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2015_2016_DNS18_corrige_2ndes

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2nde
Eléments de correction du DNS 18 du lundi 9 mai 2016
Objectifs :




Donner du sens à la notion de moyenne et de médiane
Utiliser des connaissances de probabilité
Mathématiser un problème géométrique
Utiliser un repère lié à la figure donnée
Exercice 1 :
Le tableau suivant donne la répartition des salaires en euros dans une entreprise.
Salaire
Effectif
Effectif
cumulé
900 1100 1300 1500 1700 1900 2100 2300 2500 2700
12
10
20
18
12
13
5
3
12
5
Salaire
Effectif
Effectif
cumulé
2900 3100 3300 3500 3700 3900 4100 4300 4500
7
10
0
6
5
0
0
0
1
12
117
22
127
42
127
60
133
72
138
85
138
90
138
93
105
138
110
139
a) Calculer le salaire moyen S, arrondi à l’euro, dans cette entreprise.
12900 + 10  1100 + 201300 + ……………… + 53700 + 1  4500
S=
139
S ≈ 1986
Le salaire moyen S dans cette entreprise est d’environ 1986 €
b) Compléter les tableaux ci-dessus avec effectifs cumulés croissants.
c) En déduire le salaire médian.
L’effectif total est 139 : N est impair
De plus
N
= 69,5
2
Donc la médiane est la 70ème valeur de la série rangée dans l’ordre
croissant.
Me = 1700
Le salaire médian est donc de 1700€
d) Quelle caractéristique de position utiliseriez-vous pour présenter l’entreprise
sous son meilleur jour si vous étiez le directeur ? si vous étiez un observateur
impartial ?
Le directeur parlerait du salaire moyen qui est plus élevé que le salaire
médian, tandis qu’un observateur impartial parlerait du salaire médian
égal à 1700€. Ceci signifie qu’environ 50% des salariés gagnent au plus
1700€ et environ 50% gagnent au moins 1700€.
Exercice 2 :
Dans une société qui emploie 600 personnes.
300 sont assurées contre la maladie, 200 contre les accidents et 120 à la fois contre
la maladie et les accidents.
On choisit au hasard un employé de cette société.
M : « être assuré contre la maladie »
A : « être assuré contre les accidents »
E(600)
180
M(300)
120
A(200)
80
220
a) Quelle est la probabilité qu’il soit assuré contre la maladie mais pas contre les
accidents ?
180 3
p (M ⋂ ) =
=
600 10
b) Quelle est la probabilité qu’il soit assuré contre la maladie ou les accidents ?
p (M ⋃ A ) =
180+ 120 + 80 380 19
=
=
600
600 30
autre méthode qui utilise les données de l’énoncé
p (M ⋃ A ) = p (M) + p (A ) ‒ p (M ⋂ A) =
300 200 120 380 19
+
‒
=
=
600 600 600 600 30
c) Quelle est la probabilité qu’il soit assuré ni contre la maladie, ni contre les
accidents ?
p(
⋂
ou p (
)=
⋂
220 11
=
( avec le diagramme)
600 30
)= p(
) = 1 ‒ p ( M⋃A) = 1 ‒
19 11
=
30 30
Exercice 3 :
[AB] est un segment de longueur 8 cm.
M est un point variable de ce segment
et H est le milieu de [AM].
C est un point tel que le triangle AHC est
rectangle isocèle en H.
D et E sont des points du même côté
que C par rapport à (AB) tel que BMED est un carré.
On note x la longueur MB en cm.
1. a) Préciser à quel intervalle appartient x
x appartient à [0;8]
b) Exprimer en fonction de x
les aires du carré BMED
et du quadrilatère AMEC.
8‒x
8‒x
2
x
8‒x
2
L’aire du carré BMED est x2 : f(x) = x2
L’aire du quadrilatère AMEC est égal à : AAHC + ACHME
Or CHME est un trapèze et l’aire d’un trapèze est égale à :
(petite base + grande base) hauteur
2
Donc l’aire du quadrilatère AMEC est égal à :
AH  HC (EM + CH)HM
+
2
2
8‒x 8‒x
8‒x 8‒x

