise ?
Calculer la recette obtenue pour la fabrication de 26 articles. La fabrication de 26 articles est-elle rentable pour
l’entreprise ?
On considère la fonction f définie sur [10 ; 26] par f(x) = -2x² + 60x – 288.
a) Dresser le tableau de variation de f.
b) Déterminer le maximum de f.
c) Résoudre : f(x) = 130
d) Résoudre f(x) < 0.
Pour combien d’articles fabriqués et vendus l’entreprise obtient-elle une recette de 130 € ?
A partir de combien d’articles l’entreprise fabriquerait-elle à perte ?
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C
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PROBLEMES ECONOMIQUES
x3
− 2x ² + 15x + 81 .
3
La fonction C modélise le coût total de production, exprimé en milliers d’euros, de x milliers d’articles fabriqués.
La courbe CT représentative de la fonction C est tracée dans le repère ci-dessous :
Soit C la fonction définie pour tout réel x de l’intervalle ]0 ; 15] par C(x) =
On suppose que chaque article produit est vendu au prix de 60 €.
1)
2)
3)
12
C
On note R(x) la recette générée par la production et la vente de x milliers d’articles.
a) Dans le repère précédent, tracer la courbe représentative de la fonction recette.
b) Déterminer graphiquement les valeurs arrondies au millier près des bornes de l’intervalle dans lequel doit se
situer la production pour que l’entreprise réalise un bénéfice positif.
Le bénéfice est la fonction B définie sur l’intervalle ]0 ; 15] par B(x) = R(x) – C(x).
a) Exprimer B(x) en fonction de x.
b) Calculer B’(x)
c) Etudier les variations de B.
d) En déduire la production x0 pour laquelle le bénéfice est maximal. Quel est le montant en euro de ce bénéfice
maximal ?
C(x)
La fonction coût moyen, notée CM est la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; 15] par CM (x) =
x
a) Sur le graphique précédent, placer le point A sur la courbe CT tel que la droite (OA) soit tangente à CT. On
appelle a l’abscisse du point A.
b) Montrer que le coefficient directeur de la droite (OA) est égal à CM(a)
c) Par lecture graphique, conjecturer les variations de la fonction CM sur l’intervalle ]0 ; 15].
Une entreprise produit et commercialise un produit. La capacité maximale de production est 20 tonnes.
Le coût total de production C(x), en milliers d’euros en fonction du nombre x de tonnes produites est donné par
3
C(x) = x – 30x² + 300x.
1)
Etudier les variations de C sur [0 ; 20].
2)
Le coût moyen de fabrication d’un tonne de produit lorsque x tonnes sont produites est CM (x) =
3)
C(x)
.
x
a) Etudier le sens de variation de CM sur [0 ; 20]
b) En déduire le coût moyen minimal.
Après une étude de marché, l’entreprise décide de vendre son produit 84 000 euros la tonne.
a) Exprimer le bénéfice réalisé par l’entreprise en fonction de x.
b) Quelle doit être la production x pour que l’entreprise réalise un bénéfice maximal ?
c) Est-ce la même valeur qui minimise le coût moyen ?
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C
DERIVATION
PROBLEMES ECONOMIQUES
Une entreprise produit et commercialise une poudre énergisante pour sportifs.
La capacité maximale de production est 9 tonnes.
On se place dans le cas où l’entreprise parviendrait à vendre la totalité de sa production.
La courbe C représente le coût total de production CT(x) exprimé en dizaines de milliers d’euros en fonction du nombre x de
3
tonnes produites. On donne CT(x) = 0.03x – 0.4x² + 2x.
Le prix de vente d’une tonne est fixé à 8 800 € et la recette s’exprime donc à l’aide d’une fonction linéaire représentée par la
droite d.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
14
Vérifier par le calcul que pour une production de 4 tonnes, le bénéfice est nul. Comment cela se traduit-il sur le
graphique ?
A l’aide du graphique, expliquer pourquoi, pour une production comprise entre 4 et 9 tonnes, l’entreprise est
bénéficiaire.
