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1 Intro 2 Les combinateurs 3 Exercices 4 Platonisation de l`univers

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1 Intro
J'ai l'impression d'avoir déjà tapé un pdf similaire, je chercherai dans mon bazar. En attendant, je présente le monde
mathématique rapidement et la manière d'en parler dans le présent document très imparfait. Il est surtout fait pour
que les gens s'aperçoivent qu'il n'y a rien d'orphelin (il n'y a pas de notions premières ou presque) lorsqu'ils font des
maths. Tout est formellement déni à part 4 signes. Je ne connais pas trop l'histoire, mais je dirais que ces idées sont
essentiellement dues à Church (même si je les ai largement remixée à la sauce 2016).
Je choisis exprès une présentation qui n'est pas celle de la théorie des ensembles (elle lui est parfaitement équivalente),
pour éviter les reproches que font les gens habituellement (sans connaitre), qui croit qu'il y a dogme à considérer que tout
est ensemble. En réalité, faire des maths, c'est essentiellement faire sortir des certitudes absolues de son cerveau. Tout
repose (le fonctionnement du cerveau, donc les maths) sur 4 signes que l'on va "<charger"> platoniquement, mais dont
le fonctionnement formel permet de "<tracer"> de toute façon les hypothèses faites. L'univers du discours est doté d'une
seule opération binaire, notée . (un point) et même généralement pas notée du tout (on se contente de mettre des espaces).
La convention sera donc que uv signie u.v . Les conventions de parenthèsage sont celles de la classe de cinquième (en
beaucoup plus simple), à savoir que u.v.w := (u.v).w. La plupart du temps on ommettra le point et écrira uv .
2 Les combinateurs
Il y en a 4 et toutes les maths (et toute la science) s'écrivent avec eux. Les voici: C, J, K, W . On les surcharge platoniquement avec un cinquième, qui signie =. Je le note E . Voici les axiomes (qu'on dit souvent être "<équationnels">):
∀x, y, z
Kxy = x; W xy = xyy ; Cxyz = y(xz); Jx = x
L'axiome suivant n'est pas équationnel: ∀x, y : si x = y alors Exy = K (et en un sens qui sera précisé, réciproquement)
3 Exercices
Exo1: montrer que pour n'importe quel mot m et n'importe quelle lettre x (ie expression formée avec les combinateurs et
des lettres), il existe un mot p qui ne contient pas la lettre x et tel que les axiomes équationnels impliquent p.x = m
Exo2: construire explicitement des mots (que l'on notera B, G, S, D) ne contenant aucune lettre et tels que les axiomes
équationnels impliquent :
• Suvx = (ux)(vx)
• Bxy = yx
• Gxyz = xzy
• Dxyz = x(yz)
4 Platonisation de l'univers
Dorénavant, on considèrera que l'univers, ie le monde de tous les objets mathématiques possibles, est muni de l'opération
. et des combinateurs et qu'ils vérient les axiomes précédents. Les sections et exercices précédents ont montré qu'on peut
supprimer les lettres des expressions. Par exemple si on veut parler de la fonction f : x 7→ xa, on en dispose sans avoir
besoin du signe 7→ qui gêne un peu les débutants en maths. La fonction f n'est autre que Ba.
Voici les dénitions des objets mathématiques fondamentaux. Le signe := est une abréviation du mot "<abrège">.
Les crochets ont la même signication que les parenthèses.
1) vrai := K
2) V := U nivers := KK (lol)
3) f aux := KJ
4) (x = y) := (Exy) (pour tous x, y)
5) Dans certains contextes, a ∈ b abrège ba
6) ∀ := E(KK)
7) →:= [(CB((BK)))]
8) 0 := ∅ := K(KJ)
5 Quelques explications
On ne sert jamais, en pratique, de ces calculs formels. On utilise des lettres. L'utilité ici est d'informer le lecteur de ce
que signie, quand il fait des maths correctement, ce qu'il croit écrire avec des lettres.
La dénition qui suit n'a aucune existence ocielle dans le présent pdf, je la donne à des ns purement psychologiques,
et d'ailleurs j'utilise des lettres pour parler. On dit qu'un objet est un ensemble u quand ∀x : ux = vrai ou ux = f aux.
