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Chapitre 8 ELEMENTS DE CINEMATIQUE

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8.1
Chapitre 8
ELEMENTS DE CINEMATIQUE
8.1
CONTEXTE ET DEFINITIONS
En physique, la cinématique est une branche du domaine de la mécanique. La mécanique englobe l’étude du
mouvement et de ses causes, sous toutes ses formes, y compris l’état de repos. La mécanique statique
comprend l’étude de situations qui n’évoluent pas dans le temps. La cinématique concerne la description et
l’étude du mouvement sans prise en compte de ses causes. La dynamique est l’étude du mouvement et de ses
causes.
Physique
Etude des phénomènes naturels
Mécanique
Etude du mouvement
Electromagnétisme
Electricité & Magnétisme
Thermodynamique
Etude de la chaleur
…
Statique : absence de variations dans le temps
Cinématique : mouvement sans ses causes
Dynamique : mouvement avec ses causes
8.2
HORAIRES
Position du mobile en fonction du temps
(
Dans un espace euclidien de dimension 3 muni d’un repère orthonormé O, i, j , k
)
, la position d’un mobile
 x (t ) 


au cours du temps est décrite par le vecteur r ( t ) =  y ( t )  .
 z (t ) 


z
10
P1
x (-2.6) = 13.53
t = +3
t = -2.6
r ( −2.6 )
0
t0 = - 3
y (-2.6) = 3.224
-5
Position du mobile
à l'instant t1
r ( t1 )
t
i+1
z ( t1 )
- t = 0.2
i
0
5
10
X - Position
15
jec
toir
e
-10
20
Tra
Y - Position
5
Représentation à 2 dimensions des
données de l’horaire 1
y
O
y ( t1 )
x ( t1 )
x
Lionel Barlatey, 2002, 2009
8.2
Vitesses moyenne et instantanée
Par définition, la vitesse est la variation de la position par rapport au temps, ou taux d’accroissement ∆ r de
r par rapport à t, mesuré en [km/h] ou [m/s].
•
Vitesse moyenne
∆r
vMoyen =
∆t
r ( t2 ) − r ( t1 )
soit vMoyen =
.
t2 − t1
,
La notion de vitesse moyenne ignore le détail des
événements survenus entre P1 et P2 . Elle est
d’autant plus valable que P1 et P2 sont voisins ou
que l’intervalle de temps ∆t = t2 − t1 est petit.
Le vecteur vitesse moyenne vMoyen est colinéaire au
vecteur ∆r .
•
Instant t1
P1
∆r
vMoyen
∆ r = r ( t2 ) − r ( t1 )
r ( t1 )
r ( t2 )
Instant t2
P2
O
Vitesse instantanée
La vitesse instantanée est la limite du taux d’accroissement de la position lorsque ∆t tend vers 0.
Soit
v = lim vMoyen ,
∆t → 0
∆r
v = lim
,
∆t → 0 ∆t
r ( t2 ) − r ( t1 )
v = lim
,
t2 → t1
t2 − t1
r ( t + ∆t ) − r ( t )
v = lim
∆t → 0
∆t
Le vecteur vitesse instantanée correspond donc à la dérivée du vecteur position par rapport au temps. On
∆r d r note aussi v = lim
=
= r'.
∆t → 0 ∆t
dt
v (t )
A la limite lorsque ∆t → 0 , le point P2 se rapproche de
P1 autant qu’on ne peut les distinguer. Les vecteurs v et
∆ r étant colinéaires, le vecteur vitesse instantanée est
toujours tangent à la trajectoire au point considéré.
r (t )
O
Application
0
 2
0
Soit à 2 dimensions, le vecteur position donné sous la forme analytique r ( t ) =   t 3 +   t 2 +   t .
1
0
 
 
 −8 
 0
 2
0
3
2
A l’instant t + ∆t , le mobile se trouve à la position r ( t + ∆t ) =   ( t + ∆t ) +   ( t + ∆t ) +   ( t + ∆t ) .
1
0
 −8 
0
 2
0
∆ r = r ( t + ∆t ) − r ( t ) =   3t 2 ∆t + 3t ∆t 2 + ∆t 3  +    2t ∆t + ∆t 2  +   ∆t
1
 0
 −8 
 2
0
∆r  0  2
Taux d’accroissement de la position :
=   3t + 3t ∆t + ∆t 2  +   [ 2t + ∆t ] +  
∆t  1 
0
 −8 
 vx ( t )   4t 
0
∆r  0  2  2 
Vitesse instantanée :
v = lim
=   3t +   2t +   , ou v = 
 =  2