Exprimer le bénéfice B(x) en dizaines de milliers d’euros en fonction de x.
Déterminer la dérivée de la fonction B.
Montrer par le calcul que la fonction B possède entre 0 et 9 deux extremums pour x1 = 7.1 et x2 = 1.7.
A quoi correspond chacun d’eux pour l’entreprise ? Donner une interprétation graphique.
C (x)
On définit le coût moyen CM (x) = T . Pour des raisons de stratégie économique, les décideurs ont besoin de
x
connaître pour quelle valeur de x le coût moyen est minimal. Rechercher cette valeur x0 après avoir exprimé Cm(x)
en fonction de x.
Rappelons que les économistes assimilent le coût marginal Cm à la dérivée du coût total CT. Vérifier que Cm(x0) =
CM(x0).
Pour une entreprise pharmaceutique, le coût total de production de v litres de sirop est donné en euros par :
3
C(v) = v – 12v² + 60v avec v compris entre 0 et 10.
1) Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse. Expliquer.
a) « les premiers centilitres de sirop produits coûtent plus chers que les suivants »
b) « les derniers centilitres produits coûtent moins chers que les précédents ».
C(v)
2) Le coût moyen d’un litre de sirop produit est donné par CM (v) =
v
a) Donner l’expression de CM en fonction de v.
b) Calculer la dérivée de CM et en déduire le sens de variation de la fonction CM.
c) Tracer la courbe représentative de CM
3) On suppose que le prix de vente d’un litre de sirop est constant égal à 28 €.
a) Pour quels volumes de sirop l’entreprise est-elle bénéficiaire ?
b) Pour quel volume de sirop le bénéfice sur un litre est-il maximal ?
c) Pour quel volume de sirop, arrondi au cL, le bénéfice total est-il maximal ?
d) La dérivée C’ de la fonction coût est appelée la fonction coût marginal. Vérifier que le bénéfice total est
maximal lorsque le coût marginal est égal au prix de vente d’un litre de sirop.
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C
DERIVATION
PROBLEMES ECONOMIQUES
3
Soit la fonction f définie pour tout x élément de l’intervalle [0 ; 10] par : f(x) = x – 13x² + 57x + 49
Sa représentation graphique dans un repère orthogonal est donnée ci-dessous.
1)
2)
3)
Calculer f’(x).
Déterminer une équation de la tangente à la courbe au point d’abscisse 7. La tracer dans le repère précédent.
La fonction f modélise sur l’intervalle ]0 ; 10] la fonction coût total de production de x milliers d’articles fabriqués,
le coût total est en milliers d’euros.
f(x)
Pour tout x dans l’intervalle ]0 ; 10], le quotient CM (x) =
est appelé coût moyen de production de x milliers
x
d’articles. On note C’ la dérivée de la fonction coût moyen.
(x − 7)(2x ² + x + 7)
a)
Montrer que C'M (x) =
pour x dans l’intervalle ]0 ; 10].
x²
b)
Étudier les variations de la fonction coût moyen sur ]0 ; 10].
En déduire la valeur de x qui minimise le coût moyen.
c)
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DERIVATION
PROBLEMES ECONOMIQUES
CORRIGE :
1
Partie A : Dans cette partie, la fonction R et la fonction C sont représentées respectivement par la droite ∆ et la courbe Γ
données ci-dessous :
1) Quelle est la recette obtenue pour la vente de 30 objets ? 3300 €
2) Quel est le prix de vente d’un objet ? 3300 / 30 = 110 €
3) Quel est le cout total de fabrication de 30 objets ? 2100 €
4) Pour quelles valeurs de x l’entreprise est-elle déficitaire ? Entre 0 et 10 objets
Partie B : Dans cette partie, le prix de vente d’un objet varie en fonction de la quantité x produite et s’exprime en euros, par
la relation p(x) = 120 – x, où x appartient à l’intervalle [0 ; 60].
