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(1- k)i + (1+k)j - Les

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Maroc
II
1. On considère la fonction de la variable réelle x définie par:
f(x) = x .Jd2 - x2
où d désigne un nombre réel strictement positif fixé.
a) Etudier f et dessiner sa courbe représentative dans un plan affine euclidien rapporté à un repère orthonormé.
b) Calculer l'aire de la partie du plan /imitée par la courbe représentative de [ ,
l'axe des abscisses, et les droites d'équations respectives x = 0 et x = d.
2. Déterminer l'aire maximale d'un rectangle dont les sommets appartiennent à un
même cercle de rayon R, R désignant un nombre réel strictement positif fixé.
Problème
A - Soit ;r un plan vectoriel euclidien 33
soit k un réel.
On considère l'endomorphisme CPk de
->
cpkfi) =
->
cpkfj) =
;r
1
2"
1
-> ->
= (i, j)
une base orthonormée de l' , et
défini par:
->.
[(1+ k)i
+
->
2" [(1- k)i +
->
(1- k)j]
->
(1+ k)j]
57
1.. Pour quelle valeur de k <Pkn'est-il pas bijectif? Pour cette valeur de k déterminer la nature de <Pket ses éléments caractéristiques.
2. Déterminer les valeurs de k pour lesquelles <Pkest une isométrie qu'on préci-
sera.
4
3. Déterminer les réels À pour lesquels il existe un vecteur u non nul de ~ tel que
4
4
<Pk(u)= À u.
4. On suppose k* 1 • On note À] et
tion 3. avec À2 indépendante de k.
À2
les deux valeurs de
4
4
~
-+
a) Montrer que l'ensemble des vecteurs u tels que <pkfu)=
torielle D] dont on précisera une base 1.
b) Montrer que l'ensemble des vecteurs u tels que <pkfu)=
torielle D2 dont on précisera une base
:t
À]
À2
À
trouvées à la ques-
4
u est une droite vec-+
.
u est une droite vec-
(L J7
c) Montrer que
est une base orthogonale de ~ .
Donner la matrice de <Pkdans cette base.
B-
Soit P un plan affine associé à
44
4
(ft = (0, e t. e}) avec et =
œ.
On munit P d'un repère orthonormé
.J244
4
2" (i +j) et e2
-/144
=
2" fi -
j).
On considère l'application affine fç de P à laquelle est associé l'endomorphisme <Pk
et telle que le point 0 soit invariant avec k o.
*
1. Dans le repère (ft, si le point M a pour coordonnées (x, y), déterminer les coordonnées (x', y') du point M' = fkfM).
2. Soit
s: : x ~g](x)
= (l-x)
eX.
Construire sa représentation graphique G] dans le repère (ft. Calculer
C
g](x) dx
.0
3. Soit Gk l'image par J« de G]. On appelle gk la fonction dont la représentation
graphique est Gk. Déterminer gk.
Montrer que pour tout k (kER*), les courbes Gk admettent une asymptote commune et passent par un point commun.
Donner, selon les valeurs de k , le tableau de variations de gk et dessiner la représentation graphique Gk.
4. Déterminer k pour que
fol
gkfx) dx
=
1.
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