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(1-8) w tt>=À/B (*>(fÎï), rf

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S U R L E S COEFFICIENTS D E S FONCTIONS
SUZAN
On pourrait employer les
valeurs
[*]
univalente.
pour
Bien
UNIVALENTES
KAHRAMANER
théorèmes fondamentaux
borner supérieurement
de la distribution des
les coefficients
d une fonction
que l'on n'arrive pas à une limite précise, i l sera
Inté-
ressant de constater la simplicité du procédé ).
1
1.
Position du problème
Considérons la f a m i l l e (S) àes f o n c t i o n s
CO
(1.1)
a,
(*) =
u n i v a l e n t e s et normées dans
z + £
a z
n
n
l e cercle
= u (z) + iv (z)
unité,
{w (0) — a — 0, w' (0) =
Q
— 1}.
Le m o d u l e d ' u n e f o n c t i o n de l a f a m i l l e (S) est borné supérieurement et infér i e i t r e m e n t à u n p o i n t quelconque d u cercle | z J ^ r < 1 :
I l s'agit de t r o u v e r u n e borne supérieure pour les modules des c o e f f i c i ents a„ de (1.1). Calculons d ' a b o r d « .
B
z = re'V é t a n t u n p o i n t s u r l a c i r c o n f é r e n c e , £ = g e '* u n p o i n t
1
d u cercle de r a y o n r et « (z) la. p a r t i e réelle de (1.1), l a f o r m u l e
intérieur
de Poisson
donne :
(1-8)
w
Comme
1
tt>=À/ (*>(fÎï) *B
, r f
^ 1,
) Je tiens à exprimer
ma profonde
reconnaissance
comme toujours m a soutenue avec ses précieux
1
conseils.
à M. le Prof. R. NEVANI.INNA qui
2
S.
KAHRAMANER
GO
1 + 2
71=1
représente l a somme d ' u n e
l ' o n peut intégrer
terme
série
à
géométrique
uniformément
convergente
terme:
2st
(1.3')
(?) = f + £ »
Q
w
f n
= ^
/
n=2
^
K
[
x
+
0
2
Z (v)"
]
rf
n=l
d'où l ' o n obtient :
2m
0
Û ! ^ ^
(1.4)
y* u ( r , ç») e-'V
dtp =
1,
0
On a :
2JE
(1.5)
Désignons par u
| « | r " ^ ~ y"
[ « (r, )|</y.
n
+
le n o m b r e «
V
o u zéro s u i v a n t que u ^ O ou u < 0
et par u~ le n o m b r e —« o u zéro s u i v a n t que u ^ 0 o u « > 0.
A l o r s u = u+ — u~ et o n a de l a première égalité de (1.4) :
2«
(1.6)
y
2si
u+ ( r , 9?) d<p =
0
j
u
(r,
(p)d<p.
0
Comme | u | = a + + « ~ , on déduit de (1.5) à l ' a i d e de (1.6) :
2ÎÎ
(1.7)
lut
à
3
SUR L E S COEFFICIENTS DES FONCTIONS UNIVALENTES
2.
Application des théorèmes fondamentaux des fonctions méromorphes
Formons maintenant
u n e f o n c t i o n méromorphe à l ' a i d e de
la l'onction
(1.1):
(2.1)
/ ( » ) : = « « • = 1 + * + (a, + 1/2) * « + . . .
{/<«0=i=o,
/(0) = i ) .
E t a n t donnée une v a l e u r a, désignons par n{r,
de f(w)
= a comprises
dans
le
domaine
a) le n o m b r e des racines
chaque racine
\z\^r<l,
comptée a u t a n t de f o i s que son o r d r e i n d i q u e . Posons ensuite
étant
pour l a d i s t r i -
b u t i o n des modules des racines
(2.2)
* ( r . «> = / "
y " <0, «)
d t
+
„ (0, ) l o g r
a
0
(on a
A f ( r , /) = TV (r, » ) } et p o u r l a v a l e u r moyenne d u l o g a r i t h m e p o s i t i f
l o g + | / [ (a — é») s u r l a c i r c o n f é r e n c e
(2.3)
m
( >f)=èif
| z | =r
l 0 g +
r
:
1/ ( r e Î ¥ ) 1 d<P
o
(log+ | / ] désigne l e n o m b r e l o g | / j ou zéro s u i v a n t que | / 1 ^ 1 1 ou 0 ^ | / 1 < 1}.
D'après l e p r e m i e r théorème f o n d a m e n t a l [1], étant
/
donnée une f o n c t i o n
(z)} u n i f o r m e et méromorphe à l ' i n t é r i e u r d u cercle \ z [ = 1 , i l existe une
f o n c t i o n réelle T(r)
appelée la f o n c t i o n c a r a c t é r i s t i q u e ^indépendante de a et
t e l l e que l ' o n a p o u r t o u t e v a l e u r de a
(I)
h(r,
m(r,
a) + N(r> o) = T ( r ) - f A ( r , «) .
a) r e s t a n t b o r n é p o u r r < 1 .