1) Déterminer en fonction de la quantité x produite, le montant de la recette totale R(x)
R(x) = x(120 – x) = - x² + 120x
2) Le cout total de la production de x objets, exprimé en euros est : C(x) = -0,5x² + 70x + 450. Démontrer que le
bénéfice total obtenu pour la vente de x objets est :
B(x) = - 0,5x² + 50x – 450.
B(x) = R(x) – C(x) = - x² + 120x + 0.5x² - 70x - 450 = - 0.5x² + 50x - 450
3) Déterminer B’(x) et dresser le tableau de variations de B sur [0 ; 60]. En déduire le nombre d’objets qu’il faut vendre
pour obtenir le bénéfice maximal.
B’(x) = - x + 50
x
0
50
60
B’(x)
+
0
B(x)
800
- 450
750
Le bénéfice est donc maximal pour 50 objets.
4) Déterminer les valeurs de x pour lesquelles l’entreprise est déficitaire.
B(x) < 0 si et seulement si x appartient à [ 0 ; 10 [
B(x)
5) Soit g(x) =
le bénéfice moyen pour la vente de x objets. Calculer g’(x). En déduire le tableau de variations de g.
x
−0.5x ² + 50x − 450
−0.5(x − 30)(x + 30)
g(x) =
; g' (x) =
x
x²
x
0
30
60
g’(x)
+
0
g(x)
20
6)
7)
2
3
4
12.5
Tracer la courbe du bénéfice moyen sur l’intervalle [0 ; 60]
Le bénéfice maximal moyen correspond-il au bénéfice maximal ? Quelle production conseilleriez-vous à cet
artisan ? Argumenter.
Dans une grande surface, un samedi, le nombre de clients N (t) présents dans le magasin en fonction de l’heure (t) est donné
3
par : N (t) = -5 t + 225 t² - 3 240 t + 15 250
sur [10 ; 20]
1) Soit N ’ la fonction dérivée de N. Déterminer N ’ (t).
N’(t) = -15t² + 450t – 3240 = -15(t -18)(t -12)
2) Résoudre N’ ‘(t) = 0.
L’équation admet deux solutions : t = 12 et t = 18
3) Dresser le tableau de variation de N.
t
10
12
18
20
N’(t)
0
+
0
N(t)
350
670
130
450
4) Déduire des résultats précédents l’heure à laquelle il faut prévoir un maximum de caissière pour fluidifier le
passage aux caisses. A 18 heures
5) Tracer la courbe représentative de la fonction N sur l’intervalle [10 ; 20 ].
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7
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DERIVATION
PROBLEMES ECONOMIQUES
Une entreprise fabrique des boites de rangement. Soit q un nombre entier de centaines de boites fabriquées et vendues en
un mois. On admet que le bénéfice net en euros est donné par B(q) = - q² + 94q – 445.
Soit f la fonction définie sur [10 ; 70] par f(x) = -x² + 94x – 445.
1) Dresser le tableau de variation de f.
Sur [10 ; 70] par f’(x) = - 2x + 94. f’(x) = 0 ⇔ x = 47.
x
10
47
70
f’(x)
+
0
f(x)
1764
2)
3)
4)
5)
6)
7)
9
10
11
395
1235
Déterminer les coordonnées du maximum de f.
Le maximum a pour coordonnées (47 ; 1764)
Pour quelle quantité q l’entreprise réalise-t-elle un bénéfice maximal. Quelle est la valeur de ce bénéfice ?
Le bénéfice sera maximal pour 4700 boites. Ce bénéfice sera de 17,64 €.
Résoudre f(x) > 0.
S = [5 ; 89].
Interpréter le résultat. Le bénéfice est positif sur [5 ; 89] donc sur [10 ; 70]. L’entreprise réalise donc toujours un
bénéfice pour toute production de boites comprises entre 1 000 et 7 000.
Résoudre f(x) = 1 500. x = 30,75 et 63.25.
Interpréter le résultat.
L’entreprise réalise un bénéfice de 1 500 € pour 3 075 et 6 325 boites.
x3
− 2x ² + 15x + 81 .