Si vous êtes un peu patients et déroulez les calculs, vous constatez que → ab = abK . Exercice: calculer vrai.f aux.K , etc
(les 4 possibilités), et vérier qu'on obtient bien le fonctionnement de →.
J'imagine que pour la plupart des lecteurs la dénition de ∀ parait cryptique. Je l'explique. E(KK)a veut moralement
dire (revoir le seul axiome non équationnel) que a = KK , autrement dit que pour tout x : ax = KKx = K = vrai. Ce
qui est bien ce qu'on attend de ∀.
L'ensemble vide (noté indiéremment 0 ou ∅, déni en (8)), répond à la même idée. 0.x = K(KJ)x = KJ = f aux.
C'est l'ensemble qui ne contient personne.
Certains pourraient s'interroger sur pourquoi K et KJ (qui sont respectivement "<vrai"> et "<faux">) ont des règles
opératoires dans les axiomes équationnels. La raison est bête et liée à l'informatique. Le programme if a then b else c
n'est rien d'autre abc. Exercice: vériez par vous-même quand a ∈ {K; KJ}
6 Les lettres en maths
En réalité, comme on va le constater, il n'y en a pas!!!! Tout simplement. Cela n'interdit pas de parler en utilisant des
noms propres, mais c'est tout. Dans les langages populaires utilisés pour transmettre une culture mathématique (facs,
écoles, secondaire, etc), on utilise les lettres (appelées variables) dans DEUX statuts (et simplement deux) qui sont:
1) Statut1: la variable est libre. auquel cas c'est un nom propre!!
2) Statut2: la variable est liée. Auquel cas, c'est le lieur qui décide de ce qu'elle signie. Et il est donc important
que toute variable liée dans un texte de maths ait un lieur bien visible. Tout texte qui ne respecte pas cette règle est
mathématiquement incorrect
Mais en fait, les variables liées ne sont que des commodités langagières. Le présent document permet de voir qu'il n'y
a pas de variable liée du tout dans ce que nous produisons au nal une fois traduites les abréviations en objets écrits avec
les 5 atomes C, J, K, W, E et le signe point .
Exemple: je prends une expression un peu au hasard et qui est horrible, avec 2 variables liées et quelques noms propres,
qui sont −; /; f ; 3; 0
∀x : limh→0 ((f (x + h) − f (x))/h) = 3
Quand on réécrit correctement ((f (x + h) − f (x))/h), on obtient /(−(f (+xh))(f (x)))h, qui est égal à un certain
M/ − +f xh où M est un mot construit avec les seuls combinateurs. (Exercice à faire). On a aussi l'opérateur lima→b c qui
vaut (exercice: reprendre la dénition de lim que vous préférez) N bc pour un certain mot N . L'expression limh→0 ((f (x +
h) − f (x))/h) = 3 vaut donc E3(N 0[M/ − +f x]), c'est à dire [C(M/ − +f )(C(N 0)(E3))]x et nalement la phrase entière
vaut E(KK)[C(M/ − +f )(C(N 0)(E3))]. Evidemment, les noms propres n'ont pas disparu!!
7 Crise des fondements
Un calcul simple montre que si e := C(W J)f (C(W J))f ) alors f (e) = e. Autrement dit, toute fonction admet un point
xe. Or on connait des fonctions qui n'ont pas de point xe, comme par exemple la fonction non := (C(B(KJ))(BK)),
qui envoie x sur → x(f aux) (on écrit plutôt x → f aux).