P o u r l a f o n c t i o n (2.1), A/(r, /) = 0 et comme l o g + [ / [ — u + , o n a
0
d'où
<I')
m(r,f)
=
T(r),
en négligeant l a q u a n t i t é b o r n é e . Nous pouvons donc exprimer l a borne supér i e u r e de
[ a„ [ dans (1.7) en f o n c t i o n de m ( r , / ) o u
T(r):
4:
.
S
.
KAHRAMANER
(2.5)
\a \r ^im(r,f)=4 T(r).
n
n
. A p p l i q u o n s m a i n t e n a n t le
:
second théorème f o n d a m e n t a l : ' f{w(z)}
une f o n c t i o n môromorphe avec u n développement (2.1)
dans l e voisinage de l ' o r i g i n e (c =j= 0, c 4= 0) et z
0
k
z
lt
f{w) = c -j0
étant
z^-j-- • •
zq ( y ^ S ) des
ît
nom-
bres quelconques f i n i s ou n o n , mais d i f f é r e n t s entre eux, on a u r a l ' i n é g a l i t é
</
(II)
T(r) < ]P N(r,
(q-Z)
z ) - ^ ( r ) + S(r)
(z =
y
q
~)
où
et £(/•) est égal à
a
+ ( , - l ) l o g ^ i
<î étant u n n o m b r e i n f é r i e u r à chacune des distances
Prenons
e
Z l
w + 0, ç a , ou
—0,
a
]z —z
h
fc
[ , (A 4= fc).
z = 1/2 et z„ = «> (q = 3 ) . A l o r s 3 ^ 1 / 2 . Comme /(w) =3
2
A/"(/-, /) =N(r,
1//)—0.
a l o r s i V ( r , / ' ) = A T ( r , 1//') — 0, d'où ^
w(z) étant
u n i v a l e n t e , o/(z)-4= 0 ;
( ) = 0.
F
(II) prend la forme
(II')
1/2) + 5(7-)
T(r)<N(r,
q u i est p l u s grande que l a borne supérieure de (2.5) :
(2.6)
' ï\a \r»<N(r,
l/2)+,,S( ).
r
n
E v a l u o n s d ' a b o r d N(r,
1/2) puis
, \.
S(r).
N (r, 1/2) est le n o m b r e des p o i n t s / = 1/2 dans le cercle
| z | ^ r < 1:
w = — l o g 2-f-2 w i n .
Soient le cercle
\ z \ ézr
dans le plan z et le domaine correspondant G
le p l a n w avec le diamètre m a x i m u m d .
T
2 * ( r , 1/2) ^
n
r
On a alors :
rf .
r
E n m a j o r a n t rf avec la borne supérieure du m o d u l e (1.2) on o b t i e n t :
r
(2.7)
Comme « (0, 1/2)—0, on a :
„ ( , , 1 , 2 ) ^ - ^ ^ .
daus
SUR L E S COEFFICIENTS DES FONCTIONS UNIVALENTES
(2.8)
N
{
r
<
m
= j ^
t
m
d
^ ^ _
t
D ' a u t r e p a r t , d'après ( I I ) , nous avons p o u r
r)
S(r):
2
S (r) = m {(r, £
/ ' / ( / ~ *v)} + m ( r , /'//) + l o g 3 4- 6 Log 2
n.-=l
et pour 0 < r < e < 1 :
m ( r , / 7 / ) < 2 4 + 2 1 o g l / r + 3 1 o g l / ( - r ) + 4 1 o g + r(e,
e
/),
2
m {r, 2 /'/(/ -
*v)} < 24 4- 2 l o g 1/r + 3 l o g l / ( e - r ) + 3 l o g 2 + 4 Iog+ T (o, / (/-1/2)
Or
l o g + r(e,
/ ( / - l / 2 ) ) ^ l o g + T(Q,
/)+21og2.
Donc
2
m {r, ^ f'l(f-z )}
v
< 24 + 2 l o g 1/r + 3 l o g l / ( - r) + 4 l o g + T (g, /) + H l o g 2.
e
1>=ï
De l à o n o b t i e n t :
(2.9)
S (r) < 48 + 17 l o g 2 + l o g 3 + 4 l o g 1/r + 6 l o g l / ( -
r ) + 8 l o g + T (e, /) •
e
Nous pouvons estimer T(Q,
f) à p a r t i r de m (e, /) et l e m o d u l e . m a x i m u m (1.2)
de l a f o n c t i o n u n i v a l e n t e w :
•
l o g + T(Q,
f)^
l o g 1/(1 - ) * .
e
E n posant 2¿> — 1 + r , o n a :
T(
Q>
log l/( e
/)<21og2+21ogí/(l-r)
r ) - l o g 2 + l o g 1/(1 -
)
r).