3
La fonction C modélise le coût total de production, exprimé en milliers d’euros, de x milliers d’articles fabriqués.
La courbe CT représentative de la fonction C est tracée dans le repère ci-dessous :
On suppose que chaque article produit est vendu au prix de 60 €.
1) On note R(x) la recette générée par la production et la vente de x milliers d’articles.
a) Dans le repère précédent, tracer la courbe représentative de la fonction recette.
Soit C la fonction définie pour tout réel x de l’intervalle ]0 ; 15] par C(x) =
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DERIVATION
PROBLEMES ECONOMIQUES
b)
2)
Déterminer graphiquement les valeurs arrondies au millier près des bornes de l’intervalle dans lequel doit se
situer la production pour que l’entreprise réalise un bénéfice positif.
L’entreprise doit produire entre 2 000 et 14 000 articles.
Le bénéfice est la fonction B définie sur l’intervalle ]0 ; 15] par B(x) = R(x) – C(x).
a)
Exprimer B(x) en fonction de x. B(x) = −
b)
c)
Calculer B’(x). B'(x) = −x ² + 4x + 45
Etudier les variations de B.
x
0
B’(x)
B(x)
x3
+ 2x ² + 45x − 81
3
+
9
0
243
15
-
-81
-81
En déduire la production x0 pour laquelle le bénéfice est maximal. Quel est le montant en euro de ce bénéfice
maximal ?
Le bénéfice est maximal pour 9 000 articles. Dans ce cas, il est de 243 000 euros.
C(x)
La fonction coût moyen, notée CM est la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; 15] par CM (x) =
x
a) Sur le graphique précédent, placer le point A sur la courbe CT tel que la droite (OA) soit tangente à CT. On
appelle a l’abscisse du point A.
d)
3)
b)
Montrer que le coefficient directeur de la droite (OA) est égal à CM(a).
y −y
C(a) − 0
= CM (a)
Le coefficient directeur est A O =
x A − xO
a−0
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DERIVATION
PROBLEMES ECONOMIQUES
Par lecture graphique, conjecturer les variations de la fonction CM sur l’intervalle ]0 ; 15].
Une entreprise produit et commercialise un produit. La capacité maximale de production est 20 tonnes.
Le coût total de production C(x), en milliers d’euros en fonction du nombre x de tonnes produites est donné par
3
C(x) = x – 30x² + 300x.
1) Etudier les variations de C sur [0 ; 20].
Pour tout x de [0 ; 20] : C’(x) = 3x² - 60x + 300.
∆ = 0, x0 = 10 donc C’(x) est positif sur [0 ; 20] (3 > 0) et nul pour x = 10.
Donc C est croissante sur [0 ; 20].
x
0
10
20
C’(x)
+
0
+
C(x)
2000
0
2)
Le coût moyen de fabrication d’un tonne de produit, lorsque x tonnes sont produites, est CM (x) =
a)
C(x)
.
x
Etudier le sens de variation de CM sur [0 ; 20]
C(x)
CM (x) =
= x ² − 30x + 300 ; CM ' (x) = 2x − 30 CM ' (x) ≥ 0 ⇔ x ≥ 15
x
20
x
0
15
CM’(x)
0
+
CM(x)
300
100
75
En déduire le coût moyen minimal.
Le coût moyen minimal est de 75 000 euros pour 15 tonnes.
Après une étude de marché, l’entreprise décide de vendre son produit 84 000 euros la tonne.
a) Exprimer le bénéfice réalisé par l’entreprise en fonction de x.
3
B(x) = C(x) – R(x) = x – 30x² + 216x.
b) Quelle doit être la production x pour que l’entreprise réalise un bénéfice maximal ?
B’(x) = 0 ⇔ 3x² - 60x + 216 = 0 ⇔ x ≅ 4.708 ou 15.292.
soit 4 708 tonnes ou 15 292 tonnes
c) Est-ce la même valeur qui minimise le coût moyen ?
b)
3)
13
1) Vérifier par le calcul que pour une production de 4 tonnes, le bénéfice est nul. Comment cela se traduit-il sur le
graphique ?