∆t → 0 ∆t
1
0
 −8 
 v y ( t )   3t − 8 
Lionel Barlatey, 2002, 2009
8.3
 2t 2 
Remarque : on obtient le même résultat en dérivant les composantes du vecteur position r ( t ) =  3
.
 t − 8t 
Application numérique.
Temps [s]
Position [m]
x1 ( t )
y1 ( t )
-2.5
12.50
4.375
-2.4
-2.3
-2.2
-2.1
11.52
10.58
9.68
8.82
5.376
6.233
6.952
7.539
-2.0
8.00
8.000
-1.9
-1.8
-1.7
7.22
6.48
5.78
8.341
8.568
8.687
-1.6
-1.5
5.12
4.50
8.704
8.625
Estimations du vecteur vitesse moyenne vMoyen ( −2 ) à l’instant t = -2 [s],
pour différents intervalles de temps ∆t .
∆t = 0.2
[ −2.1; −1.9]
∆t = 0.4
[ −2.2; −1.8]
∆t = 0.6
[ −2.3; −1.7]
∆t = 0.8
[ −2.4; −1.6]
∆t = 1
[ −2.5; −1.5]
 −8.00 


 4.01 
 −8.00 


 4.04 
 −8.00 


 4.09 
 −8.00 


 4.16 
 −8.00 


 4.25 
La valeur exacte du vecteur vitesse à l’instant t = -2 [s] est le vecteur
vitesse instantanée v ( −2 ) = −8.00 i + 4.00 j .
10
t = -2.0
Y - Position
5
t = +3
0
t0 = - 3
-5
t
i+1
- t = 0.2
i
-10
0
5
10
X - Position
15
20
[Facteur d’échelle 1 pour la représentation de la vitesse]
2
Accélérations moyenne et instantanée
Par définition, l’accélération est la variation de la vitesse par rapport au temps, ou taux d’accroissement ∆ v de
v par rapport à t, mesuré en [ m/s 2 ] dans le système MKSA.
•
•
Accélération moyenne
∆v
a Moyen =
∆t
Accélération instantanée
∆v
a = lim aMoyen ,
a = lim
,
∆t → 0
∆t → 0 ∆t
L’accélération instantanée correspond
∆v d v d 2 r aussi a = lim
=
=
= r '' .
∆t → 0 ∆t
dt dt 2
v ( t2 ) − v ( t1 )
a Moyen =
t2 − t1
v ( t2 ) − v ( t1 )
v ( t + ∆t ) − v ( t )
a = lim
,
a = lim
t2 → t1
∆t → 0
t2 − t1
∆t
donc à la dérivée du vecteur vitesse par rapport au temps. On note
Lionel Barlatey, 2002, 2009
8.4
Application
Soit
à
2
dimensions,
le
vecteur
vitesse
donné
sous
la
forme
analytique
 4t 
v (t ) =  2
.
 3t − 8 
 4 ( t + ∆t ) 
A l’instant t + ∆t , la vitesse du mobile a pour valeur v ( t + ∆t ) = 
.
 3 ( t + ∆t )2 − 8 



4 ( t + ∆t ) − 4t
 
4 ∆t

=
∆ v = v ( t + ∆t ) − v ( t ) = 
2
 3 ( t + ∆t ) − 8 − ( 3t 2 − 8 )   6t ∆t + 3∆t 2 


∆v  4 
Taux d’accroissement de la vitesse :
=

∆t  6t + 3∆t 
∆v  4 
Accélération instantanée : a = lim
= 
∆t → 0 ∆t
 6t 
Application numérique.
Temps [s]
-2.5
Vitesse moyenne [m]
v1x ( t ) v1y ( t )
-10.00 10.76
-2.4
-2.3
-2.2
-2.1
-9.60
-9.20
-8.80
-8.40
9.29
7.88
6.53
5.24
-2.0
-8.00
4.01
-1.9
-1.8
-1.7
-7.60
-7.20
-6.80
2.84
1.73
0.68
-1.6
-1.5
-6.40
-6.00
-0.31
-1.24
Estimations du vecteur accélération moyenne aMoyen ( −2 ) en t = -2 [s],
pour différents intervalles de temps ∆t .
∆t = 0.2
[ −2.1; −1.9]
 4.00 


 −12.00 
∆t = 0.4
[ −2.2; −1.8]
∆t = 0.6
[ −2.3; −1.7]
 4.00 


 −12.00 
 4.00 


 −12.00 
∆t = 0.8
[ −2.4; −1.6]
∆t = 1
[ −2.5; −1.5]
 4.00 


 −12.00 
 4.00 


 −12.00 
La valeur exacte du vecteur accélération à l’instant t = -2 [s] est le vecteur
accélération instantanée a ( −2 ) = 4.00 i − 12.00 j .
10
t = -2.0
Y - Position
5
t = +3
0
t0 = - 3
-5
t
i+1
- t = 0.2
i
-10
0
5
[Facteur d’échelle 1
10
X - Position
4
15
20
pour la représentation de l’accélération]
Lionel Barlatey, 2002, 2009
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