[x + (
)]
2
2
2
2
( 8 ‒ x)2 (x + 8) ( 8 ‒ x)
AAMEC =
+
=
+
2
2
8
8
64 ‒ 16x + x2 64 ‒ x2 128 ‒ 16x
AAMEC =
+
=
= 16 ‒ 2x
8
8
8
On pose g(x) = 16 ‒ 2x
Remarque : pour calculer l’aire de HMEC, on pouvait
calculer la somme de l’aire du rectangle HMEK et
de l’aire du triangle CKE.
K
2. On se propose de déterminer la
position du point M pour que l’aire du carré BMED soit le double de l’aire du
quadrilatère AMEC.
a) Mathématiser ce problème.
f(x) = 2  g(x)
x2 = 2 (16 ‒ 2x) et x ∈ [ 0 ;8]
x2 = 32 ‒ 4x
et x ∈ [ 0 ;8]
b) Conjecturer avec une calculatrice la solution du problème posé. Expliquer
première méthode :
DRAW ZOOM AUTO
G_SOLVE ISCT
seconde méthode :
x2 = 32 ‒ 4x
et x ∈ [0 ; 8]
2
x + 4x ‒ 32 = 0 et x ∈ [0 ; 8]
DRAW ZOOM AUTO
G_SOLVE ROOT
Il semble que M doit être le milieu de [AB]
c) En utilisant le résultat cicontre obtenu avec un
logiciel de calcul formel,
démontrer la conjecture
obtenue à la question
précédente.
Il s’agit de
résoudre dans [0 ; 8]
x2 = 32 ‒ 4x
x2 + 4x ‒ 32 = 0
(x + 2)2 ‒ 36 = 0
[ ( x + 2 ) ‒ 6 ] [ ( x + 2 ) + 6] = 0
( x ‒ 4 ) ( x + 8) = 0
x ‒ 4 = 0 ou x + 8 = 0
x=4
ou x = ‒ 8
Or 4 ∈ [ 0 ; 8] et ‒ 8 ∉[ 0 ; 8] donc x = 4 ce qui prouve que M est le
milieu de [AB]
Exercice 4 :
Soit le rectangle ABCD tel que : AB = 2 et AD = 1.
I est le milieu de [AB].
1. Tracer cette figure et placer le point E tel que

2 
DE = DI
3


2. On se place dans le repère (A ; AI ; AD ).
a) Déterminer les coordonnées de chaque point de la figure
A ( 0 ; 0) ; I ( 1 ; 0) ; D ( 0 ; 1) ; B ( 2 ; 0) ; C ( 2 ; 1)
Coordonnées du point E :

 xE ‒ xD 

 yE ‒ yD 
DE 

 xE 

 yE ‒ 1 
DE 
 
xE 
DE  y ‒ 1 
E

Or DE =

 xI ‒ xD 

 yI ‒ yD 
DI 

 1 

‒ 1
DI 
2
2   3 
DI
3
 ‒2 
 3
2 
DI , c'est-à-dire
3
soit
2 1
donc E ( ; )
3 3
b) Démontrer que les points A, E et C sont alignés


Il suffit de prouver que les vecteurs AE et AC sont colinéaires.

 xE ‒ xA 

 yE ‒ yA 
Or AE 
2
  3 
AE
1
3

 xC ‒ xA 

 yC ‒ yA 
AC 
  2 
AC  
1
2
2
1=
3
3
1 2
X’Y = 2  =
3 3
Donc XY’ = X’Y ce qui prouve que :
De plus XY’ =


les coordonnées des vecteurs AE et AC sont proportionnelles donc les


vecteurs AE et AC sont colinéaires
On en déduit que les droites (AE) et (AC) sont parallèles
Ces droites passant toutes les deux par le point A, on en déduit
qu’elles sont confondues donc les points A, E et C sont alignés.
c) Calculer la distance EC


On peut remarquer que le repère (A ; AI ; AD ) est orthonormé.
En effet, (AI) perpendiculaire à (AD) et AI = AD = 1 (AI = 1 car I milieu de
[AB] et AB = 2).
EC =
(xC − xE)² + (yC – yE)²
EC =
2
1
(2 − )² + (1 – )² =
3
3
4
2
( )² + ( )² =
3
3
16 4
+ =
9 9
20 2 5
=
9
3
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