CT(4) = 3.52 soit 35 200 €
La recette est 4 x 8800 = 35 200. Donc B(4) = 0.
2) A l’aide du graphique, expliquer pourquoi, pour une production comprise entre 4 et 9 tonnes, l’entreprise est
bénéficiaire. Entre 4 et 9, la courbe C est en dessous de la droite d.
3) Exprimer le bénéfice B(x) en dizaines de milliers d’euros en fonction de x.
8800
B(x) =
x − (0.03x 3 − 0.4x ² + 2x) = −0.03x 3 + 0.4x ² − 1.12x
1000
4) Déterminer la dérivée de la fonction B.
B'(x) = −0.06x 2 + 0.8x − 1.12
5) Montrer par le calcul que la fonction B possède entre 0 et 9 deux extremums pour x1 = 7.1 et x2 = 1.7.
∆ = 0.2368. Donc B’(x) s’annule pour x = 1.7 et x = 7.1.
6) A quoi correspond chacun d’eux pour l’entreprise ? Donner une interprétation graphique.
Ils correspondent au maximum et au minimum du bénéfice.
C (x)
7) On définit le coût moyen CM (x) = T . Pour des raisons de stratégie économique, les décideurs ont besoin de
x
connaître pour quelle valeur de x le coût moyen est minimal. Rechercher cette valeur x0 après avoir exprimé Cm(x)
en fonction de x.
C (x)
CM (x) = T = 0.03x ² − 0.4x + 2
x
C'M (x) = 0.06x − 0.4 ≥ 0 ⇔ x ≥ 6.67
Donc CM est croissante sur [0 ; 6.67] et décroissante sur [6.67 ; 9]
donc x 0 = 6.67
8) Rappelons que les économistes assimilent le coût marginal Cm à la dérivée du coût total CT. Vérifier que Cm(x0) =
CM(x0).
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1ES
15
C
DERIVATION
PROBLEMES ECONOMIQUES
3
Soit la fonction f définie pour tout x élément de l’intervalle [0 ; 10] par : f(x) = x – 13x² + 57x + 49
Sa représentation graphique dans un repère orthogonal est donnée ci-dessous.
1)
2)
3)
Calculer f’(x). f' (x) = 3x ² − 26x + 57
Déterminer une équation de la tangente à la courbe au point d’abscisse 7. La tracer dans le repère précédent.
La fonction f modélise sur l’intervalle ]0 ; 10] la fonction coût total de production de x milliers d’articles fabriqués,
le coût total est en milliers d’euros.
y = f' (7)(x − 7) + f(7) ⇔ y = 22(x − 7) + 154 ⇔ y = 22x .
Cette droite passe par le point A de la courbe d’abscisse 7 et par l’origine.
f(x)
est appelé coût moyen de production de x milliers
Pour tout x dans l’intervalle ]0 ; 10], le quotient CM (x) =
x
d’articles. On note C’ la dérivée de la fonction coût moyen.
(x − 7)(2x ² + x + 7)
a) Montrer que C'M (x) =
pour x dans l’intervalle ]0 ; 10].
x²
f(x)
49
Pour x dans l’intervalle ]0 ; 10], CM (x) =
= x ² − 13x + 59 +
x
x
C'M (x) =
2x 3 − 13x ² − 49
x²
or (x − 7)(2x ² + x + 7) = 2x 3 + x ² + 7x − 14x ² − 7x − 49 = 2x 3 − 13x ² − 49
(x − 7)(2x ² + x + 7)
donc C'M (x) =
x²
b) Étudier les variations de la fonction coût moyen sur ]0 ; 10].
x
0
7
10
CM’(x)
0
+
CM(x)
31.9
22
c) En déduire la valeur de x qui minimise le coût moyen.
La valeur de x qui minimise le coût moyen est 7, soit 7 000 articles.
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