Dans le paradigme où nous nous trouvons ici, c'est absolument sans aucune importance. En eet, quand on utilise un
mot, on voit bien qu'on le fait. Par ailleurs, il est intéressant de ne pas occulter qu'existe cette impossibilité positive de
dénir le vrai et le faux envers et contre tout l'univers. Pour ne pas s'aventurer dans ces contrées qui brisent la logique
élémentaire, il sut de se brider (le traçage étant complètement assumé). Le problème (plutôt la curiosité) ici pointé est
très exactement connu sous la même forme en théorie des ensembles. Je rappelle comment il émerge. Soit e := l'ensemble
des x tels que x ∈ x → P . Alors si e ∈ e alors e ∈ e → P , donc e ∈ e → P donc e ∈ e donc P (j'ai abrégé "<implique">
par la èche →). On a prouvé P sans rien connaitre de P en passant par l'ensemble surpuissant e := {x | x ∈ x → P }
8 Suite des dénitions et axiomes
Dans la suite, je donne vite fait les dénitions des principaux objets mathématiques. J'adopte la présentation classique
(celle retenue dans ZF).
99) Axiome d'extensionnalité: si (∀x : (ax = bx)) alors a = b
100) on abrégera par [a; b; c; d; etc] par Ca(Cb(Cc(...)...) ou selon les contextes, on pourra aussi écrire v ◦ u := Cuv
101) inclus := (D(D∀)(C(D →)S). Exercice: justier cette dénition
102) singleton := E . Cette dénition est rigolote et .. économique
103) paire := ...
. . . 200) Dénition du couple de Church: pour tout a, b, (a, b) := C(Ba)(Bb). Ce n'est pas la dénition retenue en
théorie des ensemble!!! Je la mets pour la curiosité du lecteur. Notez qu'on a : (a, b)x = xab. En particulier K(a, b) = a
et KJ(a, b) = b. Les projections gauche et droite sont respectivement le vrai et le faux.
Exercice: si vous avez compris, je vous laisse compléter cette section (dénir les mots, et, ou, non, il existe, IN, IZ, IQ,
IR, ID, énoncer l'axiome du choix, etc).
9 Exemples
Dans cette section, je prends quelques erreurs qu'on voit souvent circuler autant dans les copies d'étudiants que de ...
profs, ou sur les forums. Je les commente.
9.1
La droite d'équation
x=3
C'est une tradition un peu stupide, mais hélas reconnue. Elle consiste, dans certains domaines de maths et au lycée en
géométrie et probabilités à abréger par R(f ) ce que d'autres écrivent f −1 (R). Par exemple, si X est une VA on il est
courant de voir écrit par P (X ∈]2; 5[ la probabilité de l'évènement P (X −1 (]2; 5[)) . En géométrie, on parle aussi de la
droite d'équation [x + 6y = 4] plutôt que de la droite {M | xM + 6yM = 4} (rappel: pour tout S , xS est une abréviation
de abscisse de S et yS est une abréviation de ordonnée de S )
Voyons comment toutes ces choses s'écrivent correctement. Je n'adopte pas l'usage consistant à noter x la fonction
m 7→ [ abscisse de M ], car car j'ai remarqué que plein de gens (pourtant censément professionnels, en tout cas qui mangent
grace à leur culture math) ne semblaient pas au courant de l'homonymie: un sujet de bac (j'insiste pas de bac blanc) par
exemple (ce qui est un comble) a vu son auteur inventer une sorte de langage astrologique (il a écrit "<la droite d'équation
t=5">, ce qui n'a bien sûr aucun sens puisqu'il n'a pas déni la fonction t) et montre manifestement qu'il ne sait pas
du tout écrire correctement, et peut-être plus grave, qu'il ne sait pas ce qu'il dit quand il utilise l'expression "<droite
d'équation">, en tout cas, à coup sûr qu'il ne semble pas au courant que dans l'expression "<droite d'équation f = 7">,
c'est la fonction f , qui est un nom propre dont il est question : "<droite d'équation f = 7"> signie f −1 ({7}), qui n'est
déjà pas une expression très heureuse. Et il semble encore moins au courant que "<droite d'équation x = 7"> signie
abscisse−1 ({7}). Le mot droite étant chaque fois une audace indépendante du thème ici abordé.
L'objet (une fois toutes les dénitions et pointeurs résolus) droite d'équation [x = 3] a comme nom (dans notre univers
total ici décrit) E(abscisse)3, où abscisse est la fonction qui envoie chaque (x, y) sur x, c'est à dire, si on adopte la
dénition du couple de Church, tout simplement K . Ehh, oui! Et la droite [x = 3] est EK3.
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