Désignons l a p a r t i e constante de l a borne supérieure de S(r)
C = 48 + 39 l o g 2 + l o g 3.
Nous obtenons alors :
par
6
S.
(2.10)
KAHRAMANER
S (r) < C + 4 l o g 1/r + 22 l o g 1/(1 - r ) .
Le q u o t i e n t - d e S(r)
par ] o g 1/(1 — 7-) reste b o r n é p o u r r - ^ 1 . On p o u r r a donc
écrire
(2.11)
5(r) =
0{logl/(l-r)J.
Remplaçons les"valeurs (2.8) de JV(r, 1/2 et (2.11) de S (r) dans (2.6) p r o v e n a n t
de l ' a p p l i c a t i o n d u second théorème f o n d a m e n t a l ( I I ' ) :
(2.12)
| | a„ 1 r " < r/a ( 1 -
r ) + O {log 1/(1 -
,)}
d'où :
(2.13)
Le
I «
second
n
I < * M r " " (1 — r ) + 4 O ( l o g 1/(1 — r)} / r " .
1
terme
d u second
membre
de (2.13) q u i est
de l ' o r d r e
de
log 1/(1 — T-) est négligeable par r a p p o r t a u p r e m i e r t e r m e de T o r d r e de 1/(1 — r)
pour r - > l . Ce p r e m i e r terme a t t e i n t sa p l u s petite v a l e u r p o u r r — 1 — 1/n :
l/ı-"- (1 —
r)<ne.
1
On
obtient ainsi :
(2.14)
4ne/«.
\a \<
n
Remarque.
Pour
les
coefficients
des
fonctions univalentes,
déjà l ' e s t i m a t i o n de L I T T L E W O O D avec | o„ j < en
et celle
de
il
existe
BAZILEVIC
avec
[ a | < • en/2-4-1,51._ HAYMAN [2] a démontré p o u r u n e f o n c t i o n déterminée de
n
la f a m i l l e (S), 1 a„ 1 ^ « p o u r toutes les grandes v a l e u r s de
P o u r o b t e n i r l a b o r n e (2.14), n o u s avons
n
.
estimé le ^nombre n(r,
1/2) des
racines de / (w) = 1/2 comprises dans l e domaine
| z [ ^ r < 1 , en le m a j o r a n t
avec l e diamètre m a x i m u m d
Gr
r
d u domaine image
dans l e
avons borné le diamètre d avec le d o u b l e d u m o d u l e \w(z)\é=
r
(2.7)
p l a n xv et n o u s
r{(l — T-) , d'où :
2
„( , l/2)^t/ /2»^r/*.(l-r)'.
r
On
r
p o u r r a i t esssyer d'améliorer
f o n c t i o n f(tjw)
l e r é s u l t a n t précédent
à l a place de l a f o n c t i o n / ( w ) , v\ é t a n t
conque (îf =f= 0). A l o r s on peut présumer
f o n c t i o n s (1.1) représente
]z ]
constante
d ' u n e m a n i è r e u n i v a l e n t e le cercle
<1
prenant
est p l u s p e t i t que
quel­
s u r u n domaine D
r
unité | z | < 1
l a f o n c t i o n ijw{z)
où l e n o m b r e
n
points :
w = l-\-2nin
une
ce q u i s u i t : (lorsque l a f a m i l l e des
sur l e p l a n w, i l existe u n n o m b r e ^ ( | Î ; | = 1) t e l que
r é s e n t e le cercle
une
en
(n—0,
±1...),
(A — const.)
(r, 1/2)
rep­
des
SUR L E S COEFFICIENTS DES FONCTIONS
r/2*.(l — r ) +
2
Dans ce cas,
o n p e u t évidemment
(2.14) avec p l u s de précision
UNIVALENTES
7
const.
exprimer notre
estimation
précédente
sous l a f o r m e de
| a
n
| <
2 ne.
BIBLIOGRAPHIE
[ ' ) NEVANLWNA R. :
Le théorème de Picard-Borel et la théorie des fonctions
méromorphes,
GAUTHIBR-VILLAHS, Paris (1929).
[*] HAYMAN W . K . :
Multivalent functions, CAMBHIDGE
Tracts in Mathematica and Math. Phy-
sicB No. 48, 1 1 , (1958).
İSTANBUL Ü N I V E R S I T E S I
MATEMATIK
İSTANBUL,
(Manuscrit
reçu le 4 Novembre
ENSTÎTÜSÜSÜ
TÜRKIYE
ÖZET
Bu yazıda değer
dağılımı
teorisinin
esas teoremleri
yardımiyle
bir fonksiyonun katsayıları için bir llst sınır hesaplanmaktadır.
limite erişilememekle beraber, kullanılan yolun sadeliği ilgi
yalınkat
Kesin bir
çekicidir.
1962)
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