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1ES_2015-2016_DNS9

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1ES/L spé maths
Corrigé du DNS 9
Exercice 113 page 132
1. a) C(6 400) = 0,6  6 400 + 2 000 = 5 840
Le coût de fabrication de 6 400 taille-crayons est 5 840 €
120
120
=
= 1,5
6 400 80
Pour écouler 6 400 taille-crayons, l’entreprise doit les proposer au prix unitaire de 1,50€
b) p(6 400) =
c) B(6 400) = 6 400  p(6 400) – C(6 400)
= 6 400  1,5 – 5 840
= 3 760
L’entreprise réalise un bénéfice de 3 760€ lorsqu’elle produit et fabrique 6 400 taille-crayons.
2. B(x) = x  p(x) – C(x)
120
=x
- (0,6x + 2 000)
x
= 120 x – 0,6x – 2 000
b) B’(x) = 120 
1
60
60 – 0,6 x
- 0,6 =
- 0,6 =
2 x
x
x
Valeur interdite : x = 0 ⇔ x = 0
60 – 0,6 x ≥ 0
60 ≥ 0,6 x
60
≥ x
0,6
100 ≥ x
0 ≤ x ≤ 10 000
x
B(10 000) = 120 10 000 – 0,6  10 000 – 2 000
= 120  100 – 6 000 – 2 000
= 4 000
B(20 000) = 120 20 000 – 0,6  20 000 – 2 000
= 120 20 000– 12 000 – 2 000
= 120 20 000 – 14 000
 2 970,56
0
Signe de 60 –
0,6 x
+
Signe de x
+
Signe de B’(x)
+
10 000
|
0
|
|
|
|
|
0
|
4 000
20 000
–
+
–
Variations de B
B(20 000)
c) Le bénéfice est maximal pour x = 10 000
120
120
p(10 000) =
=
= 1,2
100
10 000
Le bénéfice est maximal lorsque le prix d’un taille-crayon est 1,20 €
3. a)
I
333
334
335
336
337
B(I)
 – 10
 – 7,3
 – 4,6
 – 1,96
 0,7
B(I) < 0
Vraie
Vraie
Vraie
Vraie
Faux
b) En utilisant la question précédente et le tableau de variations de la fonction B, on peut conclure qu’il faut
fabriquer et vendre entre 337 et 20 000 taille-crayons pour que le bénéfice soit positif.
Exercice 110 page 187
1. Martin démarre au sommet, à 1 665 marches du rez-de-chaussée, donc u0 = 1 665.
Il descend 3 marches par seconde donc u1 = 1665 – 3 = 1 662.
Gérard démarre au bas de la tour donc v0 = 0.
Il monte 2 marches par seconde donc v1 = 0 + 2 = 2.
2. Martin descend 3 marches par seconde donc un + 1 = un – 3 : la suite (un) est donc arithmétique de raison r = – 3 et
de 1er terme u0 = 1 665
Par conséquent, un = u0 + rn = 1 665 – 3 n
Gérard monte 2 marches par seconde donc un + 1 = un + 2 : la suite (vn) est donc arithmétique de raison r = 2 et de
1er terme v0 = 0
Par conséquent, vn = v0 + rn = 0 + 2 n = 2 n
3. La suite (un) est arithmétique de raison strictement négative donc elle est strictement décroissante.
La suite (vn) est arithmétique de raison strictement positive donc elle est strictement croissante.
4. un = vn ⇔ 1 665 – 3 n = 2 n
⇔ 1 665 = 5 n
1 665
⇔n=
= 333
5
u333 = v333 = 2  333 = 666.
Martin et Gérard se rencontreront au bout de 333 secondes, soit 5 minutes et 33 secondes, sur la 666ème marche.
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