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Colles PC quinzaine 12 du 29 mars au 1er avril

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PC
Lycée Thiers
Année 2015-2016
Colles PC quinzaine 12 du 29 mars au 1 avril
er
Les questions écrites en rouge devront être maîtrisées, énoncés et démonstrations.
Les questions écrites en vert supposeront une connaissance absolument parfaite des énoncés (théorèmes ou définitions) mais n’exigeront pas obligatoirement la maîtrise des démonstrations.
Quand des techniques seront écrites en bleu, cela signifiera qu’elles doivent être maîtrisées dans la
pratique, sur des exemples numériques, même si aucune généralisation n’est exigée.
Cette quinzaine : arcs paramétrés (révision), variables aléatoires réelles.
Arcs paramétrés : révision du programme précédent.
Variables aléatoires discrètes
Définition d’une variable aléatoire, loi d’une variable aléatoire discrète. Définition d’une loi par la
donnée de la probabilité de chaque singleton. Fonction d’une variable aléatoire discrète. Fonction de
répartition : définition, croissance, limites en +∞ et −∞. Exemples classiques de lois de probabilité. Lois de Bernoulli, binomiale, uniforme, géométrique, Poisson. Couples de variables aléatoires
discrètes. Loi conjointe, lois marginales. Loi conditionnelle, indépendance. Suites de variables indépendantes deux à deux ou mutuellement. Espérance, variance. L’espérance, est la somme, si elle
+∞
X
P ( X Ê n). Théorème du transfert (admis). Linéarité de X 7→ E ( X ) (admis), poexiste, de la série
n=1
sitivité, croissance. Si X et Y sont indépendantes, E ( X Y ) = E ( X )E (Y ) (admis). X a une espérance
si, et seulement si, | X | en a une. Une variable aléatoire discrète bornée a une espérance. Si X 2 a
une espérance finie, alors X aussi. Variance, écart type. V (aX + b) = a2 V ( X ). Inégalité de Markov, de
Tchebycheff, Covariance, corrélation, −1 É ρ ( X , Y ) É 1. Variance d’une somme ; cas de variables indépendantes. Inégalité de Schwarz. Variables à valeurs dans N : série génératrice, elle caractérise la
loi, Le rayon est supérieur ou égal à 1. L’espérance existe si, et seulement si, G est dérivable en 1 et
E ( X ) = G ′ (1) (admis). La variance existe si, et seulement si, G est deux fois dérivable en 1, (admis),
retrouver V ( X ) en fonction de G ′ (1) et G ′′ (1). Série génératrice de la somme de deux variables aléatoires indépendantes. Loi géométrique : caractérisation comme loi sans mémoire. Somme de deux
variables indépendantes suivant des lois de Poisson. Résultats asymptotiques : approximation de la
loi binomiale par la loi de Poisson, loi faible des grands nombres.
Il est souhaitable que l’interrogation ne porte pas plus que pour moitié sur la construction d’un arc.
R. Thomas
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